Flujo Rotacional

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR 
DIVISIÓN DE MATEMÁTICA Y FÍSICA 
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA 
Mecánica de los Fluidos I (MC-2312) 
 
Instructor: Freddy Maan 
Trimestre: Enero-“Junio” 2019 
 
Culminación del tema 3. 
 
Velocidad de deformación, de deformación angular y de rotación: Flujo 
rotacional 
 
Inciso 
 
La distinción entre flujo rotacional e irrotacional ya mencionada en clases no es 
la única existente, hay otras consideraciones que se aprecian en la realidad, que se alejan 
de definiciones matemáticas con operadores vectoriales, y desea mencionarse esto 
porque será importante en los temas finales del curso. 
 
 
 
A lo largo del curso no se ha mencionado todavía la diferencia entre flujo 
laminar y turbulento. En el movimiento del fluido a lo largo de un tubo puede hablarse 
de flujo “laminar”, en el cual distintas capas de fluido se trasladan en forma de láminas, 
paralelas entre sí, de manera ordenada. El flujo turbulento que, por lo general, se 
produce a mayores velocidades de flujo, es mucho más impredecible, tal como se 
expone en el Roca Vila: 
 
La turbulencia no se produce exclusivamente como consecuencia de una mayor 
velocidad. Osborne Reynolds determinó experimentalmente que esta clasificación de 
flujo según su ordenamiento dependía, la viscosidad dinámica del fluido, su densidad, el 
diámetro de la sección transversal a través de la cual viaja (pensar en un fluido viajando 
a lo largo de una tubería circular), y, como ya se vislumbró, la velocidad media con la 
que viaja el fluido. A partir de esto nace el parámetro adimensional conocido como 
número de Reynolds, el cual viene dado por la ecuación 1: 
 
𝑅𝑒 =
𝑈𝜌𝑑
𝜇
 (1) 
 
Donde: 
 
𝑈: Velocidad media del flujo. 
𝜌: Densidad del fluido. 
𝑑: Diámetro de la tubería a través de la cual viaje el fluido. 
𝜇: Viscosidad dinámica del fluido. 
 
Considerando que la viscosidad dinámica se puede escribir como: 
𝜇 = 𝜌𝜈 (2) 
Donde: 
 
𝜈: Viscosidad cinemática del fluido 
 
Obteniéndose: 
𝑅𝑒 =
𝑈𝜌𝑑
𝜌𝜈
 (3) 
 
𝑅𝑒 =
𝑈𝑑
𝜈
 (5) 
A través de la ecuación 5, el número de Reynolds puede expresarse en función 
exclusivamente de parámetros cinemáticos (velocidad media y viscosidad cinemática) y 
geométricos (diámetro de la tubería). Por si surge la duda, esta expresión aplica también 
para tuberías de sección no circular, y en lugar de hablarse de un diámetro de manera 
literal, se habla de un “diámetro hidráulico”, y este variará según la geometría específica 
que se tenga. 
 
Para concluir, de una manera sobre-simplificada, para valores “bajos” del 
número de Reynolds, se tendrá flujo laminar, y para valores “altos” de este, se tendrá 
flujo turbulento, impredecible, desordenado. Los rangos específicos de las 
denominaciones “alto” y “bajo” se especificarán más adelante en el curso. 
 
Fin del inciso 
 
Rotación de un fluido: 
 
Volviendo al análisis cinemático de un fluido, piénsese en un rectángulo de 
fluido sumamente pequeño, cuyos vértices son A, B, C y D, en un instante de tiempo 
“t”, sometido a un campo de velocidades plano y transitorio (varía en el tiempo): 
 
 
Figura 1.Rectángulo de fluido sumamente pequeño moviéndose según un 
campo de velocidades “u” en un instante “t” de tiempo 
 
