senales_potencia_energia_bw

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SyS-I J.C. Gómez 1
Sistemas y SeSistemas y Seññales Iales I
SeSeññales de Energales de Energíía y Sea y Seññales de Potenciaales de Potencia
Autor: Dr. Juan Carlos Gómez
SyS-I J.C. Gómez 2
SeSeññales de Energales de Energíía Finita y de Potencia Finitaa Finita y de Potencia Finita
1. Tiempo Continuo1. Tiempo Continuo
Supongamos que v(t) es la tensión en una resistencia R cuando es 
circulada por una corriente i(t). La potencia instantánea resulta:
R
i(t)
v(t)
p1(t) = v(t) i(t) = R i2(t)
La potencia instantánea por unidad de resis-
tencia resulta:
)(
)(
)( 21 ti
R
tp
tp ==
La energía disipada (por unidad de resistencia) puede entonces 
calcularse como
∫
−
∞→
=
T
T
T
dttiE )( lim 2
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y similarmente la potencia media (por unidad de resistencia)
∫
−
∞→
=
T
T
T
dtti
T
P )( 
2
1
 lim 2
Por analogía con esto se define la energenergííaa de una señal arbitraria 
x(t), que puede ser en general a valores complejos, como
dttxE
T
T
T
 )( lim
2
∫
−
∞→
Δ
=
y la potencia mediapotencia media de la señal como
dttx
T
P
T
T
T
 )(
2
1
 lim
2
∫
−
∞→
Δ
=
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Basados en estas definiciones podemos distinguir entre las siguientes 
clases de señales
La señal x(t) es una seseññal de energal de energíía finitaa finita (o simplemente 
seseññal de energal de energííaa) si y sólo si
0 < E < ∞ (⇒ P = 0 )
La señal x(t) es una seseññal de potencia finitaal de potencia finita (o simplemente 
seseññal de potenciaal de potencia) si y sólo si
0 < P < ∞ ( ⇒ E = ∞ )
La señal x(t) no satisface ninguna de las dos relaciones y por 
lo tanto nono es ni de energia finita ni de potencia finita.
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EjemplosEjemplos
1. 0 )()( >= − αμα tAetx t Hacerlo !!
2 2 2
0
2 2
2
0
( )
 ( ) es señal de energía
2 2
t
x
t
E x t dt A e dt
A A
e x t
α
α
α α
∞ ∞
−
−∞
∞−
= =
= − = < ∞⇒
∫ ∫
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2. ( )θω += tAtx 0cos )(
La potencia media es
( )
( )
2
 2cos
2
1
2
1
 
2
 lim 
 cos 
2
1
 lim
2
0
2
0
22
A
dtt
T
A
dttA
T
P
T
T
T
T
T
T
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ++=
+=
∫
∫
−
∞→
−
∞→
θω
θω
por lo que x(t) es de potencia finitapotencia finita.
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ObservaciObservacióón:n: Puede verse que para señales periódicas la potencia 
media puede calcularse integrando en un período de la señal.
Sea xp(t) una señal periódica de período Tp. Entonces la potencia 
media puede calcularse como
dttx
T
P
pTt
t
p
p
 )(
1
 
0
0
2
∫
+
Δ
=
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2. Tiempo Discreto2. Tiempo Discreto
La energía de una señal en TD, x(n), que puede ser en general a 
valores complejos, se define como
( )∑
∞
−∞=
Δ
=
n
nxE
2
La potencia media de una señal en TD, x(n), se define como:
( )∑
−=
∞→
Δ
+
=
N
Nn
N
nx
N
P
2
12
1
lim
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Basados en estas definiciones podemos distinguir entre las siguientes 
clases de señales en TD
La señal x(n) es una seseññal de energal de energíía finitaa finita (o simplemente 
seseññal de energal de energííaa) si y sólo si
0 < E < ∞ (⇒ P = 0 )
La señal x(n) es una seseññal de potencia finitaal de potencia finita (o simplemente 
seseññal de potenciaal de potencia) si y sólo si
0 < P < ∞ ( ⇒ E = ∞ )
La señal x(n) no satisface ninguna de las dos relaciones y por 
lo tanto nono es ni de energia finita ni de potencia finita.
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unitarioescalón )()( nnx μ=
2
0
1
lim ( )
2 1
1 1 1
 lim 1 lim
2 1 2 1 2
N
x N
n N
N
N N
n
P x n
N
N
N N
→∞
=−
→∞ →∞
=
=
+
+
= = = < ∞⇒
+ +
∑
∑
Ejemplo:Ejemplo:
x(n) es señal 
de potencia
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ObservaciObservacióón:n: Puede verse que para señales periódicas la potencia 
media puede calcularse en un período de la señal.
Sea xp(n) una señal periódica de período N. Entonces la potencia 
media puede calcularse como
1 2
0
1
( )
p
N
x p
n
P x n
N
−Δ
=
= ∑