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ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES:
APLICACIONES DE LA ECONOMÍA COMPUTACIONAL 
A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DINÁMICOS
COLECCIÓN CEDE 
50 AÑOS
ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES:
APLICACIONES DE LA ECONOMÍA COMPUTACIONAL 
A LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DINÁMICOS
Jorge Higinio Maldonado
Primera edición: noviembre de 2008
© Jorge Higinio Maldonado
© Universidad de los Andes 
Facultad de Economía, Centro de Estudios sobre Desarrollo Económico - Cede
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ISBN: 978-958-695-370-2
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en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, 
electro-óptico, por fotocopia o cualquier otro, sin el permiso previo por escrito de la 
editorial.
Maldonado, Jorge Higinio
Economía de recursos naturales : aplicaciones de economía computacional en la solución de problemas 
dinámicos / Jorge Higinio Maldonado. -- Bogotá : Universidad de Los Andes, Facultad de Economía, 
CEDE, Ediciones Uniandes, 2008.
244 p. ; 16,8 x 23,8 cm. – (Colección CEDE 50 años. Investigación empírica)
Incluye referencias bibliográficas (p. 227-229).
ISBN 978-958-695-370-2
 
1. Economía ambiental – Modelos matemáticos 2. Recursos naturales -- Aspectos económicos – 
Modelos matemáticos I. Universidad de los Andes (Colombia). Facultad de Economía. CEDE II. Tít.
CDD 333.7015118 SBUA
A Rocío del Pilar
vii
CONTENIDO
PREFACIO XI
I INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES 1
 A. Introducción 1
 B. Los recursos naturales 1
 1. Recursos no renovables 3
 a. Reservas 4
 b. Agotamiento 5
 c. Recursos de flujo 5
 d. Recurso fondo 6
 2. Recursos renovables 7
 C. Economía de recursos naturales 9
 D. Análisis dinámico para solucionar problemas de 
 recursos naturales 11
 1. El método de Lagrange para la solución de problemas 
 restringidos 12
 2. Extensión del método de multiplicadores de Lagrange 
 al problema de asignación dinámica 14
 3. Cálculo de variaciones 18
 a. Algunos casos especiales 24
 4. Teoría del control óptimo 26
 a. El problema del control óptimo 27
 b. El principio del máximo 28
 c. Condiciones terminales alternativas 29
 d. Interpretación económica del Principio del Máximo 31
 e. El hamiltoniano de valor corriente 34
 f. El principio del máximo con hamiltoniano de 
 valor corriente 35
 g. Teoría del control óptimo con tiempo discreto 36
 5. Programación dinámica 38
viii
II MODELOS ECONÓMICOS PARA EL ANÁLISIS DE RECURSOS NATURALES 41
 A. Economía de recursos naturales renovables: el caso 
 de la pesca 42
 1. Bases biológicas y económicas 43
 a. Funciones de crecimiento de población 43
 b. Funciones de producción de pesca 47
 c. Función producción–esfuerzo 49
 2. Modelos de uso de recursos de uso común 51
 a. Modelo de máximo rendimiento sostenible 52
 b. Modelo estático de libre acceso 54
 c. Modelo de libre acceso dinámico 57
 d. Modelo de asignación de derechos de propiedad 59
 e. Modelo de optimización dinámica: 
 maximización de valor presente 61
 3. Instrumentos para manejar recursos naturales renovables 67
 a. Instrumentos de comando y control o tradicionales 67
 b. Instrumentos económicos 69
 4. Aplicación práctica de los modelos de pesca 71
 a. Análisis bioeconómico de la pesquería de grandes 
 bagres del río Caquetá medio 71
 B. Economía de recursos naturales renovables: 
 el caso de los bosques 75
 1. Silvicultura de edad uniforme 77
 a. Funciones de volumen de madera 77
 b. Crecimiento medio anual 78
 c. Rotación simple óptima 80
 d. Turno óptimo con infinitas rotaciones: 
 el turno de Faustmann 82
 2. Bosques naturales maduros 85
 C. Economía de recursos naturales no renovables: 
 el caso de las minas 90
 1. Uso de un recurso no renovable 92
 2. Extracción del recurso de cara a la demanda del mercado 95
 a. Extracción del recurso en un mercado competitivo 97
 b. Extracción del recurso en un mercado de monopolio 99
 c. Reservas costo-dependientes 103
 d. Exploración 106
 3. Aplicación práctica de los modelos de recursos 
 renovables y no renovables 113
 a. Los arrecifes de coral como un recurso natural 
 renovable y no renovable: modelo bioeconómico 
 de la isla de San Andrés (Caribe colombiano) 113
ix
III ECONOMÍA COMPUTACIONAL PARA RECURSOS NATURALES 117
 A. Ecuaciones lineales y no lineales: métodos computacionales 117
 1. Ecuaciones lineales 119
 a. Factorización LU 120
 b. Cuidados con la manipulación de matrices 124
 2. Ecuaciones no lineales y problemas de 
 complementariedad 126
 a. Método de bisección 127
 b. Iteración de función 130
 c. Método de Newton 132
 d. Métodos cuasi-Newton 134
 e. Problemas con métodos Newton 135
 f. ¿Cuál método usar? 136
 g. Problemas de complementariedad 137
 B. Aproximación de funciones 142
 1. Principios de interpolación 144
 a. Interpolación polinomial 145
 b. Interpolación por tiras o spline 146
 2. Método de colocación 147
 a. Herramientas en Matlab 149
 C. Programación dinámica: modelos de estado discreto 151
 1. Programación dinámica discreta 152
 2. Ejemplos económicos 155
 a. Ejemplo 1: manejo de la mina 156
 b. Ejemplo 2: manejo de un depósito de agua 158
 3. Algoritmos de solución 160
 a. Recursión hacia atrás 162
 b. Iteración de función 162
 c. Iteración de política 163
 4. Análisis de simulación dinámica 164
 5. Las herramientas de programación 166
 6. Ejemplos numéricos 169
 a. Ejemplo 1. Manejo de la mina 169
 b. Ejemplo 2. Manejo del depósito de agua 173
 D. Programación Dinámica: Modelos de Estado Continuo 178
 1. Programación dinámica en estado continuo 179
 2. Condiciones de Euler 181
 3. Estado estacionario 182
 4. Problemas de Complementariedad 183
 5. Ejemplos económicos 184
 a. Ejemplo 1. Manejo de un recurso renovable 185
 b. Ejemplo 2. Manejo de un recurso no renovable 188
 c. Ejemplo 3. Manejo del depósito de agua 191
x
 6. Métodos numéricos para solucionar problemas 194
 a. Método de colocación con la ecuación de Bellman 195
 b. Implementación del método de colocación 197
 c. Análisis posoptimalidad 201
 7. Ejemplos numéricos 202
 a. Ejemplo 1. Manejo de un recurso renovable 202
 b. Ejemplo 2. Manejo de un recurso no renovable 211
 c. Ejemplo 3. Manejo del depósito de agua 217
BIBLIOGRAFÍA 227
xi
PREFACIO
Este libro forma parte de la colección CEDE 50 años. Es un texto diri-gido a estudiantes avanzados de pregrado y estudiantes de maestría 
interesados en el tema de la economía de los recursos naturales. Otro 
público con conocimientos básicos en economía e interés en el tema en-
contrarán también información interesante. 
Aunque existe actualmente un buen número de textos que tratan el tema 
de economía ambiental y de recursos naturales, es relativamente menor el 
número de aquellos que dan suficiente énfasis a los problemas dinámicos 
asociados a la economía de recursos naturales. En español es aún más es-
casa esta literatura. Esta baja presencia de textos que analizan con profun-
didad el tema de recursos naturales se debe a las dificultades inherentes 
a la solución de dichos problemas: usualmente, los ejercicios implican un 
alto grado de complejidad y es normal no encontrar soluciones cerradas aestos problemas dinámicos. Ahora, gracias al avance en la economía com-
putacional y los métodos numéricos, acompañados del rápido desarrollo 
en la capacidad de los computadores, es posible resolver problemas de 
este tipo de manera ágil, eficiente y con un nivel aceptable de exactitud. 
Es precisamente de lo que trata este libro: del uso de las herramientas 
computacionales para resolver problemas dinámicos, con énfasis en re-
cursos naturales. 
Después de varios años de ofrecer el curso en economía de recursos natu-
rales para las maestrías en Economía Ambiental y de Recursos Naturales 
(PEMAR) y en Economía (PEG) de la Universidad de los Andes, tengo 
la oportunidad de reunir las notas y avances en un texto académico. 
Para su construcción, este texto se basa en estos cursos impartidos en 
la Universidad de los Andes. Sin embargo, su inspiración surge de dos 
xii
textos que son fundamentales en el tema de la economía de los recursos 
naturales. El primero de ellos es el texto de Conrad (1999); un texto muy 
bien escrito, con ejemplos claros para diferentes casos de recursos natu-
rales, que usa herramientas de fácil acceso como Excel y con modelos 
comprehensivos y propuestos para estudiantes avanzados de pregrado 
o de posgrado. Este texto es la base de la primera parte de este libro y 
en realidad, utiliza muchos de sus ejemplos y enfoques para mostrar la 
solución a los problemas asociados a recursos naturales.
El segundo texto es el de Miranda y Fackler (2002). Durante mi doctora-
do, tuve la oportunidad de recibir un curso del profesor Mario Miranda 
en el tema, y desde entonces tuve la idea de reproducir todo este cono-
cimiento entre los estudiantes de la Universidad de los Andes. Con el 
apoyo del profesor Miranda, diseñé el curso en Economía de Recursos 
Naturales, basado en buena medida en su libro y su curso, y en el paquete 
CompEcon —un conjunto de comandos, códigos y programas diseñados 
en lenguaje de Matlab por Miranda y Fackler—, orientado a resolver mu-
chos de los retos que surgen en la solución de problemas dinámicos. La 
segunda parte de este libro se basa en el uso de las herramientas compu-
tacionales para la solución de estos problemas dinámicos, aplicada espe-
cialmente a recursos naturales.
Aunque basado en estos dos textos, he procurado aportar nuevos ele-
mentos de análisis, fruto de las discusiones con los estudiantes que han 
tomado el curso estos años o que han desarrollado sus trabajos de tesis 
con base en estos conocimientos. Se presentan en el texto algunos estu-
