Flujo Viscoso Incompresible

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Capitulo 6
FLUJO VISCOSO 
INCOMPRESIBLE
Mecánica de los Fluidos I
Prof. Richard Oliva Denis
CONTENIDO
1. Introducción
2. Ecuaciones de Navier-Stokes
3. Flujo entre placas paralelas
4. Flujo de Poiseuille
5. Flujo entre cilindros rotatorios
Introducción
En la sección anterior trabajamos con casos en los que se simplifican los
términos viscosos de nuestras ecuaciones de momentum.
Sin embargo, esto no es siempre posible.
El modelo más sencillo para introducir los efectos de fricción corresponde al
de los fluidos newtonianos, el cual representa el comportamiento de muchos
fluidos.
Sin embargo, las ecuaciones resultantes son no-lineales, reduciendo a pocos
casos aquellos en los cuales es posible hallar una solución analítica.
Por su importancia, algunos de estos casos serán desarrollados en este
capítulo.
1. Introducción
2. Ecuaciones de Navier-Stokes
3. Flujo entre placas paralelas
4. Flujo de Poiseuille
5. Flujo entre cilindros rotatorios
CONTENIDO
Ecuaciones de Navier-Stokes
En forma diferencial las ecuaciones de conservación para un fluido incompresible 
son:
𝛻 ∙ 𝑉 = 0
𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑉 ∙ 𝛻 𝑉 = −𝛻𝑃 + 𝛻 ∙ 𝝉 + 𝜌𝐵
De manera extendida, tenemos que en coordanas cartesianas, las ecuaciones de
conservación se expresan como:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑥𝑥
′
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑥
′
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑥
′
𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑥𝑦
′
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑦
′
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑦
′
𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+
𝜕𝜏𝑥𝑧
′
𝜕𝑥
+
𝜕𝜏𝑦𝑧
′
𝜕𝑦
+
𝜕𝜏𝑧𝑧
′
𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑧
Ecuaciones de Navier-Stokes
Estamos interesados en caracterizar 𝝉
Para el caso de un fluido Newtoniano los esfuerzos viscosos son directamente
proporcional a la tasa de deformación angular
𝜏𝑖𝑗 = 𝜇
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝑖, 𝑗 son índices tales que:
𝑢1 = 𝑢 𝑢2 = 𝑣 𝑢3 = 𝑤
𝑥1 = 𝑥 𝑥2 = 𝑦 𝑥3 = 𝑧
Ecuaciones de Navier-Stokes
Teniendo que el tensor de esfuerzo puede escribirse como:
𝝉 = 𝝁
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝝉 = 𝝁
2
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
2
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
2
𝜕𝑤
𝜕𝑧
ó
Ecuaciones de Navier-Stokes
Sustituyendo en las ecuaciones de momentum:
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑥
𝟐𝝁
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑦
𝝁
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑧
𝝁
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝜌𝐵𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑥
𝝁
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑦
𝟐𝝁
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑧
𝝁
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝜌𝐵𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+
𝜕
𝜕𝑥
𝝁
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕
𝜕𝑦
𝝁
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
+
𝜕
𝜕𝑧
𝟐𝝁
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑧
Ecuaciones de Navier-Stokes
Desarrollando, Reagrupando y cambiando el orden de derivación
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝝁
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝝁
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ 𝝁
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
+ 𝝁
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝝁
𝜕2𝑣
𝜕𝑥𝜕𝑦
+ 𝝁
𝜕2𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝝁
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+ 𝝁
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+ +𝝁
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
+ 𝝁
𝜕2𝑢
𝜕𝑦𝜕𝑥
+ 𝝁
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+ 𝝁
𝜕2𝑤
𝜕𝑦𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝝁
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝝁
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝝁
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
+ 𝝁
𝜕2𝑢
𝜕𝑧𝜕𝑥
+ 𝝁
𝜕2𝑣
𝜕𝑧𝜕𝑦
+ 𝝁
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
+ 𝜌𝐵𝑧
Ecuaciones de Navier-Stokes
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
+ 𝜇
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+ +𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
+ 𝜇
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
𝜇
𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑧
Ecuaciones de Navier-Stokes
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
+ 𝜇
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+ +𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
+ 𝜇
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
+ 𝜇
𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
+ 𝜌𝐵𝑧
De la ecuación de conservación de masa:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
Ecuaciones de Navier-Stokes
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
+ 𝜌𝐵𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+ +𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
+ 𝜌𝐵𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
+ 𝜌𝐵𝑧
Finalmente:
𝝆
𝝏𝑽
𝝏𝒕
+ 𝑽 ∙ 𝜵 𝑽 = −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 + 𝝆𝑩
𝜵 ∙ 𝑽 = 𝟎
Constituyen las ecuaciones de Navier-Stokes
Ecuaciones de Navier-Stokes
Estas ecuaciones, con las condiciones iniciales y de frontera adecuadas son
las EDP que deben resolverse, cuando ello es posible, para hallar el campo de
velocidades y presión.
