algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-248

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Escribiendo como coeficiente notable:
2 2i224 - 1 (i2)112 - 1
–––––––– –––––––––
i + 1 i + 1E = {–––––––––} = {–––––––––––}i223 (i2)112 . i
2 2
(-1)112 - 1 1 - 1__________ _____
i + 1 i + 1= {––––––––––––} = { –––––––– } = 0(-1)111 . i -i
E = 0
17.- Simplificar la expresión:
754! 21––– C
E = {i753! } i 15
Solución:
Cálculo de los exponentes:
754! 754 . 753!–––– = ––––––––––– = 754
753! 753!
21 21
C = ––––––
15 15 6
21 . 20 . 19 . 18 . 17 . 16 . 15
= ––––––––––––––––––––––––––
15 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6
21
C15 = 21 . 19 . 17 . 8 = múltiplo de 4 = m4
como i4 = 1, se tiene:
m4 m4
E = {i754}i = {(i4)188 . i2}i = {(i)188 . i2}1 = (i2)1
E = -1
18.- Calcular el valor de:
E = 3i + 5i2 + 7i3 + 9i4 + 11i5.+…+(8n + 1)i4n - 4n
Solución:
Transformando las primeras potencias, con la
finalidad de obtener una regla de formación
teniendo presente que:
i2 = -1 , i3 = -i , i4 = 1
se tendrá:
E = 3 i+ 5(-1) + 7(-i) + 9(1) + 11(i) + 13(-1) 
+ 15(-i) + 17(1) + … + (8n + 1)(1) - 4n
E = 3i -5 -7i+9+11i -13 -15i +17+…+(8n+1) -4n
Agrupando de 4 en 4 términos:
E = (3i - 5 - 7i + 9) + (11i - 13 - 15i + 17) + …
+ (8n + 1) -4n
E = (4 - 4i) + (4 - 4i) + … + (4 - 4i) - 4n
“4n”En este caso, se debe considerar ––– términos ya
4
que se han tomado de 4 en 4 y el número de tér-
minos es 4n; ésto se obtiene observando los expo-
nentes de i. De esta manera:
E = (4 - 4i)n - 4n = 4n - 4ni - 4n = -4ni
E = -4ni
x + y
19.- Calcular: E = –––––
x - y
si se cumple que:
(1 + i)2 + (1 + i)4 + (1 + i)6 + (1 + i)8 = x + yi
Solución:
Se puede escribir el primer miembro:
(1 + i)2 + {(1 + i)2}2 + {(1 + i)2}3 + {(1 + i)2}4
= x + yi
Como:
(1 + i)2 = 1 + i2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i
entonces:
(2i) + (2i)2 + (2i)3 + (2i)4 = x + yi
efectuando:
2i + 4i2 + 8i3 + 16i4 = x + yi
Como:
i2 = -1, i3 = -i, 14 = 1
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α
α α
Algebra 21/7/05 15:55 Página 260