Cabe destacar que todo el análisis que se está haciendo es para el caso plano, 
pero todo puede ser sencillamente extrapolado al caso tridimensional una vez 
desarrollado todo el procedimiento. Se escribirán los vectores posición de cada vértice, 
solo para identificar con mayor facilidad la velocidad de cada uno: 
𝑟 𝐴 = 𝑥, 𝑦 → 𝑢 𝐴 = 𝑢 (𝑥 ,𝑦 ,𝑡) (6) 
𝑟 𝐵 = 𝑥, 𝑦 → 𝑢 𝐵 = 𝑢 (𝑥+∆𝑥 ,𝑦 ,𝑡) (7) 
𝑟 𝐶 = 𝑥, 𝑦 → 𝑢 𝐶 = 𝑢 (𝑥 ,𝑦+∆𝑦 ,𝑡) (8) 
𝑟 𝐷 = 𝑥, 𝑦 → 𝑢 𝐷 = 𝑢 (𝑥+∆𝑥 ,𝑦+∆𝑦 ,𝑡) (9) 
 
Intentemos ahora, relacionar las velocidades entre los puntos A y B, esto 
considerando que la distancia horizontal que los separa es „∆𝑥 „, la cual es muy 
pequeña. Si a esto se le añade que el campo de velocidades es continuo, no resulta 
descabellada la suposición de que la velocidad varía linealmente entre estos dos puntos, 
pues, se sabe que cuando dos puntos están bastante cerca entre sí, las propiedades 
asociadas a esos puntos varían linealmente entre ellos, dicho de otra forma, pueden 
relacionarse mediante la ecuación de la recta, en donde, por practicidad, cualquiera 
podría imaginar un punto “P” comprendido entre los puntos A y B, sobre la misma recta 
horizontal, y plantear, para la variación horizontal de la velocidad: 
 
 
Figura 2. Punto „P‟ Comprendido en la semi-recta que une a los puntos „A‟ y „B‟ 
 
𝑢 𝑃 − 𝑢 𝐴 = 
𝑢 𝐵 − 𝑢 𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
 𝑥𝑃 − 𝑥𝐴 (10) 
 
No es más que la aplicación de la ecuación punto-pendiente para el campo de 
velocidades, que es un vector, pero es el mismo principio empleado con funciones 
escalares. Esto es equivalente a decir que, para cualquier punto P, comprendido en el 
segmento de recta 𝐴𝐵 , incluidos sus extremos, puede considerarse que la velocidad 
varía linealmente. Por otro lado, conviene hacer algunas aclaratorias y aplicar algunas 
notaciones específicas. Considerando en primer lugar que se está hablando de un campo 
de velocidades bidimensional, puede plantearse: 
 
𝑢 = 
𝑢𝑥
𝑢𝑦
0
 (12) 
 
Por lo que la expresión 10, que es vectorial, puede desglosarse en 2 expresiones 
escalares equivalentes: 
 
𝑢𝑃𝑥 − 𝑢𝐴𝑥 = 
𝑢𝐵𝑥 − 𝑢𝐴𝑥
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
 𝑥𝑃 − 𝑥𝐴 (13) 
 
𝑢𝑃𝑦 − 𝑢𝐴𝑦 = 
𝑢𝐵𝑦 − 𝑢𝐴𝑦
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
 𝑥𝑃 − 𝑥𝐴 (14) 
 
Recordando (ver figura 1): 
 
𝑥𝐴 = 𝑥 𝑥𝐵 = 𝑥 + ∆𝑥 → 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 = ∆𝑥 (15) 
 
Además, escribiendo, por conveniencia: 
 
𝑢𝐵𝑥 − 𝑢𝐴𝑥 = ∆𝑢𝑥 (16) 
 
𝑢𝐵𝑦 − 𝑢𝐴𝑦 = ∆𝑢𝑦 (17) 
 
Esta notación tiene sentido, pues, si la distancia entre A y B es pequeña, la 
diferencia entre las velocidades de esos puntos también debería ser pequeña, esto 
basados en que el campo de velocidad es continuo. Las ecuaciones 15, 16 y 17 nos 
llevan a: 
 