Tenemos una ecuación vectorial y
una escalar para la presión y la
velocidad
𝝆
𝝏𝑽
𝝏𝒕
+ 𝑽 ∙ 𝜵 𝑽 = −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 + 𝝆𝑩
𝜵 ∙ 𝑽 = 𝟎
Sin embargo, es un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineales
y acoplado entre si.
Y además de ello, la presión no aparece explícitamente en ninguna 
de ellas
Ecuaciones de Navier-Stokes
Y que pasa con las propiedades? 𝝆
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑉 ∙ 𝛻 𝑉 = −𝛻𝑃 + 𝝁𝛻2𝑉 + 𝜌𝐵
𝛻 ∙ 𝑉 = 0
Para líquidos, usualmente consideramos
𝜌 = 𝑐𝑡𝑒1 𝜇 = 𝑐𝑡𝑒2
si tenemos un cambio de propiedades importante requerimos de una 
ecuación adicional! Esta es una ecuación de estado:
𝜌 = 𝜌(𝑃) 𝜇 = 𝜇(𝑃)
Adicionalmente, si se consideran sistemas en los cuales varia la temperatura
debe incluirse la ecuación de la energía así como otra ecuación de estado
para la energía interna.
Ecuaciones de Navier-Stokes
condiciones iniciales 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑉 ∙ 𝛻 𝑉 = −𝛻𝑃 + 𝜇𝛻2𝑉 + 𝜌𝐵
Si consideramos un flujo no permante, nuestro termino
𝜕𝑉
𝜕𝑡
no será nulo y
debemos de partir de expresiones en todo el dominio de flujo para
nuestras variables
Si consideramos flujo permanente, ninguna condición es requerida ya 
que el flujo es independiente del tiempo. 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= 0
Ecuaciones de Navier-Stokes
Condiciones de contorno (o de borde) 
tendremos en general las 
siguientes:
Pared
Interfaces: 
Gas-liquido, 
Liquido-liquido
Entrada
Salida
Simetria
Periodicidad
Ecuaciones de Navier-Stokes
En un contorno solido (o pared) tendremos los siguientes casos:
𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑
Pared sin deslizamiento
(No-Slip wall)
𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 + 𝑓(𝑉)
𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ∙ 𝑛 = 0Nota:
Paredes impermeablesPared con deslizamiento
(Free-Slip wall)
Paredes permeables (o porosas) 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ∙ 𝑛 = 𝑉𝑃
Ecuaciones de Navier-Stokes
En las entradas y salidas, la velocidad y presión deben ser conocidas
𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑃𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑃𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
Simetria 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ∙ 𝑛 = 0 𝜕𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝜕𝑥𝑛
= 0
Periodicidad 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑃1 = 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑃2
Ecuaciones de Navier-Stokes
En la superficie libre las componentes de la velocidad normal deben ser 
iguales 
𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜_1( 𝑥𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒 , 𝑡) = 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜_2( 𝑥𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒, 𝑡)
Y además de ello, en la interface los esfuerzos viscosos tangenciales 
deben de ser iguales
𝜏𝑧𝑦 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜_1
= 𝜏𝑧𝑦 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜_2
𝜏𝑧𝑥 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜_1 = 𝜏𝑧𝑥 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜_2
Despreciando los esfuerzos viscosos normales, las presiones en conjunto con los 
efectos de la tensión superficial deben equilibrarse en la superficie:
𝑃𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜_1 − 𝑃𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜2 = −𝜎𝑘 𝑛
Ecuaciones de Navier-Stokes
𝑃𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜_1 − 𝑃𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜2 = −𝜎
1
𝑅𝑥
+
1
𝑅𝑦
Donde 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 son los radios de curvatura y se expresan como:
1
𝑅𝑥
+
1
𝑅𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝜂
𝜕𝑥
1 +
𝜕𝜂
𝜕𝑥
2
+
𝜕𝜂
𝜕𝑦
2
+
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝜂
𝜕𝑦
1 +
𝜕𝜂
𝜕𝑥
2
+
𝜕𝜂
𝜕𝑦
2
En un caso plano 
Para la obtención de soluciones analíticas nos limitaremos a
superficies planas lo cual simplificara en mucho a las ecuaciones
anteriores
Ecuaciones de Navier-Stokes
𝜌
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑅
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝑅
+
𝑢𝜃
𝑅
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝜃
−
𝑢𝜃
2
𝑅
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑅
+ 𝜇 𝛻2𝑢𝑅 −
𝑢𝑅
𝑅2
−
2
𝑅2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+ 𝜌𝐵𝑅
𝜌
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑅
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑅
+
𝑢𝜃
𝑅
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝑢𝜃𝑢𝑅
𝑅
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑧
= −
1
𝑅
𝜕𝑃
𝜕𝜃
+ 𝜇 𝛻2𝑢𝜃 −
𝑢𝜃
𝑅2
−
2
𝑅2
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝜃
+ 𝜌𝐵𝜃
𝜌
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑅
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑅
+
𝑢𝜃
𝑅
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇𝛻2𝑢𝑧 + 𝜌𝐵𝑧
Expresiones equivalentes a las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas
son obtenidas en coordenadas esféricas y cilíndricas.
En coordenadas cilíndricas:
Ecuaciones de Navier-Stokes
Donde el operador laplaciano se escribe como:
En los libros de texto se consiguen, en general, expresiones para estas
ecuaciones en diversos sistemas de coordenadas asi como del tensor
de esfuerzos
𝛻2 =
1
𝑅
𝜕
𝜕𝑅
𝑅
𝜕
𝜕𝑅
+
1
𝑅2
𝜕2
𝜕𝜃2
+
𝜕2
𝜕𝑧2
1. Introducción
2. Ecuaciones de Navier-Stokes
3. Flujo entre placas paralelas
4. Flujo de Poiseuille
5. Flujo entre cilindros rotatorios
CONTENIDO
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
Consideremos el flujo
establecido de un fluido
newtoniano entre dos placas
paralelas muy grandes en
extensión
Supongamos que:
 Las placas están en reposo
--> 𝑢 𝑥, 𝑦 = ±ℎ = 𝑣 𝑥, 𝑦 = ±ℎ = 0
 Problema bidimensional --> 
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= 0
 Flujo permanente --> 
𝜕
𝜕𝑡
= 0
Nota: Al tener un flujo permanente en una geometría que es idéntica en la direccion
del flujo, Cualquier punto a lo largo del eje axial (x) (eje del flujo) debe “ver” la misma 
situación. Lo que conlleva a 
𝜕
𝜕𝑥
= 0
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
La ecuacion de continuidad es:
Para el sistema de referencia seleccionado, se tiene de la
geometría del problema 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
Cualquier punto a lo largo del eje axial (x) 
debe “ver” la misma situación
⇒
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0
⇒
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 0
en 𝑦 = ±ℎ se tiene que 𝑣 = 0 ⇒ 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
El flujo es paralelo a las placas!