dios de caso basados en tesis de estudiantes de maestría que trabajaron 
en el tema. 
Obviamente, los errores que contenga el libro son sólo mi responsa-
bilidad.
De esta forma, aunque no necesariamente innovador en el contenido de 
los temas, considero que este libro hace una contribución en ofrecer, en 
un solo texto en español, las bases de la economía de los recursos natura-
les, los modelos y problemas más usuales que se encuentran en esta área 
y, adicionalmente, las herramientas de la economía computacional para 
la solución de estos problemas. Espero que este enfoque sea un aporte a 
un tema que cada vez cobra más vigencia e importancia mundial, espe-
cialmente en los países en desarrollo, donde la economía puede llegar a 
depender de manera no despreciable en los recursos naturales para su 
desarrollo.
xiii
Para aprovechar mejor la información presentada, se espera y se supone 
que el lector tenga conocimientos básicos de cálculo diferencial, álgebra 
matricial y bases en economía, especialmente microeconomía.
El libro está compuesto por tres capítulos. El primero de ellos empieza 
con una introducción al tema de los recursos naturales, se revisan las di-
ferencias entre recursos renovables y no renovables y otras característi-
cas propias de estos recursos, se introducen las bases de la economía de 
recursos naturales y finalmente, se revisan los principales métodos de 
solución de problemas dinámicos. El segundo capítulo se dedica a revisar 
los principales modelos diseñados para resolver problemas asociados a 
recursos naturales, desde el punto de vista económico; se repasan allí los 
modelos clásicos de recursos renovables (pesca y bosques) y no renova-
bles (minas). El último capítulo trata el tema de la economía computacio-
nal y sus aplicaciones en la solución de estos problemas; inicia revisando 
las bases de la economía computacional, donde se incluye la solución de 
sistemas lineales y no lineales y se revisan los métodos de aproximación 
de funciones. Con estas bases, se abordan los métodos de programación 
dinámica en tiempo discreto y en tiempo continuo y se realizan algunos 
ejemplos teóricos y prácticos de solución de problemas asociados a asig-
nación de recursos naturales.
Quiero agradecer al CEDE por su apoyo en la publicación de este libro. 
De manera similar, quiero reconocer el excelente trabajo de Ediciones 
Uniandes en todo el proceso de hacer realidad este libro. También, agra-
dezco a Diana Hernández, quien me ayudó en el proceso de digitación 
del libro, y a Claudia Salazar quien un tiempo atrás hizo lo propio con 
algunas secciones del ahora primer capítulo. También quisiera agrade-
cer a Andrés Mogollón, quien fue profesor complementario del curso de 
economía de recursos naturales a mi cargo, desarrolló y organizó varios 
ejercicios aplicados que sirvieron de base para algunas secciones de este 
libro.
Finalmente, quiero agradecer a Rocío del Pilar, mi esposa, sin cuyo apoyo 
incondicional no hubiera sido posible terminar este libro.
1
I
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA 
DE RECURSOS NATURALES
A. Introducción
En este primer capítulo se presenta una introducción al tema de los recursos naturales, se presentan definiciones, diferencias y visiones 
alternativas al tema, explicando las similitudes y diferencias entre recur-
sos renovables y no renovables. Posteriormente, se hace una introducción 
a la economía de recursos naturales y a los diferentes métodos matemáti-
cos para resolver problemas dinámicos asociados a la asignación eficiente 
de los mismos. Allí se revisan las herramientas más importantes de la 
matemática para la solución de problemas de optimización dinámica: cál-
culo de variaciones, teoría de control óptimo y programación dinámica. 
También se analizan las ventajas y desventajas de cada método cuando se 
va a aplicar a la solución de asignaciones de recursos naturales.
B. Los recursos naturales1
Probablemente todo el mundo tenga alguna noción intuitiva de lo que 
signifique “recurso natural”; sin embargo, obtener una definición riguro-
sa e informativa no es fácil. En su forma más simple, puede ser definida 
como aquellos factores económicos en la producción o el consumo que 
deben su origen y existencia a fenómenos naturales, o a procesos que 
ocurren autónomamente en la naturaleza. Éste es un enunciado que pa-
rece incluir cualquier cosa que no sea hecha por el hombre ni generada 
como resultado de un proceso de manufactura que éste haya iniciado, es 
decir, todo aquello que ni es capital ni trabajo en la clásica clasificación 
económica acerca de los factores de producción. De esta forma, todos los 
1. Éste y el siguiente capítulo están basados en la excelente taxonomía que presenta, 
Randall (1987) en su trabajo.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES • FACULTAD DE ECONOMÍA • CEDE 50 AÑOS 
Economía de recursos naturales
2
recursos naturales quedarían igualados con la categoría del factor tradi-
cional “tierra”, lo cual captura una de sus características esenciales: su 
disponibilidad inicial precede la actividad económica y está ampliamente 
por fuera de la influencia del hombre. Los recursos naturales se originan 
de procesos biológicos, químicos o geológicos que no pueden ser contro-
lados a voluntad.
De acuerdo con McInerney (1976), un recurso es algo que resulta útil y 
valioso en el estado en que se le encuentra. En su estado natural o no 
modificado, puede ser un insumo para la producción de algo de valor, o 
bien puedeir directamente al proceso de consumo.
Quizá la forma alternativa de entender qué es un recurso natural es anali-
zando qué no es un recurso: las cosas que se desconocen o para las cuales 
no se ha encontrado aplicación no constituyen recursos; las cosas que 
siendo útiles, se encuentran disponibles en cantidades tan enormes res-
pecto a la demanda que carecen de valor, no serían recursos. Además, 
recurso es un concepto dinámico, y siempre existe la posibilidad de que 
los cambios ocurridos en la información, en la tecnología y en la escasez 
relativa conviertan en recurso valioso aquel que antes carecía de valor. 
Las cosas producidas bajo la dirección del hombre mediante procesos en 
que se combinan recursos, capital, tecnología o trabajo no son considera-
das recursos por sí mismas, aunque éstos formen parte de sus insumos.
Entre tanto, los recursos se caracterizan por múltiples atributos. Tienen 
dimensiones de cantidad, calidad, tiempo y espacio. Por ejemplo, el aire se 
encuentra en cantidades tan grandes que no parece ser un recurso ni tener 
valor, sin embargo, la calidad del aire está amenazada en varias partes y 
el aire de mejor calidad tiene valor positivo. En el tiempo puede variar la 
disponibilidad de aire: en una cápsula o en un submarino la oferta está 
limitada por la cantidad inicial de aire y por la forma de reposición, mien-
tras en el espacio abierto la cantidad y calidad se comportan de otra forma.
Con base en estos atributos y otras características propias, un recurso 
natural se puede clasificar de diferentes maneras. Hace algunos años la 
utilización de recursos no renovables dio inicio a la preocupación sobre si 
éstos se agotarían en algún momento y cuál sería el efecto en el desarrollo 
económico. Como resultado, en el decenio de 1960 se consolidó el Club 
de Roma, una agrupación de expertos que estimaron que si continuaban 
las tasas de uso que se observaban en ese momento, y dadas las reservas 
conocidas, varios de los más importantes recursos minerales se agotarían 
en la primera mitad del siglo XXI. Por esta razón a estos recursos se los 
denominó “recursos agotables”, en contraposición a los recursos renova-
bles o biológicos, que se denominaron “recursos no agotables”.
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES
Jorge Higinio Maldonado
3
Sin embargo, actualmente no se observa una amenaza seria sobre los 
recursos no renovables. Este hecho obedece a varios procesos que se 
dieron simultáneamente en las últimas décadas del siglo XX, entre los 
cuales cabe resaltar el reciclaje, la miniaturización, la sustitución de re-
cursos naturales con productos sintéticos, mejoras en la detección de 
yacimientos, mayor eficiencia y mejoras en la extracción; la tecnología 
ha sido una gran aliada en la solución a los problemas de los recursos 
no renovables. Así y todo, los recursos renovables, conocidos entonces 
como no agotables, en virtud de su tasa de crecimiento, empezaron a 
mostrar serios indicios de agotamiento o extinción: poblaciones enteras 
de peces, ballenas y otros recursos marinos estuvieron al borde de la 
extinción, lo cual hizo de la denominación de “no agotables” una defi-
nición errónea.
Por tanto, ahora se conocen como “recursos renovables” y “no renova-
bles”, en vez de “no agotables” y “agotables”. Ésta es una clasificación 
estándar que utilizaremos en este libro, ya que varios de los modelos eco-
nómicos apuntan a esta distinción a la hora de definir patrones de utiliza-
ción. Sin embargo, existen otras clasificaciones que son útiles de entender 
y tener en mente a la hora de analizar cada caso.
1. Recursos no renovables 
Llamemos entonces recursos no renovables a aquellos que existen en can-
tidades dadas —por lo menos en una escala de tiempo humana— y en 
determinados lugares, por ejemplo, los depósitos minerales. Se los llama 
recursos en reserva o recursos no renovables, ya que su empleo daría con el 
tiempo a su agotamiento. 
Estos recursos pueden ser extraídos y utilizados, pero no es posible obte-
ner cantidades adicionales ni por fabricación ni regeneración. Si denota-
mos S la cantidad existente, Q la cantidad extraída para obtener materia 
prima y el subíndice t (= 0, 1,...) para indicar el tiempo, la existencia actual 
de un recurso de este tipo se puede expresar como
 
