algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-261

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identificando exponentes:
3n = 9 
n = 3
10.- Sabiendo que 1, w, w2 son las raíces cúbicas de
la unidad, calcular el valor de:
1 + w-1 + w-2 + w-3 + … + w-54
E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1 + ( 53 )w + ( 53 )w2 + … + ( 53 ) w52 + w53
1 2 52
Solución:
Transformando el numerador:
N = 1 + w-1 + w-2 + w-3 + … + w-54
1 1 1 1N = 1 + ––– + –––– + –––– + …+ ––––
w w2 w3 w54
w54 + w53 + w52 + …+ 1
N = –––––––––––––––––––––––
w54
Escribiendo como Cociente Notable:
w55 - 1–––––––
w - 1
N = –––––––
w54
como w3 = 1, se tendrá:
(w3)18 . w - 1 w - 1
––––––––––– –––––
w - 1 w - 1
N = ––––––––––– = ––––– = 1
(w3)18 1
Transformando el denominador:
D = 1 + ( 53 )w + ( 53 )w2 + … + ( 53 ) w52 + w53
1 2 52
se puede escribir:
D = 1+C53 w + C53 w2 + … + C53 w52 + C53 w53
1 2 52 53
Se observa que es el desarrollo de:
D = (1 + w)53
como 1 + w + w2 = 0:
1 + w = -w2
entonces:
D = (-w2)53 = -w106 = -(w3)35 . w
dado que: w3 = 1:
D = -(1)35 . w = -w 
Sustituyendo en la expresión:
1 w2 w2E = - ––– . ––––– = - –––––
w w2 w3
E = -w2
11.- Sabiendo que 1,w,w2 son las raíces cúbicas de 1,
calcular:
E = (m - n)(wm - w2n)(w2m - wn)
Solución:
Extrayendo factor común w a los factores segun-
do y tercero, se obtiene:
E = (m-n) w (m-wn) w (wm-n),
o también:
E = w2(m - n)(m - wn)(wm - n)
efectuando los dos factores últimos:
E = w2(m - n) [m2w - mn - w2mn + wn2]
––– ––––––––– ––– ––––– –––
agrupando en forma conveniente:
E = w2(m - n) [w(m2 + n2) - mn(1 + w2)]
Como: 1 + w2 + w = 0 
∴ 1+ w2 = -w
Sustituyendo:
E = w2(m - n) [w(m2 + n2) - mn(-w)]
E = w2(m - n) [w(m2 + n2) + mnw]
Sacando factor común w:
E = w2(m - n) w (m2 + n2 + mn)
E = w3(m - n)(m2 + mn + n2)
como w3 = 1:
E = (m - n)(m2 + mn + n2)
E = m3 - n3
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:41 Página 273