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
Nuestro sistema de ecuación de N-S se simplifican de la siguiente manera:
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
+ 𝜌𝐵𝑥
𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2
+ +𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
+ 𝜌𝐵𝑦
𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝜌𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2
+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
+ 𝜌𝐵𝑧
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
0 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
0 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑦
⇒ 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃(𝑥, 𝑧)
0 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
⇒ 𝑃 𝑥, 𝑧 = 𝑃(𝑥)
)𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑢(𝑦
)𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃(𝑥
Dado que:
𝑑𝑃
d𝑥
= 𝝁
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2
Entonces
existe un balance entre la fuerza de presión y 
los esfuerzos viscosos
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
Como el segundo miembro depende de y, 
entonces
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 𝑓(𝑦)
Y como esta relación es valida para todo 𝑦, la 
única posibilidad de satisfacerla es que
𝑓 𝑦 = 𝑐𝑡𝑡𝑒 = −𝛽
Luego: 𝜕𝑃
𝜕𝑥
= −𝛽
𝝁
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2
= −𝛽
Integrando la segunda de las ecuaciones en 𝑦
se obtiene:
 
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2
𝑑𝑦 = −
𝛽
𝝁
𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= −
𝛽
𝜇
𝑦 + 𝐶1
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
Volviendo a integrar:
𝑢(𝑦) = −
𝛽
2𝜇
𝑦2 + 𝐶1𝑦 + 𝐶2
Las constantes 𝐶1 y 𝐶2 se determinan a partir de las condiciones de borde:
𝑢 −ℎ = 0 𝑢 ℎ = 0
Obteniendo el siguiente par de 
ecuaciones
0 = −
𝛽
2𝜇
ℎ2 − 𝐶1ℎ + 𝐶2
0 = −
𝛽
2𝜇
ℎ2 + 𝐶1ℎ + 𝐶2
De las que se obtiene
𝐶1 = 0
𝐶2 =
𝛽
2𝜇
ℎ2
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
Sustituyendo en la expresión de 𝑢(𝑦)
𝑢(𝑦) = −
𝛽
2𝜇
𝑦2 +
𝛽
2𝜇
ℎ2
𝒖 𝒚 =
𝜷
2𝝁
𝒉2 − 𝒚2 = −
𝜕𝑷
𝜕𝒙
𝒉2 − 𝒚2
2𝝁
La velocidad máxima se obtiene al
hacer 𝑦 = 0, corresponde al centro
de la placa
𝒖𝒎𝒂𝒙 = −
𝝏𝑷
𝝏𝒙
𝒉𝟐
𝟐𝝁
Nuestra expresión para la velocidad
puede ser expresada en función de la
velocidad máxima:
𝑢 𝑦 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
ℎ2
1 −
𝑦2
ℎ2
2𝜇
𝒖 𝒚 = 𝒖𝒎𝒂𝒙 𝟏 −
𝒚𝟐
𝒉𝟐
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
Otra manera común y muy útil de
expresar la velocidad es en términos
del caudal de flujo.
𝑞 = 
𝐴
𝑉𝑑 𝐴
𝑞 = 
−ℎ
ℎ
𝒖 𝒚 (𝑏 𝑑𝑦)
𝑞 = 
−ℎ
ℎ
−
𝜕𝑃
𝜕𝑥
ℎ2 − 𝑦2
2𝜇
(𝑏 𝑑𝑦) = −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑏
2𝜇
 
−ℎ
ℎ
ℎ2 − 𝑦2 𝑑𝑦 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑏
2𝜇
ℎ2𝑦 −
𝑦3
3
𝑦=−ℎ
𝑦=ℎ
𝑏 corresponde al ancho del área a través de la 
cual se calcula el caudal
𝑞 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑏
2𝜇
ℎ3 −
ℎ3
3
+ ℎ3 −
ℎ3
3
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑏
2𝜇
4
3
ℎ3 =
2
3
𝑏ℎ3
𝜇
−
𝜕𝑃
𝜕𝑥
El caudal por unidad de ancho: 𝑞′ =
𝑞
𝑏
=
2
3
ℎ3
𝜇
−
𝜕𝑃
𝜕𝑥
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
Despejando 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
Sustituyendo en nuestra expresión de la 
velocidad
−
𝜕𝑃
𝜕𝑥
=
3
2
𝜇𝑞′
ℎ3
𝒖 𝒚 =
𝟑
𝟒
𝒒′
𝒉3
𝒉2 − 𝒚2
Otro punto importante es el efecto que ejerce el fluido sobre las paredes
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= 𝜇
d𝑢
d𝑦
⇒ 𝜏𝑥𝑦 =
d𝑃
d𝑥
𝑦
En las placas
𝜏𝑥𝑦 𝑦 = ±ℎ =
𝑑𝑃
𝑑𝑥
(±ℎ)
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
𝒖 𝒚 = −
𝝏𝑷
𝝏𝒙
𝒉𝟐 − 𝒚𝟐
𝟐𝝁
𝒖 𝒚 = 𝒖𝒎𝒂𝒙 𝟏 −
𝒚𝟐
𝒉𝟐
𝒖 𝒚 =
𝟑
𝟒
𝒒′
𝒉𝟑
𝒉𝟐 − 𝒚𝟐
Donde:
𝒖𝒎𝒂𝒙 =
𝝏𝑷
𝝏𝒙
𝒉𝟐
𝟐𝝁
𝑷1 𝑷2
𝑷𝟏 > 𝑷𝟐
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
Flujo entre placas paralelas, una de ellas en movimiento relativo a la otra
Una de las placas ya no esta en reposo!
