algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-181

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luego:
k = m
El exponente de “a” en este término es:
m___ m m 1( m√a ) = a = a
Rpta.: El exponente es 1.
4.- Dado el binomio:
__ 1
120
( 5√x + ––––) , determinar:__3 √x
a) El número de términos racionales e irra-
cionales que tiene el desarrollo.
b) Cuántos términos son enteros y cuántos son
fraccionarios.
Solución:
el término general de este desarrollo es:
120 __ 120-k 1
k
tk+1 = Ck (
5
√x ) (––––)__3√x
120-k k––– - –
120 5 3
tk+1 = Ck x x
8k
24 - __
120 15
tk+1 = Ck x
a) Para que sean racionales:
8k24 - ––– = número entero
15
ésto se cumple para k = 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90,
105, 120. Lo cual indica que hay 9 términos
racionales y como el desarrollo tiene 121 térmi-
nos, los irracionales son 112.
b) Para que sean enteros:
8k24 - ––– = número entero y positivo
15
ésto se cumple para k = 0, 15, 30, 45. Hay 4 tér-
minos enteros y como existen 9 racionales, hay 5
fraccionarios.
5.- Calcular el valor de k en el desarrollo de (1+ x)43,
si se sabe que los coeficientes de los términos de
lugares (2k + 1) y (k + 2) son iguales.
Solución:
Cálculo del término (2k + 1):
43
t2k+1 = C2k (1)
43-2k (x)2k
43
su coeficiente: C2k
Cálculo del término k + 2:
43
tk+2 = Ck+1 (1)
43-k-1 (x)k+1
43
su coeficiente: Ck+1
Por la condición del problema:
43 43
C2k = Ck+1
para que estos coeficientes sean iguales, debe
cumplirse que:
2k + k + 1 = 43 
luego: k = 14
Á L G E B R A
- 193 -
6.- Hallar el número de términos en el desarrollo de: (x2 + y5)n , si la suma de los grados absolutos de todos
los términos es igual a 252.
Solución:
Cálculo del término general: El grado absoluto de este término es:
n
tk+1 = Ck (x
2)n-k ( y5) k G.A.tk+1 = 2(n - k) + 5k = 2n + 3k
donde: k = 0, 1, 2, 3, …, n.
Mientras que los grados absolutos de los respectivos términos son 2n, 2n + 3, 2n + 6, 2n + 9,…
Por el dato inicial:
2n + (2n + 3) + (2n + 6) + … +[2n + 3(n - 2)] + [2n + 3(n - 1)] + [2n + 3n] = 252
7n
7n
7n
Algebra 27/7/05 16:30 Página 193