HIDROSTATICA

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HIDROSTATICA
Contenido
1.1 Densidad absoluta, densidad relativa y peso especí�co . . . . . . . . .
1.1.1 Densidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Peso especí�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Acciones mecánicas sobre los �uidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Fuerzas de super�cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Fuerzas de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 La presión y sus unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 La presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Manómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Rango de presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Ecuaciones fundamentales de la Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Presión Vs orientación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Variación de la presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Con la profundidad (medida de la presión ejercida por un �uido en reposo)
1.8.2 Con la altura (medida de la presión atmosférica) . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.10.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Prensa Hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.2 Equilibrio de los cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.3 Equilibrio de los cuerpos �otantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Ejercitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Antes de definir lo que es la Hidrostática, es necesario definir lo que es un Fluido:
Se denomina Fluido a toda aquella sustancia que cede inmediata-
mente a cualquier fuerza tendiente a alterar su forma, con lo que fluye
y se adapta a la forma del recipiente. Los fluidos pueden ser líquidos o
gases.
Las partículas que componen un líquido no están rígidamente adheridas entre sí,
pero están más unidas que las de un gas. El volumen de un líquido contenido en
un recipiente hermético permanece constante y el líquido tiene una superficie límite
definida. En contraste, un gas no tiene límite natural, se expande y difunde en el aire
disminuyendo su densidad. A veces resulta difícil distinguir entre sólidos y fluidos debido
a que los sólidos pueden fluir muy lentamente cuando están sometidos a presión como,
por ejemplo, ocurre en los glaciares.
Se denomina Hidrostática a la parte de la Mecánica de Fluidos que
estudia el equilibrio de los mismos.
En el presente estudio, la estructura molecular exacta de un fluido no desempeña
un papel directo, así se podrá considerar que los fluidos son medios continuos. Una
masa dada de fluido tiene un volumen definido. Como el fluido es completamente de-
formable, toma la forma de su recipiente. Este ejerce una fuerza sobre él que debe ser
normal a la superficie, porque cualquier componente tangencial ejercería una fuerza
cortante sobre el fluido y éste respondería deformándose hasta desaparecer la fuerza
de corte.
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1.1 Densidad absoluta, densidad relativa y peso específico
Si se desea estudiar el comportamiento de un fluido bajo ciertas condiciones o la
de un sólido inmerso total o parcialmente en un determinado fluido, existen magnitudes
físicas que atañen por igual a los sólidos y a los líquidos que, además, son propias de
cada sustancia en particular. Estas cantidades son:
1.1.1 Densidad absoluta
La Densidad Absoluta (o simplemente Densidad) � se define como
la razón entre la masa de una sustancia y su volumen.
Matemáticamente se escribe,
� = m
V
(1.1)
donde m es la masa de una cantidad de sustancia cuyo volumen es V .
A diferencia de la masa o el volumen, que dependen de cada objeto, su cociente
depende solamente del tipo de material de que está constituido y no de la forma ni
del tamaño de aquél. Se dice por ello que la densidad es una propiedad o atributo
característico de cada sustancia. En los sólidos la densidad es aproximadamente con-
stante, pero en los líquidos, y particularmente en los gases, varía con las condiciones
de medida. Así en el caso de los líquidos se suele especificar la temperatura a la que se
refiere el valor dado para la densidad y en el caso de los gases se ha de indicar, junto
con dicho valor, la presión (de la cual se hablará más adelante).
La unidad de medida en el S.I. de Unidades es Kg
m3
. También se utiliza frecuentemente
la unidad g
cm3
.
En la tabla 1.1 se muestran las densidades de algunos sólidos y líquidos a 20oC (Tomadas
de [1] págs. 29 - 30)1.
1En [2] pág. 385 y en [3] pág. 252, podemos encontrar también tablas con las densidades de ciertos
materiales.
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Sustancia Densidad ( g
cm3
) Sustancia Densidad ( g
cm3
)
Acero 7; 7� 7; 9 Oro 19; 31
Aluminio 2; 7 Plata 10; 5
Cinc 7; 15 Platino 31; 46
Cobre 8; 93 Plomo 11; 35
Cromo 7; 15 Silicio 2; 3
Estaño 7; 29 Sodio 0; 975
Hierro 7; 88 Titanio 4; 5
Magnesio 1; 76 Vanadio 6; 02
Níquel 8; 9 Wolframio 19; 34
Sustancia Densidad ( g
cm3
) Sustancia Densidad ( g
cm3
)
Aceite 0; 8� 0; 9 Bromo 3; 12
Acido sulfúrico 1; 83 Gasolina 0; 68� 0; 72
Agua 1; 0 Glicerina 1; 26
Agua de mar 1; 01� 1; 03 Mercurio 13; 55
Alcohol etílico 0; 79 Tolueno 0; 866
Tabla 1.1: Densidad de algunos sólidos y líquidos a 20oC.
1.1.2 Densidad relativa
La Densidad Relativa (o Gravedad Específica) �R de una sustancia es
la relación o cociente entre la densidad de la misma y la correspondiente
a otra sustancia que se toma como patrón. En los sólidos y líquidos la
densidad relativa se suele referir al agua a 40C. Será abreviada �R y es un
número sin dimensiones.
Matemáticamente,
�R =
�
�H20(4
0C)
(1.2)
Como la densidad del agua a 40C es 1; 00 g
cm3
= 1; 00:103Kg
m3
, la densidad relativa de
cualquier sustancia será prácticamente igual, numéricamente, a su densidad especifi-
cada en g
cm3
o 10�3 veces su densidad especificada en Kg
m3
.
La determinación de densidades de líquidos tiene importancia no sólo en la Física,
sino también en el mundo del comercio y de la industria. Por el hecho de ser la
densidad una propiedad característica, su valor puede emplearse para efectuar una
primera comprobación del grado de pureza de una sustancia líquida.
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1.1.3 Peso específico
Se denomina Peso Específico 
 de una sustancia al producto de su
densidad por la aceleración de la gravedad y representa la fuerza con
que la Tierra atrae a un volumen unidad de la misma sustancia consider-
ada.
Matemáticamente se puede escribir como,

 = w
V
(1.3)
donde w es el peso de la sustancia. También, al utilizar (1.1) y tener presente que w = mg,
es posible escribir,

 = �g (1.4)
Como se puede notar de (1.3), el peso específico de una sustancia depende de la
intensidad g del campo gravitacional en el cual dicha sustancia se encuentre inmersa.
Es fácil notar que lo mismo no ocurre con su densidad ¿por qué?.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.1: Hallar la densidad y la densidad relativa de la gasolina sabiendo que 51g
de ésta ocupan un volumen de 75 cm3.
Solución: al usar (1.1),
� =
m
V
=
51 g
75 cm3
� = 0; 68 g
cm3
(1.5)
y al usar (1.2),
�R =
�
�H20 (4
0C)
=
0; 68 g
cm31; 00 g
cm3
�R = 0; 68 (1.6)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.2: Hallar el volumen que ocupan 300 g de mercurio sabiendo que su densi-
dad es de 13; 6 g
cm3
.
HIDROSTATICA
Solución: al usar (1.1),
V =
m
�
=
300 g
13; 6 g
cm3
(1.7)
V = 22; 1cm3 (1.8)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.3: Calcular la densidad, el peso específico y la densidad relativa del alu-
minio, sabiendo que 3 m3 pesan 8100 Kp.
Solución:
La masa se obtiene a partir de,
m =
w
g
=
8100:9; 8 N
9; 8 m
s2
= 8100 Kg (1.9)
Ahora, al usar (1.1), (1.3) y (1.2) se obtiene,
� =
m
V
=
8100 Kg
3 m3
� = 2700Kg
m3
(1.10)

