algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-253

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Apoyados en el gráfico podemos calcular los valores
de r y θ:
Cálculo del módulo.
En el triángulo rectángulo MNO:
(por Pitágoras)
____2 ____2 ____2 
MN + NO = MO
b2 + a2 = r2
________
∴ r = √a2 + b2 (I)
Cálculo del argumento o ángulo θ.-
En el triángulo rectángulo MNO:
btg θ = ––
a
a ∴ θ = arc tg –– (II)
b
ya que según el gráfico: a = rcos θ y b = rsen θ, la
forma polar de a + bi será:
a + bi = r cos θ + ri senθ
ó: 
a + bi = r(cos θ + i sen θ)
Ejemplo.- Expresar en forma polar:
8 + 6i
Solución:
Se sabe que:
8 + 6i = r(cos θ + i sen θ)
Ejecutemos el cálculo de r y θ, apoyados en las fór-
mulas (I) y (II):
______ ______ _______
r = √a2 + b2 = √82 + 62 = √64 + 36 = 10
b 6 3θ = arc tg –– = arc tg –– = arc tg –– = 37°
a 8 4
Luego:
8 + 6i = 10(cos 37° + i sen 37°)
OPERACIONES CON COMPLEJOS
SUMA DE COMPLEJOS.- Para sumar dos o más
complejos, se suma las partes reales y las partes
imaginarias separadamente.
Ejemplo: Sean los números complejos:
Z1 = a + bi
Z2 = c + di
∴ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS.- El produc-
to de números complejos puede ser: otro comple-
jo, un imaginario puro, o un número real. Para
efectuar el producto, se considera a los complejos
como binomios.
Ejemplo:
Si: (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= (ac - bd) + (ad + bc)i
o también en forma polar:
Z1 = a + bi = r(cos θ +i sen θ)
Z2 = c + di = r1(cos θ1 + i sen θ1)
Z1Z2 = r(cos θ + i sen θ) . r1 (cos θ1 + i sen θ1)
= rr1[(cos θ cos θ1 - sen θsen θ1) 
+ i (sen θ cos θ1 + cos sen θ1) ]
∴ Z1Z2 = r r1 [cos (θ + θ1) + i sen (θ + θ1)]
PROPIEDADES
1º El módulo del producto es igual al producto
de los módulos de los factores.
2º El argumento del producto es igual a la suma
de los argumentos de los factores.
DIVISIÓN DE COMPLEJOS.- El cociente de dos com-
plejos puede ser: otro complejo, un imaginario puro o
un número real. Para dividir dos complejos, se expre-
sa el cociente en forma de quebrado y se racionaliza el
denominador, multiplicando ambos miembros de la
fracción por la conjugada del denominador.
Á L G E B R A
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Algebra 21/7/05 15:55 Página 265