 
𝑢𝐵𝑥 − 𝑢𝐴𝑥
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
 =
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 (18) 
 
 
𝑢𝐵𝑦 − 𝑢𝐴𝑦
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
 =
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 (19) 
 
Siendo las expresiones 18 y 19, sencillamente, las pendientes de la recta 
planteada para cada caso. Si se evalúan las expresiones 13 y 14 suponiendo que „P‟ está 
ubicado en la misma posición que el punto B, o, dicho de otra forma, evaluando las 
ecuaciones de la recta en el punto B, se tendría: 
 
𝑢𝐵𝑥 − 𝑢𝐴𝑥 =
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 → 𝑢𝐵𝑥 =
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑢𝐴𝑥 (20) 
 
𝑢𝐵𝑦 − 𝑢𝐴𝑦 =
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 → 𝑢𝐵𝑦 =
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑢𝐴𝑦 (21) 
Las expresiones 20 y 21 pueden parecer sumamente redundantes, pero su 
utilidad se verá expuesta a continuación. Supóngase ahora que transcurre una cantidad 
de tiempo „∆𝑡‟ también sumamente pequeña, y se superponen ambos esquemas en la 
figura 3. 
 
 
Figura 3. En negro las partículas estudiadas en el instante “t” (las pertenecientes 
al rectángulo ABCD), y rojo, las partículas estudiadas en el instante “t+Δt”, que ahora 
forman el paralelogramo A‟B‟C‟D‟ 
 
Lo que está en rojo es la nueva ubicación de las partículas de fluido que en el 
instante original formaban un rectángulo. Ahora lo que se tiene es una especie de 
paralelogramo, esto debido a, como se dijo antes, la no uniformidad del cambo de 
velocidades. Un punto del fluido puede moverse con mayor o menor velocidad en un 
instante dado según su ubicación. Puede apreciarse que ahora la recta A‟B‟ es inclinada, 
esto consecuencia directa de que el campo de velocidades, en general, no es uniforme, 
y, como se dijo antes, se aproxima que las velocidades varían linealmente por tratarse de 
distancias muy pequeñas, por lo que se crea un “triángulo de velocidades”, y porconsiguiente, en un instante de tiempo muy pequeño, se crea también un “triángulo de 
desplazamientos”. 
 
Esta noción de triángulos de velocidades se suele mencionar en dinámica I, para 
hablar de que la magnitud de la velocidad lineal de un cuerpo rígido en rotación pura 
varía linealmente con la distancia al punto pivote o punto de giro, (dado que todos los 
puntos de un cuerpo rígido poseen la misma velocidad angular, pero no todos se 
encuentran a la misma distancia del punto pivote). Esta noción de triángulos de 
velocidades o de desplazamientos puede aplicarse para cualquier propiedad que varíe 
linealmente en el espacio. 
 
Dado que el intervalo de tiempo es muy pequeño, los desplazamientos pueden 
tratarse como de si un movimiento rectilíneo uniforme se tratase. Se tendría, para el 
desplazamiento horizontal de los puntos A y B: 
 
∆𝑥𝐴𝐴′ = 𝑢𝐴𝑥∆𝑡 ∆𝑥𝐵𝐵′ = 𝑢𝐵𝑥∆𝑡 (22) 
 
En cuanto a los desplazamientos verticales: 
 
∆𝑦𝐴𝐴′ = 𝑢𝐴𝑦∆𝑡 ∆𝑦𝐵𝐵′ = 𝑢𝐵𝑦∆𝑡 (23) 
 
Planteando una notación más práctica: 
 
𝑢𝐴𝑥 = 𝑢𝑥 → 𝑢𝐵𝑥 =
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑢𝑥 (24) 
𝑢𝐴𝑦 = 𝑢𝑦 → 𝑢𝐵𝑦 =
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑢𝑦 (25) 
 