 =
w
V
=
8100 Kp
3 m3

 = 2700Kp
m3
(1.11)
�R =
�
�H20 (4
0C)
=
2700 Kg
m3
1; 00:103 Kg
m3
�R = 2; 7 (1.12)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.4: Una estrella de neutrones es mucho menor que el Sol y tiene la densidad
de un núcleo atómico. Una estrella de neutrones característica tiene un radio de
10 Km y una masa de 2:1030 Kg, la masa del Sol. ¿Cuánto pesaría un volumen de 1
cm3 de esa estrella, bajo la influencia de la gravedad en la superficie de la Tierra?.
Solución:
Primero se calcula la densidad �est de la estrella. A partir de (1.1),
�est =
mest
Vest
(1.13)
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y si se supone que la estrella es esférica de radio rest, entonces su volumen Vest viene
dado por,
Vest =
4
3
�r3est (1.14)
ahora, al sustituir (1.14) en (1.13) se obtiene,
�est =
3
4
mest
�r3est
=
3
4
2:1030Kg
3; 14: (10:103m)3
= 0; 5:1018
Kg
m3
o en g
cm3
,
�est = 0; 5:10
12 g
cm3
(1.15)
entonces la masa de 1 cm3 de esa estrella, a partir de (1.1), vendrá dada por,
m = �estV = 0; 5:10
12 g
cm3
:1cm3
m = 0; 5:1012g (1.16)
y, por lo tanto, el peso w de 1 cm3 de esa estrella es,
w = mg = 0; 5:1012g:980
cm
s2
= 4; 90:1014dinas
o en Kp,
w = 5; 00:108Kp (1.17)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.5: Determinar la masa y el peso del aire en una habitación, cuya área del
suelo es de 20 m2 y altura es de 3; 0 m. Densidad del aire 1; 29 Kg
m3
.
Solución:
El volumen V de la habitación es,
V = 20 m2:3; 0 m
V = 60 m3 (1.18)
por lo tanto, al usar (1.1) resulta,
m = �V = 1; 29
Kg
m3
:60 m3
m = 77; 4Kg (1.19)
de esta manera el peso w será,
w = mg = 77; 4 Kg:9; 8
m
s2
w = 7; 6:102N (1.20)
HIDROSTATICA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.6: El oro puede aplastarse hasta obtener un grosor de 0; 10 �m. ¿Qué super-
ficie puede recubrirse con una hoja de oro si su masa es de 2; 0 g?. Densidad del
oro 1; 93:104 Kg
m3
.
Solución:
Si S y d son la superficie y el grosor de la hoja de oro respectivamente, entonces su
volumen V vendrá dado por,
V = Sd (1.21)
que al sustituirlo en (1.1) resulta en,
� =
m
Sd
) S = m
�d
(1.22)
de manera que,
S =
2; 0:10�3Kg
1; 93:104Kg
m3
:0; 10
S = 1; 04m2 (1.23)
donde se ha tenido presente que 1 �m = 10�6m.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.7: Una pieza de hierro fundido con volumen exterior de 3; 1 dm3 posee la
masa de 21 Kg. ¿Existen en ella oquedades?. Si existen, ¿qué volumen ocupan?.
Densidad del hierro fundido 7; 4:103Kg
m3
.
Solución:
Lo primero que se tiene que hacer es calcular la densidad de la pieza de hierro a
ver si corresponde con la densidad conocida del mismo. Al usar (1.1) con V = Vext
(volumen exterior de la pieza) resulta,
� =
m
Vext
=
21Kg
3; 1:10�3m3
� = 6; 8:103
Kg
m3
(1.24)
que, como no son iguales, significa que la pieza posee oquedades.
Ahora, siendo V el volumen real del hierro que constituye la pieza y Voq el volumen
de las oquedades, es posible escribir que,
V = Vext � Voq (1.25)
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de manera que al sustituir en (1.1) se obtiene,
� =
m
V
=
m
Vext � Voq
) Voq = Vext �
m
�
(1.26)
Finalmente, al sustituir aquí las cantidades correspondientes resulta,
Voq = 3; 1:10
�3m3 � 21Kg
7; 4:103Kg
m3
Voq = 2; 6:10
�4m3 (1.27)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.8: Una aleación de oro y plata con densidad de 1; 4:104 Kg
m3
tiene la masa de
0; 40 Kg. Determinar el porcentaje y la masa de oro en la aleación, considerando
que el volumen de la aleación es igual a la suma de los volúmenes de sus partes
integrantes. Se sabe que la densidad del oro es 1; 93:104 Kg
m3
y la de la plata es
1; 05:104 Kg
m3
.
Solución:
Primeramente se designará con m, V y � la masa, el volumen y la densidad de la
aleación; con mAu, VAu y �Au la masa, el volumen y la densidad del oro; y con mAg, VAg y
�Ag la masa, el volumen y la densidad de la plata. Entonces, el porcentaje de oro en la
aleación vendrá dado por mAu
m
:100%. El cociente mAu
m
se denominará f por comodidad.
La masa de la aleación vendrá dada por,
m = mAu +mAg (1.28)
que al dividirla por m resulta,
1 =
mAu
m
+
mAg
m
(1.29)
o también,
1 = f +
mAg
m
) mAg
m
= 1� f (1.30)
Por otro lado, el volumen de la aleación vendrá dado por,
V = VAu + VAg (1.31)
pero por (1.1),
V =
m
�
(1.32)
VAu =
mAu
�Au
(1.33)
VAg =
mAg
�Ag
(1.34)
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Al sustituir estos tres volúmenes en (1.31) se obtiene,
m
�
=
mAu
�Au
+
mAg
�Ag
(1.35)
que al dividir por m queda como,
1
�
=
1
�Au
�mAu
m
�
+
1
�Ag
�mAg
m
�
(1.36)
o también,
1
�
=
1
�Au
f +
1
�Ag
�mAg
m
�
(1.37)
Ahora, al sustituir (1.30) en (1.37) para mAg
m
resulta,
1
�
=
1
�Au
f +
1
�Ag
(1� f) (1.38)
de donde,
f =
�Au
�
�
�� �Ag
�Au � �Ag
�
(1.39)
de manera que, al sustituir los valores correspondientes a las densidades se obtiene,
f = 0; 548 (1.40)
es decir, la aleación contiene un 54; 8 % de oro.
Por último, la masa de oro se encuentra a partir de la definición que le fue dada a
f , es decir,
f =
mAu
m
) mAu = fm
) mAu = 0; 548:0; 40 Kg = 0; 22 Kg
mAu = 0; 22Kg (1.41)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Acciones mecánicas sobre los fluidos
Para estudiar la estática de un fluido es conveniente dividir las fuerzas actuantes
sobre un elemento de volumen en dos categorías principales:
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 11
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
1.2.1 Fuerzas de superficie
Son las fuerzas que ejercen los elementos en contacto con el ele-
mento de volumen dV , como otros elementos de fluido, paredes, cuer-
pos en contacto, etc.
Lo anterior es en el sentido de que el volumen considerado puede pensarse estar
encerrado en una especie de película de contorno que lo mantiene separado de todo
aquello que le circunda. Será denotada como
�!
F S.
1.2.2 Fuerzas de volumen
Son aquellas acciones ejercidas por elementos capaces de ejercer
fuerzas proporcionales al volumen dV del elemento considerado.
Por ejemplo: la fuerza gravitacional o la fuerza centrífuga, que siendo proporcionales
a la masa dm contenida en el elemento de volumen dV , resultan proporcionales al
mismo volumen porefecto de la relación dM = �dV , con � uniforme dentro de dV . Será
denotada como
�!
F V .
Figura 1.1: Fuerza de volumen y fuerza de superficie sobre un elemento de volumen dV .
Al considerar un elemento de volumen dV en forma de paralelepípedo, como el
mostrado en la figura 1.1, donde una de sus caras tiene un área dS cuyo vector normal
es �!n , la fuerza de superficie que del exterior se ejerce sobre dS está representada por
d
�!
F S. La fuerza de volumen saliente del elemento de volumen dV es indicada con d
�!
F V
y puede ser expresada mediante la relación,
d
�!
F V =
�!
Gdm (1.42)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 12
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
que evidencia la proporcionalidad directa a la masa, donde
�!
G representa un vector
que tiene las dimensiones de una aceleración. Por ejemplo, en el caso de que la fuerza
de volumen sea sólo el peso, se tiene que
�!
G = �!g , donde �!g es la aceleración debida
a la gravedad.
Es de utilidad descomponer d
�!
F S en una componente d
�!
F Sn normal a dS y una com-
ponente d
�!
F St tangencial a dS: Estas componentes se les denominan esfuerzos y se de-
finen como,
P = dF
S
n
dS
(esfuerzo normal) (1.43)
� =
dFSt
dS
(esfuerzo tangencial o de corte) (1.44)
Nótese que los esfuerzos, que son cantidades escalares, poseen las dimensiones de
una fuerza por unidad de superficie.
1.3 La presión y sus unidades
1.3.1 La presión
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca
dependen no sólo de su intensidad, sino también de cómo esté repartida sobre la
superficie del cuerpo. Así, un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace que
penetre más en la pared de lo que lo haría otro clavo sin punta que recibiera el mismo
impacto. Un individuo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se hunde,
en tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobre una
mayor superficie, puede caminar sin dificultad.
Existe una diferencia en la manera en que una fuerza superficial
�!
F S actúa sobre un
fluido y sobre un sólido. En un sólido no existe ninguna restricción respecto a la dirección
de tal fuerza. En un fluido en reposo, la fuerza superficial debe estar siempre dirigida
perpendicularmente a la superficie de dicho fluido (ver figura 1.2). Un fluido en reposo
no puede soportar una fuerza tangencial
�!
F St ya que, en ese caso, las diferentes capas
de fluido simplemente resbalarían unas sobre las otras, de hecho, es esta habilidad de
los fluidos para resistir dichas fuerzas tangenciales lo que les permite cambiar su forma
o fluir. Por lo tanto, para un fluido sin movimiento el esfuerzo de corte (1.44) es nulo,
mientras que el esfuerzo normal (1.43) no lo es. A este esfuerzo normal se le da el
nómbre de presión y puede escribirse simplemente como,
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.2: La componente tangencial
�!
F St de la fuerza de superficie
�!
F S en un fluido en reposo debe ser nula porque, de lo
contrario, dicha componente haría que el fluido fluyera.
P = dF
dS
(1.45)
donde se ha supuesto de antemano que dF es el elemento de fuerza normal aplicado
sobre el elemento de superficie dS. Entonces,
La Presión P es la fuerza por unidad de superficie que ejerce un
líquido o un gas perpendicularmente sobre una superficie determinada.
En forma no diferencial,
P = F
S
(1.46)
1.3.2 Unidades
De acuerdo con (1.45), las unidades de presión se obtienen dividiendo las unidades
de fuerza entre las unidades de superficie.
En el sistema MKSC la unidad de presión es el Pascal. Se representa
por Pa y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un
Newton de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superfi-
cie plana de un metro cuadrado. La presión de 1 Pa equivale, por tanto,
a 1 N
m2
.
Existen otras unidades de presión que, sin corresponder a ningún sistema de unidades,
en particular han sido consagradas por el uso y se siguen usando en la actualidad junto
con el Pascal. Entre ellas se encuentran la Atmósfera y la Baria.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 14
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
La Atmósfera (atm) se define como la presión que a 0oC ejercería
sobre su base el peso de una columna de mercurio de 76 cm de altura y
1 cm2 de sección.
Es posible calcular su equivalencia en N
m2
sabiendo que la densidad del mercurio es
igual a 13; 6:103 Kg
m3
y recurriendo a las siguientes relaciones entre magnitudes,
Peso (N) = Masa (Kg):9; 8
m
s2
Masa = Volumen:Densidad
Presión =
Fuerza
Superficie
Como el volumen de la columna es igual a la superficie de la base por la altura, se
tendrá:
Presión = 1 atm =
Masa.9; 8m
s2
Superficie
=
Volumen.Densidad.9; 8m
s2
Superficie
=
Superficie.Altura.Densidad.9; 8m
s2
Superficie
= 0; 76m:13; 6:103
Kg
m3
:9; 8
m
s2
es decir,
1atm = 1; 013:105Pa
En el sistema cgss la unidad de presión es la Baria (o bar). Se repre-
senta por bar y se define como la presión correspondiente a una fuerza
de una dina de intensidad actuando perpendicularmente sobre una su-
perficie plana de un centímetro cuadrado. La presión de 1 bar equivale,
por tanto, a 1 din
cm2
.
En Meteorología se emplea con frecuencia el milibar (mbar) o milésima parte del bar,
1 mbar = 102 Pa
1 atm = 1013 mbar
1 bar = 1
din
cm2
= 0; 1 Pa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ejemplo 1.9: Calcular la presión, en Pascales, ejercida por una tachuela cuya punta
tiene una sección transversal de 0; 02 mm2, cuando sobre ella se aplica una fuerza
de 0; 5 Kp.
Solución:
Al usar (1.46),
P = F
S
=
0; 5:9; 8 N
0; 02:10�6 m2
(1.47)
P = 2; 45:108Pa (1.48)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.10: Un cuerpo en forma de cubo tiene una arista de 16 cm y un peso especí-
fico de 2; 4 p
cm3
2. Calcular la presión que ejerce sobre el suelo, apoyándose sobre
una de sus caras.
Solución:
La superficie S de una cara del cubo de arista a vendrá dada por,
S = a2 (1.49)
y su volumen por,
V = a3 (1.50)
Por otro lado, al usar (1.3),
w = 
V = F (1.51)
de manera que,
F = 
a3 (1.52)
Finalmente, al sustituir (1.49) y (1.52) en (1.46) resulta,
P = F
S
=

