algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-258

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__
1 √3 = - ––– + ––––– i (B)
2 2
3) Para k = 1:
__
0 + 4π 0 + 4π3√1 = cos ––––––– + i sen –––––––
3 3
4π 4π= cos –––– + i sen ––––
3 3
__
1 √3 = - ––– - ––––– i (C)
2 2
1
__
–– 1 √3En resumen: 
3
√1: { - –– + –––– i 2 2__1 √3- –– - –––– i 2 2
PROPIEDADES
1º De las dos raíces complejas que aparecen en la
raíz cúbica de la unidad, una de ellas es el
cuadrado de la otra.
Si una raíz compleja es w, la otra es w2, siendo
la tercera el número real 1.
__ __ __
∴
3
√1 = 1, 
3
√1 = w, 
3
√1 = w2
2º La suma de las tres raíces cúbicas de la unidad
es igual a cero:
1 + w + w2 = 0
3º Debido a que w es una de las raíces cúbicas de
la unidad, w3 = 1, y por lo tanto w3 elevada a
cualquier exponente es igual a la unidad.
Como: 
w3 = 1
Elevando a la potencia k:
w3k = 1
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Simplificar:
E = (1 - w)2 (1 - w2)2 (1 - w4)2 (1 - w5)2
Solución:
Se sabe que:
w3 = 1; w4 = w; w5 = w2 
sustituyendo:
E = (1 - w)2 (1 - w2)2 (1 - w)2 (1 - w2)2
E = [(1 - w)(1 - w2)]4 = [1 - w2 - w + w3]4
pero:
1 + w + w2 = 0 
∴ 1 = -w - w2
y como:
w3 = 1
sustituyendo en E:
E = (1 + 1 + 1)4
E = 81
2.- Calcular:
E = (1 + w - w2)3 - (1 - w + w2)3
Solución:
Como:
1 + w + w2 = 0
1 + w = -w2 } sustituyendo en la expresión1 + w2 = -w
E = (-w2 - w2)3 - (-w - w)3 = (-2w2)3 - (-2w)3
E = -8w6 + 8w3 = -8 + 8 = 0
E = 0
3.- Calcular:
E = (5 + 7w + 7w2)12
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α
α α
Algebra 21/7/05 15:55 Página 270