 
 Es decir, la existencia actual en el período t es igual a la existencia inicial 
S0 menos la suma de todas las extracciones hasta el período t – 1.
Aunque la noción de existencia dada es válida, no todas las existencias 
han sido identificadas. Si S indica la existencia conocida, los descubri-
mientos pueden aumentar las existencias conocidas, y la extracción, res-
tar de ellas. Así, 
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Economía de recursos naturales
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 donde Dt es la cantidad descubierta en cada período t. Si introducimos la 
posibilidad de reciclaje, la cantidad conocida puede ser aumentada tanto 
por descubrimientos como por reciclaje, de forma que
 
donde Rt es la cantidad reciclada en el período t y está limitada por la 
cantidad de recursos previamente usados pero no reciclados. 
Las dimensiones de cantidad y tiempo de los recursos agotables han sido 
contempladas en estas ecuaciones. El reconocimiento de que los recursos 
agotables son rara vez homogéneos introduce las dimensiones de calidad 
y espacio.
La cantidad es medible, usualmente en términos de masa o volumen. La 
calidad es medible a menudo en términos de composición química, pero 
también por medio de aspectos más intangibles como propiedades esté-
ticas. La distinción entre los conceptos de cantidad y calidad es simple-
mente que la cantidad es normalmente unidimensional (es decir, masa o 
volumen) mientras que la calidad tiene muchos atributos y puede refe-
rirse a cualquier dimensión o conjunto de dimensiones (por ejemplo, la 
composición química, la estructura física y los atributos estéticos), que 
afectan el valor del recurso. La calidad de los recursos será percibida de 
forma diferente para diversos usos, y los aspectos menos tangibles (esté-
tica) serán percibidos de forma diferente por diversos usuarios.
La dimensión de espacio/lugar se refiere a la localización del depósito 
—que afecta los costos de extracción— y su interrelación con las fábricas 
para procesarlos, el transporte y los mercados (lo cual afecta las ganancias 
que se pueden obtener de explotar un depósito en particular). Aunque las 
ecuaciones consideran la dimensión del tiempo —en especial si se refiere 
a los momentos de descubrimiento y extracción—, hay otro aspecto del 
tiempo; aún en ausencia de intervención humana, los procesos naturales 
de degradación no antrópica cambiarán las dimensiones de cantidad y 
calidad con el tiempo.
a. Reservas
Los conceptos de “cantidad conocida”, S, y descubrimientos insinúan la 
complejidad de la idea de reserva. La naturaleza de las reservas es diná-
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES
Jorge Higinio Maldonado
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mica y refleja el comportamiento de precios, tecnología y esfuerzos de ex-
ploración, y el modelo de extracción previa y el uso que se da al recurso. 
Lo que se cuenta como reserva es sólo una porción del recurso potencial 
total. Un aumento en los precios de las materias primas aumentará la 
extracción, entonces disminuirán las reservas; pero esto también puede 
aumentar las reservas, ya que algo de los recursos antes subeconómicos 
se hacen propensos a extraer. Este caso es especialmente relevante en el 
caso del petróleo en esta segunda mitad de la primera década del siglo 
XXI. La exploración puede ser promovida por altos precios en las mate-
rias primas. Los desarrollos tecnológicos en extracción y procesamiento 
pueden traer a recursos subeconómicos dentro del marco económico. Y el 
mejoramiento de la tecnología de exploración puede aumentar la tasa a 
la cual se identifican nuevas reservas. De manera similar, una reducción 
de los costos debido al desarrollo tecnológico causará un aumento enlas 
reservas.
b. Agotamiento
El agotamiento, como la escasez y las reservas, es un concepto econó-
mico. Por definición, no es posible hacer o crear más de un recurso no 
renovable y por tanto, la extracción continuada reduce la existencia. El 
agotamiento se define como un estado en el cual la tasa de extracción cae 
a cero. Obviamente, un recurso se agota cuando no se ha dejado literal-
mente nada. Pero el recurso podría agotarse antes de esto. Cuando los 
costos de extracción y preparación de una unidad adicional para el mer-
cado exceden su precio, no hay incentivo para extraer más y el recurso se 
considera agotado. 
Así como las reservas, el agotamiento es un concepto dinámico. Cualquier 
cosa que pueda reducir el costo unitario de extracción o aumentar de pre-
cio podría fomentar de nuevo la extracción después que el recurso esté 
agotado. 
c. Recursos de flujo
Otros recursos como la radiación solar se llaman recursos de flujo. Sus ca-
racterísticas particulares son que ellos proveen alguna cantidad y calidad 
determinadas más allá del control humano y pueden ser usados cuando 
se proporcionan; de otra manera, se desperdician. La radiación solar lle-
ga en cantidades constantes por unidad de tiempo; este ritmo de flujo, 
así como su calidad, están más allá del control del hombre. Un flujo de 
recursos se debe usar cuando esté disponible; lo que no se aproveche, se 
capte o se guarde para después, es cantidad perdida. 
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Economía de recursos naturales
6
Abstrayendo de nuevo el tema de la calidad, podemos expresar las inte-
rrelaciones entre un recurso de flujo y su uso:
 Ft = Qt + Wt > Qt Wt > 0 
donde Ft es el flujo provisto en el período t y W indica la cantidad desper-
diciada. Aquí no es relevante el concepto de existencia y almacenamien-
to. Qt representa las cantidades aprovechadas en cada momento t.
Retornando a las condiciones reales, reconocemos las dimensiones de ca-
lidad y espacio/lugar. La contaminación del aire puede reducir la calidad 
de la incidencia de radiación solar para algunos usos, y la cantidad recibi-
da puede variar con la localización. 
d. Recurso fondo
Si el recurso de flujo se puede almacenar, el recurso se convierte en un 
recurso fondo, ya que se pueden hacer depósitos y utilizaciones, y estas 
cantidades se pueden manipular, siempre y cuando la extracción no ex-
ceda los depósitos.
La posibilidad de almacenamiento cambia un recurso flujo en un recurso 
fondo, en el cual depósitos y extracciones se pueden hacer y manipular, 
con sujeción a la regla expresada en la siguiente ecuación:
 
 
 Que dice que el uso en cada período no puede exceder la cantidad neta 
acumulada en los períodos previos más el flujo de ese período.
Un buen ejemplo de un recurso fondo es el agua en un sistema típico de 
represa que incluye depósitos subterráneos naturales de agua y acuíferos 
y depósitos controlados. De forma similar a los casos ya citados, es po-
sible identificar las dimensiones de cantidad, calidad, tiempo y espacio/
lugar al describir tales recursos. La cantidad almacenada de un fondo se 
mide en masa, volumen o energía por unidad de tiempo. La calidad se 
relaciona con el uso; las dimensiones de tiempo y espacio limitan los usos 
posibles. El almacenamiento puede disminuir las limitaciones de tiempo, 
y la transmisión disminuir las limitaciones de espacio, sin embargo, con 
cierto costo.
Esta categorización de los recursos como no renovables, flujo o fondo es 
imperfecta. Hay traslapes y algunos recursos no quedan bien en ninguna 
categoría. Los combustibles fósiles son usualmente clasificados como no 
renovables, con justa razón; aunque ellos representan almacenamientos 
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES
Jorge Higinio Maldonado
7
de energía solar. ¿Por qué no son entonces llamados recursos fondo? La 
respuesta es que el depósito ocurre a lo largo del tiempo geológico, mien-
tras que la tasa de extracción es limitada sólo por el capital, la tecnología 
y restricciones humanas. El concepto humano del tiempo es el que hace 
a los combustibles fósiles no renovables, para todos los propósitos rele-
vantes de política.
2. Recursos renovables 
Los recursos renovables representan una categoría compleja. Utilizan el 
flujo de energía solar, el flujo (o fondo) de recursos hidrológicos y el fon-
do de nutrientes del suelo. Se pueden establecer equilibrios frágiles inde-
pendientemente de la intervención humana y se pueden manipular para 
establecer y mantener diferentes equilibrios. Dados el flujo de energía 
solar, la capacidad biológica de reproducción y las limitaciones humanas, 
los recursos biológicos son renovables. No auto-renovables, sino renova-
bles, dados las limitaciones del hombre y el uso adecuado de ellos. Son, 
por tanto, caracterizados como renovables pero agotables.
En un momento del tiempo dado, la existencia de un recurso renovable o 
biológico, su biomasa, está determinada por:
 