Obteniéndose: 
∆𝑥𝐴𝐴′ = 𝑢𝑥∆𝑡 ∆𝑥𝐵𝐵′ = 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑢𝑥 ∆𝑡 (26) 
∆𝑦𝐴𝐴′ = 𝑢𝑦∆𝑡 ∆𝑦𝐵𝐵′ = 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑢𝑦 ∆𝑡 (27) 
 
Por otro lado, si se quisiera determinar cuánto se desplazó verticalmente el punto 
B respecto al punto A, simplemente debe hacerse una resta clásica de movimiento 
relativo: 
 
∆𝑦𝐵 = ∆𝑦𝐵
𝐴
+ ∆𝑦𝐴 (28) 
∆𝑦𝐵
𝐴
= ∆𝑦𝐵 − ∆𝑦𝐴 (29) 
 
En este caso, cabe aclarar: 
 
∆𝑦𝐵
𝐴
= ∆𝑦𝐴′𝐵′ ∆𝑦𝐵 = ∆𝑦𝐵𝐵′ ∆𝑦𝐴 = ∆𝑦𝐴𝐴′ (30) 
 
∆𝑦𝐴′𝐵′ = ∆𝑦𝐵𝐵′ − ∆𝑦𝐴𝐴′ (31) 
 
∆𝑦𝐴′𝐵′ = 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑢𝑦 ∆𝑡 − 𝑢𝑦∆𝑡 (32) 
 
Resolviendo: 
 
∆𝑦𝐴′𝐵′ =
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ∆𝑡 (33) 
 
Por otro lado, hay que considerar que el segmento de recta 𝐴𝐵 sufrió una 
rotación, pues, en el instante „t+Δt‟ posee una inclinación distinta a aquella del instante 
„t‟, al igual que el segmento de recta 𝐴𝐶 , por lo que se tendrán dos ángulos de rotación, 
los cuales podrían tener signo positivo o negativo según si el sentido de rotación fue anti 
-horario u horario respectivamente. 
 
En la figura 4 se ilustra esta idea de los ángulos, así como varias otras anteriores 
en las que se hacía referencia a los pequeños desplazamientos de cada punto, entre otros 
aspectos adyacentes: 
 
 
Figura 4. Ilustración de desplazamientos y rotaciones 
 
Análogamente a todo lo anterior, los ángulos 𝛼1 y 𝛼2 deben ser sumamente 
pequeños, esto también consecuencia de que el tiempo transcurrido es sumamente 
pequeño, por lo que el rectángulo original no tiene margen u oportunidad de trasladarse, 
deformarse, o rotar de manera apreciable. En otras palabras, el paralelogramo del 
instante posterior es “casi” un rectángulo cuyos vértices están ubicados “casi” en la 
misma posición del instante inicial. No obstante, el hecho de que los ángulos de 
rotación sean pequeños no implica que sus tasas de cambio (o derivadas temporales) lo 
sean. Para ilustrar esto, se analizará el caso de 𝛼1, el ángulo que se forma en el vértice 
A‟ a partir de la intersección de los segmentos de recta 𝐴’𝐶’ y una paralela al segmento 
𝐴𝐵 (la horizontal, básicamente) que pasa por A‟, como puede apreciarse en la figura 5: 
 
 
Figura 5. Ilustración del triángulo rectángulo que se forma con los puntos A‟ y B‟ 
Para saber cómo varía el ángulo 𝛼1 en el tiempo, puede relacionarse con los 
catetos del triángulo de la figura 5: 
tan 𝛼1 =
∆𝑦𝐴′𝐵′
∆𝑥𝐴′𝐵′
 (34) 
Por otro lado, el ángulo 𝛼1 puede expresarse como una diferencia entre ángulos, 
debido a que el ángulo con la horizontal cambió desde la nulidad hasta el valor de 𝛼1, es 
decir: 
∆𝛼1 = 𝛼1 𝑡+∆𝑡 − 𝛼1 𝑡 35 
Dado que originalmente el ángulo con la horizontal era nulo: 
𝛼1 𝑡 = 0 (36) 
Puede hablarse de un único ángulo con la horizontal, de modo que puede 
retomarse sin problemas la notación que se estaba empleando hasta ahora: 
𝛼1 𝑡+∆𝑡 = 𝛼1 (37) 
∆𝛼1 = 𝛼1 𝑡+∆𝑡 − 𝛼1 𝑡 = 𝛼1 − 0 → ∆𝛼1 = 𝛼1 → tan 𝛼1 = tan ∆𝛼1 (38) 
Resultando, basados en las expresiones 34 y 38: 
tan ∆𝛼1 =
∆𝑦𝐴′𝐵′
∆𝑥𝐴′𝐵′
 (39) 
Por otro lado, nunca se calculó la distancia horizontal entre los puntos A‟ y B‟, 
pero puede hallarse fácilmente observando las figuras 3 y 4: 
∆𝑥𝐴′𝐵′ = 𝑥𝐵′ − 𝑥𝐴′ (40) 
𝑥𝐵′ = 𝑥𝐵 + ∆𝑥𝐵𝐵′ 𝑥𝐴′ = 𝑥𝐴 + ∆𝑥𝐴𝐴′ (41) 
Aclarando, según la figura 1: 
𝑥𝐵 = 𝑥 + ∆𝑥 𝑥𝐴 = 𝑥 (42) 
Sustituyendo: 
𝑥𝐵′ = 𝑥 + ∆𝑥 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 + 𝑢𝑥 ∆𝑡 𝑥𝐴′ = 𝑥 + 𝑢𝑥∆𝑡 (43) 
∆𝑥𝐴′𝐵′ = 𝑥 − 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑢𝑥∆𝑡 − 𝑢𝑥∆𝑡 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ∆𝑡 (44) 
Planteando: 
∆𝑥𝐴′𝐵′ = ∆𝑥 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ∆𝑡 (45) 
Reconociendo lo siguiente: 
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 = ∆𝑥 (45) 
Se obtiene: 
∆𝑥𝐴′𝐵′ = ∆𝑥 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑥∆𝑡 (46) 
Factorizando: 
∆𝑥𝐴′𝐵′ = ∆𝑥 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 (47) 
Obsérvese la expresión dentro del paréntesis, si se toma en cuenta que el tiempo 
transcurrido es sumamente pequeño, se apreciará que el término 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡, por estar 
multiplicado por un ∆𝑡 muy pequeño, es despreciable respecto al término que se está 
sumando, el “uno” (1), por lo que la base del paralelogramo sería aproximadamente 
igual a la del rectángulo (esto, nuevamente, porque transcurrió muy poco tiempo entre 
ambas configuraciones, por lo que son prácticamente idénticas). 
Ahora se tienen todos los ingredientes para abordar la expresión 39: 
tan ∆𝛼1 =
∆𝑦𝐴′𝐵′
∆𝑥𝐴′𝐵′
=
 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 
∆𝑥 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 
=
 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 ∆𝑥
∆𝑥 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 
 (48) 
Simplificando: 
tan ∆𝛼1 =
 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 ∆𝑡
 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 
 (49) 
Ahora, por conveniencia que se expondrá un poco más adelante, se dividirán 
ambos lados de la expresión entre un diferencial de tiempo: 
1
∆𝑡
tan ∆𝛼1 =
1
∆𝑡
 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 ∆𝑡
 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 
 (50) 
Tomando ahora el límite en el que las dimensiones del rectángulo y el tiempo 
transcurrido tienden a la nulidad, se obtiene, considerando que del lado derecho pueden 
simplificarse los ∆𝑡: 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 
1
∆𝑡
tan ∆𝛼1 = lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 
 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 
 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 
 (51) 
Del lado izquierdo puede aplicarse la propiedad de límites del cociente, que 
narra que el límite de cada función por separado existe, el límite del cociente puede 
escribirse como el cociente de los límites. Dado que las funciones trigonométricas son 
continuas, y que los polinomios también lo son (en el caso del denominador ∆𝑡, que 
vendría siendo un polinomio de primer grado), se tiene: 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 
1
∆𝑡
tan ∆𝛼1 =
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 tan ∆𝛼1 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 ∆𝑡 
 (52) 
Por otro lado: 
𝑠𝑖 ∆𝑡 → 0 → ∆𝛼1 → 0 (53) 
Como ya se vislumbró, si el tiempo transcurrido es muy pequeño, el ángulo de 
giro debe serlo también. Acomodando el numerador de la expresión 52: 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 tan ∆𝛼1 = lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 tan ∆𝛼1 
∆𝛼1
∆𝛼1
 (54) 
Se sabe que cuando un ángulo es muy pequeño, su tangente será 
aproximadamente igual al ángulo (expresado en radianes): 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 tan ∆𝛼1 
∆𝛼1
∆𝛼1
 = lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 
tan ∆𝛼1 
∆𝛼1
 ∆𝛼1 (54) 
Estos “pasos adicionales” se efectúan para no perder la rigurosidad, separando 
los límites: 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 
tan ∆𝛼1 
∆𝛼1
 ∆𝛼1 = lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0tan ∆𝛼1 
∆𝛼1
 lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 ∆𝛼1 (55) 
Se tiene entonces: 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 
tan ∆𝛼1 
∆𝛼1
 = 1 (56) 
Sustituyendo esto en la expresión 55: 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 
tan ∆𝛼1 
∆𝛼1
 ∆𝛼1 = 1. lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 ∆𝛼1 (57) 
Sustituyendo esto en la expresión 52: 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 tan ∆𝛼1 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 ∆𝑡 
=
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 ∆𝛼1
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 ∆𝑡 
= lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 
∆𝛼1
∆𝑡
 (58) 
Esta expresión es bastante conocida, dado que se trata del “límite del cociente 
incremental”, que, para funciones continuas y diferenciables, no es más que la derivada 
del ángulo en el tiempo: 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 → 0,0,0 
 
