HIDRODINAMICA

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HIDRODINAMICA
Contenido
2.1 Métodos de análisis utilizados para describir el estado de movimiento
de un �uido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Método de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Características generales del �ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 El �ujo puede ser estacionario (permanente) o no estacionario (no perma-
nente). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 El �ujo puede ser rotacional o irrotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 El �ujo puede ser compresible o incompresible. . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 El �ujo puede ser viscoso o no viscoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tipos principales de �ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Flujo Laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Flujo Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Trayectorias y líneas de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Ecuaciones fundamentales de la Hidrodinámica . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Ecuación de Bernoulli (Teorema de Bernoulli) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Aplicaciones de las ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . .
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
2.6.1 Cálculo de la velocidad de un líquido que sale del tapón de un grifo en la
base de un recipiente (Teorema de Torricelli) . . . . . . . . . . . . . . . . 
2.6.2 Efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2.6.3 Tubo o medidor de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2.6.4 Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
2.7 Ejercitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Se pasará ahora del estudio de los fluidos en reposo al estudio más complicado
de los fluidos en movimiento.
La rama de la Mecánica de Fluidos que se ocupa de las leyes de los
fluidos en movimiento es la denominada Hidrodinámica.
Muchos aspectos del movimiento de los fluidos todavía no se entienden por com-
pleto; aún así, adoptando algunas simplificaciones, puede obtenerse una buena com-
prensión de esta materia.
2.1 Métodos de análisis utilizados para describir el estado
de movimiento de un fluido
Para conocer el estado de movimiento de un fluido en cada instante de tiempo
pueden emplearse dos métodos. El primero es conocido con el nombre de Método de
Lagrange y el segundo, con el nombre Método de Euler1.
2.1.1 Método de Lagrange
Este método fue aplicado primeramente por Joseph Louis Lagrange2 y es una gen-
eralización directa del concepto de la Mecánica de las Partículas.
Consiste en dividir el movimiento de un fluido en elementos de vol-
umen infinitesimales, a los cuales es posible llamar partículas del fluido y,
entonces, seguir su movimiento.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Como puede imaginarse, este procedimiento implica un esfuerzo formidable. Se
podrían indicar las coordenadas (x; y; z) a cada una de las partículas del fluido y en-
tonces especificarlas como función del tiempo t. Luego las coordenadas (x; y; z) en
el tiempo t de la partícula que se encontraba en (xo; yo; zo) en el instante to quedarían
determinadas por las funciones x (xo; yo; zo; to; t), y (xo; yo; zo; to; t), z (xo; yo; zo; to; t) (es decir,
las trayectorias de las partículas) que describirían el movimiento del fluido.
2.1.2 Método de Euler
Fue ideado por Leonhard Euler3.
El método de Euler no sigue a cada partícula como el anterior, sino
que observa todas las que pasan por un determinado punto del espacio
a través del tiempo. Consiste en describir el movimiento de un fluido
especificando la densidad � (x; y; z; t) y la velocidad
�!
V (x; y; z; t) del fluido
en el punto (x; y; z) y el tiempo t.
Cualquier cantidad usada al describir el estado del fluido, por ejemplo la presión P,
tendría entonces un valor definido en cada punto del espacio y en cada instante del
tiempo. Aunque esta descripción del movimiento del fluido se enfoque a un punto en
el espacio, más que a una partícula del fluido, no es posible evitar seguir a las partículas
mismas, por lo menos durante intervalos de tiempo cortos dt, ya que son a ellas después
de todo y no a los puntos del espacio a las que se aplican las Leyes de la Mecánica.
El método que se seguirá en el desarrollo del presente capítulo será el de Euler.
2.2 Características generales del flujo
Antes entiéndase bien lo que es un Flujo.
Se entiende como Flujo al movimiento de las partículas del medio
fluido continuo, tales como gases, vapores o líquidos, por canales o con-
ductos cerrados o abiertos.
Un gráfico de velocidades se llama Diagrama de Líneas de Flujo, como el mostrado
en la figura 2.1.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura 2.1: Diagrama de línea de flujo.
Ahora bien, para entender la naturaleza de las simplificaciones que se hagan, con-
sidérese primero algunas características generales del flujo de los fluidos:
2.2.1 El flujo puede ser estacionario (permanente) o no estacionario (no
permanente).
Se dice que un flujo es estacionario cuando la velocidad �v! del fluido en cualquier 
punto no varía con el tiempo. En cualquier otro punto una partícula puede viajar con 
una velocidad diferente, pero otra partícula que pase por este segundo punto se com-
porta allí justo como lo hizo la primera partícula cuando pasó por el mismo. Estas condi-
ciones pueden conseguirse cuando las velocidades del flujo son pequeñas. Por otro
lado, un flujo se dice que es no estacionario cuando las velocidades�v! son una fun-
ción del tiempo en un punto dado.
2.2.2 El flujo puede ser rotacional o irrotacional.
Se dice que un flujo es irrotacional cuando un elemento de fluido en un punto 
dado no tiene una velocidad angular neta alrededor de dicho punto. Esto es posible 
visualizarlo al imaginar una pequeña rueda de paletas sumergida en un líquido que 
fluye. Si la rueda de paletas se mueve sin girar, el flujo es irrotacional; si gira, entonces el 
flujo es rotacional. El flujo rotacional incluye el movimiento vertical como ocurre en los 
remolinos.
2.2.3 El flujo puede ser compresible o incompresible.
Por lo general es posible considerar que los líquidos fluyen incompresiblemente. 
Pero un gas muy compresible puede, en ocasiones, sufrir cambios tan poco importantes 
en su densidad que entonces su flujo puede considerarse casi como incompresible.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
2.2.4 El flujo puede ser viscoso o no viscoso.
La viscosidad4 en el movimiento de los fluidos es el análogo de la fricción en el
movimiento de los sólidos. En muchos casos, tales como en los problemas de lubri-
cación, es sumamente importante. Sin embargo, a veces puede ignorarse. La viscosi-
dad introduce fuerzas tangenciales entre las capas del fluido en movimiento relativo y
se traduce en una disipación de la energía mecánica.
Figura 2.2: (a) Flujo laminar. (b) Flujo turbulento.
2.3 Tipos principales de flujo
Es posible distinguir dos tipos principales de flujo (ver figura 2.2):
2.3.1 Flujo Laminar
Si el flujo es uniforme de modo que los estratos contiguos del mismo se deslicen
entre sí de manera continua, se dice que el flujo es una Línea de Corriente o Flujo
Laminar . Al rebasar cierta velocidad, que depende de un gran número de factores, el
flujo se hace turbulento.
2.3.2 Flujo Turbulento
El flujo turbulento se caracteriza por círculospequeños a manera de remolinos,
erráticos, llamados Corrientes Parásitas o Remolinos. Las corrientes parásitas absorben
una gran cantidad de energía y aunque cierta cantidad de fricción interna debida a
4Viscosidad es la propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza.
Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen
con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas
adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene
un orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una
medida de su viscosidad.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
la visocosidad se presenta en los flujos laminares, ésta es mucho mayor cuando el flujo
es turbulento.
El estudio del movimiento de un fluido que se hará en este texto se
limita a la dinámica de fluidos para flujos de régimen estacionario, in-
compresibles, no viscosos e irrotacionales.
2.4 Trayectorias y líneas de corriente
Ya se han definido las trayectorias como el camino recorrido por cada una de las
partículas cuando fue descrito el Método de Lagrange en la sección 2.1.1. La pregunta
ahora es ¿cuáles serán las líneas características del movimiento si se usa el Método de
Euler descrito en la sección 2.1.2?.
Figura 2.3: Línea de corriente.
Considérese un punto P dentro de un fluido (ver figura 2.3). Como la
velocidad en dicho punto no cambia en el transcurso del tiempo (régi-
men estacionario), toda partícula que llega a P pasa con la misma rapi-
dez y en la misma dirección y sentido. Lo mismo sucede con otros puntos
en el fluido, por ejemplo Q y R. Por consiguiente, al trazar la trayecto-
ria de la partícula, esta curva será la trayectoria de toda partícula que
llegue a P . A la mencionada curva se llama Línea de Corriente.
Las líneas de corriente no pueden cortarse en un punto regular pues, si así sucediera,
la partícula que acertase a pasar en el instante t por el punto de intersección tendría
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simultáneamente dos velocidades distintas, que serían tangentes a cada una de las
dos líneas.
La condición de tangencia entre línea de corriente y velocidad se expresa matemáti-
camente mediante,
dx
vx
=
dy
vy
=
dz
vz
(2.1)
que constituyen un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, cuya
integración da dos parámetros. Para cada par de valores de estos parámetros se tiene
una curva, por lo que las líneas de corriente son un sistema doblemente infinito (las
trayectorias constituyen una familia triplemente infinita) en cada instante t:
Puede apreciarse claramente la diferencia entre trayectorias y líneas de corriente:
Las trayectorias se refieren a cada partícula, mientras que las líneas
de corriente están definidas por las velocidades de todas en cada in-
stante.
En un flujo estacionario, la distribución de las líneas de corriente del flujo es esta-
cionario en el tiempo. En este tipo de flujo la trayectoria de la partícula y la línea
de flujo coinciden.En principio es posible dibujar una línea de corriente que pase por
Figura 2.4: Tubo de flujo.
cualquier punto del fluido.
Supóngase que el flujo es estacionario y escójase un número finito de
líneas de corriente para formar un haz como el mostrado en la figura 2.4.
Esta región tubular se denomina Tubo de Flujo.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Los límites de dicho tubo están formados por líneas de corriente y siempre son parale-
los a la velocidad de las partículas del fluido. Por lo tanto, el fluido no puede cruzar el
borde de un tubo de flujo comportándose (el tubo), en cierta manera, como un tubo
real que tuviese la misma forma. El fluido que entra por un extremo debe salir por el
otro.