 
 donde H indica, en este contexto, el regeneramiento (crecimiento natural) 
neto (el exceso de las sumas de la reproducción y crecimiento sobre las 
pérdidas de mortalidad y pérdidas que ocurren independientemente de 
la extracción, Q). En malas épocas, H podría ser negativa, y en otras, ex-
ceder a R, por un aumento neto de la biomasa o reclutamiento.
Generalmente, la tasa de crecimiento natural, H, está determinada por
 Ht = h(St, Nt , Xt ) 
donde N y X definen el soporte provisto por el ambiente, siendo N los in-
sumos provistos por la naturaleza y X los insumos bajo control del hom-
bre. Suponiendo que X y N están dados y constantes a través de períodos 
de tiempo, podemos considerar la interrelación entre Ht y St. En un eco-
sistema estable no intervenido, la biomasa de una especie tiende hacia K, 
la capacidad de carga (gráfico 1.1). Si por alguna razón la biomasa cayera 
por debajo de la masa crítica S0, ésta continuaría la caída hasta cero; es 
decir, So es el umbral de extinción. El regeneramiento neto es negativo 
para una biomasa menor a S0. En K la biomasa máxima sostenible ha sido 
alcanzada y el regeneramiento neto se estabiliza en cero. Esto es lo que 
Tomas Maltus tenía en mente cuando escribió que la tendencia natural 
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Economía de recursos naturales
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de las poblaciones aumentaba hasta los límites que el sistema soportaba, 
hasta que cada miembro superviviente obtuviera apenas un nivel de sub-
sistencia. El regeneramiento es maximizado cuando el nivel de biomasa 
tiene la máxima pendiente, en el punto S*. Esto tiene implicaciones im-
portantes para el manejo de sistemas biológicos. 
Gráfico 1.1. Función de comportamiento de la población de una especie 
 en el tiempo.
Después que se alcanza el nivel de biomasa S*, éste puede mantenerse 
a un nivel de cosecha R* tal que iguale su tasa de crecimiento en cada 
período de allí en adelante. Como veremos, R* es entonces la producción 
máxima sostenible o rendimiento máximo sostenible, RMS. Si el sistema 
biológico incluye consideraciones económicas, como un activo de capital, 
la consideración de los costos de estrategias alternativas puede conducir 
a la elección de un nivel de biomasa óptimo económicamente, y la tasa de 
extracción desviarse de S* y R*. Contrario a lo que se pensó durante algún 
tiempo, el rendimiento máximo sostenible puede no ser una estrategia 
óptima de manejo.
La complejidad de los recursos biológicos, evidente en la discusión de 
la dimensión tiempo, se extiende a las dimensiones de calidad, cantidad 
y lugar/espacio. La biomasa es un indicador bien definido de cantidad, 
pero no necesariamente captura la importancia económica de la dimen-
sión calidad. Para los variados usos que la gente da a los recursos bioló-
gicos, otras medidas de cantidad pueden ser relevantes: masa, volumen, 
tamaño de población. La calidad se define en términos de la intención de 
uso; la noción de lo que constituye elevada calidad puedeser conflictiva, 
dadas diferentes valoraciones de los usos alternativos. Por ejemplo, un 
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9
monocultivo de una variedad artificialmente obtenida de alguna especie 
puede ser considerada de excelente calidad para usos que subrayen la 
producción de alimentos para el consumo humano, pero como de baja 
calidad si el acento fuera la continuidad ecológica y la estética natural. 
C. Economía de recursos naturales
La humanidad deriva beneficios de la utilización de los recursos natu-
rales (solares, atmosféricos, geológicos, hidrológicos y biológicos), utili-
zándolos como insumos para el proceso de producción, consumiéndolos 
directamente y obteniendo satisfacción de las comodidades que propor-
cionan. Esos usos pueden ser la extracción de recursos no renovables, la 
cosecha de recursos biológicos renovables, la intercepción de recursos de 
flujo y el retiro de fondos. Éstos son los usos de consumo. Algunos usos no 
se relacionan con el consumo. Por ejemplo, usar las plantas para reponer 
oxígeno y usar los recursos para obtener satisfacciones estéticas o ciertas 
formas de recreación.
Un reto desde el punto de vista económico es entonces administrar con 
eficacia los recursos, a fin de maximizar la satisfacción que se deriva de 
ellos.
Para buscar esas formas de usar los recursos de manera que les generen 
bienestar a las actuales y a las futuras generaciones, es necesario encon-
trar y desarrollar modelos que tengan en cuenta las características pro-
pias de los recursos naturales. Uno de los principales aspectos o atributos 
que se han de considerar en un recurso natural es el hecho de que ellos 
tienen una disponibilidad inicial, v. g. ellos existen como cantidades, y 
es poco lo que el ser humano puede hacer para cambiar esta existencia. 
Claramente, cada recurso existe como una cantidad dada en un momen-
to particular del tiempo. Ahora, un recurso tiene una de dos principales 
características:
• La cantidad máxima de recurso que puede ser utilizada está total-
mente fija, habiendo sido predeterminada antes que el hombre ini-
ciara la actividad económica, o
• A medida que la cantidad disponible cambia, lo hace a una tasa bio-
lógica o bioquímica natural. Esta tasa puede no ser constante en el 
tiempo, pero factores biológicos o bioquímicos pueden determinar 
la máxima tasa de cambio (con respecto a aumentos en la cantidad), 
los cuales están por fuera del control del hombre.
La primera característica es compartida por los recursos tales como área 
en tierra, minerales de metales, combustibles fósiles, bienes escénicos y 
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Economía de recursos naturales
10
otros recursos de naturaleza geofísica. La segunda característica es ejem-
plificada por bosques, bancos de peces, fauna y flora natural, aire y agua 
frescos y otros recursos de naturaleza biológica. A causa de sus caracterís-
ticas de existencia, la esencia del manejo de los recursos naturales como 
un brazo de la economía aplicada es el problema central de asignación 
intertemporal, i. e., decidir qué cantidad existente de un recurso debe ser 
destinada a uso o consumo hoy y cuánta debe ser dejada in situ para el 
futuro. Aunque se pueden introducir muchas otras consideraciones, éste 
es el punto focal del problema, así como las técnicas analíticas para mane-
jarlo, que provean la base para la “economía de recursos naturales” como 
un área especial de estudio. Podemos entonces definir esta área como 
el estudio de las elecciones de la sociedad en la asignación intertemporal de los 
recursos (o servicios de recursos) derivados de las cantidades fijas o cambiantes 
