algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-129

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agrupando:
E =[(x + y)3 -1] - 3xy(x + y - 1)
factorizando la diferencia de cubos en el corchete
y luego desarrollando:
E =[(x+y) -1][(x+y)2+ (x+y)+1] -3xy(x+y -1)
E = (x + y - 1)(x2 + 2xy + y2 + x + y + 1 - 3xy)
E = (x + y - 1)(x2 - xy + y2 + x + y + 1)
6.- Factorizar:
E = (z2 - y2)2(x2 - a2) + 4x2y2z2
Solución:
Efectuando el cuadrado indicado:
E = (z4 - 2z2y2 + y4)(x2 - a2) + 4x2y2z2
E = z4x2 - 2x2y2z2 + x2y4 - a2z4 + 2a2y2z2
- a2y4 + 4x2y2z2
reduciendo y agrupando:
E = (z4x2 + 2x2y2z2 + x2y4) - (a2z4 - 2a2y2z2 + a2y4)
cada paréntesis es un cuadrado perfecto, que es
igual a:
E = (z2x + xy2)2 - (az2 - ay2)2
Es una diferencia de cuadrados que se puede
escribir así:
E = (z2x + xy2 + az2 - ay2)(z2x + xy2 - az2 + ay2) 
7.- Factorizar:
E = 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2
- 2(x + y + z)2(x2 + y2 + z2) - (x + y + z)4
Solución:
Sumando y restando (x2+y2+z2)2:
E = 2(x4 + y4 + z4) - 2(x2 + y2 + z2)2
+ [(x2 + y2 + z2)2 - 2(x + y + z)2(x2 + y2 + z2)
+ (x + y + z)4]
El corchete es el desarrollo de un binomio al
cuadrado, luego:
E = 2(x4 + y4 + z4) - 2(x2 + y2 + z2)2
+ [(x2 + y2 + z2) - (x + y + z)2]2
factorizando 2 y efectuando el segundo parénte-
sis fuera y dentro del corchete:
E = 2(x4 + y4 + z4 - x4 - y4 - z4 - 2x2y2 -2x2z2
- 2y2z2) + [x2 + y2 + z2 - x2 - y2 - z2
- 2xy - 2xz - 2yz]2
reduciendo:
E = -4(x2y2 + x2z2 + y2z2) + 4[xy + xz + yz]2
nótese que el signo en el corchete se elimina
debido al cuadrado. Factorizando 4:
E = 4[(xy + xz + yz)2 - (x2y2 + x2z2 + y2z2)]
efectuando:
E = 4[x2y2 + x2z2 + y2z2 + 2x2yx + 2xy2z + 2xyz2
- x2y2 - x2z2 - y2z2]
reduciendo:
E = 4[2x2yz + 2xy2z + 2xyz2]
factorizando, finalmente:
E = 8xyz(x + y + z)
8.- Factorizar:
E =(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)2 - x6
Solución:
Factorizando la diferencia de cuadrados:
E = (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 + x3)
(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1-x3)
reduciendo y agrupando convenientemente:
E =[(x6 + 2x3 + 1) + (x5 + x2) + (x4 + x)]
[(x6 + x5 + x4) + (x2 + x + 1)]
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:04 Página 141