Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-129

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4.3. Ecuaciones de segundo grado
� Notar que en el ejemplo anterior el signo del binomio viene dado por el signo
del coeficiente lineal, es decir, el trinomio proviene de resolver (x + r)2, siendo
r la mitad del coeficiente lineal, que puede ser negativo o positivo.
Ejemplo 107. Resolver la ecuación cuadrática 2x2 + 4x − 1 = 0 utilizando el
método de completar cuadrados.
Solución: A diferencia del ejemplo anterior, el coeficiente cuadrático no es 1.
Entonces, el primer paso en este caso es extraer dicho coeficiente como factor
común, para luego completar cuadrados en lo obtenido:
2x2 + 4x − 1 = 2 (x2 + 2x − 1
2
) = 2(x2 + 2x+1
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
t.c.p.
−1 − 1
2
)
= 2((x + 1)2 − 3
2
) = 2(x + 1)2 − 3.
Entonces la ecuación se transforma en
2(x + 1)2 − 3 = 0 ⇐⇒ (x + 1)2 = 3
2
⇐⇒ x + 1 = ±
√
3
2
,
lo que implica x1 =
√
3
2
− 1 y x2 = −
√
3
2
− 1. E
Ï Cuando el coeficiente cuadrático no es igual a 1, este debe extraerse como
factor común. En el ejemplo anterior lo tomamos como factor común de los
tres términos, pero también podrı́amos haberlo tomado solamente de los dos que
poseen x:
2x2 + 4x − 1 = 2 (x2 + 2x) − 1
= 2 (x2 + 2x+1 − 1) − 1
= 2 (x2 + 2x + 1) − 2 − 1
= 2(x + 1)2 − 3.
Hacerlo de esta manera evitó incluir fracciones innecesarias. La única precau-
ción que debemos tener es que cuando llevamos el −r2 fuera del paréntesis (en
este caso es −1), no hay que olvidar que está multiplicado por el factor común
(que en este caso es 2). �
� No toda ecuación cuadrática tiene siempre dos soluciones reales. Como
puede verse en los siguientes ejemplos, puede ocurrir también que tenga una
única solución, o incluso que no tenga ninguna.
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