2.5 Ecuaciones fundamentales de la Hidrodinámica
2.5.1 Ecuación de continuidad
Se estudiará ahora el flujo laminar estacionario de un tubo de flujo como el mostrado
en la figura 2.5 y se determinará la variación de la rapidez del fluido con relación al
tamaño del tubo. Escójase el tubo lo suficientemente pequeño para que la velocidad
a través de cualquier sección transversal sea, en esencia, constante.
En la figura 2.5,�!v1 representa la velocidad cuando pasa a través del área de sección
transversal S1 y �!v2 la velocidad cuando pasa a través del área de sección transversal
S2.
El Flujo de Masa Qm (también denominado Caudal Másico) se define
como la masa 4m de fluido que pasa por un punto dado por unidad de
tiempo 4t.
Matemáticamente se escribe como,
Qm =
4m
4t =
�4V
4t =
�S4l
4t = �Sv (2.2)
En la figura 2.5 el volumen de fluido que pasa por S1 en el tiempo 4t es exacta-
mente S14l1 donde 4l1 es la distancia que el fluido recorre en el tiempo 4t. Como la
velocidad del fluido que pasa por S1 es v1 =
4l1
4t , el flujo de masa
4m
4t a través de S1 es
(donde 4V1 = S14l1 es el volumen de masa 4m) viene dado por,
Qm en S1 = �1S1v1 (2.3)
De manera análoga para S2 se puede escribir,
Qm en S2 = �2S2v2 (2.4)
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Figura 2.5: Ecuación de continuidad.
Ahora, debido a las características de un tubo de flujo (ver sección 2.4), el Qm en S1
debe ser igual al Qm en S2 por lo tanto,
�1S1v1 = �2S2v2 (2.5)
que es la denominada Ecuación de Continuidad. Si el flujo es incompresible, entonces
�1 = �2 y por lo tanto,
S1v1 = S2v2 (2.6)
La ecuación de continuidad (2.6) establece que,
Donde el área de la sección transversal de un tubo de flujo (o sim-
plemente de un tubo) es grande, la velocidad es baja; y que donde el
área es pequeña, la velocidad es alta.
Por último, al igual que fue definido flujo de masa Qm, es posible definir también flujo
de volumen QV de la siguiente manera,
El Flujo de Volumen QV (también denominado Caudal) se define
como el volumen 4V de fluido que pasa por un punto dado por unidad
de tiempo 4t.
Matemáticamente se escribe como,
QV =
4V
4t =
S4l
4t = Sv (2.7)
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y, por lo tanto, al comparar (2.7) con (2.2),
Qm = �QV (2.8)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.1.: Por una tubería uniforme de 8 cm de diámetro fluye aceite con una ve-
locidad media de 3 m
s
. Calcular el caudal QV si S1 = 40 cm2, S2 = 10 cm2, � = 1:103Kgm3
y QV = 3000 cm
3
s
, expresándolo en a) m
3
s
, b) m
3
h
.
Solución:
Al usar la ecuación (2.7) y siendo D el diámetro de la tubería se puede escribir,
QV
�
m3
s
�
= Sv =
1
4
�D2 (2.9)
ya que,
S =
1
4
�D2 (2.10)
entonces,
QV
�
m3
s
�
=
1
4
� (0; 08 m)2 3
m
s
QV
�
m3
s
�
= 0; 015m
3
s
(2.11)
Por último, al expresar el resultado (2.11) en m
3
h
se obtiene,
QV
�
m3
h
�
= 0; 015
m3
s
3600 s
1 h
QV
�
m3
h
�
= 54m
3
h
(2.12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.2.: Sabiendo que la velocidad del agua en una tubería de diámetro D1 es 2
m
s
, hallar la velocidad que adquiere al circular por una sección de la tubería de la
mitad del diámetro.
Solución:
A partir de la ecuación de continuidad (2.6),
S1v1 = S2v2 (2.13)
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pero como S1 = 14�D
2
1, S2 =
1
4
�D22 y D2 =
1
2
D1entonces,
1
4
�D21v1 =
1
16
�D21v2
v2 = 4v1 (2.14)
de manera que al sustituir v1 = 2ms se obtiene,
v2 = 4:2
m
s
v2 = 8
m
s
(2.15)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.3.: Por una tubería horizontal (de sección S1) de 15 cm de diámetro fluye agua
y tiene un estrechamiento de sección S2 de 5 cm de diámetro. La velocidad del
agua en la tubería es de 50 cm
s
, hallar la velocidad v2 en el estrechamiento.
Solución:
A partir de la ecuación de continuidad (2.6),
S1v1 = S2v2 (2.16)
pero como S1 = 14�D
2
1 y S2 =
1
4
�D22 entonces,
1
4
�D21v1 =
1
4
�D22v2
v2 =
�
D1
D2
�2
v1 (2.17)
de manera que al sustituir v1 = 50 cms se obtiene,
v2 = 450
cm
s
(2.18)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.4.: Por una tubería de 15; 5 cm de diámetro circula agua con una velocidad
media de 5 m
s
. Hallar el caudal o flujo volumétrico.
Solución:
La sección transversal de la tubería es,
S =
1
4
�D2 (2.19)
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y de (2.7) se tiene,
QV = Sv (2.20)
ahora bien, al sustituir (2.19) en (2.20) resulta,
QV =
1
4
�D2v (2.21)
Finalmente, al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
QV =
1
4
�:
�
15; 5:10�2m
�
:5
m
s
QV = 1; 22
m3
s
(2.22)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.5.: La velocidad de la glicerina en una tubería de 24 cm de diámetro es de 7; 5
m
s
. Hallar la velocidad que adquiere en un estrechamiento de 5 cm de diámetro.
Solución:
Si V1, S1 son la velocidad de la glicerina en la tubería y la sección transversal de la
tubería respectivamente; y V2, S2 la velocidad de la glicerina en el estrechamiento y la
sección transversal del estrechamiento respectivamente, entonces de (2.6),
S1v1 = S2v2
V2 =
S1
S2
V1 (2.23)
pero,
S1 =
1
4
�D21 (2.24)
S2 =
1
4
�D22 (2.25)
entonces, al sustituir (2.24) y (2.25) en (2.23),
V2 =
1
4
�D21
1
4
�D22
V1
V2 =
�
D1
D2
�2
V1 (2.26)
de aquí que,
V2 =
�
24 cm
5 cm
�2
:7; 5
m
s
V2 = 172; 8
m
s
(2.27)
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
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Ejemplo 2.6.: La sangre circula desde una porción de arteria gruesa de 0; 35 cm de ra-
dio, donde su velocidad es 8; 6 cm
s
, a otra región en donde el radio se ha reducido
a 0; 15 cm debido a un engrosamiento de las paredes (arteriosclerosis). ¿Cuál es la
velocidad de la sangre en la zona más estrecha?.
Solución:
De la misma forma que en el ejemplo anterior, si V1, S1 son la velocidad de la san-
gre en la arteria gruesa y la sección transversal de la arteria gruesa de diámetro D1
respectivamente; y V2, S2 la velocidad de la sangre en la arteria reducida y la sección
transversal de la arteria reducida de diámetro D2 respectivamente, entonces de (2.6),
S1v1 = S2v2
V2 =
S1
S2
V1 (2.28)
pero,
S1 =
1
4
�D21 (2.29)
S2 =
1
4
�D22 (2.30)
entonces, al sustituir (2.29) y (2.30) en (2.28),
V2 =
1
4
�D21
1
4
�D22
V1
V2 =
�
D1
D2
�2
V1 (2.31)
de aquí que,
V2 =
�
0; 35 cm
0; 15 cm
�2
:8; 6
cm
s
V2 = 46; 82
m
s
(2.32)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.7.: La figura 2.6 muestra la confluencia de dos corrientes que forman un río.
Una corriente tiene una anchura de 10m, una profundidad de 4m y una velocidad
de 3 m
s
. La otra corriente tiene 7 m de anchura, 2 m de profundidad y fluye a razón
de 1 m
s
. La anchura del río es de 12 m y la velocidad de su corriente es de 5 m
s
.
¿Cuál es su profundidad?.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura 2.6: Ejemplo 2.7: Confluencia de dos corrientes que forman un río.
Solución:
Aquí tienen dos flujos Q1 y Q2 que representan las corrientes que confluyen. Tenemos
también un tercero Q3 que representa el flujo de la corriente resultante. Si a1,h1 son el
ancho y la profundidad de la corriente 1 respectivamente; a2,h2 el ancho y la profundi-
dad de la corriente 2 respectivamente y a3,h3 el ancho y la profundidad de la resultante
respectivamente entonces,
S1 = a1h1 (2.33)
S2 = a2h2 (2.34)
S3 = a3h3 (2.35)
y a partir de (2.7) tomando en cuenta (2.33), (2.34) y (2.35),
Q1 = S1v1 = a1h1v1 (2.36)
Q2 = S2v2 = a2h2v2 (2.37)
Q3 = S3v3 = a3h3v3 (2.38)
Ahora, por conservación de la masa, el flujo suministrado por la corriente 1 más el
suministrado por la corriente 2 debe ser igual al flujo de la corriente resultante. Por lo
tanto,
Q1 +Q2 = Q3 (2.39)
y sustituyendo (2.36), (2.37) y (2.38) en (2.39),
a1h1v1 + a2h2v2 = a3h3v3
v3 =
a1h1v1 + a2h2v2
a3h3
(2.40)
Finalmente, al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
h3 =
10 m:4 m:3 m
s
+ 7 m:2 m:1 m
s
12 m:5 m
s
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
h3 = 2; 23m (2.41)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Ecuación de Bernoulli (Teorema de Bernoulli)
Fue formulado en 1738 por el matemático y físico suizo Daniel Bernoulli5, y anterior-
mente por Leonhard Euler.