a3
a2
= 
a = 2; 4
p
cm3
:16 cm
P = 38; 4 p
cm2
(1.53)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.11: Calcular la fuerza que actúa sobre el tapón circular de un colchón de
aire de los usados en las playas, sabiendo que tiene una presión de 1; 4 atm y que
el radio del tapón es de 1; 5 mm.
2p =pondio.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Solución:
La superficie S de un tapón circular de radio r es dada por,
S = �r2 (1.54)
entonces, al usar (1.46) se obtiene,
F = PS = �r2P = 3; 14:
�
1; 5:10�4m
�2
:
�
1; 4:1; 013:105
N
m2
�
F = 0; 01N (1.55)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.12: Calcular la presión que ejerce una columna cilíndrica de concreto de 6
cm de radio y 1; 8 m de altura, si tiene un peso específico de 4; 3 p
cm3
.
Solución:
El volumen V de una columna cilíndrica de radio r y alturah es,
V = �r2h (1.56)
y la superficie S de la base viene dada por,
S = �r2 (1.57)
Por otro lado, a partir de (1.3), su peso w (que es igual a la fuerza F que la misma
ejerce) se obtiene a partir de,
w = 
V = F (1.58)
Finalmente, al usar (1.46) se tiene que,
P = F
S
=

V
�r2
=

�r2h
�r2
= 
h = 4; 3
p
cm3
:1; 8.102 cm
P = 774 p
cm2
(1.59)
Es interesante hacer notar que la presión no depende del radio de la columna de
concreto, sólo depende de su altura.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.3: Manómetro de Bourdon.
1.4 Manómetros
Un Manómetro es un instrumento que, en general, mide la diferencia
entre la presión de un fluido determinado almacenado en un contene-
dor y la presión atmosférica local.
Para pequeñas diferencias de presión se emplea un manómetro que consiste en un
tubo en forma de U con un extremo conectado al recipiente que contiene el fluido
y el otro extremo abierto a la atmósfera. El tubo contiene un líquido, como agua,
aceite o mercurio, y la diferencia entre los niveles del líquido en ambas ramas indica la
diferencia entre la presión del recipiente y la presión atmosférica local. Para diferencias
de presión mayores se utiliza el manómetro de Bourdon (ver figura 1.3), llamado así en
honor al inventor francés Eugène Bourdon. Este manómetro está formado por un tubo
hueco de sección ovalada curvado en forma de gancho. Los manómetros empleados
para registrar fluctuaciones rápidas de presión suelen utilizar sensores piezoeléctricos o
electrostáticos que proporcionan una respuesta instantánea.
Debido a lo anterior, hay que sumar presión atmosférica al valor indicado por el
manómetro para hallar la Presión Absoluta. Una lectura negativa del manómetro cor-
responde a un vacío parcial.
Las presiones bajas en un gas (hasta unos 10�6 mm de mercurio de presión absoluta)
pueden medirse con el llamado Vacuómetro de McLeod (ver figura 1.4), que toma un
volumen conocido del gas cuya presión se desea medir, lo comprime a temperatura
constante hasta un volumen mucho menor y mide su presión directamente con un
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.4: Manómetro de McLeod.
manómetro. La presión desconocida puede calcularse a partir de la ley de Boyle-
Mariotte. Para presiones aún más bajas se emplean distintos métodos basados en la
radiación, la ionización o los efectos moleculares.
1.5 Rango de presiones
Las presiones pueden variar entre 10�8 y 10�2 mm de mercurio de pre-
sión absoluta en aplicaciones de alto vacío, hasta miles de atmósferas
en prensas y controles hidráulicos.
Con fines experimentales se han obtenido presiones del orden de millones de at-
mósferas, y la fabricación de diamantes artificiales exige presiones de unas 70000 at-
mósferas, además de temperaturas próximas a los 3000 �C.
En la atmósfera, el peso cada vez menor de la columna de aire a medida que
aumenta la altitud hace que disminuya la presión atmosférica local. Así, la presión baja
desde su valor de 101325 Pa al nivel del mar hasta unos2350 Pa a 10700m (35000 pies, una
altitud de vuelo típica de un avión a reacción).
Por Presión Parcial se entiende la presión efectiva que ejerce un com-
ponente gaseoso determinado en una mezcla de gases.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
La presión atmosférica total es la suma de las presiones parciales de sus compo-
nentes (oxígeno, nitrógeno, dióxido de carbono y gases nobles).
1.6 Ecuaciones fundamentales de la Hidrostática
Considérese el elemento de volumen mostrado en la figura 1.5. Se encontrará la
consecuencia de imponer la condición de equilibrio traslacional sobre las fuerzas de
superficie dirigidas a lo largo del eje y. En esta dirección intervienen sólo las contribu-
ciones de la fuerza de superficie relativas a las caras ABCD y EFGH, mientras que las
contribuciones de las otras fuerzas son ortogonales al eje y, por lo tanto,
d
�!
F SEFGH � d
�!
F SABCD + d
�!
F Vy = 0 (1.60)
Figura 1.5: Diagrama de cuerpo libre de un elemento de volumen dV .
Ahora, indicando con (x; y; z) las coordenadas de la cara EFGH y con (x; y + dy; z)
las coordenadas de la cara ABCD, la expresión 1.60 se puede escribir como,
P (x; y; z) dxdz � P (x; y + dy; z) dxdz + PGydxdydz = 0 (1.61)
pudiéndose reescribir, depués de unos cambios triviales, como (verificarlo),
@P
@y
= �Gy (1.62)
Procediendo de manera análoga con los otros dos ejes, se obtiene (verificarlo),
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
8>>>><>>>>:
@P
@x
= �Gx
@P
@y
= �Gy
@P
@z
= �Gz
(1.63)
que representan las Ecuaciones Fundamentales de la Hidrostática.
1.7 Presión Vs orientación
Considérese un elemento de fluido en equilibrio como el mostrado en la figura 1.6.
La cara ABCD es perpendicular al eje y y tiene un área dS, la cara EFGH tiene una
normal bn0 que forma un ángulo � con el eje y y su área es dS 0, mientras que el volumen
del elemento es dV = dS4y: La proyección de la fuerza a lo largo del eje y debe dar
una suma nula (¿por qué?),
PdS � P 0dS 0Cos�+ �GydS4y = 0 (1.64)
Figura 1.6: Elemento de volumen dV soportando fuerzas de volumen con diferentes direcciones.
Si se hace tender 4y a cero la contribución de la fuerza de volumen �GydS4y es un
infinitésimo de orden superior a los términos PdS y P 0dS 0Cos� y ,por lo tanto, puede ser
despreciada. Entonces:
PdS � P 0dS 0Cos� = 0 (1.65)
pero de la figura 1.6 es trivial encontrar que (verificarlo),
dS 0Cos� = dS (1.66)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.7: En un mismo punto, P no depende de la orientación.
en consecuencia,
P = P 0 (en un mismo punto) (1.67)
En cada punto, la presión posee un valor independiente de la ori-
entación de la superficie sobre la cual ella es ejercida (ver figura 1.7).
1.8 Variación de la presión
Supóngase que la aceleración debida a la gravedad esté dirigida a lo largo del
eje z como se muestra en la figura 1.8, por lo tanto se tiene que el vector
�!
G de las
ecuaciones (1.63) para este caso en particular es,
Figura 1.8:
�!
G para un campo gravitacional donde la aceleración debida a la gravedad esté dirigida a lo largo del eje z.
�!
G = (0; 0;�g) (1.68)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
donde g es el módulo de la aceleración debida a la gravedad en el lugar considerado
y el signo negativo es debido a la orientación con respecto al eje z.
Considérese ahora el caso en el cual la fuerza de volumen sea el peso. En este caso
la fuerza de volumen sobre un elemento de masa dm = �dV tiene la expresión:
d
�!
F V =
�!
G�dV = �!g �dV (1.69)
entonces, para este caso en particular, las ecuaciones 1.63 quedan escritas como,
Figura 1.9: Los puntos de cualquier plano imaginario �, paralelo al plano xy, están sometidos a la misma presión.
8>>>><>>>>:
@P
@x
= 0
@P
@y
= 0
@P
@z
= ��g
(1.70)
indicando que,
Los planos horizontales en un fluido en equilibrio, bajo la acción de la
gravedad, son superficies isobáricas (Ver figura 1.9).
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
1.8.1 Con la profundidad (medida de la presión ejercida por un fluido
en reposo)
La conclusión de la sección anterior indica que, en un campo gravitacinal como
el mostrado en la figura 1.8, la presión depende sólo de lacoordenada z, P = P (z). Por
lo tanto, la tercera ecuación de las (1.70) se puede escribir como,
Figura 1.10: Variación de la presión P con la profundidad h - Ley de Stevino.
@P
@z
=
dP
dz
= ��g ) dP = ��gdP (1.71)
que al ser integrada con las condiciones mostradas en la figura 1.10 resulta en,
PA = PB + �gh (Ley de Stevino) (1.72)
o también, al usar (1.4), es posible escribir,
PA = PB + 
h (1.73)
La cantidad �gh corresponde a la Presión Hidrostática Ph ejercida
sobre la base de una columna homogénea de fluido en equilibrio de
altura h, por efecto de la fuerza de gravedad.
Ph = �gh = 
h (1.74)
Para las situaciones ordinarias de un líquido en un recipiente abierto (como el agua
de una piscina, un lago o el océano) existe una superficie libre en la parte superior, por
lo tanto, es conveniente medir las distancias desde esta superficie, es decir, hacemos
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.11: Presión medida desde la superficie libre de un fluido.
que h sea la profundidad en el líquido como se muestra en la figura 1.11, donde PB = Po
representa la presión debida a la atmósfera de encima. Entonces,
P = Po + �gh (1.75)
En estas circunstancias, a la diferencia P � Po, o lo que es lo mismo �gh,
