Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-267

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5.6. Función exponencial
Ejemplo 212. Desintegración radiactiva. Los elementos radiactivos tien-
den a disminuir hasta agotarse completamente a medida que transcurre el tiem-
po. Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley
exponencial decreciente, y la cantidad de núcleos radiactivos en el instante t está
dada por:
N(t) = N0e
−λt,
siendo t el tiempo medido en alguna unidad determinada, N0 la cantidad inicial,
y λ una constante de desintegración, que varı́a en cada sustancia. Por ejemplo,
supongamos que una sustancia radiactiva se desintegra en forma tal que la can-
tidad de masa (en gramos) restante después de t dı́as está dada por la función
N(t) = 12e−0.08t.
¿Cuál será la masa restante luego de una semana? ¿Cuánto tiempo demora en
reducirse la masa inicial a su tercera parte?
Solución: La masa restante luego de una semana es N(7) = 12e−0.08⋅7, que es
aproximadamente 6.85 gramos. Para responder la otra pregunta, notar que la
masa inicial es N(0) = 12, por lo que debemos hallar t tal que N(t) = 12/3 = 4.
Resolvamos entonces la ecuación:
4 = 12e−0.08t ⇔ 1
3
= e−0.08t ⇔ ln ( 1
3
) = −0.08t ⇔ t ≈ 13.73.
Por lo tanto, la masa inicial se reduce a un tercio luego de casi 14 dı́as. E
Ejemplo 213. Vida media de una sustancia radiactiva. Para cada sus-
tancia radiactiva existe un valor denominado vida media o semivida, que es el
tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la materia. Esta cantidad, que de-
notaremos aquı́ como TM , se relaciona con la constante de desintegración λ del
ejemplo anterior mediante la fórmula
TM =
ln 2
λ
.
Luego, conociendo la vida media de una sustancia podemos calcular su constan-
te de desintegración como
λ =
ln 2
TM
.
Por ejemplo, el Yodo-131 (I-131) es radiactivo y tiene una vida media aproxi-
mada de 8 dı́as*. Entonces su constante de desintegración es λ = 0.087.
*Utilizado en medicina, por ejemplo, para diagnóstico y tratamiento de enfermedades relacio-
nadas con la glándula tiroides.
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