El Teorema de Bernoulli afirma que la energía total de un sistema de
fluidos con flujo uniforme permanece constante a lo largo de la trayecto-
ria de flujo, trayendo como consecuencia que el aumento de velocidad
del fluido debe verse compensado por una disminución de su presión.
El anterior teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avión o
las hélices de un barco. Las alas están diseñadas para que obliguen al aire a fluir con
mayor velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión
sobre esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presión propor-
ciona la fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo. Una hélice también
es un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de
presión que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que impulsa al barco.
El Teorema de Bernoulli también se emplea en las toberas, donde se acelera el flujo
reduciendo el diámetro del tubo con la consiguiente caída de presión. Asimismo se
aplica en los caudalímetros de orificio, también llamados Tubos de Venturi, que miden
la diferencia de presión entre el fluido a baja velocidad que pasa por un tubo de en-
trada y el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, con lo
que se determina la velocidad de flujo y, por tanto, el caudal.
Para deducir la ecuación de Bernoulli, supóngase que el flujo tiene las siguientes
características:
1. Es laminar.
2. Es incompresible y
3. La viscosidad es lo suficientemente pequeña para ignorarla.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 78
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura 2.7: Derivación de la Ecuación de Bernoulli.
Ya se había dicho antes que estas son las características de los flujos a estudiaren el
presente texto.
De manera general, considérese un tubo de flujo que varía (a lo largo de la longitud
del tubo) en sección transversal así como en altura sobre un nivel de referencia (ver
figura 2.7). Considérese la cantidad de fluido marcada más oscura y calcúlese el tra-
bajo realizado para moverla desde la posición mostrada en (a) a la mostrada en (b).
En este proceso el fluido en 1 fluye una distancia 4l1 y fuerza al fluido en 2 a moverse
una distancia 4l2. El fluido a la izquierda del punto 1 ejerce una presión P1 sobre el
fluido y realiza una cantidad de trabajo dada por,
W1 = F14l1 = P1S14l1 (2.42)
y en el punto 2 el trabajo realizado es,
W2 = �P2S24l2 (2.43)
siendo el signo negativo debido a que la fuerza ejercida sobre el fluido se opone al
movimiento. Así mismo se realiza un trabajo sobre el fluido por medio de la fuerza de
gravedad y, como el efecto neto del proceso mostrado en la figura 2.7 es mover una
masa m de volumen S14l1 (= S24l2) del punto 1 al punto 2, el trabajo hecho por la
gravedad es,
W3 = �mg (z2 � z1) (2.44)
5Ver apéndice G.6 para una biografía resumida.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 79
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
siendo el signo negativo, análogamente al caso anterior, debido a que (como se mues-
tra en la figura 2.7) el movimiento es hacia arriba contra la fuerza de gravedad. En-
tonces, el trabajo total W realizado sobre el fluido vendrá dado por,
W = W1 +W2 +W3
W = P1S14l1 � P2S24l2 �mg (z2 � z1) (2.45)
Ahora, al aplicar el Teorema del Trabajo y la Energía Cinética,
1
2
mv22 �
1
2
mv21 = P1S14l1 � P2S24l2 �mgz2 +mgz1 (2.46)
pudiéndose escribir también como (verificarlo),
P1 +
1
2
�v21 + �gz1 = P2 +
1
2
�v22 + �gz2 (2.47)
que es la expresión matemática del Teorema de Bernoulli y se denomina Ecuación de
Bernoulli. Como los puntos 1 y 2 pueden ser cualesquiera dos puntos a lo largo de un
tubo de flujo, la ecuación de Bernoulli puede escribirse además como,
P + 1
2
�v2 + �gz = ctte (2.48)
en todos los puntos del fluido.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.8.: En el ejemplo 2.3, encontrar la presión P2 en el estrechamiento si la presión
en la tubería es de 1; 2 Kp
cm2
.
Solución:
Al usar la ecuación de Bernoulli (2.47) y por ser
P1 +
1
2
�v21 + �gz1 = P2 +
1
2
�v22 + �gz1 (2.49)
pero como la tubería horizontal
z1 = z2 (2.50)
entonces,
P1 +
1
2
�v21 = P2 +
1
2
�v22 (2.51)
y de aquí que,
P2 = P1 +
1
2
�
�
v21 � v22
�
(2.52)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 80
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Finalmente, al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
P2 = 1; 2
Kp
cm2
+
1
2
103
Kg
m3
��
0; 50
m
s
�2
�
�
4; 50
m
s
�2�
= 1; 2
Kp
cm2
� 1
9; 8
Kp
cm2
P2 = 1; 098 Kpcm2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.9.: Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen
permanente. En un punto en que la presión vale 9:104 Pa la velocidad es de 6
m
s
. Hallar la presión en otro punto de la conducción en el que la velocidad de
circulación es de 14 m
s
.
Solución:
Si v1, P1 son la velocidad del agua y la presión respectivamente en el primer punto;
y v2, P2 son la velocidad del agua y la presión respectivamente en el segundo punto,
entonces de (2.47),
P1 +
1
2
�v21 + �gz1 = P2 +
1
2
�v22 + �gz1 (2.53)
y como la tubería es horizontal,
z1 = z2 (2.54)
entonces,
P1 +
1
2
�v21 = P2 +
1
2
�v22 (2.55)
y de aquí que,
P2 = P1 +
1
2
�
�
v21 � v22
�
(2.56)
Finalmente, al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
P2 = 9:104Pa+
1
2
:1:103
Kg
m3
��
6
m
s
�2
�
�
14
m
s
�2�
= 9:104Pa� 8:104Pa
P2 = 1:104Pa (2.57)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.10.: Una pequeña fuente de jardín arroja un chorro de agua vertical, con
un caudal de 0; 10 L
s
, alcanzando una altura de 0; 50 m. (a) ¿Cuál es la velocidad
inicial del chorro y cuál es el radio del agujero por el que sale el agua?, (b) ¿Qué
presión debe suministrar la bomba de la fuente (suponga que está inmediata-
mente debajo del chorro que sale)? y (c) ¿Cuál es la velocidad del chorro a una
altura de 0; 25 m y cuál es el radio de la columna de agua?. No tenga en cuenta
los efectos de la turbulencia, como es la desintegración del chorro. Densidad del
agua 1:103 Kg
m3
.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Solución:
(a) Para calcular la velocidad voz del chorro en el extremo del tubo se hace uso de la
ecuación de Bernoulli (2.47),
Po +
1
2
�v2oy + �gzo = P +
1
2
�v2y + �gz (2.58)
Si se coloca el origen del sistema de referencia en el extremo del tubo, entonces
zo = 0 y z = h. Además, vz = 0, Po = P por lo tanto,
1
2
v2oz = gh (2.59)
y de aquí que,
voz =
p
2gh (2.60)
de manera que al sustituir los valores correspondientes,
voz =
r
2:9; 8
m
s2
:0; 50m
voz = 3; 1
m
s
(2.61)
Por otro lado, al usar (2.7),
QV = Svoz = �r
2
ovoz (2.62)
de aquí que,
ro =
r
QV
�voz
(2.63)
Finalmente, al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
ro =
s
0; 10:10�3m
3
s
3; 1�m
s
= 0; 0032 m
ro = 0; 32cm (2.64)
(b) La presión suministrada por la bomba será la misma presión (manométrica) que en
la base de una columna de agua en reposo de la misma altura que la del chorro,
por lo tanto al usar la Ley de Stevino de la Hidrostática (1.72),
P � Po = �gh (2.65)
de manera que al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
�P = �gh = 1:103Kg
m3
:9; 8
m
s2
:0; 5m
�P = 4; 9:103Pa (2.66)
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
(c) Para calcular la velocidad vz del chorro a la altura de 0; 25m, se usa nuevamente la
ecuación de Bernoulli (2.58),
1
2
v2oz =
1
2
v2z + gh (2.67)
puesto que zo = 0 y z = h. De aquí,
vz =
p
v2oz � 2gh (2.68)
donde al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
vz =
r�
3; 1
m
s
�2
� 2:9; 8m
s2
:0; 25m
vz = 2; 2
m
s
(2.69)
Por otro lado, el radio del chorro a la altura anterior vendrá dado por la ecuación de
continuidad (2.6),
Sovoz = Svz (2.70)
de donde,
�r2ovoz = �r
2vz (2.71)
debido a que,
So = �r
2
o (2.72)
S = �r2 (2.73)
Entonces de (2.71) se obtiene que,
r =
r
voz
vz
ro (2.74)
Finalmente, al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
r =
s
3; 1m
s
2; 2m
s
0; 32cm
r = 0; 38cm (2.75)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.11.: El agua, cuya densidad es 1:103 Kg
m3
, pasa por un tubo horizontal. El área
de sección transversal en una parte del tubo es de 60 cm2. Cuando el líquido entra
a otra parte del tubo, con 100 cm2 de área transversal, la presión manométrica es
5; 0:103 Pa mayor que en la primera parte. Calcule las velocidades del líquido en
las dos partes del tubo.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Solución:
Si v1, S1 son la velocidad del líquido y la sección transversal del tubo en la parte más
angosta; y v2, S2 son la velocidad del líquido y la sección transversal del tubo en la parte
más ancha, entonces de (2.6),
S1v1 = S2v2
v2 =
S1
S2
v1 (2.76)
De (2.47),
P1 +
1
2
�v21 + �gz1 = P2 +
1
2
�v22 + �gz1 (2.77)
y como el tubo es horizontalz1 = z2 entonces,
P2 � P1 =
1
2
�
�
v21 � v22
�
= �P (2.78)
Ahora, al sustituir (2.76) en (2.78) y despejar v2 se obtiene,
1
2
�
�
v21 �
S21
S22
v21
�
= �P
v1 = S2
s
2�P
� (S22 � S21)
(2.79)
que es muy parecida a la ecuación del Tubo de Venturi que será vista más adelante.
Entonces, al sustituir los valores correspondientes,
v1 = 1; 00:10
�2m
s
2:5; 0:103Pa
1:103Kg
m3
:
�
(1; 00:10�2m)2 � (0; 60:10�2m)2
�
v1 = 4; 0
m
s
(2.80)
y al sustituir este resultado en (2.76) se obtiene que,
v2 =
60 cm2
100 cm2
:4; 0
m
s
v2 = 2; 4
m
s
(2.81)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.12.: El agua (considerada como incompresible) circula a través de una casa,
en un sistema de calefacción por agua caliente. Si se bombea el agua con una
rapidez de 0; 80 m
s
por un tubo de 7; 0 cm de diámetro en el sótano bajo la presión
de 6; 0 atm, ¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en un tubo de 5; 6 cm de
diámetro ubicado en el segundo piso 8; 0 m arriba?.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Solución:
Si se asigna el subíndice 1 a las cantidades medidas en el sótano y con 2 a las medi-
das en el segundo piso, entonces de (2.6),
S1v1 = S2v2
v2 =
S1
S2
v1 (2.82)
pero,
S1 =
1
4
�D21 (2.83)
S2 =
1
4
�D22 (2.84)
de manera que al sustituir (2.83) y (2.84) en (2.82) se obtiene,
v2 =
1
4
�D21
1
4
�D22
v1
v2 =
�
D1
D2
�2
v1 (2.85)
de aquí que al sustituir los valores correspondientes resulta,
v2 =
�
7; 0 cm
5; 6 cm
�2
:0; 80
m
s
v2 = 1; 25
m
s
(2.86)
Por otro lado, a partir de(2.47),
P1 +
1
2
�v21 + �gz1 = P2 +
1
2
�v22 + �gz1
P2 = P1 +
1
2
�
�
v21 � v22
�
+ �g (z1 � z2) (2.87)
De acuerdo a como se ha planteado el problema, la altura h a la cual se encuentra el
punto 2 con respecto al 1 es,
h = z2 � z1 (2.88)
de manera que,
z1 � z2 = �h (2.89)
por lo tanto (2.87) se puede escribir ahora como,
P2 = P1 +
1
2
�
�
v21 � v22
�
� �gh (2.90)
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
de aquí que al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
P2 = 6; 0:1; 013:105Pa+
1
2
:1:103
Kg
m3
��
0; 80
m
s
�2
�
�
1; 25
m
s
�2�
�1:103Kg
m3
:9; 8
m
s2
:8; 0 m
= 6; 08:105Pa� 461; 25 Pa� 78400 Pa
P2 = 5; 3:105Pa (2.91)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Aplicaciones de las ecuaciones fundamentales
La ecuación de Bernoulli y la de continuidad pueden ser aplicadas a una gran
variedad de situaciones, entre ellas están:
2.6.1 Cálculo de la velocidad de un líquido que sale del tapón de un
grifo en la base de un recipiente (Teorema de Torricelli)
Considérese la figura 2.8 en la que v1 es la velocidad con la que sale el líquido
contenido en el recipiente a través del grifo colocado en su base a una profundidad h
con respecto a la superficie del fluido.
Figura 2.8: Teorema de Torricelli.
Suponiendo que el diámetro del recipiente es grande comparado con el del grifo,
se puede suponer v2 ' 0 (velocidad con que la superficie del líquido disminuye en altura
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 86
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
respecto a la base del recipiente); entonces a partir de la ecuación de Bernoulli (2.47)
se obtiene,
v1 =
p
2gh (2.92)
resultado que se conoce como Teorema de Torricelli.
El Teorema de Torricelli relaciona la velocidad de salida de un líquido
a través del orificio de un recipiente, con la altura del líquido situado por
encima de dicho agujero.
Aunque puede observarse que es un caso especial de la ecuación de Bernoulli
(verificarlo), fue descubierto un siglo antes que Bernoulli por Evangelista Torricelli6, de
ahí su nombre.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.13.: Hallar la velocidad teórica de salida de un líquido a través de un orificio
situado 12; 5 m por debajo de la superficie libre del mismo. Suponiendo que la
sección del orificio es de 3 cm2, ¿qué volumen de fluido sale durante un minuto?.
Solución:
A partir de (2.92),
v =
p
2gh (2.93)
de manera que al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
v =
r
2:9; 8
m
s2
:12; 5 m
v = 15; 7
m
s
(2.94)
El volumen de fluido que sale durante un tiempo t viene dado por (2.7),
QV =
V
t
= Sv
V = Svt (2.95)
de aquí que al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
V = 3:10�4m2:15; 7
m
s
:60 s
V = 0; 28m3 (2.96)
6Ver apéndice G.7 para una biografía resumida.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 87
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.14.: Hallar el caudal, expresándolo en L
s
, de un líquido que fluye por un orifi-
cio de 0; 5 cm2 de sección a 5 m por debajo de la superficie libre del mismo.
Solución:
A partir de (2.92),
v =
p
2gh (2.97)
de manera que al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
v =
r
2:9; 8
m
s2
:5 m
v = 9; 9
m
s
(2.98)
Ahora, el caudal QV se obtiene a partir de (2.7),
QV = Sv (2.99)
Finalmente al sustituir el resultado (2.98) y el correspondiente valor de S en (2.99)
resulta,
QV = 0; 5:10
�4m2:9; 9
m
s
QV = 5; 0:10
�4m3
s
(2.100)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.15.: Un gran tanque (ver figura 2.9) de almacenamiento se llena hasta una
altura ho. Si el tanque se perfora a una altura hmedida desde el fondo del tanque,
¿a qué distancia de la pared del tanque cae la corriente?.
Solución:
Al usar (2.92), la rapidez con que sale el fluido por el orificio será,
v =
p
2g (ho � h) (2.101)
La corriente realiza un movimiento análogo a un lanzamiento horizontal de proyectiles.
Al usar las ecuaciones para este tipo de movimiento (ver [2] cap. 4) es posible encontrar
el tiempo de caída tc mediante,
z = zo + voz (t� to)�
1
2
g (t� to)2 (2.102)
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura 2.9: Ejemplo 2.15: Tanque lleno de fluido al cual se le ha hecho una perforación lateral a cierta profundidad.
que, tomando to = 0, voz = 0 (por ser un lanzamiento horizontal) zo = h y que cuando
toca el suelo z = 0 (se ha tomado un sistema de referencia cuyo origen se encuentra al
mismo nivel del fondo del tanque) queda como,
0 = h� 1
2
gt2
resultando que,
t =
s
2h
g
= tc (tiempo que tarda en llegar al suelo) (2.103)
Por otro lado, el alcance horizontal R viene dado por,
R = vxtc (2.104)
donde vx = v dada por (2.97). Por lo tanto, al sustituir (2.97) y (2.99) en (2.100) se obtiene
finalmente,
R =
p
2g (ho � h)
s
2h
g
R = 2
p
h (ho � h) (2.105)
que es la distancia pedida.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.16.: El tanque de la figura 2.9 se llena hasta una altura de 10 m. Si el tanque
se perfora a una altura 3 m medida desde el fondo del tanque y se sabe que el
caudal en el orificio es de 30 L
min
, ¿cuál es la sección del orificio?.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Solución:
Al usar (2.92), la rapidez con que sale el fluido por el orificio será,
v =
p
2g (ho � h) (2.106)
y de (2.7),
QV = Sv
S =
QV
v
(2.107)
Ahora, al sustituir (2.106) en (2.107) se obtiene que,
S =
QVp
2g (ho � h)
(2.108)
y finalmente, al sustituir aquí los valores correspondientes se obtiene,
S =
30:103
60
cm3
sp
2:980m
s2
: (1000 m� 300 m)
S = 0; 427cm2 (2.109)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.17.: Un tanque como el mostrado en la figura 2.9 se le practica un orificio
de 15 cm2 a una profundidad de 4 m con respecto a la superficie del agua que
contiene. Este tanque es utilizado para llenar un pequeño depósito en forma de
paralelepípedo cuyas dimensiones son 4m x 3m x 1m, ¿en cuánto tiempo se llena
el pequeño depósito?.
Solución:
Lo primero que se debe calcular es el caudal en el orificio practicado. Entonces, al
usar (2.92), la rapidez con que sale el fluido por el orificio vendrá dada por,
v =
p
2gh (2.110)
y el volumen del depósito será,
V = 4 m:3 m:1 m = 12 m3 (2.111)
Pero de (2.7),
QV =
V
t
= Sv
t =
V
Sv
(2.112)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 90
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
entonces, al sustituir (2.110) y (2.111) en (2.112) resulta que,
t =
V
S
p
2gh
(2.113)
y finalmente, al sustituir aquí los valores correspondientes se obtiene,
t =
12 m3
15:10�4 m2
p
2:9; 8m
s2
:4 m
t = 903; 5s = 15; 1min (2.114)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.18.: El caudal de un fluido contenido en un gran tanque, como el mostrado
en la figura 2.9, a través de un orificio practicado en la pared es de 0; 1 m
3
s
. Si
la sección transversal del orificio es de 1:10�2m2, calcular a qué profundidad se
encuentra el orificio respecto de la superficie del fluido contenido en el tanque.
Solución:
Al usar (2.92), la profundidad h a la que se encuentra el orificio viene dada por,
v =
p
2gh
h =
v2
2g
(2.115)
Por otro lado, a partir de (2.7), la velocidad de salida del fluido a través del orificio es,
QV = Sv
v =
QV
S
(2.116)
Ahora, al sustituir (2.116) en (2.115),
h =
1
2g
�
QV
S
�2
(2.117)
y finalmente, al sustituir aquí los valores correspondientes se obtiene,
h =
1
2:9; 8m
s2
 
0; 1m
3
s
1:10�2m2
!2
=
1
19; 6
s2
m
:0; 22
m2
s2
h = 5; 1m (2.118)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 91
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
2.6.2 Efecto Venturi
El Efecto Venturi consiste en que la corriente de un fluido dentro de
un conducto cerrado disminuye la presión del fluido al aumentar la ve-
locidad cuando pasa por una zona de sección menor. Si en este punto
del conducto se introduce el extremo de otro conducto, se produce una
aspiración del fluido contenido en este segundo conducto.