a tasas naturales. Esta definición ilustra las tres características básicas del 
problema que sirven para distinguirlo del estudio de otros problemas 
económicos:
• Los problemas son vistos en el ámbito de la sociedad, en oposición a 
la opción individual, y por tanto la atención se enfoca ampliamente 
en la elección social más que en la elección privada.
• La consideración temporal es de importancia central para la estruc-
tura analítica empleada; difícilmente existe teoría estática de la eco-
nomía de recursos naturales (aunque los aspectos estáticos entran 
en la forma de la asignación de recursos entre usos competitivos en 
cualquier punto en el tiempo).
• Las restricciones sobre la elección social son impuestas por los facto-
res que están, en últimas, por fuera del control del hombre, para las 
cantidades máximas de recursos fijos o para los cambios en las tasas 
que no sean de naturaleza humana.
De todo esto, es evidente que las elecciones sociales se convierten fun-
damentalmente en elecciones acerca de la tasa a la cual las existencias 
de recursos se agotan o se utilizan, v. g. son elecciones de consumo. 
Alternativamente, ya que elegir cuánto de una cantidad dada se debe 
usar es lo mismo que decidir cuánto se deja sin tocar, podemos igual-
mente ver la situación como una de determinar la política óptima de 
conservación. Esto pone de relieve que la conservación es una utilización 
controlada, un concepto dinámico, distinto del concepto de preservación, 
el cual es estático.
Debe notarse que esta definición aún deja los recursos naturales como 
una descripción extendida de todo lo que implica la categoría de recurso 
tierra en la clasificación tripartita de los factores productivos en tierra, 
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES
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11
capital y trabajo, pero ampliada para darnos un tratamiento económico 
más detallado. El trabajo es distinto porque, aunque es en algún sentido 
un recurso sujeto a tasas de cambio biológicas, su oferta de servicios es 
un flujo más que una cantidad disponible, y no es un recurso sobre el 
cual la sociedad en conjunto pueda tomar decisiones para su asignación 
intertemporal. El capital es diferente porque, aunque es un recurso de 
cantidad que involucra problemas de asignación temporal, el tamaño de 
dicha cantidad puede ser modificado a través del tiempo por procesos 
industriales y a tasas que la sociedad misma puede elegir libremente.
Los recursos naturales requieren entonces un tratamiento diferente, que 
exige considerar las tasas —si las hubiese— a las cuales la naturaleza las 
provee, las existencias disponibles y dadas por las condiciones natura-
les y las capacidades tecnológicas de la humanidad, y las implicaciones 
intertemporales que generan su utilización: cualquier decisión presente 
sobre su uso necesariamente afecta —de una manera u otra— su dispo-
nibilidad en el futuro. De eso trata, en términos generales, la economía 
de recursos naturales: de encontrar herramientas para la asignación in-
tertemporal eficiente de recursos sobre los cuales no tenemos capacidad 
de decisión con respecto a su creación. Veremos diferentes modelos para 
diversos casos de recursos naturales —renovables y no renovables— y 
cómo las herramientas computacionales pueden usarse para resolver los 
complejos problemas dinámicos que genera la necesidad de encontrar 
reglas para su asignación.
Antes de entrar en el tema específico de los modelos de recursos natura-
les, en la siguiente sección revisaremos las diferentes técnicas tradicional-
mente utilizadas para solucionar problemas de optimización dinámica, 
sus ventajas y desventajas y sus similitudes, lo cual servirá para entender 
los métodos de optimización aplicados a los recursos naturales.
D. Análisis dinámico para solucionar problemas 
de recursos naturales
La solución de problemas dinámicos tiene sus bases en la extensión de 
los métodos de solución de problemas con restricciones, es decir, de los 
métodos basados en los multiplicadores de Lagrange. Existe actualmente 
una amplia literatura en el tema, que puede ser consultada para observar 
los detalles de estos procedimientos; desde Chiang (1992), hasta Conrad 
y Clark (1987), que hacen una derivación muy lógica de los métodos. 
En general, lasolución de los problemas dinámicos utiliza alguno de 
tres enfoques posibles: cálculo de variaciones, teoría de control óptimo 
y programación dinámica. Como veremos, dadas ciertas condiciones, es-
tos tres métodos convergen al mismo conjunto de condiciones. Antes de 
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Economía de recursos naturales
12
revisarlos, veamos las bases del método de multiplicadores de Lagrange 
para entender la lógica detrás de estos métodos.
1. El método de Lagrange para la solución de problemas res-
tringidos
En economía de recursos, como en otros campos de la economía, es usual 
encontrar problemas de optimización restringida, que en su forma más 
general son de la forma:
 max V(x1 , x2 ,…,xn) sujeto a (x1 , x2 ,…,xn) ∈ A 
Donde V(.) es una función objetivo con n variables de decisión que deben 
estar en algún conjunto de restricciones A. En el caso de problemas de 
optimización estática, las variables de decisión xi son números reales, y 
el conjunto de restricciones A es un subconjunto de n. En problemas de 
optimización dinámica, algunas (o todas) las variables de decisión son 
funciones del tiempo (normalmente separadas en variables estado y va-
riables control). La condición de restricción típicamente involucra el sis-
tema dinámico, expresado como un sistema de ecuaciones diferenciales o 
de diferencias. La función V(.) es un valor real, que normalmente involu-
cra integración (o sumatoria) en el tiempo.
Cuando se quiere resolver problemas con restricciones, el método de los 
multiplicadores de Lagrange ofrece una herramienta eficiente y de apli-
cación directa. Para repasar este método considérese el problema 
 Max V(x,y,z) s.a. G(x,y,z) = c 
Donde hay sólo tres variables de decisión (x, y, z). La ecuación G(.) = c, 
donde c es una constante definida, determina un conjunto de restriccio-
nes en el espacio x, y, z. El problema es entonces determinar el valor de 
estas variables que permita hallar el máximo valor de la función V(x, y, z) 
en el espacio determinado por la restricción.
En el método de multiplicadores de Lagrange definimos una función
 L = V(x, y, z) – λ(G(x, y, z) – c) 
donde L se llama el lagrangiano y λ el multiplicador de Lagrange. En 
términos más generales, consideremos el caso 
 Máx V(x1 , x2 .......xn) s.a. Gj (x1 
, x2 
.......xn) = Cj , j = 1, 2,…, m. 
El lagrangiano será:
 
