algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-148

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α
α α
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UN POLI-
NOMIO SIMÉTRICO.- Las operaciones de un poli-
nomio simétrico con expresiones simétricas dan
como resultado también expresiones simétricas.
POLINOMIO ALTERNO.- Se dice que un poli-
nomio es alterno respecto a sus variables, cuan-
do su signo se altera pero no su valor absoluto al
intercambiar un par cualquiera de ellas, y es
homogéneo.
Ejemplo: 
Sea el polinomio:
P(x,y,z) = x2(z - y) + y2(x - z) + z2(y - x)
El polinomio sigue una forma circular o cíclica:
y
z x
intercambio “x” e “y”, se tiene:
y2(z - x) + x2(y - z) + z2(x - y)
cambiando de signos:
-y2(x - z) - x2(z - y) - z2(y - x)
-[x2(z - y) + y2(x - z) + z2(y - x)]
o también: -P(x,y,z)
Por lo tanto, el polinomio es alterno.
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE UN POLI-
NOMIO ALTERNO.
(1) No hay expresiones alternas que contengan más
de dos variables y sean de primer grado.
(2) Generalmente los polinomios alternos son circu-
lares o cíclicos y están escritos en forma de dife-
rencia.
(3) El producto de una expresión simétrica por una
alterna da como resultado una expresión alterna.
PROPIEDADES DE LOS POLINOMIOS 
SIMÉTRICOS Y ALTERNOS.
(1) Una expresión simétrica o alterna de variables
x,y,z, si es divisible entre “x”, entonces también
será divisible entre “y”, y entre “z”.
(2) Una expresión simétrica o alterna de variables
x,y,z, si es divisible entre (x ± y), entonces tam-
bién será divisible entre (y ± z) y (z ± x).
FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO 
SIMÉTRICO Y ALTERNO.
1º Se averigua si el polinomio es simétrico o alter-
no.
2º Encontrar los factores de la expresión aplican-
do el Teorema del Resto y ampliarlo aplicando
las propiedades del polinomio simétrico y
alterno.
3º Calcular el cociente, planteando la identidad
de 2 polinomios y aplicando el criterio de los
valores numéricos.
Ejemplo: Factorizar:
(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
Solución:
1) Intercambiando “x” por “y” la expresión es
alterna.
2) Cálculo de los factores.
Valor numérico para x = y :
(y - y)3 +(y - z)3 +(z - y)3 = (y - z)3 +[-(y - z)]3
= (y - z)3 - (y - z)3 = 0
∴ El polinomio es divisible entre (x - y).
Por ser el polinomio alterno, también será divisi-
ble entre los factores obtenidos en forma circular
en el sentido indicado.
x
z y
Algebra 27/7/05 16:04 Página 160