Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-70

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Capı́tulo 3. Polinomios y expresiones racionales
L La suma de polinomios es una operación en la que, partiendo de dos
polinomios p y q, obtenemos un tercer polinomio, denotado p+q, que tiene como
coeficiente de cada monomio a la suma de los coeficientes de los monomios de
igual grado de p y q.
Ejemplo 48. Sumando dos polinomios. Considerar p(x) = 4x5 − 3x + x2 y
q(x) = −2x3 + x + 4x2 + 1. Entonces
(p + q)(x) = (4x5 + 0x4 + 0x3 + x2 − 3x + 0) + (0x5 + 0x4 − 2x3 + 4x2 + x + 1)
= 4x5 + 0x4 − 2x3 + 5x2 − 2x + 1.
Luego (p + q)(x) = 4x5 − 2x3 + 5x2 − 2x + 1. E
L La resta p− q se define como el polinomio p+ (−q), siendo −q el polino-
mio opuesto de q, es decir, el polinomio cuyos coeficientes son los opuestos de
los coeficientes de q. Esto implica que para restar dos polinomios, se restan los
coeficientes de los monomios del mismo grado de p y q.
Ejemplo 49. Restando polinomios. Consideremos, como en el ejemplo ante-
rior, p(x) = 4x5 − 3x + x2 y q(x) = −2x3 + x + 4x2 + 1. Entonces
(p − q)(x) = (4x5 + 0x4 + 0x3 + x2 − 3x + 0) − (0x5 + 0x4 − 2x3 + 4x2 + x + 1)
= 4x5 + 0x4 + 2x3 − 3x2 − 4x − 1.
Por lo tanto (p − q)(x) = 4x5 + 2x3 − 3x2 − 4x − 1. E
El paso de ordenar y completar ambos polinomios antes de sumarlos no es
obligatorio, sirve simplemente para organizar los monomios y no olvidarnos de
ninguno. Este procedimiento también puede hacerse de manera similar pero en-
columnando los coeficientes de igual grado:
x5 x4 x3 x2 x x0
4 0 0 1 -3 0
0 0 -2 4 1 1
4 0 -2 5 -2 1
x5 x4 x3 x2 x x0
4 0 0 1 -3 0
0 0 2 -4 -1 -1
4 0 2 -3 -4 -1
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
↑ ↑
p + q p − q
Por lo tanto, se concluye que (p + q)(x) = 4x5 − 2x3 + 5x2 − 2x + 1, y que
(p − q)(x) = 4x5 + 2x3 − 3x2 − 4x − 1, como obtuvimos anteriormente.
� Lo que está escrito sobre la lı́nea de puntos suele no ponerse, pero ayuda a
recordar en qué forma se ordenaron los exponentes, si creciente o decreciente-
mente. Si dicho orden está claro, ese renglón puede obviarse.
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