 
 
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES
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13
Es decir, nótese que surge un multiplicador por cada restricción m.
Las condiciones de primer orden necesarias para resolver el problema de 
maximización serán:
 
que explícitamente son:
 
Sin embargo, ahora surge un nuevo paquete de condiciones de primer 
orden, el relacionado con las variables auxiliares que hemos incluido, λj:
 Lo que constituye un sistema de m + n ecuaciones con m + n incógnitas, 
n para x y m para λ. El sistema debería tener un número finito de solucio-
nes, una de las cuales será la solución al problema de optimización.
Aunque los multiplicadores no forman parte del problema original de 
optimización, tienen una interpretación económica importante. Para en-
tenderla, nótese que la solución al problema general propuesto depende 
de los valores de los parámetros ci; en realidad, es posible establecer esta 
dependencia como:
 
Ahora, si los valores óptimos para las variables de decisión dependen de 
los parámetros, también lo hace el valor de la función objetivo:
 
Si la función de valor optimizado depende de los parámetros, un cambio 
en ellos afectará este máximo valor. El multiplicador es igual al cambio 
incremental en el valor de V(.) ante un aumento en el parámetro de la 
restricción cn; λn representa el valor marginal de liberar la restricción k-
ésima. Si cn representa la oferta disponible de algún insumo o recurso, 
entonces λn representa el precio (o valor) del insumo en términos de V; 
por esto se llama el “precio sombra” del insumo o recurso cn. 
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Economía de recursos naturales
14
2. Extensión del método de multiplicadores de Lagrange al pro-
blema de asignación dinámica
El método de Lagrange puede ser usado para resolver problemas de asig-
nación intertemporal, y la formulación en tiempo discreto tiene una in-
troducción conveniente a la teoría del control y el principio del máximo 
de tiempo continuo.
Sea t = 0, 1,…, T los períodos relevantes para el problema, donde t = 0 es 
el presente o momento actual y T es el último. 
Sea St una variable de estado, que describe el sistema en cada período t.
Sea Xt una variable de control o instrumental en cada período t, que invo-
lucra las decisiones que podemos tomar en cada período. 
V = V(St , Xt , t) refleja el retorno neto económico en cada período t.
V (ST + 1) es la función de valor final, que indica valores alternativos de la 
variable estado en el período T + 1.
St + 1 – St = F(St , Xt) es una ecuación en diferencias que define el cambio en 
la variable de estado del período t a t + 1, t = 0..., T – 1. También se conoce 
como ecuación de evolución del estado.
Nótese que el tiempo se ha dividido en un número finito de períodos dis-
cretos (T + 1), aunque es posible plantear el problema para un horizonte 
infinito con T → ∞. Por ahora trabajamos con una variable de estado y 
una de control. La función objetivo puede tener el período t como varia-
ble, mientras que la ecuación de evolución usualmente no la incluye; por 
tanto, decimos que la ecuación de evolución es autónoma.
Usualmente, el objetivo es maximizar la suma de los valores o recom-
pensas obtenidos en cada período más el valor neto asociado al estado 
terminal ST+1. Esto debe hacerse sujeto a la ecuación de diferencias que 
describe el cambio de la variable estado en el horizonte del tiempo, su-
poniendo que se conozca la cantidad inicial S0 = a; es decir, dada la con-
dición inicial.
 
 
 
El problema es entonces determinar los valores óptimos para Xt con t = 0, 
1..., T, lo cual implica, vía la ecuación de diferencias, valores para St con 
t = 1,…, T.
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES
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15
Usando el método de Lagrange con la ecuación de diferencias para cada 
período como una restricción, el lagrangiano se puede escribir como:
 
 donde λt+1 es un multiplicador asociado con St+1. Nótese que hay T res-
tricciones (t = 0,..., T – 1), una para cada período, entonces, la forma de 
incluirlas es en la sumatoria.
Con restricciones de no negatividad, las condiciones de primer orden 
son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
La mayoría de estas derivadas son directas, excepto la que hace la dife-
renciación con respecto al estado del recurso, st, donde se debe conside-
rar que la variable aparece en el t-ésimo término de la sumatoria, lo cual 
es claro en los dos primeros términos de la expresión. Sin embargo, en la 
sumatoria aparece una vez más: si uno da un paso atrás al período t – 1 se 
encuentra un –st multiplicado por λt; de allí surge – λt, el tercer término 
de la derivada.
Reescribiendo las condiciones:
 
 
 
 
 
 
 