𝑢 𝑥, 𝑦 = +ℎ = 𝑈 𝑢 𝑥, 𝑦 = −ℎ = 0
𝑣 𝑥, 𝑦 = ±ℎ = 0
Representa un cambio en las condiciones de borde, mas no en las demás 
condiciones
de las ecuaciones de N-S llegamos a lo mismo
0 = −
𝑑𝑃
𝑑𝑥
+ 𝜇
𝑑2𝑢
𝑑𝑦2
Que al integrar:
𝑢(𝑦) = −
𝛽
2𝜇
𝑦2 + 𝐶1𝑦 + 𝐶2
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
Las constantes 𝐶1 y 𝐶2 , son las que cambiaranse determinan a partir de las 
condiciones de borde:
𝑢 −ℎ = 0 𝑢 ℎ = 𝑈
Se obtienen el par de ecuaciones
0 = −
𝛽
2𝜇
ℎ2 − 𝐶1ℎ + 𝐶2
𝑈 = −
𝛽
2𝜇
ℎ2 + 𝐶1ℎ + 𝐶2
De las que se obtiene
𝐶1 = 𝑈/2ℎ
𝐶2 =
𝑈
2
+
𝛽
2𝜇
ℎ2
𝑢 𝑦 = −
𝛽
2𝜇
𝑦2 +
𝑈
2ℎ
𝑦 +
𝑈
2
+
𝛽
2𝜇
ℎ2 =
𝑈
2
1 +
𝑦
ℎ
+ ℎ2 − 𝑦2
𝛽
2𝜇
𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜:
Flujo entre placas paralelas (Flujo de Couette)
𝒖 𝒚 =
𝑼
𝟐
𝟏 +𝒚
𝒉
−
𝝏𝑷
𝝏𝒙
𝒉𝟐 − 𝒚𝟐
𝟐𝝁
𝒖 𝒚
𝑼
=
𝟏
𝟐
𝟏 +
𝒚
𝒉
−
𝝏𝑷
𝝏𝒙
𝒉𝟐
𝟐𝝁𝑼
𝟏 −
𝒚𝟐
𝒉𝟐
Es muy común encontrar esta expresión 
escrita como: 
Nota: En algunas bibliografías consideran
el sistema de referencia ubicado en la
parte inferior de la placa y toman b = ℎ.
Quedando expresiones ligeramente
distintas.
𝑵 =
𝝏𝑷
𝝏𝒙
𝒉𝟐
𝟐𝝁𝑼
1. Introducción
2. Ecuaciones de Navier-Stokes
3. Flujo entre placas paralelas
4. Flujo de Poiseuille
5. Flujo entre cilindros rotatorios
CONTENIDO
Flujo de Poiseuille
Consideremos el flujo de un fluido viscoso en estado estacionario a
través de un conducto de sección transversal circular, conocido como
flujo de Poiseuille.
Visto la geometría del problema, utilizaremos coordenadas cilíndricas:
En estado permanente:
𝜕
𝜕𝑡
= 0
simetría 𝜕
𝜕𝜃
= 0 𝑢𝜃 = 0
Cualquier punto a lo largo del eje axial (z) debe “ver” la misma situación. Lo que 
conlleva a 
𝜕𝑉
𝜕𝑧
= 0
Flujo de Poiseuille
Luego de nuestra ecuación de continuidad
1
𝑅
𝜕
𝜕𝑅
𝑅𝑢𝑅 +
1
𝑅
𝜕
𝜕𝜃
𝑢𝜃 +
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
= 0
Y al tener que 𝑢𝑅 𝑅 = 0 (condición de borde) ⇒ 𝑢𝑅 = 0
Y solo tendremos
𝑢𝑧 = 𝑢𝑧(𝑅)
Flujo de Poiseuille
𝜌
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑅
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝑅
+
𝑢𝜃
𝑅
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝜃
−
𝑢𝜃
2
𝑅
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑅
+ 𝜇 𝛻2𝑢𝑅 −
𝑢𝑅
𝑅2
−
2
𝑅2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+ 𝜌𝑓𝑅
𝜌
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑅
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑅
+
𝑢𝜃
𝑅
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝑢𝑅𝑢𝜃
𝑅
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑧
= −
1
𝑅
𝜕𝑃
𝜕𝜃
+ 𝜇 𝛻2𝑢𝜃 −
𝑢𝜃
𝑅2
+
2
𝑅2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+ 𝜌𝑓𝜃
𝜌
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑅
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑅
+
𝑢𝜃
𝑅
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇𝛻2𝑢𝑧 + 𝜌𝑓𝑧
Flujo de Poiseuille
0 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑅
→ 𝑃 𝑅, 𝜃, 𝑧 = 𝑃(𝜃, 𝑧)
0 = −
1
𝑅
𝜕𝑃
𝜕𝜃
→ 𝑃 𝜃, 𝑧 = 𝑃(𝑧)
𝜕𝑃
𝜕𝑧
= 𝜇𝛻2𝑢𝑧 →
𝑑𝑃
𝑑𝑧
= 𝜇𝛻2𝑢𝑧
En coordenadas cilíndricas, el laplaciano se expresa como:
𝛻2𝑢𝑧 =
1
𝑅
𝜕
𝜕𝑅
𝑅
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑅
+
1
𝑅2
𝜕2𝑢𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑢𝑧
𝜕𝑧2
𝛻2𝑢𝑧 =
1
𝑅
𝜕
𝜕𝑅
𝑅
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑅
+
1
𝑅2
𝜕2𝑢𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑢𝑧
𝜕𝑧2
𝛻2𝑢𝑧 =
1
𝑅
𝑑
𝑑𝑅
𝑅
𝑑𝑢𝑧
𝑑𝑅
Flujo de Poiseuille
Luego:
𝜇
𝑅
𝑑
𝑑𝑅
𝑅
𝑑𝑢𝑧
𝑑𝑅
=
𝑑𝑃
𝑑𝑧
Integrando:
 
𝑑
𝑑𝑅
𝑅
𝑑𝑢𝑧
𝑑𝑅
𝑑𝑅 = 
𝑅
𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
𝑑𝑅
𝑅
𝑑𝑢𝑧
𝑑𝑅
=
𝑅2
2𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
+ 𝐶1
𝑑𝑢𝑧
𝑑𝑅
=
𝑅
2𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
+
𝐶1
𝑅 Volviendo a integrar
 
𝑑𝑢𝑧
𝑑𝑅
𝑑𝑅 = 
𝑅
2𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
+
𝐶1
𝑅
𝑑𝑅
𝑢𝑧 =
𝑅2
4𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
+ 𝐶1 ln 𝑅 + 𝐶2
Flujo de Poiseuille
Impongamos las condiciones de borde.
𝑢𝑧 𝑅 = 0 = 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 → 𝐶1 = 0
𝑢𝑧 𝑅 = 𝑎 = 0 → 𝐶2 = −
𝑎2
4𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
Por lo que:
𝒖𝒛(𝑹) =
𝑹𝟐
𝟒𝝁
𝒅𝑷
𝒅𝒛
−
𝒂𝟐
𝟒𝝁
𝒅𝑷
𝒅𝒛
= −
𝟏
𝟒𝝁
𝒅𝑷
𝒅𝒛
(𝒂𝟐 − 𝑹𝟐)
La velocidad máxima se alcanza 
cuando 𝑅 = 0
Y teniendo que el valor máximo de la 
velocidad es:
𝑑𝑢𝑧
𝑑𝑅
=
𝑅
2𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
= 0 → 𝑅 = 0
𝒖𝒎𝒂𝒙 = −
𝟏
𝟒𝝁
𝒅𝑷
𝒅𝒛
𝒂𝟐
Por lo que: 𝒖𝒛(𝑹) = 𝒖𝒎𝒂𝒙 𝟏 −
𝑹𝟐
𝒂𝟐
Flujo de Poiseuille
Expresémosla también en términos de la velocidad promedio
𝑈 =
1
𝐴
 𝑢𝑧𝑑𝐴 =
1
𝜋𝑎2
 
0
𝑎
 
0
2𝜋
𝑢𝑧𝑅𝑑𝜃𝑑𝑅 =
1
𝜋𝑎2
 
0
𝑎
2𝜋𝑢𝑧𝑅𝑑𝑅
𝑈 =
2
𝑎2
 
0
𝑎
−
1
4𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
𝑎2 − 𝑅2 𝑅𝑑𝑅 = −
2
𝑎2
1
4𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
 
0
𝑎
𝑎2 − 𝑅2 𝑅𝑑𝑅
𝑈 = −
1
2𝜇𝑎2
𝑑𝑃
𝑑𝑧
𝑎2
𝑅2
2
−
𝑅4
4
0
𝑎
= −
1
2𝜇𝑎2
𝑑𝑃
𝑑𝑧
𝑎4
4
𝑈 = −
𝑎2
8𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
1
2
𝑢𝑚𝑎𝑥
Flujo de Poiseuille
Entonces puede escribirse:
𝑢𝑧(𝑅) = −
1
4𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
(𝑎2 − 𝑅2)
𝑢𝑧(𝑅) = 𝑢𝑚𝑎𝑥 1 −
𝑅2
𝑎2
𝑢𝑧(𝑅) = 2𝑈 1 −
𝑅2
𝑎2
𝑈 = −
𝑎2
8𝜇
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
1
2
𝑢𝑚𝑎𝑥
1. Introducción
2. Ecuaciones de Navier-Stokes
3. Flujo entre placas paralelas
4. Flujo de Poiseuille
5. Flujo entre cilindros rotatorios
CONTENIDO
Flujo entre cilindros rotatorios
Consideremos el flujo de un fluido
viscoso establecido entre dos
cilindros concéntricos rotantes
La única componente de la velocidad es la 
tangencial a los cilindros:
𝜕
𝜕𝑡
= 0
𝑢𝑅 = 𝑢𝑍 = 0
Al tener un fluido establecido:
Luego las ecuaciones de N-S se simplifican para el problema como
1
𝑅
𝜕
𝜕𝑅
𝑅𝑢𝑅 +
1
𝑅
𝜕
𝜕𝜃
𝑢𝜃 +
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
= 0
Flujo entre cilindros rotatorios
⇒
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
= 0
𝜌
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑅
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝑅
+
𝑢𝜃
𝑅
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝜃
−
𝑢𝜃
2
𝑅
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑅
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑅
+ 𝜇 𝛻2𝑢𝑅 −
𝑢𝑅
𝑅2
−
2
𝑅2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+ 𝜌𝑓𝑅
𝜌
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑅
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑅
+
𝑢𝜃
𝑅
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+
𝑢𝑅𝑢𝜃
𝑅
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑧
= −
1
𝑅
𝜕𝑃
𝜕𝜃
+ 𝜇 𝛻2𝑢𝜃 −
𝑢𝜃
𝑅2
+
2
𝑅2
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝜃
+ 𝜌𝑓𝜃
Partiendo de la ecuación de continuidad
Flujo entre cilindros rotatorios
𝜌
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑢𝑅
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑅
+
𝑢𝜃
𝑅
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑢𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧
= −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜇𝛻2𝑢𝑧 + 𝜌𝑓𝑧
𝜌
𝑢𝜃
2
𝑅
=
𝜕𝑃
𝜕𝑅
0 = −
1
𝑅
𝜕𝑃
𝜕𝜃
+ 𝜇 𝛻2𝑢𝜃 −
𝑢𝜃
𝑅2
0 = −
𝜕𝑃
𝜕𝑧
Resultando:
⇒ 𝑃 𝑅, 𝜃, 𝑧 = 𝑃(𝑅, 𝜃)
(1)
(2)
Flujo entre cilindros rotatorios
𝛻2𝑢𝜃 =
1
𝑅
𝜕
𝜕𝑅
𝑅
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑅
+
1
𝑅2
𝜕2𝑢𝜃
𝜕𝜃2
+
𝜕2𝑢𝜃
𝜕𝑧2
𝛻2𝑢𝜃 =
1
𝑅
𝜕
𝜕𝑅
𝑅
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑅
El laplaciano:
𝜕𝑃
𝜕𝜃
= 0Sustituyendo en: (2) Y tomando por simetría que
𝜇
1
𝑅
𝜕
𝜕𝑅
𝑅
𝜕𝑢𝜃
𝜕𝑅
−
𝑢𝜃
𝑅2
= 0
𝑑2𝑢𝜃
𝑑𝑅2
+
1
𝑅
𝑑𝑢𝜃
𝑑𝑅
−
𝑢𝜃
𝑅2
= 0
𝑑2𝑢𝜃
𝑑𝑅2
+
𝑑
𝑑𝑅
(𝑢𝜃/𝑅) = 0
⇒ 𝑃 𝑅, 𝜃, 𝑧 = 𝑃(𝑅)
Flujo entre cilindros rotatorios
𝑑𝑢𝜃
𝑑𝑅
+
𝑢𝜃
𝑅
+ 𝐶1 = 0
Integrando:
1
𝑅
𝑑
𝑑𝑅
𝑅𝑢𝜃 + 𝐶1 = 0
Volviendo a integrar
𝑅𝑢𝜃 +
𝐶1𝑅
2
2
+ 𝐶2 = 0
𝑢𝜃(𝑅) =
𝐶1
′𝑅
2
+
𝐶2
′
𝑅
De las condiciones de frontera:
𝑢𝜃 𝑅𝑖 = 𝜔𝑖𝑅𝑖 =
𝐶1
′𝑅𝑖
2
+
𝐶2
′
𝑅𝑖
𝑢𝜃 𝑅𝑒 = 𝜔𝑒𝑅𝑒 =
𝐶1
′𝑅𝑒
2
+
𝐶2
′
𝑅𝑒
Flujo entre cilindros rotatorios
Se obtiene que:
𝐶2
′ = − 𝑅𝑖𝑅𝑒
2
(𝜔𝑒 − 𝜔𝑖)
Re
2 − 𝑅𝑖
2𝐶1
′ =
2(𝜔𝑒𝑅𝑒
2 − 𝜔𝑖𝑅𝑖
2)
𝑅𝑒
2 − 𝑅𝑖
2
𝒖𝜽(𝑹) =
𝟏
𝑹𝒆
𝟐 − 𝑹𝒊
𝟐 𝝎𝒆𝑹𝒆
𝟐 − 𝝎𝒊𝑹𝒊
𝟐 𝑹 − 𝑹𝒊𝑹𝒆
𝟐 𝝎𝒆 − 𝝎𝒊
𝟏
𝑹
𝜌
𝑢𝜃
2
𝑅
=
𝑑𝑃
𝑑𝑅
La presión se obtiene a partir de la expresión (1) 
𝑑𝑃
𝑑𝑅
=
𝜌
𝑅
1
𝑅𝑒
2 − 𝑅𝑖
2 𝜔𝑒𝑅𝑒
2 − 𝜔𝑖𝑅𝑖
2 𝑅 − 𝑅𝑖𝑅𝑒
2 𝜔𝑒 − 𝜔𝑖
1
𝑅
2
𝛼 = 𝜔𝑒𝑅𝑒
2 − 𝜔𝑖𝑅𝑖
2
𝛽 = 𝑅𝑖𝑅𝑒
2 𝜔𝑒 − 𝜔𝑖
𝑑𝑃
𝑑𝑅
=
𝜌
𝑅
1
𝑅𝑒
2 − 𝑅𝑖
2 𝛼𝑅 −
𝛽
𝑅
2
Flujo entre cilindros rotatorios
𝑑𝑃
𝑑𝑅
=
𝜌
𝑅𝑒
2 − 𝑅𝑖
2 2
𝛼2𝑅 − 2
𝛼𝛽
𝑅
+
𝛽2
𝑅2
Desarrollando:
Luego:
𝑷 𝑹 =
𝝆
𝑹𝒆
𝟐 − 𝑹𝒊
𝟐 𝟐
𝜶𝟐
𝑹𝟐
𝟐
− 𝟐𝜶𝜷 𝐥𝐧 𝑹 −
𝟏
𝟑
𝜷𝟐
𝑹𝟑
+ 𝑪
𝜶 = 𝝎𝒆𝑹𝒆
𝟐 − 𝝎𝒊𝑹𝒊
𝟐
𝜷 = 𝑹𝒊𝑹𝒆
𝟐 𝝎𝒆 − 𝝎𝒊
Capitulo 6
FLUJO VISCOSO 
INCOMPRESIBLE
Mecánica de los Fluidos I
Prof. Richard Oliva Denis