se le denomina Presión Manométrica y P se denomina Presión Absoluta.
Su nombre proviene de los manómetros ya que, como fue visto en la sección 1.4,
esta sería precisamente la que mediría un instrumento de este tipo.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.13: Una piscina tiene un fondo inclinado de modo que en un extremo la
profundidad es de 3; 5 m y en el otro de 1 m. La piscina tiene 15 m de largo y 7 m
de ancho. Hallar la fuerza total sobre el fondo.
Solución:
La situación está representada en la figura 1.12.
Si se toma como base la cara abcd, que es un trapecio, entonces el volumen interior
de la piscina de largo L y ancho A vendrá dado por,
V =
(h1 + h1)L
2
A (1.76)
Ahora bien, la fuerza F total sobre el fondo de la piscina no es más que el peso w
del líquido contenido en ella. Este peso vendrá dado por,
w = mg = F (1.77)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.12: Ejemplo 1.13: Cálculo de la fuerza total sobre el fondo de una piscina con fondo inclinado.
pero según (1.1),
m = �V (1.78)
entonces, al sustituir (1.76) en (1.78) y el resultado obtenido en (1.77) se obtiene,
F = �g
(h1 + h1)L
2
A (1.79)
que, al sustituir los valores respectivos resulta en,
F = 1:103
Kg
m3
:9; 8
m
s2
:
(1m+ 3; 5m) :15m
2
:7m
F = 2315250N (1.80)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.14: Un tanque en forma de paralelepípedo de 10 � 15 cm de sección recta
y 30 cm de altura, está lleno de gasolina. Calcular la presión y la fuerza sobre el
fondo del tanque. Se sabe que el tanque está sellado y que la densidad de la
gasolina es 0; 68 g
cm3
.
Solución:
Como el tanque está sellado Po = 0, por lo tanto, a partir de (1.75) la presión sobre
el fondo será,
P = �gh = 0; 68 g
cm3
:980
cm
s2
:30 cm
P = 19992dinas
cm2
(1.81)
Por otro lado, La superficie S del fondo del tanque vendrá dada por,
S = 10 cm:15 cm
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
S = 150 cm2 (1.82)
que, al introducirla en (1.46) resulta en,
F = PS = 19992dinas
cm2
:150 cm2
F = 3:106dinas (1.83)
Es fácil mostrar que esta fuerza corresponde al peso del volumen de gasolina con-
tenido en el tanque (verificarlo).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.15: Calcular la presión necesaria en un sistema de alimentación de aceite
que ha de elevarse 25; 5 m en vertical. Densidad del aceite 3; 12 g
cm3
.
Solución:
Al usar (1.75) con Po = 0,
P = �gh = 3; 12 g
cm3
:980
cm
s2
:25; 5:102cm (1.84)
P = 7; 79:106dinas
cm2
(1.85)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.16: La sección recta de un pistón de una bomba es de 35 cm2. Hallar la
fuerza que se debe aplicar para elevar gasolina a 42 m de altura. La densidad de
la gasolina es 0; 68 g
cm3
.
Solución: A partir de (1.46),
P = F
S
(1.86)
y a partir de (1.75) con Po = 0 se tiene que,
P = �gh (1.87)
entonces al igualarlas resulta,
F
S
= �gh) F = �ghS (1.88)
de manera que,
F = 0; 68
g
cm3
:980
cm
s2
:42:102cm:35cm2
F = 1; 08:107dinas (1.89)
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 27
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.13: Ejemplo 1.18: Columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su extremo inferior en una cubeta abierta de
mercurio.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.17: ¿Cuál es la presión a 1 m de la superficie del océano?. Se sabe que
la densidad del agua de mar es 1; 03:103 Kg
m3
y que Po = 1; 01:105 Pa es la presión
atmosférica en la superficie del océano.
Solución: Al usar (1.75) se obtiene,
P = Po + �gh = 1; 01:105Pa+ 1; 03:103
Kg
m3
:9; 8
m
s2
:1m = 1; 01:105Pa+ 1; 00:105Pa (1.90)
P = 2; 01:105Pa (1.91)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.18: Una columna de mercurio en un tubo vertical abierto en su extremo in-
ferior está en una cubeta abierta de mercurio. La columna está cerrada en su
extremo superior, después de evacuar todo el aire de la parte vacía; creando
una región al vacío. ¿Cuál es la altura H de la columna de mercurio?. Densidad
del mercurio 13; 6:103 Kg
m3
y presión atmosférica 1; 01:105 Pa.
Solución:
Al usar (1.72) con PA = P1, PB = P2 y h = H se obtiene,
P1 = P2 + �gH ) H =
P1 � P2
�g
(1.92)
pero P2 = 0 (puesto que se ha evacuado todo el aire en este punto) y P1 es la presión
atmosférica de manera que,
H =
1; 01:105Pa
13; 6:103Kg
m3
:9; 8m
s2
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
H = 0; 76m (1.93)
Ejemplo 1.19: Un depósito cúbico, sellado, de 1; 5m de arista está lleno de agua. Hallar
la fuerza que se ejerce (a) sobre el fondo y (b) sobre una de las caras laterales.
Solución:
(a) La presión ejercida sobre el fondo viene dada por (1.75) con Po = 0,
P = �gh (1.94)
la superficie del fondo, por ser cuadrada,
S = L2 (1.95)
donde L es la arista del cubo, y la fuerza por (1.46),
F = PS (1.96)
Ahora, al sustituir (1.94) y (1.95) en (1.96),
F = �ghS = �gL3 = 1:103
Kg
m3
:9; 8
m
s2
: (3m)3 (1.97)
F = 264600N (1.98)
(b) La figura 1.14 muestra una de las caras del cubo, en la cual se ha dibujado un
elemento de superficie dS que viene dado por,
Figura 1.14: Ejemplo 1.19: Cálculo de fuerzas en un depósito cúbico.
dS = Ldz (1.99)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
y, además, de la expresión (1.45),
P = dF
dS
(1.100)
por lo tanto,
dF = PLdz (1.101)
y de (1.71),
dz = �dP
�g
(1.102)
Ahora, al sustituir (1.102) en (1.101) se obtiene,
dF = � L
�g
PdP (1.103)
que al serintegrada resulta en,Z F
0
dF = � L
�g
Z 0
�gL
PdP
F =
L
�g
Z �gL
0
PdP
F =
L
�g
(�gL)2
2
F =
1
2
�gL3 (1.104)
siendo la mitad de (1.98), por lo tanto resulta finalmente que,
F = 132300N (1.105)
es la fuerza sobre una de las caras laterales del depósito.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Con la altura (medida de la presión atmosférica)
Si se supone que en la atmósfera terrestre la densidad � es proporcional a la presión
(Ley de Boyle PV =ctte 3) es posible escribir que,
�
�o
=
P
Po
(1.106)
con �o = 1; 20
Kg
m3
(a 20 oC) y Po = 1; 01:105 Pa la densidad del aire y la presión atmosférica
al nivel del mar respectivamente, se puede tener una idea razonable de la variación
3En [4] pág. 345, se presenta un estudio más detallado de esta Ley.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 30
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
de la presión con la altura (Ecuación Barométrica). Usando esta suposición y la de que
se pueden despreciar las variaciones de g con la altura, es posible encontrar la presión
P en función de la altura z por encima del nivel del mar,
P = P0e
�g
 �0
P0
!
z
(1.107)
donde z es la altura sobre el nivel del mar, �0 y P0 son la densidad y la presión atmos-
férica a nivel del mar respectivamente, g
�
�0
P0
�
= 0; 116 Km�1 y P0 = 1 atm. De esta
manera (1.107) queda como,
P = P0e�0;116Km
�1z (1.108)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.20: Encuentre la altura a la cual la presión atmosférica es de 0; 5 atm.
Solución:
Al usar (1.108) resulta,
P = P0e�0;116Km
�1z ) ln
�
P
P0
�
= �0; 116Km�1z ) z = �
ln
�
0;5 atm
1 atm
�
0; 116Km�1
(1.109)
z = 5; 98Km (1.110)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.21: Encuentre el valor de la presión atmosférica a una altura de 3000 m.
Solución:
Al usar (1.108) resulta,
P = P0e�0;116Km
�1z = 1 atm e�0;116Km
�1:3 Km = e�0;348 atm (1.111)
P = 0; 706atm (1.112)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.22: Calcular la fuerza que ejerce la atmósfera terrestre sobre un cuerpo cuya
sección transversal es de 10 m2, a una altura de 5 Km sobre el nivel del mar.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Solución:
Al usar (1.108) resulta,
P = P0e�0;116Km
�1z = 1 atm e�0;116Km
�1:5 Km = e�0;58 atm
P = 0; 56atm = 5; 7:104Pa (1.113)
y ahora de (1.46),
F = PS = 5; 7:104Pa:10m2
F = 5; 7:105N (1.114)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Vasos comunicantes
Con el término de Vasos Comunicantes se entiende un sistema de
recipientes unidos entre sí mediante conductos (ver figura 1.15), presen-
tando hacia el exterior dos o más aberturas, no pequeñas, de manera
tal que los efectos de capilaridad sean despreciables.
Figura 1.15: Vasos Comunicantes.
Un vaso comunicante típico es el tubo en forma de U mostrado en la figura 1.16.
Supóngase inicialmente que este tubo está parcialmente lleno de un líquido 1 de
densidad �1, luego vertimos otro líquido 2 de densidad �2 por uno de los lados hasta
que su superficie queda a una distancia,
d = h2 � h1 (1.115)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.16: Vasos comunicantes en forma de U.
sobre el nivel de la superficie del líquido 1, indicando la diferencia de niveles. La línea
horizontal C pasa por la separación entre los dos líquidos. Los puntos a lo largo de C
están a la misma presión (¿por qué?). Por lo tanto, la disminución de la presión desde
C en cada superficie es la misma ya que cada superficie está a la presión atmosférica
(los extremos están descubiertos). De todo esto es posible escribir (verificarlo),
h1
h2
= �2
�1
(1.116)
En un sistema de vasos comunicantes, con líquidos en equilibrio, las
alturas alcanzadas por éstos son inversamente proporcionales a las den-
sidades de los líquidos.
Al anterior enunciado se le conoce como la Ley de los Vasos Comunicantes.
La ecuación (1.116) puede ser escrita en función de los pesos específicos al usar
(1.4) resultando,
h1
h2
= 
2