El Efecto Venturi7 se explica por el Principio de Bernoulli y el principio de continuidad
de masa estudiados antes. Si el caudal de un fluido es constante pero la sección dis-
minuye, necesariamente la velocidad aumenta. Por el Teorema de Conservación de
la Energía, si la energía cinética aumenta, la energía determinada por el valor de la
presión disminuye forzosamente.
2.6.2.1 Aplicaciones del Efecto Venturi
1. En Aeronáutica: para explicar, en parte, la sustentación producida en alas de aviones.
2. En un motor a gasolina: el carburador aspira el carburante por efecto Venturi, mez-
clándolo con el aire (fluido del conducto principal), al pasar por un estrangulamiento.
3. En los Tubos de Venturi o Venturímetros: usados para medir la velocidad de fluidos en
conducciones y aceleración de fluidos.
También son aplicaciones de este fenómeno la trompa de agua, que es un aparato
utilizado en los laboratorios para hacer el vacío, los pulverizadores y el mechero Bunsen.
2.6.3 Tubo o medidor de Venturi
Un Tubo de Venturi es un dispositivo inicialmente diseñado para medir
la velocidad de un fluido aprovechando el Efecto Venturi. Sin embargo,
algunos se utilizan para acelerar la velocidad de un fluido obligánole a
atravesar un tubo estrecho en forma de cono. Estos modelos se utilizan
en numerosos dispositivos en los que la velocidad de un fluido es impor-
tante.
7Ver apéndice G.8 para una biografía resumida.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 92
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
La aplicación en la medida de velocidad de un fluido consiste en un tubo formando
dos secciones cónicas unidas por un tubo estrecho en el que el fluido se desplaza con-
secuentemente a mayor velocidad (ver figura 2.10). La presión en el Tubo de Venturi
puede medirse por un tubo vertical en forma de U conectando la región ancha y la
canalización estrecha. La diferencia de alturas del líquido en el tubo en U permite
medir la presión en ambos puntos y, consecuentemente, la velocidad.
Para encontrar la expresión matemática que permite calcular la velocidad, supón-
gase que un líquido de densidad � fluye a través de la tubería, cuya sección transversal
tiene un área S1 (sección de entrada) como se muestra en la figura 2.10.
Figura 2.10: El Tubo o Medidor de Venturi.
En la garganta, esta área se reduce a S2 (sección de salida) y allí se fija un tubo
manométrico, tal como se muestra en la figura. Supóngase que el líquido manométrico
(por ejemplo mercurio) tiene una densidad �0, al aplicar la ecuación de Bernoulli (2.47) y
la ecuación de continuidad (2.5) en los puntos 1 y 2, se puede demostrar que la rapidez
del flujo en S1 viene dada por (verificarlo),
v1 = S2
s
2 (�0 � �) gh
� (S21 � S22)
(2.119)
de esta manera si se quiere determinar el caudal, sólo se tiene que usar la ecuación
(2.7).
La ecuación (2.119) también puede ser escrita como (verificarlo),
v1 = S2
r
24P
� (S21 � S22)
(2.120)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 93
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
donde 4P = P1 � P2 es la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2.
Si D1 es el diámetro de la sección de entrada y D2 el de la sección de salida, en-
tonces las ecuaciones (2.119) y (2.120) pueden ser escritas respectivamente como (ver-
ificarlo),
v1 = D
2
2
s
2 (�0 � �) gh
� (D41 �D42)
(2.121)
v1 = D
2
2
r
24P
� (D41 �D42)
(2.122)
Cuando se utiliza un Tubo de Venturi hay que tener en cuenta un
fenómeno que se denomina Cavitación. Este fenómeno ocurre si la pre-
sión en alguna sección del tubo es menor que la presión de vapor del
fluido. Para este tipo particular de tubo, el riesgo de cavitación se en-
cuentra en la garganta del mismo ya que aquí, al ser mínima el área y
mínima la velocidad, la presión es la menor que se puede encontrar en
el tubo. Cuando ocurre la cavitación se generan burbujas localmente
que se trasladan a lo largo del tubo. Si estas burbujas llegan a zonas de
presión elevada pueden colapsar, produciendo picos de presión local
con el riesgo potencial de dañar la pared del tubo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.19: Por un Tubo de Venturi que tiene un diámetro de 40 cm en la sección de
entrada y de 20 cm en la sección más angosta, circula agua. La caída o diferencia
de presiones entre la sección mayor y la de garganta, medida en el aparato, es
de 5:105 N
m2
. Hallar el valor del caudal.Solución:
Al usar (2.122) se determina la rapidez del agua en la sección de entrada,
v1 = D
2
2
s
24P
� (D41 �D42)
(2.123)
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
entonces, si D1 = 40 cm = 40:10�2 m, D2 = 5 cm = 5:10�2 m, � = 1:103Kgm3 y 4P = 5:10
5 N
m2
resulta,
v1 =
�
20:10�2m
�2s 2:5:105 Nm2
1:103Kg
m3
�
(40:10�2m)4 � (20:10�2m)4
�
= 0; 04 m2
vuut 106Kg:ms2m2
1:103Kg
m3
(25; 6:10�3m4 � 1; 6:10�3m4)
= 0; 04 m2
s
106 Kg
m:s2
24 Kg:m
= 0; 04 m2
r
4; 17:104
1
m2:s2
= 0; 04 m2:204; 21
1
m:s
v1 = 8; 2
m
s
(2.124)
y ahora, al usar (2.7),
QV = S1v1 =
�D21
4
v1 (2.125)
entonces, finalmente, al sustituir los valores correspondientes resulta,
QV =
� (40:10�2m)
2
4
:8; 2
m
s
QV = 1; 03
m3
s
(2.126)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.20: Un Tubo de Venturi tiene un diámetro de 30 cm y una garganta de 10 cm
de diámetro. La presión del agua en el tubo es 70 KPa y en la garganta es de 20
KPa. Calcule el caudal a través del tubo.
Solución:
Al usar (2.122) se encuentra que la rapidez del agua en la sección de entrada viene
dada por,
v1 = D
2
2
s
24P
� (D41 �D42)
(2.127)
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
entonces, si D1 = 30 cm = 30:10�2 m, D2 = 10 cm = 10:10�2 m, � = 1:103Kgm3 y 4P = 70
KPa� 20 KPa = 50 KPa = 50:103 Pa resulta,
v1 =
�
10:10�2m
�2s 2:50:103 Nm2
1:103Kg
m3
�
(30:10�2m)4 � (10:10�2m)4
�
= 1:10�2 m2
vuut 100:104Kg:ms2m2
1:103Kg
m3
(8; 1:10�3m4 � 1:10�4m4)
= 1:10�2 m2
s
106 Kg
m:s2
8 Kg:m
= 1:10�2 m2
r
1; 25:105
1
m2:s2
= 1:10�2 m2:353; 6
1
m:s
v1 = 3; 5
m
s
(2.128)
y ahora, al usar (2.7),
QV = S1v1 =
�D21
4
v1 (2.129)
entonces, finalmente, al sustituir los valores correspondientes resulta,
QV =
� (30:10�2m)
2
4
:3; 5
m
s
QV = 0; 25
m3
s
(2.130)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.21: La sección transversal del tubo ilustrado en la figura 2.11 es de 60 cm2 en
las partes anchas y de 30 cm2 en el estrechamiento. El caudal de agua del tubo
es de 4000 cm
3
s
. (a) Hállense las velocidades en las partes ancha y estrecha, (b)
hállese la diferencia de presión entre estas partes y (c) hállese la diferencia de
altura h entre las columnas de mercurio del tubo en U (�Hg = 13; 6:103
Kg
m3
).
Solución: Si el subíndice 1 se refiere a la sección ancha y el 2 a la sección estrecha,
entonces, S1 = 60 cm2, S2 = 30 cm2, � = 1 gcm3 y QV1 = QV2 = 4000
cm3
s
(QV debe ser
constante en todas las secciones transversales del tubo).
(a) Al usar (2.7),
QV1 = S1v1 (sección ancha) (2.131)
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura 2.11: Ejemplo 2.21: Conducto horizontal con estrechamiento y con un tubo en forma de U anexo.
v1 =
QV1
S1
(2.132)
entonces,
v1 =
4000 cm
3
s
60 cm2
v1 = 66; 67
cm
s
(2.133)
y, al usar (2.6),
S1v1 = S2v2 (2.134)
v2 =
S1v1
S2
(2.135)
entonces,
v2 =
60 cm2
30 cm2
:66; 67
cm
s
v2 = 133; 34
cm
s
(2.136)
(b) Al usar (2.120),
v1 = S2
s
24P
� (S21 � S22)
(2.137)
4P = 1
2
�v21
"�
S1
S2
�2
� 1
#
(2.138)
entonces,
4P = 1
2
:1
g
cm3
:
�
66; 67
cm
s
�2 "�60 cm2
30 cm2
�2
� 1
#
4P = 6; 67:103 din
cm2
(2.139)
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
(c) De (2.119) y (2.120),
4P = (��� �) gh (2.140)
h =
4P
(��� �) g (2.141)
entonces,
h =
6; 67:103 din
cm2�
13; 6 g
cm3
� 1 g
cm3
�
:980 cm
s2
=
6; 67:103 g
cm:s2
12348 g
cm2:s2
h = 0; 54cm (2.142)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.22: Considérese un tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verti-
cales (ver figura 2.12). Los radios internos de la sección principal y del estrechamiento
son 40 y 10 cm respectivamente. Cuando circula un caudal de agua de 300 L
s
, el
nivel del agua en los tubos de la izquierda y derecha se encuentra a 5; 00 m por
encima del eje de la tubería. (a) ¿Hasta qué altura subirá el agua por el tubo cen-
tral?, (b) ¿cuál es la presión manométrica en los puntos A y B? y (c) ¿para qué
caudal de agua se succionará aire por el tubo central?.
Figura 2.12: Ejemplo 2.22: Tubo de Venturi con tres tomas de presión estática verticales.
Solución:
Los diámetros vienen dados por,
DA = 2rA = 2:40 cm = 80 cm (2.143)
DB = 2rB = 2:10 cm = 20 cm (2.144)
(a) Al usar (2.6),
QVA = QVB = QVC = SAvA (2.145)
vA =
QVC
�r2A
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
entonces,
vA =
300:103 cm
3
s
� (40 cm)2
vA = 59; 68
cm
s
(2.146)
y ahora, al usar (2.122),
vA = vC = D
2
B
s
24P
� (D4A �D4B)
(2.147)
4P = 1
2
�v2A
"�
SA
SB
�2
� 1
#
4P = 1
2
�v2A
"�
�r2A
�r2B
�2
� 1
#
puesto que SA = �r2A y SB = �r
2
B. De aquí que,
4P = 1
2
�v2A
"�
rA
rB
�4
� 1
#
(2.148)
donde al sustituir los valores correspondientes resulta en,
4P = 1
2
:1
g
cm3
:
�
59; 68
cm
s
�2
:
"�
40 cm
10 cm
�4
� 1
#
4P = 454117; 06 din
cm2
= PA � PB (2.149)
Por otro lado, la presiones manométricas en A y B son,
PA = �H2OgH (2.150)
PB = �H2Ogh (2.151)
por lo tanto,
4P = PA � PB = �H2Og (H � h) (2.152)
h = H � 4P
g�H2O
(2.153)
entonces al sustituir aquí los valores correspondientes se obtiene finalmente que,
h = 500 cm�
454117; 06 din
cm2
980 cm
s2
:1 g
cm3
= 500 cm�
1; 97:105 g
cm:s2
980 cm
s2
:1 g
cm3
h = 36; 6cm (2.154)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 99
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
(b) Las presiones manométricas en A y B vienen dadas a partir de (2.150) y (2.151)
respectivamente,
PA = �H2OgH
PA = 1
g
cm3
:980
cm
s2
:500 cm
PA = 4; 9:105 dincm2 (2.155)
PB = �H2Ogh
PB = 1
g
cm3
:980
cm
s2
:36; 6 cm
PB = 3; 6:104 dincm2 (2.156)
(c) Para que succione aire por el tubo central, la presión en PB tiene que ser nula. Por
lo tanto,
4P = PA � PB = 4; 9:105
din
cm2
(2.157)
y al usar (2.122),
vA = vC = D
2
B
s
24P
� (D4A �D4B)
vA = vC = (20 cm)
2
s
2:4; 9:105 din
cm2
1 g
cm3
�
(80 cm)4 � (20 cm)4
�
= (20 cm)2
s
2:4; 9:105 g
cm:s2
4; 08:107g:cm
vA = vC = 62
cm
s
(2.158)
entonces, a partir de (2.7) el caudal viene dado por,
QVA = QVB = QVC = SAvA (2.159)
QVA = QVB = QVC = �rAvA
= � (40 cm)2 :62
cm
s
QVA = QVB = QVC = 3; 12:10
5 cm3
s
(2.160)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
2.6.4 Tubo de Pitot
El Tubo de Pitot es un aparato que se usa para medir la rapidez del
flujo de un gas de densidad � mediante el uso de un manómetro anexo
(ver figura 2.13).
En el caso del Tubo de Pitot8 mostrado en la figura 2.13, el manómetro es un tubo
en forma de U que contiene un fluido de densidad �0. Considérese a dicho gas, por
ejemplo el aire, fluyendo por las aberturas en a. Estas aberturas son paralelas a la direc-
ción del flujo y están situadas lo suficientemente lejos como para que la velocidad y la
presión fuera de ellas tengan los valores del flujo libre.
Figura 2.13: Sección transversal de un Tubo de Pitot.
La presión en el brazo izquierdo del manómetro,que está conectado a estas aber-
turas, es la presión hidrostática Pa de la corriente de gas. La abertura del brazo derecho
del manómetro es perpendicular a la corriente. La velocidad se reduce a cero en el
punto b y el gas se estanca en ese sitio. La presión en b es la presión total de empuje
Pb: Por consiguiente, al aplicar la ecuación de Bernoulli en los puntos a y b se obtiene
(verificarlo),
v =
r
2�0gh
�
(2.161)
la cual determina la rapidez del gas.
8Ver apéndice G.9 para una biografía resumida.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 101
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.23: Con un Tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de aire
al medir la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en el
tubo en forma de U es mercurio �Hg = 1; 36:104
Kg
m3
y h = 10; 00 cm, encuentre la
velocidad del flujo del aire. Tome �Aire = 1; 25
Kg
m3
.
Solución:
Al usar (2.161),
v =
s
2�0gh
�
(2.162)
entonces, al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
v =
s
2:1; 36:104 Kg
m3
:9; 8m
s2
:10; 00:10�2 m
1; 25Kg
m3
v = 146m
s
(2.163)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.24: Se utiliza un fluido de densidad 820 Kg
m3
como líquido manométrico en un
Tubo de Pitot montado en un avión para medir la velocidad del aire. Si la difer-
encia máxima de altura entre las columnas de líquido es de 0; 8 m, ¿cuál es la
velocidad máxima del aire que se puede medir?. La densidad del aire es 1; 3 Kg
m3
.
Solución:
Al usar (2.161),
v =
s
2�0gh
�
(2.164)
entonces, al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
v =
s
2:820 Kg
m3
:9; 8m
s2
:0; 8 m
1; 3Kg
m3
v = 99; 5m
s
(2.165)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.25: Un Tubo de Pitot está montado sobre un soporte en un túnel de viento,
en el cual circula un gas de densidad 0; 2Kg
m3
. El manómetro diferencial acoplado
al tubo de Pitot indica un desnivel entre sus dos ramas de 0; 05 cm de mercurio
(densidad 13; 6:103Kg
m3
). ¿Cuál es la velocidad del viento?.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 102
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Solución:
Al usar (2.161),
v =
s
2�0gh
�
(2.166)
entonces, al sustituir los valores correspondientes se obtiene,
v =
s
2:13; 6:103Kg
m3
:9; 8m
s2
:0; 05:10�2 m
0; 6Kg
m3
v = 14; 90 cm
s
(2.167)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.26: Con un Tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de un
gas al medir la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en
el tubo en forma de U es mercurio �Hg = 13; 6:103
Kg
m3
, la velocidad del flujo de aire
es de 103 m
s
y h = 5cm, encuentre la densidad del gas.
Solución:
Al usar (2.161),
v =
s
2�0gh
�
(2.168)
entonces,
� =
2�0gh
v2
(2.169)
y finalmente al sustituir los valores correspondientes,
� =
2:13; 6:103Kg
m3
:9; 8m
s2
:0; 05m�
103m
s
�2
� = 1; 26Kg
m3
(2.170)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 2.27: Una avioneta que vuela hacia el norte tiene un Tubo de Pitot para medir
su velocidad. La avioneta tiene un viento en contra de vv = 56 Kmh , 45
o hacia el
Oste del Sur: (a) si la diferencia de niveles en el mercurio es de 3 cm, ¿cuál es la
velocidad aparente de la avioneta?, (b) ¿cuál es la velocidad real sobre el suelo?.
Se sabe que �Hg = 13; 6
Kg
m3
y �Aire = 1; 293:10�3
Kg
m3
.
Solución:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 103
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
(a) A partir de (2.161), la velocidad registrada por el Tubo de Pitot (velocidad aparente
de la avioneta) es,
vapar =
s
2�Hggh
�Aire
(2.171)
de forma que,
vapar =
s
2:13; 6Kg
m3
:9; 8m
s2
:3:10�2m
1; 293:10�3Kg
m3
vapar = 78; 6
m
s
= 283Km
h
(2.172)
(b) Por ser el viento en contra, el Tubo de Pitot registra mayor velocidad de la que real-
mente lleva el avion respecto del suelo. Llámese vapar (como antes) a la velocidad
Figura 2.14: Ejemplo 2.28: Diagrama de velocidades relativas para un avión que se desplaza hacia el Norte en presencia de un
viento en contra hacia el Oste del Sur.
aparente (la que mide el indicador), vvz a la componente de la velocidad del viento
que va hacia el Sur y va a la velocidad del avión. Entonces, de la figura 2.14, es
posible escribir,
va = vapar � vvz
va = vapar � vv Cos 45o (2.173)
de aquí que,
va = 283
Km
h
� 56Km
h
Cos 45o
va = 243; 4
Km
h
(2.174)
Como se puede observar, el avión viaja hacia el Norte a menos velocidad de la que
registra el Tubo de Pitot.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 104
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Ejercitación
1. Por una tubería de 10 cm de diámetro circula agua con una velocidad media de 3
m
s
. Hallar el caudal y expresarlo en m
3
s
, en m
3
h
y L
min
. Resp.: 23; 55:10�3 m
3
s
; 84; 78m
3
h
; 1413
L
min
.
2. La velocidad de la glicerina en una tubería de 15 cm de diámetro es de 5 m
s
. Hallar
la velocidad que adquiere en un estrechamiento de 10 cm de diámetro. Resp.: 11; 25
m
s
.
3. Hallar la velocidad teórica de salida de un líquido a través de un orificio situado 8 m
por debajo de la superficie libre del mismo. Suponiendo que la sección dcl orificio
vale 6 cm2, ¿ qué volumen de fluido sale durante un minuto?. Resp.:12; 5 m
s
; 0; 45 m3.
4. Por un canal de 1; 0 m de profundidad y 0; 5 m de ancho, pasa agua a un flujo de 2
toneladas métricas por segundo. En determinado punto, el canal se ensancha a 0; 8
m. ¿Qué velocidad tiene el agua en el canal más ancho?. Resp.: 2; 5 m
s
.
5. Se usa una bomba de diafragma para sacar agua de dentro de un barco. El
diámetro de la manguera de la bomba es 3; 0 cm y el agua es impulsada por la
manguera hacia arriba, y sale por una escotilla a 5; 0 m sobre el nivel del agua, a
una velocidad de 4; 0 m
s
. Calcule la potencia de bombeo. Resp.: 1; 6:102 W .
6. Por la cabina de un barco pasan rachas de viento a 60 mi
h
. En la cabina el aire está
en reposo, y su presión es de 1 atm. ¿Cuáles son la presión fuera de la cabina, y
la presión neta sobre las paredes por las que pasa el viento?. Resp.: �4; 7:102 Pa;
manométricas �p =.4; 7:102 Pa.
7. Una pequeña fuente de jardín arroja un chorro de agua vertical, con un flujo de 0; 10
L
s
, alcanzando una altura de 0; 50 m. (a) ¿Cuál es la velocidad inicial del chorro, y
cuál es el radio del agujero por el que sale el agua? (b) ¿Qué presión debe sumin-
istrar la bomba de la fuente (suponga que está inmediatamente abajo del chorro
que sale)? (c) ¿Cuál es la velocidad del chorro a una altura de 0; 25 m, y cuál es
el radio de la columna de agua?. No tenga en cuenta los efectos de la turbulen-
cia, como es la desintegración del chorro. Resp.: (a) 3; 1m
s
; 0; 32 cm; (b) 4:9:103 Pa,
rnanométricos; (c) 2; 2 m
s
; 0; 38 cm.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016.Pág.: 105
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
8. Un líquido, cuya densidad es 1; 4:103 Kg
m3
, pasa por un tubo horizontal. El área de
sección transversal, en una parte del tubo, es de 75 cm2. Cuando el líquido entra
a otra parte del tubo, con 150 cm2 de área transversal, la presión manométrica es
2; 0:104 Pa mayor que en la primera parte. Calcule las velocidades del líquido en las
dos partes del tubo. Resp.: v1 = 6; 2 ms , v2 = 3; 1
m
s
, ambas a lo largo del tubo.
9. Un tanque abierto de agua está sobre una superficie plana. La superficie del agua
en el tanque está a una altura h sobre la superficie. Se abre un pequeño agujero a
una profundidad z por debajo de la superficie de agua. (a) Demuestre que el chorro
de agua llegará a la superficie plana a una distanciaD de la orilla del tanque, siendo
D =
p
4z(h� z)
(b) Demuestreque el agujero se debe colocar a una profundidad
z =
h
2
para que el chorro llegue a una distancia horizontal máxima.
10. Hallar el caudal, expresándolo en L=s, de un líquido que fluye por un orificio de 1
cm2 de sección a 2; 5 m por debajo de la superficie libre del mismo. Resp.: 0; 7 L
s
.
11. Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen perma-
nente. En un punto en que la presión vale 0; 46 Kp
cm2
la velocidad es de 2 m
s
. Hallar la
presión en otro punto de la conducción en el que la velocidad de circulación es de
4 m
s
. Resp.: 0; 4 Kp=cm2.
12. Verificar la ecuación del Tubo de Venturi,
v1 = S2
s
24P
� (S21 � S22)
Ayuda: Suponer un tubo horizontal al utilizar la ecuación de Bernoulli,
P1 +
1
2
�v21 + �gz1 = P2 +
1
2
�v22 + �gz2
y luego usar la ecuación de continuidad para un fluido incompresible,
S1v1 = S2v2
13. Por un tubo de Venturi que tiene un diámetro de 20 cm en la sección de entrada y
de 10 cm en la sección más angosta, circula gasolina dc densidad relativa 0; 82. La
caída o diferencia de presiones entre la sección mayor y la de garganta, medida en
el aparato, es de 0; 3 Kp
cm2
. Hallar el valor del caudal. Resp.: 4; 11 m
3
min
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 106
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
14. El agua (considerada como incompresible) circula a través de una casa, en un
sistema de calefacción por agua caliente. Si se bombea el agua con una rapidez
de 0; 50 m
s
por un tubo de 4; 0 cm de diámetro en el sótano bajo la presión de 3; 0 atm,
¿cuál será la rapidez de flujo y la presión en un tubo de 2; 6 cm de diámetro ubicado
en el segundo piso 5; 0 m arriba?. Ayuda: usar la ecuación de continuidad para un
fluido incompresible,
S1v1 = S2v2
y la ecuación de Bernoulli,
P1 +
1
2
�v21 + �gz1 = P2 +
1
2
�v22 + �gz2
Resp.: 1; 2m
s
; 2; 5:105Pa.
15. Un fluido A fluye tres veces más rápido que el fluido B a través del mismo tubo
horizontal. ¿Cuál tiene más densidad y cuántas veces más?. Resp.: �B = 3�A.
16. En un proceso de enfriamiento industrial, el agua circula a través de un sistema. Si
el agua se bombea desde el primer piso a través de un tubo de 6; 0cm de diámetro
con una rapidez de 0; 45 m
s
bajo una presión de 400 torr ¿cuál será la presión en el
piso siguiente 4; 0 m arriba en un tubo con un diámetro de 2; 0 cm?. Resp.: 5; 7:103 Pa.
17. El agua fluye a través de un tubo horizontal de 7; 0 cm de diámetro bajo una presión
de 6; 0 Pa con un flujo volumétrico de 25 L
min
. En un punto los depósitos de calcio
reducen el área transversal del tubo a 30 cm2. ¿Cuál es la presión en este punto?
(suponga que el agua es un fluido ideal). Resp.: 2; 2 Pa.
18. El flujo volumétrico de agua a través de una manguera de jardín es de 66 cm
3
s
, la
manguera y la boquilla tienen una sección transversal de 6; 0 cm2 y 1; 0 cm2, respecti-
vamente. (a) Si la boquilla está a 10 cm arriba del grifo, ¿cuál es la rapidez de flujo a
través del grifo y la boquilla? (b) ¿cuál es la diferencia de presión entre estos puntos?
(suponga que el agua es un fluido ideal).
19. Una manguera de 2; 0 cm de diámetro es utilizada para llenar con agua una cubeta
de 20; 0 L. Si se tarda 1; 00 min para lenar la ubeta, ¿cuál es la velocidad a la cual el
agua sale de la mangera? (1L = 1000cm3). Resp.: 106 cm
s
.
20. Con un tubo de Pitot se puede determinar la velocidad del flujo de aire al medir la
diferencia entre la presión total y la presión estática. Si el fluido en el tubo en forma
de U es mercurio (�Hg = 1; 36:104
Kg
m3
) y h = 5; 00 cm, encuentre la velocidad del flujo
del aire. Tome �Aire = 1; 25
Kg
m3
. Resp.: 103 m
s
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 107
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
21. Un tubo horizontal de 10; 0 cm de diámetro tiene una reducción uniforme que lo
conecta a un tubo de 5; 0 cm de diámetro. Si a presión del agua en el tubo más
grande es de 8; 0:104 Pa y la presión en el tubo más pequeño es de 6; 0:104 Pa, ¿qué
valor tiene el flujo volumétrico en los tubos?. Resp.: 0; 0128 m
3
s
.
22. Deduzca la ecuación del Teorema de Torricelli,
v1 =
p
2gh
23. Deduzca la ecuación del Tubo de Venturi,
v1 = S2
s
2 (�0 � �) gh
� (S21 � S22)
24. Deduzca la ecuación del Tubo de Pitot,
v =
s
2�0gh
�
25. En la figura 2.15 tome en cuenta la rapidez de la superficie del fluido en el tanque
y muestre que la rapidez del fluido que sale por el agujero de la base es (S1 y S2 son
las secciones transversales del orificio y del tanque respectivamente),
v1 = S2
s
2gh
S22 � S21
Muestre, además, que si S2 � S1 entonces,
Figura 2.15: Problema 25: Cálculo de la velocidad del fluido que sale por un orificio lateral de un depósito, tomando en cuenta la
velocidad de la superficie del fluido.
v1 =
p
2gh
que es el resultado del Teorema de Torricelli.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 108
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
26. Del gran depósito de agua mostrado en la figura 2.16, cuyo nivel se mantiene con-
stante fluye agua que circula por los conductos de la figura hasta salir por la aber-
tura D, que está abierta al aire. La diferencia de presión entre los puntos A y B es
PB � PA = 500 Pa. Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos de la con-
ducción son SA = SC = 10 cm2 y SB = 20 cm2, calcular las velocidades y las presiones
del agua en los puntos A, B, C, de la conducción. La presión en C es la atmosférica,
igual a 105 Pa. Resp.: vA = vC = 2
p
3
3
m
s
, vB =
p
3
3
m
s
, PA = PC = 105 Pa, PB = 100500 Pa.
Figura 2.16: Problema 26.: Depósito de agua unido a un conducto horizontal con diferentes secciones transversales.
27. Para saber la velocidad del agua en una tubería empalmamos en ella un tubo en
forma de T de menor sección (ver fig. 2.17), colocamos tubos manométricos A y B,
como indica la figura y medimos la diferencia de altura (5 cm) entre los niveles supe-
riores del líquido en tales tubos. (a) Sabiendo que la sección del tubo estrecho es 10
veces menor que la tubería, calcular la velocidad del líquido en ésta, (b) Calcúlese
el flujo de volumen QV , si el área de la sección mayor es 40 cm2. Resp.: (a) 99; 5 ms , (b)
0; 4 L
s
.