∆𝛼1
∆𝑡
=
𝑑𝛼1
𝑑𝑡
= 𝛼 1 59 
Es decir, del lado izquierdo de la expresión 51, lo que se tiene no es más que la 
tasa de cambio del ángulo en el tiempo, pero ¿A qué es igual? Ahora debe analizarse 
igualmente el lado derecho, también aplicando propiedades básicas de límites: 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 
 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 
 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 
=
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 
 (60) 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 = 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 0 = 1 (61) 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 
 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 
 1 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 
= lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 (62) 
En el lado derecho de la expresión 51 se llegó también a un límite del cociente 
incremental, pero aquí cabe recalcar que la velocidad vertical “𝑢𝑦” es una función de 
varias variables, por lo que se obtendría una derivada parcial: 
lim
 ∆𝑥 ,∆𝑦 ,∆𝑡 →(0,0,0)
 
∆𝑢𝑦
∆𝑥
 =
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
 (63) 
Sustituyendo todo esto en la expresión 51, se tiene: 
𝛼 1 =
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
 (64) 
Esta tasa de cambio del ángulo es positiva debido a que el segmento de recta 𝐴𝐵 
rota en sentido anti-horario. Observando la figura 4, y realizando un análisis similar al 
empleado hasta ahora, el lector puede llegar a la siguiente conclusión: 
𝛼 2 = −
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
 (65) 
Donde debe aclararse que el signo es artificial, o impuesto luego de efectuar el 
cálculo, esto debido a que el ángulo de giro del segmento de recta 𝐴𝐶 , como puede 
observarse en la figura 4, es negativo, pues se dio en sentido horario. Esto no quiere 
decir que el signo de la tasa de cambio ángulo 𝛼1 siempre será positivo, ni que el signo 
de la tasa de cambio del ángulo 𝛼2 siempre será negativa, todo esto siempre dependerá 
de cómo varía el campo de velocidades en el espacio, es decir: 
𝑠𝑖 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
> 0 → 𝛼 1 > 0 , 𝑠𝑖 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
< 0 → 𝛼 1 < 0 66 
𝑠𝑖 
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
> 0 → 𝛼 2 < 0 , 𝑠𝑖 
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
< 0 → 𝛼 2 > 0 (67) 
Por otro lado, todo el objeto de esto era hablar de la rotación del fluido, y 
definitivamente no es algo tan claro como la rotación de un cuerpo rígido, pues en este 
caso, una parte de la porción del fluido estudiado rotó en sentido horario y la otra en 
sentido opuesto, por lo que se habla de una “velocidad angular promedio”, que 
lógicamente debe ser perpendicular al plano (en dirección „z‟): 
𝜔𝑧 =
𝛼 1 + 𝛼 2
2
=
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
 + −
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
 
2
 (68) 
Es decir: 
𝜔𝑧 =
1
2
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
 (69) 
Por otro lado, escribiendo algunas expresiones de manera conveniente: 
∇=
 
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧 
 
 
 
 
 𝑢 = 
𝑢𝑥
𝑢𝑦
0
 (70) 
Efectuando el siguiente cálculo: 
1
2
∇𝑥𝑢 =
1
2
 
 
 
 
 
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧 
 
 
 
 
𝑥 
𝑢𝑥
𝑢𝑦
0
 =
1
2
 
 
 
 
 
−
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
 
 
 
 
 
 
 (71) 
Por tratarse de un problema plano: 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
=
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
= 0 (72) 
1
2
∇𝑥𝑢 =
1
2
 
0
0
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
 
 (73) 
Confirmándose, que para el caso plano: 
𝜔 =
1
2
∇𝑥𝑢 (74) 
Esta última ecuación también se cumple para el caso tridimensional. Todo este 
análisis puede extrapolarse para un caso tridimensional (en el que se estudie un 
paralelepípedo muy pequeño en lugar de un rectángulo), y se obtendría: 
𝑢 = 
𝑢𝑥
𝑢𝑦
𝑢𝑧
 (75) 
𝜔 =
1
2
∇𝑥𝑢 → 
𝜔𝑥
𝜔𝑦
𝜔𝑧
 =
1
2
 
 
 
 
 
 
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
 
 
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
 
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
 
 
 
 
 
 
 (76) 
Por otro lado, debe hablarse de la vorticidad de un fluido, que no es más que la 
capacidad de un campo de velocidades de inducir rotación en un punto de un fluido, que 
vendría siendo, más específicamente, el rotacional de la velocidad: 
𝜉 = ∇𝑥𝑢 → 𝜉 = 2𝑥𝜔 (77) 
El fluido es irrotacional cuando su vorticidad es nula: 
𝑠𝑖 𝜉 = 𝜔 = 0 (78) 
Deformación de un fluido: 
De manera totalmente análoga a la de Mecánica de Materiales II, puede hablarse 
de la deformación de un fluido, pero, dado que se trata de partículas en constante 
movimiento, se habla directamente de la tasa de deformación de un fluido. Piénsese, en 
primer lugar en el caso de las figuras 1-5, para el que se abordará, en primer lugar, la 
deformación angular. Piénsese en el cambio de ángulo entre los segmentos de rectas AB 
y AC (inicialmente perpendiculares), cuando pasan a ser los segmentos de recta A‟B‟ y 
A‟C‟: 
𝜀 𝑥𝑦 =
1
2
 𝛼 1 − 𝛼 2 (79) 
Lo que se está tomando es una especie de “deformación angular promedio”, solo 
que en este caso, dado que el ángulo 𝛼2 es negativo (por ocurrir en sentido horario), 
debe restarse en lugar de sumarse para que su contribución no se oponga a la del ángulo 
𝛼1 y que efectivamente pueda hablarse de un promedio fidedigno. Esto se debe a que 
ambas rotaciones están contribuyendo en que el ángulo entre los segmentos de recta AB 
y AC disminuya, pero los ángulos tienen distintos signos, por lo que, para orientarlos de 
la misma forma, se cambia el signo de uno de los dos, obteniéndose, sustituyendo por 
los equivalentes en derivadas parciales: 
𝜀 𝑥𝑦 =
1
2
 𝛼 1 − 𝛼 2 =
1
2
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
 − −
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
 → 𝜀 𝑥𝑦 =
1
2
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
 (80) 
En cuanto a la deformación axial unitaria, o elongación por unidad de longitud, 
para la dirección horizontal: 
𝜀 𝑥𝑥 = lim
∆𝑡→0
𝜀𝑥𝑥
∆𝑡
 (81) 
Aplicando la definición de deformación axial unitaria de Mecánica de Materiales 
I al segmento de recta AB: 
𝜀𝑥𝑥 =
∆𝑙𝑥
𝑙𝑥
=
𝑙𝑓 − 𝑙0
𝑙𝑥
=
∆𝑥𝐴′𝐵′ − ∆𝑥𝐴𝐵
∆𝑥𝐴𝐵
=
 ∆𝑥 + 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑥 ∆𝑡 − ∆𝑥 
∆𝑥
 (82) 
𝜀𝑥𝑥 =
 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑥 ∆𝑡 + ∆𝑥 − ∆𝑥 
∆𝑥
=
 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑥 ∆𝑡
∆𝑥
 → 𝜀𝑥𝑥 = 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡 (83) 
Sustituyendo esto en la expresión 81: 
𝜀 𝑥𝑥 = lim
∆𝑡→0
𝜀𝑥𝑥
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
 
