Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-275

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5.6. Función exponencial
� Calculando la edad de la Tierra.
Como una aplicación de lo estudiado, queremos presentar este ejemplo que
muestra cómo Ernest Rutherford realizó en 1929 el primer cálculo radioisotópi-
co de la edad de la Tierra*.
Ernest Rutherford sugirió que la diferencia en abundancia entre los dos isóto-
pos naturales principales del Uranio (uranio-235, simbolizado 235U, y uranio-
238, cuyo sı́mbolo es 238U) se debı́a solamente a las diferencias de sus vidas
medias. Supuso que al formarse la Tierra se encontraban en igual proporción, y
la razón por la que hay menos 235U que 238U en la actualidad es que el primero
decae más rápido. Para su cálculo utilizó los siguientes datos:
Abundancia ( %) Vida media (en años)
235U 0.7201 7.04 × 108
238U 99.275 4.46 × 109
Con las vidas medias se pueden hallar las constantes de desintegración como
lo hicimos antes:
λ235 =
ln 2
7.04 × 108
, λ238 =
ln 2
4.46 × 109
.
Por lo tanto, la cantidad de átomos de cada isótopo luego de un tiempo t
estará dada por:
N235(t) = N0,235e
−λ235t,
N238(t) = N0,238e
−λ238t,
donde N0,235 y N0,238 denotan las cantidades iniciales de 235U y 238U, respec-
tivamente.
¿Qué otra información se tiene? Como estamos suponiendo que inicialmente
habı́a igual cantidad de ambos isótopos, si denotamos con N0 al total de átomos
de Uranio (ambos tipos juntos) cuando t = 0, tenemos que:
N0,235 = N0,238 =
1
2
N0. (A)
Además, se conocen las proporciones actuales de ambos. Si llamamos NA
al total de átomos de Uranio en la actualidad (t = tA, el tiempo actual), se tiene
que
N235(tA) =
0.7201
100
NA, (B)
N238(tA) =
99.275
100
NA. (C)
*Ejemplo sugerido por el Dr. Miguel Marcos, extraı́do de https://physics.info/
half-life/practice.shtml en agosto de 2018.
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https://physics.info/half-life/practice.shtml
https://physics.info/half-life/practice.shtml
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