1
(1.117)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.23: En un tubo en forma de U hay dos líquidos no miscibles que alcanzan
alturas de 14 cm y 9 cm, respectivamente. Si el más denso tiene un peso específico
de 1; 3 p
cm3
, calcular el peso específico del más liviano.
Solución:
Al usar (1.117), siendo h1 = 9 cm, h2 = 14 cm y 
1 = 1; 3 p=cm2 se obtiene,

2 =
h1
h2

1 =
9cm
14cm
:1; 3
p
cm3
(1.118)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA

2 = 0; 83
p
cm3
(1.119)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.24: Se dispone de un tubo en forma de U, cuyas ramas tienen secciones
iguales a 5 cm2. En una de las ramas hay mercurio cuyo peso específico es 13; 6
p
cm3
y en la otra 250 cm3 de agua de peso específico 1 p
cm3
. Calcular la diferencia
de niveles entre las dos columnas.
Solución:
Sean 
1, h1 el peso específico y la altura de la columna de mercurio respectivamente
y 
2, h2 lo mismo pero para la columna de agua, entonces según (1.117),
h1
h2
=

2

1
(1.120)
Por otro lado, la altura h2 de la columna de agua vendrá dada por,
V2 = Sh2 ) h2 =
V2
S
=
250cm3
5cm2
h2 = 50 cm (1.121)
donde V2 es el volumen de agua y S es la sección del tubo. Al sustituir (1.121) en (1.120)
se obtiene que,
h1 =