Figura 2.17: Problema 27: Cálculo de la velocidad del agua en una tubería empalmada a un tubo en forma de T de menor sección
con tubos manométricos anexos.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 109
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
28. El QV en una tubería por la que circula agua (ver fig. 2.18) es 208 Ls . En la tubería
hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como líquido manométrico. Si las
secciones de las tuberías son 800 y 400 cm2, calcular el desnivel h que se produce en
el mercurio. Densidad del mercurio 13; 6 g
cm3
. Resp.:h = 8; 2 cm.
Figura 2.18: Problema 28: Tubería en la que hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como líquido manométrico.
29. La sangre circula por una arteria aorta de 1 cm de radio a 30 cm
s
. ¿Cuál es el flujo de
volumen?. Resp.: 5; 65 L
min
.
30.La sangre circula desde una porción de arteria gruesa de 0; 3 cm de radio, donde
su velocidad es 10 cm
s
, a otra región en donde el radio se ha reducido a 0; 2 cm,
debido a un engrosamiento de las paredes (arteriosclerosis).¿Cuál es la velocidad
de la sangre en la zona más estrecha?. Resp.: 22; 5 cm
s
.
31. En la pared de un recipiente con agua se practican dos agujeros uno sobre el
otro, de área 0; 2 cm2. La distancia entre los agujeros es 50 cm. En el recipiente se
introducen cada segundo 140 cm de agua de manera que el nivel de la misma per-
manece constante. Encontrar el punto de intersección de los dos chorros de agua
que salen del orificio. Resp.: x = 2; 089 m y z = 3; 200 m. con respecto a un sistema de
coordenadas cartesianas cuyo origen se sitúa en la superficie del fluido.
32. Un tubo de 34; 5 cm de diámetro conduce agua que circula a razón de 2; 62 m
s
.
¿Cuánto tiempo le tomará descargar 1600 m3 de agua?. Resp.: 1 h 49 min.
33. Una manguera de jardín que tiene un diámetro interno de 0; 75 pulg está conectada
a un aspersor que consta simplemente de un accesorio con 24 orificios, cada uno
de 0; 050 pulg de diámetro. Si el agua de la manguera tiene una velocidad de 3; 5
pies
s
, ¿a qué velocidad sale por los orificios del aspersor?. Resp.: 32; 81 pies
s
.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 110
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
34. La figura 2.19 muestra la confluencia de dos corrientes que forman un río. Una
corriente tiene una anchura de 8; 2 m, una profundidad de 3; 4 m, y una velocidad
de 2; 3 m
s
. La otra corriente tiene 6; 8 m de anchura, 3; 2 m de profundidad, y fluye a
razón de 2; 6 m
s
. La anchura del río es de 10; 7 m y la velocidad de su corriente es de
2; 9 m
s
. ¿Cuál es su profundidad?. Resp.: 3; 9 m.
Figura 2.19: Problema 34: Cálculo de la profundidad en la confluencia de dos corrientes que forman un río.
35. Se bombea continuamente agua que se extrae de un sótano inundado con una
velocidad de 5; 30 m
s
por medio de una manguera uniforme de 9; 70 mm de radio. La
manguera pasa por una ventana situada a 2; 90 m sobre el nivel del agua. ¿Cuánta
potencia proporciona la bomba?. Resp.: 44; 52W .
36. Un río de 21 m de anchura y 4; 3 m de profundidad irriga una superficie de 8500 Km2
donde la precipitación (pluvial) promedio es de 48 cm
3
a~no
. Una cuarta parte de ésta re-
gresa posteriormente a la atmósfera por evaporación, pero el resto corre finalmente
por el río. ¿Cuál es la velocidad promedio de la corriente del río?. Resp.: 1; 1 m
s
.
37. ¿Cuánto trabajo efectúa la presión al bombear 1; 4m3 de agua por un tubo de 13
mm de diámetro interno si la diferencia de presión entre los extremos del tubo es de
1; 2 atm?. Resp.: 1; 7:105 J .
38. La toma de agua de una presa (véase la figura 2.20) tiene un área de sección
transversal de 7; 60 pies2. El agua fluye en ella a una velocidad de 1; 33 pies
s
. En la
planta Hidroeléctrica que está situada a 572 pies abajo del punto de toma, el agua
fluye a razón de 31 pies
s
. (a) Halle la diferencia de presión, en lbf
pulg2
, entre la toma y la
descarga. (b) Halle el área del tubo de descarga. La densidad promedio del agua
es de 62; 4 lb
pies3
. Resp.: (a) 241; 37 lbf
pulg2
; (b) 0; 32 pies2.
39. Por una tubería con un área de la sección transversal de 4; 20 cm2 circula el agua
a una velocidad de 5; 18 m
s
. El agua desciende gradualmente 9; 66 m mientras que
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 111
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura 2.20: Problema 38: Cálculos de presión y área en una toma de agua de una presa.
el área del tubo aumenta en 7; 60 cm2. (a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivel
inferior? (b) La presión en el nivel superior es de 152 KPa; halle la presión en el nivel
inferior. Resp.: (a) 2; 86 m
s
; (b) 256 KPa.
40. Durante un huracán está soplando aire (densidad = 1; 2 Kg
m3
) sobre el tejado de una
casa a una velocidad de 110 Km
h
. (a) ¿Cuál es la diferencia de presión entre el interior
y el exterior que tiende a levantar el tejado? (b) ¿Cuál sería la fuerza ascensional en
un tejado de 93 m2 de área?. Resp.: (a) 560 Pa; (b) 52097 N .
41. Un líquido fluye por una tubería horizontal cuyo radio interior es de 2; 52 cm. La tu-
bería se dobla hacia arriba hasta una altura de 11; 5 m donde se ensancha y se
une con otra tubería horizontal de 6; 14 cm de radio interior. ¿Cuál debe ser el flujo
volumétrico si la presión en las dos tuberías horizontales es la misma?. Resp.: 23; 2 m
s
.
42. Un tanque está lleno de agua hasta una altura H. En una de sus paredes se taladra
un orificio a una profundidad h bajo la superficie del agua (véase figura 2.21). (a) De-
muestre que la distancia x desde la base de la pared hasta donde cae la corriente
al suelo está dada por,
x = 2
p
h(H � h)
(b) Podría taladrarse un orificio a otra profundidad de modo que esta segunda corri-
ente tuviese el mismo alcance? De ser así, a qué profundidad? (c) ¿A qué profundi-
dad debería estar el orificio para hacer que la corriente de salida caiga al suelo a la
distancia máxima a partir de la base del tanque? ¿Cuál es esta distancia máxima?.
Resp.: (b) sí, a una profundidad H � h; (c) h = H
2
.
43. Un francotirador dispara una bala de rifle contra un tanque de gasolina, haciéndole
un orificio a 53; 0 m bajo la superficie de la gasolina. El tanque se ha sellado y se ha
sometido a una presión absoluta de 3; 10 atm, como se muestra en la figura 2.22. La
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 112
CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura 2.21: Problema 42: Cálculo de la distancia horizontal a la que cae un fluido que sale por un orificio lateral de un depósito.
gasolina almacenada tiene una densidad de 660 Kg
m3
. ¿A qué velocidad comienza la
gasolina a salir disparada por el orificio?. Resp.: 36; 3 m
s
.
Figura 2.22: Problema 43: Tanque sellado y sometido a cierta presión absoluta que contiene gasolina, al cual se le ha efectuado
un disparo.
44. Si una persona sopla aire a una velocidad de 15; 0 m
s
en la parte superior de un lado
de un tubo en U que contiene agua (ver figura 2.23), ¿cuál será la diferencia entre
los niveles del agua en los dos lados? Suponga que la densidad del aire sea de 1; 20
Kg
m3
. Resp.: 0; 0137 m.
45. El agua dulce embalsada tras la cortina de una presa tiene una profundidad de
15; 2 m. Un tubo horizontal de 4; 30 cm de diámetro pasa a través de la cortina a 6; 15
m bajo la superficie del agua, como se muestra en la figura 2.24. En la salida del tubo
se ha colocado un tapón. (a) Halle la fuerza de fricción entre el tapón y las paredes
del tubo. (b) Se retira el tapón. ¿Qué volumen de agua sale por el tubo en 3; 00 h?.
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CAPITULO 2. HIDRODINAMICA
Figura 2.23: Problema 44: Tubo en forma de U que contiene un fluido, al cual se le sopla aire sobre uno de sus extremos.
Resp.: (a) 234 N ; (b) 172 m3.
Figura 2.24: Problema 45: Presa con un tapón.
46. Un sifón es un aparato para extraer líquido de un recipiente sin inclinarlo. Funciona
corno se muestra en la figura 2.25. El tubo debe estar lleno inicialmente, pero una vez
se ha hecho esto, el líquido fluirá hasta que el nivel descienda por debajo de la aber-
tura del tubo en A. El líquido tiene una densidad � y una viscosidad despreciable.
(a) ¿A qué velocidad sale el líquido del tubo en C? (b) ¿Cuál es la presión del líquido
en el punto más elevado B? (c) ¿Cuál es la mayor altura h posible a la que el sifón
puede elevar el agua?. Resp.: (a) vC =
p
2g (d+ h2); (b) PB = Po � �H2Og (h1 + d+ h2);
(c) x = 10; 33 m.
47. Una jarra contiene 15 vasos de jugo de naranja. Cuando se abre la espita9 del
fondo transcurren 12; 0 s para llenar de jugo un vaso. Si dejamos la espita abierta (ver
9Tubo de longitud y grosor no muy grandes