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Economía de recursos naturales
16
La primera condición muestra la condición marginal que debe satisfacer 
xt, la cual implica que el beneficio marginal de la extracción debe lle-
varse a cero; el primer término de la expresión muestra la connotación 
tradicional de que el beneficio marginal de la extracción debe ser igual a 
cero, es decir, que el ingreso marginal debe igualar el costo marginal de la 
extracción. Sin embargo, aparece ahora un término nuevo en el contexto 
dinámico. La expresión refleja la influencia de la decisión de ex-
tracción en el período t, xt , sobre el desempeño futuro de la variable de 
estado y su crecimiento. Si un aumento en xt reduce la cantidad de recur-
so disponible en el próximo período, st+1, este término reflejará el costo 
intertemporal de estadecisión, es decir, de realizar la extracción hoy y 
afectar la disponibilidad futura de la cantidad, valorada al precio sombra 
de dicha cantidad, λt+1. A este componente, que refleja el costo en el tiem-
po de las decisiones actuales, se le conoce como el costo del usuario. Así, 
existe un segundo costo que debe ser considerado cuando se toma una 
decisión hoy, es decir, las pérdidas marginales en que se puede incurrir en 
el futuro restante. En resumen, la condición de equimarginalidad exige 
que el agente que toma la decisión iguale los beneficios marginales de la 
extracción no sólo a los costos marginales de la extracción, sino que ahora 
también debe incluir los costos intertemporales de esa decisión.
La segunda condición es una ecuación en diferencias que debe mantener-
se en el tiempo y relaciona el cambio en el multiplicador de Lagrange en 
términos de st. Esta expresión es una interpretación intuitiva en el contex-
to de uso de un recurso renovable y define cómo el multiplicador debe 
cambiar óptimamente en el tiempo como resultado de las decisiones so-
bre la cantidad disponible en el presente y en el futuro.
La tercera condición muestra que el precio sombra del recurso en el últi-
mo período debe ser igual al beneficio marginal que genera cada unidad 
de él preservada hasta ese momento. Si el problema no tiene una función 
de valor terminal, la regla nos dice que el precio sombra del recurso debe 
llevarse a cero en el último período del análisis.
La última expresión es una representación de la ecuación en diferencias 
de la cantidad disponible del recurso, es decir, recupera la restricción 
planteada inicialmente.
Colectivamente, este conjunto de ecuaciones forma un sistema de 3T + 1 
ecuaciones con 3T + 1 incógnitas: st de 0 a T, xt de 0 a T y λt de 1 a T. El 
sistema puede ser resuelto simultáneamente, aunque en la mayoría de 
los casos será necesario algún algoritmo. También se puede extender a 
las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker, si se requieren condiciones de 
no negatividad.
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES
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17
Una forma de clasificar los problemas dinámicos es de acuerdo a las con-
diciones finales, es decir considerando el tiempo terminal y el estado ter-
minal. El ejercicio que acabamos de mostrar tiene un tiempo terminal 
fijo (T) pero estado terminal libre, y es el más usual. En un problema 
de tiempo terminal libre el agente que toma la decisión debe determinar 
—además— el horizonte óptimo T. En un problema de horizonte infinito, 
T →∞ Surge la pregunta de si las variables solución pueden converger 
a un conjunto de valores y luego permanecer constantes. Tal solución se 
conoce como un “estado estacionario”. Si es un problema de horizonte 
infinito, se alcanza el estado estacionario en el período τ si 
 xt = x* st = s* λt = λ* ∀t > τ
El estado estacionario se puede alcanzar aún en problemas finitos. 
En un problema de horizonte infinito, no existe función de valor final, por 
lo que el problema se reduce a:
 
 
 
Y el lagrangiano será:
 
 
Las condiciones de primer orden serán:
 
 
 
 
 st+1 – st = F(.)
En estado estacionario, como los valores de x, s y λ no varían en el tiempo, 
las condiciones se pueden reescribir como:
 
 
 
 F(.) = 0
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Economía de recursos naturales
18
Que es un sistema que usualmente se puede resolver.
Si existe el estado estacionario, si es único y se puede hallar, entonces la 
pregunta es: si actualmente no estamos en un óptimo de estado estacio-
nario, ¿cuál es la mejor forma de llegar allí?
Se pueden observar dos tipos de sendas de acercamiento de s0 → s
*, supo-
niendo que sea alcanzable:
• Aproximación asintótica, donde st → s
* a medida que T → ∞.
• Senda de aproximación más rápida, en cuyo caso st se dirige a s
* tan 
rápido como sea posible, usualmente alcanzando s* en tiempo finito. 
Dirigir st hacia s
* tan rápido como sea posible, a menudo involucra 
unas condiciones para la variable de control conocidas como bang-
bang, donde xt adquiere su máximo valor posible durante un perío-
do y luego cae a su mínimo posible, usualmente cero, una vez al-
canzado el estado estacionario. Esta solución es típica de problemas 
en los que la variable de control entra en forma lineal en la función 
objetivo. 
Como se puede observar, el método de multiplicadores de Lagrange es 
útil para resolver problemas dinámicos. Sin embargo, existen enfoques 
que apuntan a hacer más directo o intuitivo el problema dinámico y su 
solución. Además, el método del lagrangiano funciona bien cuando el 
tiempo se toma como variable discreta, pero su utilidad se reduce cuando 
el problema es de tiempo continuo. En el campo de las matemáticas se 
han desarrollado tres métodos o herramientas para resolver los proble-
mas de optimización dinámica:
– Cálculo de variaciones
– Teoría del control óptimo
– Programación dinámica.
A continuación veremos cada uno de ellos, y pondremos de resalto su 
utilidad para el caso de problemas asociados al manejo de recursos na-
turales.
3. Cálculo de variaciones
Desarrollado desde el siglo XVII, es el enfoque clásico al problema de op-
timización dinámica. Está basado en problemas que consideran al tiempo 
variable continua. Estos problemas se pueden representar por la formu-
lación general:
 
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES
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19
Este problema se conoce como el problema fundamental del cálculo 
de variaciones. Consiste en integrar una función que depende de una 
variable de estado, y(t), y de su derivada con respecto al tiempo, y’(t); 
además, puede depender de t directamente. La función objetivo está su-
jeta a los valores de partida, y(0), y de finalización, y(T). A la integral se 
le llama integral funcional. Debe ser integrable y que todas las funcio-
nes sean continuas y diferenciables. Este supuesto es necesario, ya que 
la metodología básica del cálculo de variaciones es paralela al cálculo 
diferencial clásico.
El objeto del cálculo de variaciones es encontrar —de un conjunto de po-
sibles sendas o trayectorias de y— aquella que produzca un valor óptimo 
de la función V. Una senda para y(t) suavizada que genera un máximo o 
mínimo de V(y) se llama un extremal.
Las condiciones de primer orden necesarias en el cálculo de variaciones 
se resumen en la ecuación de Euler, formulada en 1744. Dado y*(t) como 
extremal, se busca una propiedad del extremal que no tengan otras sendas 
vecinas. Para generar las sendas vecinas se usa una curva perturbadora 
que pase por los extremos, es decir p(0) = p(T) = 0 (véase gráfico 1.2). 
Gráfico 1.2. Curva de perturbación p(t) para aproximar la solución 
 al problema del cálculo de variaciones.
Esta curva se llama p(t), y la distorsión consiste en agregar εp(t) a y*(t), 
donde ε es un pequeño número y perturba a y, desplazándola a sendas 
vecinas. 
Las sendas serán: y(t) = y*(t) +εp(t) 
Lo que implica: y´(t) = y*´(t) +εp´(t) 
El valor de ε determina una senda vecina y un valor particular de V(y); 
entonces V se puede escribir como una función de ε – V (ε). Si suponemos 
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Economía de recursos naturales
20
que y*(t) genera un óptimo en V y allí ε = 0, entonces se debe cumplir 
que: 
 
 
Que es una condición necesaria para la optimalidad de la senda y define 
un extremal. La teoría para resolver este tipo de problemas se basa en la 
solución de derivadas integrales definidas, la cual se apoya en la regla de 
Leibniz, la cual dice que:
Sea una integral
 
donde se supone que Fx (t,x) existe en [a,b] y es continua. Si cambia x:
 
 
 
