Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-122

Vista previa del material en texto

Capı́tulo 4. Ecuaciones e inecuaciones
L Algunas ecuaciones pueden ser llevadas a una forma particular: un pro-
ducto de factores en un miembro, y cero en el otro. Para resolver este tipo de
ecuaciones se utiliza una propiedad conocida como propiedad del producto
cero, la cual establece que:
Un producto de factores es cero si y solo si uno o más
de los factores son iguales a cero.
El siguiente ejemplo muestra una aplicación de la propiedad del producto
cero.
Ejemplo 100. Un producto igual a cero. Resolver la ecuación
(x − 2)(x3 − 1) = 0.
Solución: Por la propiedad del producto cero, sabemos que la ecuación se satis-
face si y solo si uno o ambos factores son cero. Es decir
x − 2 = 0 o x3 − 1 = 0.
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene
x = 2 o x = 3
√
1 = 1.
Luego, tenemos que S = {2, 1}. Se puede ver en la ecuación original que cual-
quiera de estos dos valores anulan el miembro izquierdo. E
Ejemplo 101. Resolver la ecuación x4 − x3 + x2 − 3x = 6.
Solución: La ecuación dada es equivalente a x4−x3+x2−3x−6 = 0. Factorizando
el polinomio que aparece a la izquierda, la ecuación se transforma en
(x − 2)(x + 1)(x2 + 3) = 0.
Por la propiedad del producto cero, sabemos que la ecuación se satisface si y
solo si alguno de los factores es cero. Es decir
x − 2 = 0, x + 1 = 0 o x2 + 3 = 0.
La última opción no es posible ya que x2+3 ≥ 0+3 = 3 > 0, por lo que solamente
pueden valer las dos primeras. Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene
x = 2 o x = −1.
Entonces S = {2, −1}. Se puede ver en la ecuación original que cualquiera de
estos dos valores hacen que el miembro izquierdo valga 6. E
112
	Botón1: