algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-151

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Por ser el polinomio de cuarto grado, Q debe ser
de primer grado y de la forma A(m + n + p); es
decir: simétrico, de primer grado y 3 variables:
m3(n - p) + n3(p - m) + n3(m - n) 
≡ A(m + n + p)(n - p)(p - m)(m - n)
Dando un juego de valores m = 1, n = 2, p = 3.
(1)3(2 - 3) + 23(3-1) + 33(1 - 2) 
= A(1 + 2 + 3)(2 - 3)(3 - 1)(1 - 2)
(1)(-1) +8(2) +27(-1) = A(6)(-1)(2)(-1)
-1 + 16 - 27 = 12A
∴ A = -1
El polinomio factorizado es, por lo tanto:
E = -(m + n + p)(n - p)(p - m)(m - n)
E.6) OTROS ARTIFICIOS.
Cualquier otro artificio matemático dependera
del cuidado,ingenioy atención que ponga el
operador para introducirla. 
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Factorizar:
E = x6 + 21x4 + 119x2 - 1
Solución:
En este ejercicio, se trata de hallar dos trinomios
cuadrados perfectos. Se puede escribir la expre-
sión como:
E = x6 + 22x4 + 121x2 - (x4 + 2x2 + 1)
factorizando:
E = (x3+ 11x)2 - (x2 + 1)2
factorizando la diferencia de cuadrados:
E = (x3 + 11x + x2 + 1)(x3 + 11x - x2 - 1)
finalmente:
E = (x3 + x2 + 11x + 1)(x3 - x2 + 11x - 1)
2.- Factorizar:
E = 4x4 + 4xy2 - y4 + 1
Solución:
Se trata de obtener dos trinomios cuadrados per-
fectos, sumando y restando 4x2:
E = (4x4 + 4x2 + 1) - (4x2 - 4xy2 + y4)
factorizando:
E = (2x2 + 1)2 - (2x - y2)2
factorizando la diferencia de cuadrados:
E = (2x2 + 1 + 2x - y2)(2x2 + 1 - 2x + y2)
finalmente:
E = (2x2 + 2x - y2 + 1)(2x2 - 2x + y2 + 1)
3.- Factorizar: x3 + y3 - 3xy + 1
Solución:
Sumando y restando: 3x2y, 3xy2:
E = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) + 1- 3xy - 3x2y - 3xy2
Se puede reescribir así:
E = (x + y)3 + 13 - 3xy(x + y + 1)
factorizando la suma de cubos:
E =[(x+y) +1][(x+y)2 - (x +y)+1] -3xy(x + y + 1)
factorizando (x + y + 1):
E =(x + y + 1)(x2 + 2xy + y2 - x - y + 1 - 3xy)
E =(x + y + 1)(x2 - xy + y2 - x - y + 1)
4.- Factorizar:
(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5)2 - x5
Solución:
Escribiendo como cociente notable:
1 - x6 2 E = (–––––––) - x51 - x
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:04 Página 163