2

1
h2 =
1 p
cm3
13; 6 p
cm3
50 cm
h1 = 3; 70 cm (1.122)
Finalmente, la diferencia de niveles d vendrá dada por,
d = h2 � h1 = 50 cm� 3; 70 cm
d = 46; 3cm (1.123)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.25: Se vierten mercurio y agua por un tubo en forma de U de sección transver-
sal 2 cm2. Si se vierten 163; 2 cm3 de agua y a continuación cierta cantidad de mer-
curio, como se señala en la figura 1.17, calcular la diferencia de niveles entre los
líquidos.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.17: Ejemplo 1.25: Tubo en forma de U con agua y mercurio.
Solución:
Si el subíndice 1 es para el mercurio y el 2 para el agua, entonces la altura de la
columna de agua vendrá dada por,
V2 = Sh2 ) h2 =
V2
S
=
163; 2 cm3
2 cm2
V2 = 81; 6cm (1.124)
entonces, al usar (1.116) se obtiene,
h1
h2
=
�2
�1
) h1 = h2
�2
�1
= 81; 6 cm
1 g
cm3
13; 6 g
cm3
h1 = 6 cm (1.125)
por lo tanto, la diferencia de niveles d vendrá dada por,
d = h2 � h1 = 81; 6 cm� 6 cm
d = 75; 6cm (1.126)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.26:Un tubo en U simple contiene mercurio. Cuando en su rama derecha se
vierten 13; 6 cm de agua, ¿a qué altura se eleva el mercurio en el brazo izquierdo
a partir de su nivel inicial?. Densidad del mercurio 13; 6 g
m3
.
Solución:
La figura 1.18(a) muestra el tubo en forma de U cuando contiene sólo mercurio y la
figura 1.18(b) cuando se ha vertido agua en él.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.18: Ejemplo 1.26: Cálculo de niveles en un tubo en forma de U con agua y mercurio.
Es fácil notar que la altura a la cual se eleva el mercurio, con respecto a su nivel
original en la figura 1.18(a), viene dada por,
h =
hHg
2
(1.127)
donde hHg es la altura de la columna de mercurio con respecto al eje que pasa por la
interface como se muestra en la figura 1.18(b).
hHg
hH2O
=
�H2O
�Hg
hHg =
�H2O
�Hg
hH2O (1.128)
Ahora bien, al sustituir (1.128) en (1.127) nos queda,
h =
1
2
�H2O
�Hg
hH2O (3)
y al sustituir aquí las cantidades correspondientes resulta finalmente,
h =
1
2
1 g
cm3
13; 6 g
cm3
13; 6 cm
h = 0; 5cm (1.129)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Teorema de Pascal
1.10.1 Enunciado
Las ecuaciones fundamentales de la hidrostática (1.63) fueron obtenidas para una
fuerza de volumen cualquiera, que en el caso particular de la fuerza de gravedad
(fuerza conservativa) se reducen al sistema (1.70).
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
En el caso en el cual la fuerza de volumen dada por (1.42),
d
�!
F V =
�!
Gdm (1.130)
sea una fuerza conservativa cualquiera, las componentes de
�!
G pueden ser escritas
como, 8>>>><>>>>:
Gx = �
@�
@x
Gy = �
@�
@y
Gz = �
@�
@z
(1.131)
donde � = �(x; y; z) es la función potencial (energía potencial U por unidad de masa),
� =
U
m
Para el caso particular de la fuerza de gravedad, como fue visto antes, se tiene que
el vector
�!
G viene dado por,
�!
G = (0; 0;�g) (1.132)
entonces, a partir de (1.131), resulta que la función potencial se puede escribir como,
�(x; y; z) = �(z) = gz + ctte (1.133)
que no es más que el conocido Potencial Gravitacional.
Las ecuaciones fundamentales de la hidrostática (1.63),usando (1.131), pueden ser
escritas ahora como, 8>>>><>>>>:
@P
@x
= �Gx = ��
@�
@x
@P
@y
= �Gy = ��
@�
@y
@P
@z
= �Gz = ��
@�
@z
(1.134)
Estas ecuaciones permiten encontrar la diferencia de presión existente entre un
punto P � (x; y; z) y el punto Q � (x+ dx; y + dy; z + dz) en términos de la variación
correspondiente de � de la siguiente manera,
dP = P (x+ dx; y + dy; z + dz)� P (x; y; z)
=
@P
@x
dx+
@P
@y
dy +
@P
@z
dz
= ��@�
@x
dx� �@�
@y
dy � �@�
@z
dz
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
de aquí que,
dP = ��d� (1.135)
En el interior de un fluido homogéneo (densidad constante), la diferencia de presión
entre dos a y b puntos a distancia finita puede ser obtenida integrando (1.135) como
sigue, Z b
a
dP = ��
Z b
a
d�) Pb � Pa = �� (�b � �a)
�P = ���� (1.136)
concluyéndose que,
Para una fuerza de volumen conservativa y un fluido homogéneo,
las superficies isobáricas �P = 0 coinciden con las superficies equipoten-
ciales �� = 0.
Esta propiedad generaliza el caso particular (ya visto) de la fuerza de gravedad,
para el cual los planos horizontales (equipotenciales) son isobáricos.
Una consecuencia de (1.135) es el denominado Teorema de Pascal4 que se enuncia
así,
En un fluido homogéneo en reposo, un incremento de presión pro-
ducido en un punto cualquiera del fluido (líquido o gas), se transmite
inalterado a cualquier otro punto del mismo.
A partir de (1.136) se deduce que: en un campo conservativo la diferencia de pre-
sión4P entre dos puntos de un fluido homogéneo en reposo, depende de la diferencia
de potencial 4� de la fuerza de volumen entre dichos puntos. Pero 4� depende sólo
de las coordenadas espaciales y por lo tanto, en particular, no depende de la fuerza
de superficie, por consiguiente ninguna presión adicional puede hacer variar 4P. En
otras palabras, el fluido realiza una transmisión hidráulica total de la presión ejercida
sobre su superficie.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.19: Ejemplo 1.27: Cáculo de la fuerza sobre el fondo de un matraz lleno de agua.
Ejemplo 1.27: El cuello de un matraz tiene una sección transversal de 3 cm2 y el fondo
de 36 cm2 (ver figura 1.19). Si se llena totalmente con agua y se trata de introducir
un corcho empleando una fuerza de 9 Kp. ¿Cuál es la fuerza sobre el fondo,
adicional a la ya aplicada por el fluido que contiene?.
Solución:
Aquí intervienen dos presiones, la presión debida al agua contenida en el matraz y
la presión originada al introducir el corcho. Se tiene interés en esta última.
Al usar (1.46), la presión P en el cuello del matraz originada por el corcho viene dada
por,
P = F
S
=
9 Kp
3 cm2
P = 3 Kp
cm2
(1.137)
De acuerdo con el Teorema de Pascal, este incremento de presión se transmite in-
alterado a todos los puntos del fluido. Por lo tanto, según (1.46), la presión P 0 sobre el
fondo del matraz es,
P 0 = P = F
0
S 0
) F 0 = PS 0 = 3 Kp
cm2
:36cm2
F 0 = 108Kp (1.138)
Si se quiere hallar la fuerza total sobre el fondo, entonces debe sumarse la fuerza
debida al fluido que contiene.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4Ver apéndice G.2 para una biografía resumida.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ejemplo 1.28: La sección interna del cuello de una botella mide 4 cm2 y la sección de
la base mide 50 cm2. Está totalmente llena con un fluido de densidad igual a 1; 09
g
cm3
. Para taparla con un tapón hay que aplicar una fuerza de 2 Kp. Calcular la
fuerza total que actúa sobre la base de la botella supuesta en posición vertical,
sabiendo que la distancia desde el tapón hasta la base es de 30 cm.
Solución:
Aquí intervienen dos presiones, la presión Pf debida a la columna de fluido sobre
la base de la botella y la presión Pt originada por el tapón que, según el Teorema de
Pascal, se trasmite a todo el fluido con la misma intensidad.
La Pf se encuentra al usar (1.75),
Pf = Po + �fgh (1.139)
pero Po = 0 (la presión atmosférica no actúa sobre la superficie del fluido por estar
tapada la botella), entonces,
Pf = �fgh = 1; 09
g
cm3
:980
cm
s2
:30 cm
Pf = 32046
din
cm2
(1.140)
y la presión Pt por (1.46), que se calcula en el cuello,
Pt =
Ft
Scuello
=
2:9; 8:105 din
4 cm2
Pt = 490000
din
cm2
(1.141)
la cual te trasmite íntegramente hasta el fondo de la botella. Por lo tanto, la presión
total PT sobre el fondo de la botella es,
PT = Pf + Pt = 32046
din
cm2
+ 490000
din
cm2
PT = 522046
din
cm2
(1.142)
Finalmente, al usar (1.46), la fuerza total FT sobre el fondo es,
FT = PTSfondo = 522046
din
cm2
:50cm2 = 26102300 din
FT = 26; 635Kp (1.143)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
1.10.2 Prensa Hidráulica
Existen numerososaparatos que aprovechan el Teorema de Pascal, entre ellos está
la llamada Prensa Hidráulica. La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamen-
tal del Teorema de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su sig-
nificado.
La Prensa Hidráulica (ver figura 1.20) es una máquina simple seme-
jante a la Palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad
de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos
y muchos otros dispositivos hidráulicos de la maquinaria industrial. Con-
siste, en esencia, en dos cilindros de diferente sección comunicados en-
tre sí y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede
ser agua o aceite.
Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada uno de
los dos cilindros, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el ém-
bolo de menor sección Si se ejerce una fuerza Fi la presión Pi (el subíndice i representa
las catidades de entrada) que se origina en el líquido en contacto con él se transmite
íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido, de modo que, si las
mismas cantidades se representan mediante el subíndice o (el subíndice o representa
las catidades de salida) para el émbolo de mayor sección, es posible establecer que,
Pi = Po (1.144)
que al usar (1.46) puede ser escrita como,
Fi
Si
=
Fo
So
(1.145)
o finalmente como,
So
Si
= Fo
Fi
(1.146)
A la cantidad Fo
Fi
se le denomina Ganancia Mecánica de la prensa
hidráulica y es igual a la razón de las superficies de sus émbolos.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.20: Prensa Hidráulica.
Ejemplo 1.29.: Las secciones transversales de los émbolos de una prensa hidráulica son
1200 cm2 y 30 cm2. Si se aplica al émbolo más pequeño una fuerza de 10 Kp, ¿cuál
es la fuerza resultante sobre el otro émbolo?, ¿Cuál es su ganancia mecánica?.
Solución:
A partir de (1.146) resulta que la fuerza en el émbolo mayor es,
So
Si
=
Fo
Fi
) Fo = Fi
So
Si
= 10Kp
1200 cm2
30 cm2
Fo = 400Kp (1.147)
y la Ganancia Mecánica resulta de,
Ganancia Mecánica =
So
Si
=
1200 cm2
30 cm2
Ganancia Mecánica = 40 (1.148)
lo que significa que la fuerza aplicada sobre el émbolo menor será multiplicada por 40.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.30: El émbolo grande de una prensa hidráulica tiene un radio de 50 cm ¿qué
fuerza debe aplicarse al émbolo pequeño de radio 4; 5 cm para elevar un coche
de masa 4800 Kg?.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Solución: Si rg y rp son los radios del émbolo grande y del pequeño respectivamente,
estonces sus secciones transversales serán,
Sg = �r
2
g (1.149)
Sp = �r
2
p (1.150)
y de (1.146),
Sg
Sp
=
Fg
Fp
) Fp =
Sp
Sg
Fg (1.151)
Ahora, al sustituir (1.149) y (1.150) en (1.151) resulta,
Fp =
�r2p
�r2g
Fg =
�
rp
rg
�2
Fg (1.152)
y como Fg es el peso que va a elevar el émbolo grande, es decir,
Fg = 4800 Kg:9; 8
m
s2
Fg = 47040 N (1.153)
entonces,
Fp =
�
4; 5 cm
50 cm
�2
:47040N
Fp = 381; 024N (1.154)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Principio de Arquímedes
1.11.1 Enunciado
El Principio de Arquímedes5 se enuncia como sigue:
Un cuerpo inmerso total o parcialmente en un fluido recibe, en un
campo gravitatorio, un empuje
�!
E (Empuje de Arquímedes) vertical orien-
tado hacia arriba, cuyo módulo es igual al peso de la masa fluida desa-
lojada y cuyo punto de aplicación coincide con el centro de gravedad
de la masa fluida del cuerpo.
5Véase apéndice G.3 para una biografía resumida.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Considérese el cilindro mostrado en la figura 1.21, el cual se encuentra sumergido
totalmente en un fluido de densidad �f que está contenido en un recipiente sometido
