Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-245

Vista previa del material en texto

5.5. Función cuadrática
= 20 (t2 − t + 1
4
− 1
4
) + 120
= 20 (t2 − t + 1
4
) − 5 + 120
= 20 (t − 1
2
)
2
+ 115.
La gráfica deN es entonces una parábola cuyas ramas abren hacia arriba, y cuyo
vértice es el punto ( 1
2
,115). Este es entonces un punto de mı́nimo. Por lo tanto,
la cantidad mı́nima de bacterias es de 115, y corresponde a una temperatura de
0.5 grados Celsius. Por otro lado, cuando la temperatura del alimento es de 10
grados Celsius, la cantidad de bacterias es
N(10) = 20 ⋅ 102 − 20 ⋅ 10 + 120 = 1920. E
Ejemplo 198. La temperatura ideal. En el agua, las condiciones térmicas para
llevar a cabo una vida óptima depende de cada especie de pez. Para algunas espe-
cies, las temperaturas muy altas o muy bajas pueden conducir a una mortalidad
elevada. Supongamos que la población de peces en una determinada parte del
océano (en miles de peces) en función de la temperatura x del agua (en grados
Celsius) está modelada por:
p(x) = −2x2 + 40x − 72.
(a) Representar gráficamente esta función.
(b) Determinar la temperatura que maximiza la población de peces. ¿Cuál es
esta cantidad máxima?
(c) Hallar el intervalo de temperaturas para el cual la población es de al menos
120000 peces.
(d) ¿Cuántos peces hay cuando la temperatura es de 7 grados Celsius? ¿Para
qué otra temperatura se tiene la misma población?
(e) Indicar el intervalo de temperatura en el que hay población de peces.
Solución:
(a) Si en el eje x representamos la temperatura del agua en ○C, y en el eje y la
población (en miles de peces) en función de dicha temperatura, obtenemos la
gráfica contenida en la Figura 5.6 (incluye datos para los incisos siguientes):
(b) Completando cuadrados tenemos que
p(x) = −2x2+40x−72 = −2(x2−20x+100−100)−72 = −2(x−10)2+128.
Luego, como puede corroborarse con el gráfico, la población máxima de
peces es de 128000, que se alcanza cuando la temperatura del agua es de
10○C.
235
	Botón1: