Ecuaciones de Navier-Stokes Adimensionalización

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Adimensionalizacion de las ecuaciones de continuidad y momentum 
 
Las ecuaciones de continuidad y momentum para un fluido incompresible de propiedades 
constantes en coordenadas cartesianas se expresan como: 
 
Continuidad 
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
t
ρρρρ 
 
Momentum (Navier Stokes, 3D) 
 
En la dirección x: 
( ) xgvxz
u
y
u
x
u
x
P
y
uw
y
uv
x
uu
t
u ρλµρ −∇
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
 
En la dirección y: 
( ) ygvyz
v
y
v
x
v
y
P
y
vw
y
vv
x
vu
t
v ρλµρ −∇
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
 
En la dirección z: 
( ) zgvzz
w
y
w
x
w
z
P
y
ww
y
wv
x
wu
t
w ρλµρ −∇
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
 
 
Para un flujo estacionario y dado que las propiedades son constantes, la ecuación de 
continuidad se transforma en: 
000 =∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⇒=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+ v
z
w
y
v
x
u
z
w
y
v
x
u ρρρ 
 
En las ecuaciones de momentum 
 
En la dirección x: 
xgz
u
y
u
x
u
x
P
y
uw
y
uv
x
uu
t
u ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
 
 1
En la dirección y: 
ygz
v
y
v
x
v
y
P
y
vw
y
vv
x
vu
t
v ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
 
 
En la dirección z: 
zgz
w
y
w
x
w
z
P
y
ww
y
wv
x
wu
t
w ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
 
 
Adoptando las siguientes definiciones 
0
*
u
uu = ; 
0
*
v
vv = ; 
0
*
w
ww = ; 
0
*
x
xx = ; 
0
*
y
yy = ; 
P
PP
∆
=* y 
0
*
t
tt = 
donde 
o
o
o
o
o
o
o w
z
v
y
u
x
t === 
 
Sustituyendo las definiciones en la ecuación de continuidad 
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0
*
*
)(
)(
)(
)(
)(
)(
z
w
z
w
y
v
y
v
x
u
x
u
zz
ww
yy
vv
xx
uu
z
w
y
v
x
u
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ ; 
 
0*
*
*
*
*
*
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u ; 
 2
En la dirección x de la ecuación de momentum tenemos: 
 
x
o
o
oo
o
oo
o
ooo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o g
zz
uu
zzyy
uu
yyxx
uu
xxxx
PP
zz
uu
ww
yy
uu
vv
xx
uu
uu
tt
uu
ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∆∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
)(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
*
*
**
*
**
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
x
o
o
oo
o
oo
o
ooo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o g
zz
uu
yzyy
uu
yyxx
uu
xxxx
PP
zz
uu
ww
yy
uu
vv
xx
uu
uu
tt
uu
ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
)()()( *
*
**
*
**
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
 
x
oo
o
oo
o
oo
o
oo
oo
o
oo
o
oo
o
o
o g
z
u
zzz
u
y
u
yyy
u
x
u
xxx
u
xx
PP
z
uw
z
uw
y
uv
y
uv
x
uu
x
uu
t
u
x
uu
ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
)()()( *
*
**
*
**
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
 
x
oo
o
oo
o
oo
o
oo
o
o
oo
o
o
o
oo
o
oo
o
o
o g
z
u
zzz
u
y
u
yyy
u
x
u
xxx
u
xx
PP
z
uw
z
u
x
zu
y
uv
y
u
x
yu
x
uu
x
uu
t
u
x
uu
ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∂
∂⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∂
∂
+
∂
∂
)()()( *
*
**
*
**
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
 
x
oo
oo
oo
oo
oo
o
oo
oo g
z
u
zzz
xx
y
u
yyy
xx
x
u
xxx
u
xx
PP
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x
uu
ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ )()()( *
*
**
*
**
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
 
 3
o
oo
x
oooo
o
o
ooo
o
oo
x
uu
g
z
u
zz
x
y
u
yy
x
x
u
xxx
u
x
uuxx
PP
x
uuz
uw
y
uv
x
uu
t
u
ρ
ρ
µ
ρρ
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ )()()(11 *
*
*2
2
0
*
*
*2
2
0
*
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
22*
*2
2
2
2*
*2
2
2
2*
*2
*
*
2*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
o
ox
o
o
o
o
ooo u
xg
z
u
z
x
y
u
y
x
x
u
xux
P
u
P
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂∆
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
µ
ρ
 
22*
*22
2*
*22
2*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* 1
Re
1
xo
o
o
o
Frz
u
z
x
y
u
y
x
x
u
x
PEu
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 
En la dirección y de la ecuación de momentum se tiene: 
g
zz
vv
zzyy
vv
yyxx
vv
xxyy
PP
zz
vv
ww
yy
vv
vv
xx
vv
uu
tt
vv
o
o
oo
o
oo
o
ooo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∆∂
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
)(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
*
*
**
*
**
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
g
zz
vv
zzyy
vv
yyxx
vv
xxyy
PP
zz
vv
ww
yy
vv
vv
xx
vv
uu
tt
vv
o
o
oo
o
oo
o
ooo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
)()()( *
*
**
*
**
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
g
z
v
zzz
v
y
v
yyy
v
x
v
xxx
v
yy
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z
vw
z
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y
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y
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x
vu
x
vu
t
u
x
vv
oo
o
oo
o
oo
o
oo
oo
o
oo
o
oo
o
o
o ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
)()()( *
*
**
*
**
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
g
z
v
zzz
v
y
v
yyy
v
x
v
xxx
v
yy
PP
z
vw
z
vw
y
vv
y
vv
x
vu
x
vu
tx
vuv
oo
o
oo
o
oo
o
oo
oo
o
oo
o
oo
o
oo ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
)()()( *
*
**
*
**
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
 
 4
g
z
v
zzz
x
yu
y
v
yyy
x
yu
x
v
xxx
x
yu
yy
PP
z
vw
x
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y
x
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x
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vu
x
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tx
vu
x
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oo
o
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oo
o
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oo
o
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o
oo
o
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o
o
oo
o
o
o
o
oo
ρµρ −
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
)()()( *
*
**
*
**
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
y
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oo
oo g
z
v
zz
x
y
v
yy
x
x
v
xx
yu
yy
PP
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
x
yu
ρµρ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ )()()( *
*
*2
2
*
*
*2
2
*
*
*3*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
2
2
 
 
y
o
ooo
o
o
o
o
oo
o
ooo
o
oo
g
x
yuz
v
zz
x
y
v
yy
x
x
v
xx
yu
x
yuyy
PP
x
yuz
vw
y
vv
x
vu
t
v ρ
ρ
µ
ρρ 2
2*
*
*2
2
*
*
*2
2
*
*
*3
2
2*
*
2
2*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* 1)()()(11 −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂∆
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 
o
o
o
oy
o
o
o
o
ooo
o
o y
x
u
xg
z
v
z
x
y
v
y
x
x
v
xuy
P
y
x
u
P
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
22*
*2
2
2
2*
*2
2
2
2*
*2
*
*
2
2
2*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂∆
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
µ
ρ
 
 
o
o
yo
o
o
o
o
o
y
x
Frz
v
z
x
y
v
y
x
x
v
y
P
y
x
Eu
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
22*
*2
2
2
2*
*2
2
2
2*
*2
*
*
2
2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* 1
Re
1
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 
Para completar la tercera componente de la ecuación vectorial del momentum se repite el mismo procedimiento para la ecuación de la 
dirección z 
 
NOTA: los valores de Froude con los subíndices x, y o z corresponden a las proyecciones del vector gravedad en las respectivas 
direcciones5
Casos posibles de simplificaciones 
 
• Cuerpos geométricamente esbeltos x0 >> y0 ó y0 >> x0 
Según el caso 
2
0
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
y
x
>>1, para 00 yx >>
2
0
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
y
x
<<1, para 00 xy >>
2
0
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
z
x >>1, para 00 zx >>
2
0
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
z
x <<1, para 00 xz >>
 
• Casos donde no existe o es despreciables el efecto de la presión, Eu ≈ 0. 
• Casos donde se puede despreciar el efecto de la gravedad 01 2 ≈Fr
. 
• Régimen permanente 0=
∂
∂
t
. 
• Flujo desarrollado en un dirección 0
**
=
∂
∂u . Donde ** es la dirección de desarrollo y 
 es el vector velocidad. u
 
Ejemplo 1: 
Usando las ecuaciones adimensionalizadas de flujo, determine la función del perfil de flujo 
generado entre dos placas planas fijas separadas una distancia H, tal como se muestra en la 
fig., a través de las cuales circula un flujo laminar estacionario obligado por un gradiente de 
presión constante entre los dos extremos de las placas suficientemente largas para no 
considerar los efectos de la entrada y la salida del fluido. La profundidad de las placas es 
considerada suficientemente lejanos para no perturbar el flujo con efectos de borde. 
Considere flujo incompresible. 
 
 
 6
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. Perfil de velocidad entre placas planas 
 
Solución: 
Debido a la premisa de que la profundidad de las placas es considerada suficientemente 
lejanos para no perturbar el flujo con efectos de borde, las componentes a de la ecuacion de 
momentum a considerar solo contemplan las dirección a lo largo del flujo y la dirección 
perpendicular en la vertical, es decir, el problema puede ser considerado 2D. 
 
Partiendo de las ecuaciones adimensionalizadas: 
 
0*
*
*
*
*
*
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
v
x
u 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2*
*22
2*
*22
2*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Re
1
z
u
z
x
y
u
y
x
x
u
x
PEu
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
o
o
o
o 
o
o
o
o
o
o
o
o
y
x
Frz
v
z
x
y
v
y
x
x
v
y
P
y
x
Eu
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
22*
*2
2
2
2*
*2
2
2
2*
*2
*
*
2
2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* 1
Re
1
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 
Debido a las premisas del problema flujo permanente 0=
∂
∂
t
 
Debido a las premisas del problema flujo desarrollado 0=
∂
∂
=
∂
∂
x
v
x
u 
De la ecuación de continuidad 10 Kv
y
v
=⇒=
∂
∂ , done K1 es constante igual a cero, por las 
condiciones de borde. 
 7
Sustituyendo estas premisas en las ecuaciones de momentum nos queda: 
2*
*22
*
*
Re
10
y
u
y
x
x
PEu
o
o
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
−= y 
o
o
o
o
y
x
Fry
P
y
x
Eu 10 *
*
2
2
−
∂
∂
−= 
NOTA: si se considera que la aceleración de gravedad no tiene mayor efecto sobre el fluido 
entre las placas la segunda expresión cambia, para representar un cambio de presión nula 
debido al movimiento de fluido, es decir la presión en la dirección vertical solo esta 
constituida por la componente estática. 
 
Desarrollando cada una de estas ecuaciones obtenemos 
2*
*22
0
0
*
*
Re
10
y
u
y
x
x
PEu
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
−= ⇒ *
*2
0
0
2*
*2
Re
x
P
x
yEu
y
u
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∂
∂ ⇒
 1.Re **
*2
0
0
*
*
Ky
x
P
x
yEu
y
u
+
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∂
∂ ⇒ ( ) 21
2
.Re *
2*
*
*2
0
0** KyKy
x
P
x
yEuyu ++
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= 
donde K1 y K2 se calculan de las condiciones de borde 
u (y = 0) = 0 ⇔ u* (y*=0) = 0 ⇒ K2 = 0 
u (y = H) = 0 ⇔ u* (y*=1) = 0 ⇒ 
*
*2
0
0Re
2
11
x
P
x
yEuK
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−= 
resultando ( ) ( )*2**
*2
0
0** .Re
2
1 yy
x
P
x
yEuyu −
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= 
y 
o
o
o
o
y
x
Fry
P
y
xEu 10 *
*
2
2
−
∂
∂
−= ⇒ 
o
o
x
y
EuFry
P 1
*
*
−=
∂
∂ ⇒ 
p
gy
y
P o
∆
−=
∂
∂ ρ
*
*
 
( ) 333
0
**** K
p
gyK
y
y
p
gy
Ky
p
gy
dy
p
gy
yP ooo +
∆
−=+
∆
−=+
∆
−=
∆
−= ∫
ρρρρ
 
 
Si tomamos la p (y=0) = presión conocida = p1 ⇒ p1*=p1/∆p 
= ( )
p
gypyP
∆
−=
ρ*** 1 
 
Ejemplo 2: 
Usando las ecuaciones adimensionalizadas de flujo, determine la función del perfil de flujo 
generado entre dos placas planas separadas una distancia H, tal como se muestra en la fig., 
 8
la placa superior se mueve hacia la derecha a una velocidad Vo, creando un flujo 
estacionario obligado únicamente por el movimiento, los extremos de las placas están 
suficientemente lejanos para no perturbar el flujo con efectos de borde. Considere flujo 
incompresible y bidimensional. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. Perfil de velocidad entre placas planas 
 
Partiendo de las ecuaciones adimensionalizadas: 
 
0*
*
*
*
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2*
*22
2*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Re
1
y
u
y
x
x
u
x
PEu
y
uv
x
uu
t
u
o
o 
o
o
o
o
o
o
y
x
Fry
v
y
x
x
v
y
P
y
x
Eu
y
vv
x
vu
t
v
22*
*2
2
2
2*
*2
*
*
2
2
*
*
*
*
*
*
*
* 1
Re
1
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 
Debido a las premisas del problema flujo permanente 0=
∂
∂
t
 
Debido a las premisas del problema flujo desarrollado 0=
∂
∂
=
∂
∂
x
v
x
u 
De la ecuación de continuidad Kv
y
v
=⇒=
∂
∂ 0 , done K es constante igual a cero, por las 
condiciones de borde. 
Sustituyendo estas premisas en las ecuaciones de momentum nos queda: 
2*
*22
0
0
*
*
Re
10
y
u
y
x
x
PEu
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
∂
∂
−= y 
o
o
o
o
y
x
Fry
P
y
x
Eu 2*
*
2
2 10 −
∂
∂
−= 
 9
Note que este set de ecuaciones es similar al del ejemplo 1, por lo tanto la solución genérica 
es la misma 
( ) 21
2
.Re *
2*
*
*2
0
0** KyKy
x
P
x
yEuyu ++
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= 
sin embargo las condiciones de borde difieren 
u (y = 0) = 0 ⇔ u* (y*=0) = 0 ⇒ K2 = 0 
u (y = H) = Vo ⇔ u (y*=1) = 1 ⇒ 1Re
2
11 *
*2
0
0 +
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
x
P
x
y
EuK 
( ) ( ) **2**
*2
0
0** Re
2
1 yyy
x
P
x
y
Euyu +−
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= 
Para el caso particular de l gradiente de presión igual a cero 
2*
*22
0
0
Re
10
y
u
y
x
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= ⇒ 02*
*2
=
∂
∂
y
u ⇒ 1
*
*
K
y
u
=
∂
∂ ⇒ ( ) 21 *** KyKyu += 
donde K1 y K2 se calculan de las condiciones de borde 
u (y = 0) = 0 ⇔ u* (y*=0) = 0 ⇒ K2 = 0 
u (y = H) = Vo ⇔ u* (y*=1) = 1 ⇒ 11 =K 
resultando ( ) *** yyu = ⇒ ( ) y
h
Vyu 0= 
 
En el caso del perfil de presión, nuevamente este coincide con el perfil de presión 
hidrostática. 
y 
o
o
o
o
y
x
Fry
P
y
xEu 10 *
*
2
2
−
∂
∂
−= ⇒ 
o
o
x
y
EuFry
P
2*
* 1
−=
∂
∂ ⇒ 
p
gy
y
P o
∆
−=
∂
∂ ρ
*
*
 
( ) 333
0
**** K
p
gyK
y
y
p
gy
Ky
p
gy
dy
p
gy
yP ooo +
∆
−=+
∆
−=+
∆
−=
∆
−= ∫
ρρρρ
 
Si tomamos la p (y=0) = presión conocida = p1 ⇒ p1*=p1/∆p 
 10
= ( )
p
gypyP
∆
−=
ρ*** 1 
 
Para el mismo problema pero para la parte inferior fija y la parte superior en movimiento la 
ecuación genérica producto de la integración es la misma pero las condiciones de borde 
cambian. Siendo estas: 
u (y = 0) = Vo ⇔ u* (y*=0) = 1 ⇒ 12 =K 
u (y = H) = 0 ⇔ u (y*=1) = 0 ⇒ 1Re
2
11 *
*2
0
0 −
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
x
P
x
y
EuK 
( ) ( ) ( 1
2
Re **2*
*
*2
0
0** −−−
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= yyy
x
P
x
yEuyu ) 
La siguiente figura muestra la comparación de los perfiles de velocidad para los dos casos 
de placas paralelas con gradiente de presión distinto de cero. 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,5 1 1,5 2
Velocidad adimensional, u*
A
ltu
ra
 a
di
m
en
si
on
al
, y
*
Parte inferior fija
Parte superior fija
 
 11