a una presión externa Po. La base y la tapa poseen un área S y están separadas por
una altura h: Según (1.72), el fluido ejerce una presión dada por,
P1 = Po + �fgh1 (1.155)
contra la tapa del cilindro, por lo tanto, la fuerza F1 debida a esta presión es,
Figura 1.21: Determinación del empuje
�!
E de Arquímedes.
F1 = P1S =
�
Po + �fgh1
�
S (1.156)
dirigida hacia abajo. De manera análoga, es trivial encontrar que la fuerza F2 sobre el
fondo del cilindro viene dada por,
F2 =
�
Po + �fgh2
�
S (1.157)
dirigida hacia arriba. Finalmente, al restar (1.156) y (1.157), la fuerza resultante E debida
a la presión del fluido actúa hacia arriba y tiene una magnitud de,
E = F2 � F1 =
�
Po + �fgh2
�
S �
�
Po + �fgh1
�
S = �fg(h2 � h1)| {z }
h
S = �fg hS|{z}
V
E = �fgV (1.158)
que es el denominado Empuje de Arquímedes E. También, al usar (1.4), es posible
escribir,
E = 
fV (1.159)
donde V = Sh es el volumen del cilindro si está completamente sumergido o el volumen
de la parte sumergina si estuviera parcialmente sumergido.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Para un cuerpo cualquiera, V corresponde al volumen de fluido de-
salojado por la parte del cuerpo sumergida o la totalidad de su volumen
si está completamente sumergido.
Como �f es la densidad del fluido, el producto �fgV = mfg es el peso w del fluido
que tiene un volumen igual al del cilindro, de este modo, la fuerza de empuje sobre
el cilindro es igual al peso del fluido que éste desaloja. El resultado se cumple inde-
pendientemente de la forma del objeto y no depende de la acción externa debida a
Po.
Por tanto, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: el empuje
�!
E y el peso
del cuerpo �!w . Estas cantidades no tienen, en principio, el mismo valor
ni están aplicadas en el mismo punto (ver figura 1.22). En los casos más
simples se supondrá que el cuerpo y el fluido son homogéneos y, por
tanto, coinciden el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.
Figura 1.22: Empuje
�!
E Vs Peso �!w de un cuerpo.
A la diferencia entre el peso real w = mg de un cuerpo y el empuje
E originado por un fluido en el cual se encuentra total o parcialmente
inmerso, se le denomina Peso Aparente wa de dicho cuerpo.
Matemáticamente se escribe como,
wa = w � E (1.160)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
El aire es un fluido y también ejerce una fuerza de empuje. Los objetos comunes
pesan menos en el aire que cuando están en el vacío. Debido a que la densidad del
aire es muy pequeña, el efecto para los cuerpos comunes es apenas perceptible. Sin
embargo, existen ciertos objetos que flotan en el aire, por ejemplo, los globos llenos de
helio.
1.11.2 Equilibrio de los cuerpos sumergidos
De acuerdo con el Principio de Arquímedes:
Para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la
fuerza de empuje E y el peso w han de ser iguales en magnitudes y,
además, han de aplicarse en el mismo punto.
En tal caso la fuerza resultante R es cero y también lo es el momento � , con lo cual
se dan las dos condiciones de equilibrio. La condición E = w equivale, de hecho, a
que las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso, el equilibrio del
cuerpo sumergido es indiferente.
Si el cuerpo no es homogéneo el centro de gravedad no coincide
con el centro geométrico, que es el punto en donde puede considerarseaplicada la fuerza de empuje. Ello significa que las fuerzas E y w forman
un par que hará girar el cuerpo hasta que ambas estén alineadas.
1.11.3 Equilibrio de los cuerpos flotantes
Si un cuerpo sumergido sale a flote es porque el empuje predomina
sobre su peso (
�!
E > �!w ) (ver figura 1.23).
En el equilibrio, ambas fuerzas aplicadas
�!
E y �!w sobre puntos diferentes estarán alin-
eadas. Tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas, por ejemplo.
Si por efecto de una fuerza lateral, como la producida por un golpe de una ola
en el mar, el eje vertical del navío se inclinara hacia un lado, aparecerá un par de
fuerzas que harán oscilar el barco de un lado a otro. Cuanto mayor sea el momento �
del par, mayor será la estabilidad del navío, es decir, la capacidad para recuperar la
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.23: (a) Un cuerpo asciende en el seno de un líquido cuando el empuje es mayor que su peso, (b) pero a medida que
emerge el empuje dismiuye, (c) entonces cuando las dos fuerzas son de igual módulo el cuerpo flota.
verticalidad. Ello se consigue diseñando convenientemente el casco y repartiendo la
carga de modo que baje la posición del centro de gravedad, con lo que se consigue
aumentar el brazo del par.
En general, un objeto flota en un fluido si su densidad es menor que
la de éste.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.31.: Una pieza fundida pesa 40 Kp y ocupa un volumen de 5 dm3. Por medio
de una cuerda se suspende en un líquido de densidad relativa 0; 76. Hallar el em-
puje de Arquímedes y la tensión de la cuerda.
Solución:
Figura 1.24: Ejemplo 1.31. Empuje sobre un cuerpo sumergido, suspendido mediante una cuerda.
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Al usar (1.158), el empuje de Arquímedes viene dado por,
E = �fgV = �R�H2OgV
= 0; 76:1:103
Kg
m3
:9; 8
m
s2
5:10�3 m3
= 37; 24 N (1.161)
o,
E = 3; 8Kp (1.162)
La tensión T de la cuerda vendrá dada por el peso aparente del cuerpo en el agua
(ver figura 1.24), por lo tanto,
T = wa = w � E = 40Kp� 3; 8Kp
T = 36; 2Kp (1.163)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.32.: Una tina rectangular hecha de una capa delgada de cemento, tiene
una longitud L = 1m, ancho a = 80 cm, profundidad d = 60 cm y su masa esM = 200
Kg. La tina flota en un lago �H2O = 1:10
3Kg
m3
, ¿cuántas personas de 80 Kg de masa
cada una pueden estar en la tina sin que esta se hunda?.
Figura 1.25: Ejemplo 1.32: Tina rectangular hecha de una capa delgada de cemento que flota en un lago.
Solución:
La situación planteada en el problema se representa en la figura 1.25. Si mp es la
masa de cada persona, entonces el peso total wT de n personas vendrá dado por,
wT = nmpg (1.164)
y el peso wtin de la tina por,
wtin =Mg (1.165)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Entonces, el peso total w de la tina más las n personas será,
w = wtin + wT =Mg + nmpg (1.166)
y además, el empuje E originado por el volumen de agua desplazada VH2O, según
(1.158), viene dado por,
E = �H2OgVH2O (1.167)
Considérese ahora límite. La mayor cantidad de agua que puede desplazar la tina
es cuando se hunde hasta su borde. En este cado VH2O = adL, por lo tanto (1.167) es
posible escribirla como,
E = �H2OgadL (1.168)
de manera que, para que la tina quede en equilibrio, debe cumplirse que w = E.
Entonces, de (1.166) y (1.168),
Mg + nmpg = �H2OgadL
n =
�H2OadL�M
mp
(1.169)
y, finalmente, al sustituir las cantidades correspondientes,
n =
1:103Kg
m3
:0; 8 m:0; 6 m:1 m� 200 Kg
80 Kg
n = 3; 5 (1.170)
es decir, 3 personas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.33.: Hallar la fracción de volumen que se sumergirá al flotar en bromo un
trozo de magnesio. La densidad del bromo es 3; 12 g
cm3
y la del magnesio 1; 76 g
cm3
.
Solución:
La masa mMg del trozo de magnesio, según (1.1), viene dada por,
mMg = �MgVMg (1.171)
donde �Mg y VMg son la densidad y el volumen total del trozo de magnesio respectiva-
mente. Entonces su peso wMg es,
wMg = mMgg = �MggVMg (1.172)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Por otro lado, al usar (1.158), el empuje E originado por el bromo será,
E = �BrgVMg(s) (1.173)
donde �Br y VMg(s) son la densidad del bromo y el volumen del trozo de magnesio que
se encuentra sumergido (que corresponde al volumen de bromo desalojado). Ahora
bien, cuando el trozo de magnesio flota, debe cumplirse que wMg = E. Por lo tanto, de
(1.172) y (1.173) se obtiene,
�MggVMg = �BrgVMg(s)
VMg(s)
VMg
=
�Mg
�Br
(1.174)
que es la fracción de volumen pedida. Al sustituir las cantidades correspondientes,
VMg(s)
VMg
=
1; 76 g
cm3
3; 12 g
cm3
VMg(s)
VMg
= 0; 564 (1.175)
que representa un 56; 4 %.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.34.: Una esfera metálica pesa 29; 4 N en el aire y 18; 5 N en el agua. ¿Cuál es
su densidad?.
Solución:
Si we = 29; 4 N es el peso de la esfera (que es igual a su peso real, puesto que, el
aire ejerce un empuje despreciable) waH2O = 18; 5 N es su peso aparente en el agua,
entonces de (1.160) es posible escribir,
waH2O = we � E (1.176)
Por otro lado, el empuje de ArquímedesE que ejerce el agua sobre la esfera metálica
viene dado (con �f igual a la densidad del agua �H2O), según (1.158) por,
E = �H2OgV (1.177)
donde V es el volumen de fluido (agua) desalojado por la esfera que, como está com-
pletamente sumergida, es igual a su volumen Ve. Por lo tanto, al sustituir (1.177) en
(1.176) se obtiene,
waH2O = we � �H2OgVe
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Ve =
we � waH2O
�H2Og
(1.178)
Por último, la densidad de la esfera es posible encontrarla usando (1.1),
�e =
me
Ve
(1.179)
de manera que, sustituyendo (1.178) en (1.179) resulta,
�e = �H2O
meg
we � waH2O
(1.180)
y como meg = we entonces,
�e = �H2O
we
we � waH2O
(1.181)
Finalmente, al sustituir las correspondientes cantidades resulta,
�e = 1:10
3Kg
m3
29; 4N
29; 4N � 18; 5N
�e = 2; 7:10
3Kg
m3
(1.182)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1.35.: Un globo de plomo lleno de aire, con radio externo R = 0; 1 m, se en-
cuentra totalmente sumergido en un tanque de agua. ¿Cuál es el espesor d de
la capa de plomo si el globo ni flota ni se hunde (se encuentra en equilibrio)?. La
densidad del plomo es �Pb = 11; 3:103
Kg
m3
.
Solución:
En la figura 1.26 se muestra esquemáticamente la situación mostrada en el prob-
lema, donde r representa el radio interno del globo.
El volumen del plomo VPb entre el radio exterior y el interior resulta de restarle el
volumen contenido hasta el radio interior Vint, del volumen contenido hasta el radio
exterior Vext. Por lo tanto,
VPb = Vext � Vint (1.183)
pero,
Vext =
4
3
�R3 (1.184)
Vint =
4
3
�r3 =
4
3
� (R� d)3 (1.185)
ya que d = R� r. Entonces, al sustituir (1.184) y (1.185) en (1.183) resulta,
VPb =
4
3
�R3 � 43
� (R� d)3 = 4
3
�
�
R3 � (R� d)3
�
(1.186)
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
Figura 1.26: Ejemplo 1.35: Globo de plomo lleno de aire, con radio externo R, totalmente sumergido en un tanque de agua.
Con este volumen y la densidad del plomo, al usar (1.1) y (1.186), es posible calcular
la masa mPb del plomo como sigue,
mPb = �PbVPb =
4
3
��Pb
�
R3 � (R� d)3
�
(1.187)
y por lo tanto, usando (1.1) su peso wPb será,
wPb = mPbg =
4
3
��Pbg
�
R3 � (R� d)3
�
(1.188)
El peso del aire contenido en el globo es despreciable ¿por qué?.
Por otro lado, según (1.158), el empuje de Arquímedes E que ejerce el agua sobre
el globo viene dado (con �f igual a la densidad del agua �H2O) viene dado por,
E = �H2OgV (1.189)
donde V es el volumen de fluido (agua) desalojado por el globo que, como está com-
pletamente sumergido, es igual a su volumen externo (V = Vext). Por lo tanto, al usar
(1.184),
E = �H2OgVext =
4
3
��H2OgR
3 (1.190)
Ahora bien, como el globo se encuentra en equilibrio,
wPb = E (1.191)
entonces, al sustituir (1.188) y (1.190) en (1.191) se obtiene,
4
3
��Pbg
�
R3 � (R� d)3
�
=
4
3
��H2OgR
3
�Pb
�
R3 � (R� d)3
�
= �H2OR
3
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
d = R
�
1� 3
r
1�
�H2O
�Pb
�
de aquí que finalmente,
d = 0; 1 m
 
1� 3
s
1�
1:103Kg
m3
11; 3:103Kg
m3
!
= 0; 003 m
o,
d = 3mm (1.192)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Ejercitación
1. El patrón del kilogramo de masa está hecho de una aleación que consta del 90 por
100 de platino y el 10 por 100 de iridio. Determinar la densidad de la aleación y el
volumen del patrón, considerando el volumen de la aleación igual a la suma de los
volúmenes de las partes integrantes. Densidad del platino 2; 15:104 Kg
m3
y densidad del
iridio 2; 24:104 Kg
m3
. Resp.: 2; 16:104 Kg
m3
; 4; 62:10�5 m3.
2. Una aleación está compuesta por 2; 92 Kg de estaño y 1; 46 Kg de plomo. ¿Qué
densidad tendrá la aleación si se considera que su volumen es igual a la suma de los
volúmenes de las partes integrantes?. Resp.: 8; 3:103 Kg
m3
.
3. Un cuerpo permanece en equilibrio en la zona de separación entre dos líquidos no
miscibles, de densidad �1 y �2 respectivamente (�1 < �2), con una fracción f2 de su
volumen total inmerso en el líquido 2. Mostrar que la densidad del cuerpo viene
dada por,
� = �1 + f2 (�2 � �1)
donde f2 = ViVT , siendo Vi el volumen inmerso del cuerpo y VT su volumen total.
4. Obtener las Ecuaciones Fundamentales de la Hidrostática,8>>>><>>>>:
@P
@x
= �Gx
@P
@y
= �Gy
@P
@z
= �Gz
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 53
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
5. Integrar,
dP
dz
= ��g
para obtener la Ley de Stevino,
PA = PB + �gh
6. Obtener,
P = P0e
�g
 �0
P0
!
z
7. Muestre que, en general, un objeto flota en un fluido si su densidad es menor que la
de éste.
8. Hallar la densidad absoluta y relativa del alcohol etílico, sabiendo que 63; 3 g ocupan
un volumen de 80; 0 cm3. Resp.: 0; 791 g
cm3
, 0; 79L.
9. Calcular el volumen de 40 Kg de tetracloruro de carbono cuya densidad relativa es
de 1; 60. Resp.: 25 L.
10. Calcular el peso de medio metro cúbico de aluminio cuya densidad relativa vale
2; 70. Resp.: 1350 Kp.
11. Un bidón tiene capacidad para contener 110 Kp de agua o 72; 6 Kp de gasolina.
Hallar:
11.1. La capacidad del bidón en m3. Resp.: 0; 11 m3.
11.2. la densidad de la gasolina en g
cm3
, la densidad relativa de la gasolina. Resp.:
0; 66 g
cm3
; 0; 66.
11.3. el peso específico en Kp
m3
. Resp.: 660 Kp
m3
.
12. El metal osmio, denso, y el butano líquido a la temperatura ambiente, ligero, tienen
densidades relativas de 22; 5 y 0; 6, respectivamente. Calcular el peso específico del
osmio en Kp
cm3
y la densidad del butano en Kp
L
. Resp.: 2; 25:10�2 Kp
cm3
; 0; 6 Kp
L
.
13. Un volumen de 0; 7752 m3 de aire pesa 1 Kp. Hallar la densidad del aire en g
cm3
y en
g
L
. Resp.: 1; 29:10�3 g
cm3
y 1; 29 g
L
.
14. Una plancha de goma espuma, de 33 x 24 x 6; 40 cm, tiene una masa de 350 g. Una
esponja de celulosa, de 7 x 12 x 2; 5 cm, tiene 12 g dc masa. La lana de vidrio de una
balsa tiene un peso específico de 160 Kp
m3
y el corcho de los tapones 240 Kp
m3
. Hallar las
densidades relativas de estos productos sintéticos y del corcho. Resp.: 0; 069; 0; 057;
0; 16, y 0; 24.
SOLDOVIERI C., Terenzio. FISICA GENERAL. 1era ed. preprint. República Bolivariana de Venezuela, 2016. Pág.: 54
CAPITULO 1. HIDROSTATICA
15. Un depósito cúbico de 3 m de lado está lleno de agua. Hallar la fuerza que se
ejerce sobre el fondo y sobre una de las caras laterales. Resp.: 2; 7:104 Kp; 1; 35:104
Kp.
16. Un profesor observa la “eterna negrura” del océano a 1000 m bajo la superficie
a través de un ocular de cuarzo fundido de forma circular de 15 cm de diámetro.
Calcular la fuerza que soporta el ocular a dicha profundidad. La densidad relativa
del agua del mar es de 1; 03. Resp.: 18200 Kp.
17. Una esfera hueca de acero inoxidable, de 20 cm de radio, se evacúa, de modo que
en su interior se haga vacío. (a)¿Cuál es la suma de las magnitudes de las fuerzas
que actúan tratando de comprimir la esfera?, (b) hay un agujero circular de 4 cm
de diámetro en un lado de la esfera, para tener acceso al interior, calcule la fuerza
necesaria para jalar una placa plana y destapar el agujero, una vez hecho el vacío.
¿Piensa usted que podría quitar esa tapa tirando de ella?.Resp.: (a) 5; 1:104 N ; (b)
1; 3:102 N que equivale a levantar 13 Kg..
18. Suponiendo que la atmósfera en la superficie del Sol tiene la misma presión que en
la superficie de la Tierra, 1 atm, y sin tener en cuenta los efectos de la temperatura,
¿cuál sería la altura de una columna de mercurio en un barómetro en el Sol?. Repita
lo anterior para el planeta Marte, que tiene un valor en la superficie de g igual al de
Mercurio. Para el Sol g = 274 m
s2
, para Mercurio g = 3; 73 m
s2
y densidad del mercurio
13; 3:103 Kg
m3
. Resp.: 0; 027 m y 2; 0 m.
19. En una cámara de presión para pruebas, una persona comienza a actuar en forma
anormal cuando la presión manométrica es mayor que 40 lbf
pulg2
. La presión manométrica
es la presión en exceso a la presión atmosférica. Es un efecto bien conocido que
limita la profundidad a la cual se zambullen los buzos sin escafandra, y a la que
pueden respirar aire puro (de sus tanques de aire). En el agua de mar, cuya densi-
dad es 1; 03 g
cm3
, ¿a qué profundidad debe limitarse el buzo?. Resp.: 27; 3 m.
20. De una plancha rectangular de 50 x 100 cm y espesor uniforme se corta un cuadrado
de 25 cm de lado, cuyo centro se halla a 12; 5 cm por encima de la arista inferior de
100 cm, Se sumerge la plancha verticalmente con las aristas de 100 cm paralelas a
la superficie de manera que la arista superior queda a 6 m de la superficie libre de
agua. Hallar la fuerza que actúa sobre la plancha. Resp.: 7970 Kp.
21. Un tanque en forma de paralelepípedo de 30 x 40 cm de sección recta y 20 cm de
altura, está lleno de agua. Calcular la presión y la fuerza sobre el fondo del tanque:
21.1. En unidades MKSC Resp.: 1; 96.103 N
m2
; 2; 35:102 N .
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CAPITULO 1. HIDROSTATICA
21.2. en unidades cgss Resp.: 1; 96:104 din
cm2
; 2; 35:107 din.
22. Un recipiente de forma cúbica, de 50 cm de arista, está cerrado por su parte supe-
rior. En una de sus caras laterales se coloca un tubo vertical con su centro a 30 cm del
fondo. La altura de agua en el tubo, por encima del centro del orificio, es de 70 cm y
la sección recta del tubo vale 100 cm2. Hallar la fuerza sobre cada cara, incluyendo
la superior