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 ∆𝑡
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 (84) 
Dado que del límite resultaron únicamente variables que no dependen del tiempo 
(recordar que la diferencia de velocidades no es entre dos instantes de tiempo distintos, 
sino entre dos puntos del espacio diferentes A y B, que se plantean casi constantes en el 
intervalo de tiempo transcurridos por ser muy pequeño este último), pueden sacarse 
como constantes. 
𝜀 𝑥𝑥 = lim
∆𝑡→0
∆𝑢𝑥
∆𝑥
=
∆𝑢𝑥
∆𝑥
lim
∆𝑡→0
1 =
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 1 =
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 (85) 
Sin embargo, debe recordarse que la distancia horizontal es muy pequeña, por lo 
que puede tomarse el límite cuando esta tiende a la nulidad: 
𝜀 𝑥𝑥 = lim
∆𝑥→0
∆𝑢𝑥
∆𝑥
 (86) 
Nuevamente se tiene un límite del coeficiente incremental, por lo que se tiene 
una derivada parcial: 
𝜀 𝑥𝑥 =
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
 (87) 
El lector puede demostrar análogamente que: 
𝜀 𝑦𝑦 =
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
 (88) 
El lector puede extrapolar todo esto al caso tridimensional y así deducirel tensor 
de velocidad de deformaciones de un fluido, que tiene la forma: 
𝜀 𝑧𝑧 =
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
 𝜀 𝑥𝑧 =
1
2
 
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
 𝜀 𝑦𝑧 =
1
2
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
 (89) 
Considerando la simetría del tensor de deformaciones estudiada en cursos 
anteriores de mecánica, puede extrapolarse la idea también para el tensor de velocidad 
de deformaciones: 
𝜀 𝑥𝑦 = 𝜀 𝑦𝑥 𝜀 𝑥𝑧 = 𝜀 𝑧𝑥 𝜀 𝑦𝑧 = 𝜀 𝑧𝑦 (90) 
𝜀 = 
𝜀 𝑥𝑥 𝜀 𝑥𝑦 𝜀 𝑥𝑧
𝜀 𝑦𝑥 𝜀 𝑦𝑦 𝜀 𝑦𝑧
𝜀 𝑧𝑥 𝜀 𝑧𝑦 𝜀 𝑧𝑧
 =
 
 
 
 
 
 
 
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
1
2
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
 
1
2
 
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
 
1
2
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
1
2
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
 
1
2
 
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
 
1
2
 
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
+
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
 
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
 
 
 
 
 
 
 
 
 (89)