2022-06-14 Problemas que requieren del uso de la derivada

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Problema 1) El Costo marginal de una empresa es 𝐶′(𝑞) = 𝑞2. El Ingreso marginal es $8100 
(cuando el precio es fijo el Ingreso marginal es una constante). 
a) Hallá la función Beneficio, sabiendo que el Costo de producir 30 unidades es $89000. 
b) Hallá el Beneficio máximo. 
c) Hallá el Costo, el Ingreso y el Beneficio de producir y vender 60 unidades. 
 
 
Taller sobre Problemas que requieren del uso 
de derivadas. 
 
Prof. Romina Petrolo. Turno Tarde 
𝐶′(𝑞) = 𝑞
C(30)=89000
C'(q)=q
C(q)=
C(q)= 1/3 q
89000=1/3 .30 +k
89000=9000+k
89000-9000=k
80000=k
C(q)=1/3 q +80000
B(q)=I(q)-C(q)
I'(q)=8100
I(q)=8100q
B(q)=8100q-(1/3q +80000)
B(q)=-1/3 q +8100q - 80000
a)
Máximo ---> derivo e igualo a 0
B'(q)=-q²+8100=0
 -q²=-8100
 q² = 8100
 q = 8100
Descarto el -90 porque no puedo producir 
y vender una cantidad negativa de productos
máx
La cantidad de productos que maximiza el beneficio es 90 y ese Beneficio Máximo es: B(90)= $406000
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c) C(60)= 152000 
I(60)= 486000
B(60)= 334000
Problema 2) La función 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 36 indica el 
beneficio (en miles de pesos) que obtiene la fábrica de 
alfajores "Coquito" cuando produce y vende x toneladas de 
alfajores. 
La recta L de ecuación 𝑦 = −13𝑥 + 89 es la recta tangente a 
la función f en el punto (5; 𝑓(5)). 
a) Hallar los valores de a y b. 
b) ¿Cuál es el beneficio marginal de producir y vender 
cinco toneladas de alfajores? 
c) Determinen cuántas toneladas de alfajores debe 
producir y vender "Coquito" para maximizar el 
beneficio. 
 
 
 
L(5)=-13.5+89 = 24
A= (5; 24)
24=-5³+a.5²+b.5-36
24=-125+25a+5b-36
24+125+36=25a+5b
185=25a+5b
y=f(x)
f '(5) = m
f '(5) = -13
y = mx+b
f '(x)=-3x²+a.2.x+b
-13=-3.5²+2a.5+b
-13=-75+10a+b
-13+75=10a+b
62=10a+b
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Armo una ecuación con el punto de tangencia
Armo otra ecuación con la pendiente de la recta tangente
185=25a+5b
62=10a+b
 Sustitución
b=62-10a
185=25.a + 5.(62-10a)
185=25a+310-50a
185-310=-25a
-125=-25a
-125:(-25)=a
 5 = a
b=62-10.5
b=62-50
b=12
f(x)=-x³+5x²+12x-36
b) f '(x) = -3x²+5.2x+12
Bmg= f '(5) =-3.5²+10.5+12
 f ' (5) = -13
Si produce y vende la 6ta tonelada de alfajores le produce 
una pérdida de $13000
c) 
f '(x) = -3x²+10x+12=0
Resolvente
NO TE OLVIDES: Justificar máximos y/o mínimos con el criterio de la primera derivada
Problema 3) La función de posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta está dada 
por 𝑠(𝑡) = 3𝑡2 + 5, donde t está en segundos y s en metros. 
a) Calcular la velocidad media del móvil entre los 4 segundos y los 5 segundos. 
b) Calcular la velocidad instantánea del móvil a los 4 segundos y a los 5 segundos. 
c) Hallar la recta tangente al gráfico de la función s(t) que pasa por (6; s(6)) y estimar con 
ella la posición del móvil a los 6,1 seg. ¿Es buena la estimación? ¿Podés estimar con la 
misma recta tangente la posición en a los 10 seg? ¿Por qué?