Regla de Leibniz
La cual gráficamente se puede observar en el gráfico 1.3, y dice que la 
derivada de una integral definida con respecto a una variable x, que no 
sea la variable de integración t ni un límite (a ó b), se puede obtener sim-
plemente de diferenciaral integrando con respecto a x.
Gráfico 1.3. Representación gráfica de la regla de Leibniz para un 
 cambio en una variable de la función.
El cambio en x genera una variación en f (t, x) que corresponde al área en-
tre las dos curvas. Con la regla de Leibniz también puede variar el límite 
de la integración. Definiendo la integral por:
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA DE RECURSOS NATURALES
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21
 
 
 
 
 
La derivada de una integral definida con respecto a su límite superior 
es el integrando evaluado en t = b, y la derivada con respecto a su límite 
inferior es el negativo del integrando en t = a. Si b aumenta se refleja en un 
desplazamiento a la derecha del límite y el efecto es el valor de la función 
en el límite f (b, x). Si a aumenta se disminuye (véase gráfico 1.4).
Gráfico 1.4. Representación gráfica de la regla de Leibniz cuando 
 varía uno de los límites del integrando.
Con base en esta regla, es posible desarrollar la ecuación de Euler, que 
incluye los siguientes pasos:
- Paso1. Escribimos la función objetivo como:
 
 
 
para hallar 
 
usamos la regla de Leibniz:
 
 
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Economía de recursos naturales
22
que se puede dividir en dos integrales dado que
 
 
ahora que ya ha sido eliminada de la expresión ε, debemos eliminar p(t) 
y p
.
(t).
- Paso 2. La segunda integral se integra por partes; recordemos que:
 
 
Entonces, si 
 
 
 
La expresión queda como:
 
 
como p(T) = 0 y p(0) = 0, entonces:
 
 
Y por tanto
 
 
- Paso 3. Como la senda p(t) es arbitraria y no nula, necesitamos que 
se cumpla como condición necesaria:
 
 
Ecuación de Euler
que se puede escribir como: 
 
Nótese que la ecuación de Euler está libre de expresiones arbitrarias.
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23
- Paso4. Finalmente, se expande en forma explícita. Como la fun-
ción depende de tres argumentos, entonces la derivada de Fy , tam-
bién debe ser función de los mismos tres argumentos: 
 
 
Que es una ecuación diferencial de segundo orden con dos constantes 
arbitrarias, pero dado que conocemos dos condiciones límite, se puede 
resolver. Esta es la ecuación de Euler, propuesta para la solución del sis-
tema integral dinámico.
Ejemplo. Sea el problema:
 
 
Entonces, siguiendo los pasos definidos:
1. Identificar 
2. Hallar Fy = 12t
3. Hallar 
4. Hallar 
5. Hallar Fyy’ = 0
6. Hallar Fyy’ = 2
7. Aplicar: 
integrando: y’(t) = 3t2 + c1 integrando de nuevo y(t) = 6t
3 + c1t + c2 
Finalmente obtenemos la solución general.
Aplicando condiciones iniciales y(0) = 0 y y(2) = 8, tenemos:
 
 Por tanto llegamos a y(t) = 6t3, que es la solución particular
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Economía de recursos naturales
24
a. Algunos casos especiales
No siempre F(y,y’, t) tiene los tres argumentos. En tales casos se pueden 
derivar versiones especiales de la ecuación de Euler, que pueden algunas 
veces ser más fácil de resolver:
Caso especial I: F(y’, t), es decir, no tiene la variable y, por tanto Fy = 0, la 
ecuación de Euler se reduce a: con la solución Fy’ = constante 
Ejemplo. Sea:
 
 
Observamos que: F = ty’ + y’
2
 y Fy’ = t + 2y’donde la última expresión es 
constante, entonces obtenemos: y’ = –0.5t + c1. Si integramos llegamos a la 
siguiente expresión: 
 
Caso especial II: F(y’, y), es decir, no tiene la variable t, por tanto Fty’ = 0, 
la ecuación de Euler queda así:
 
Si se multiplica por y’(t) se observa que el lado izquierdo de la ecuación 
es exactamente la derivada de: 
 
 
lo que es equivalente a: 
 
Y la ecuación de Euler puede escribirse así: 
 
 
con solución y’ Fy’ – F = constante 
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25
Este resultado, la ecuación de Euler simplificada, una vez integrada, es 
una ecuación diferencial de primer orden fácilmente manejable.
Caso especial III: F(y’), es decir, no tiene ni la variable y, ni la t. Si F de-
pende sólo de y’ desaparecen muchas derivadas: 
Fy’y’ = Fty’ = Fy = 0 y por tanto la ecuación de Euler queda Fy’y’ y’’(t) = 0 
si y’’(t) = 0 y’(t) = c1 y(t) = 0 y(t) = c1t + c2 
la cual indica que la solución general es una familia de líneas rectas de 
dos parámetros.
Ejemplo. Sea
 
 
Es una línea recta si Fy = 0, cuya solución es
F’y’ = constante
 
 
 
 
 
Como y’ es la pendiente de la recta, y*(t) debe ser una recta.
Caso especial IV: F = F(t, y), es decir, no existe y’, Fy’ = 0 entonces Euler 
será Fy (t,y) = 0. Además por la ausencia de y’, la ecuación de Euler no es 
diferencial. Es degenerado y no hay constantes arbitrarias, los extremos 
pueden no satisfacer las condiciones extremas.
El cálculo de variaciones tiene varias ventajas para su aplicación. Por 
ejemplo, si las funciones que se quieren resolver son integrables, la solu-
ción es relativamente directa. Sin embargo, también tiene varias limitacio-
nes. El sistema puede no ser manejable analíticamente. Pero no siempre 
se tienen funciones completamente diferenciables o integrables, lo que 
limita su aplicación; además, la relación entre la variable de estado con la 
de control sólo puede ser por medio de y’(t), lo cual es una limitante im-
portante en casos prácticos. Por estas razones, su aplicación en el campo 
de los recursos naturales es limitada.
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26
4. Teoría del control óptimo
El cálculo de variaciones, como el cálculo ordinario, requiere la diferen-
ciabilidad de las funciones que entran en el modelo. Además sólo permite 
obtener soluciones interiores. Con la teoría del control óptimo se pueden 
tratar condiciones no clásicas como soluciones de esquina. Si en el cálculo 
de variaciones el objetivo es encontrar la senda temporal óptima para una 
variable de estado, la teoría del control óptimo tiene como objetivo deter-
minar la senda temporal óptima de la variable control o de decisión. Una 
vez obtenida la senda de control óptima u*(t) se puede hallar en el mismo 
proceso la senda de la variable de estado. Es decir, la teoría de control óp-
timo da más énfasis al desempeño de las variables de decisión o control, 
lo cual es usual en problemas prácticos de toma de decisiones. 
Una de las mejores fuentes para entender claramente la teoría del control 
óptimo es el libro de Chiang (1992) sobre optimización dinámica. Con 
base en este texto, se presenta a continuación una introducción al tema.
Una variable control se caracteriza por tener dos atributos:
• Está sujeta a nuestra elección discrecional.
• Esa decisión afecta el estado de la variable de estado, mediante la 
ecuación de evolución.
Es decir, es una variable que funciona como un mecanismo que permite 
maniobrar o dirigir la variable estado a varias posiciones mediante su 
manipulación.
Una característica muy importante del control óptimo es que una senda 
de control no tiene que ser continua en todo el espacio de análisis; sólo 
necesita ser continua a tramos. Esto implica que se permiten discontinui-
dades, aunque no se permiten discontinuidades que involucren valores 
infinitos de u. La senda de estado debe ser continua a través del intervalo 
[0,T], pero no necesariamente suave; es decir, puede tener puntas o es-
quinas. Esto implica que, matemáticamente, debe ser diferenciable por 
tramos.
Otra característica de importancia es que la teoría del control óptimo es 
capaz de manejar restricciones sobre la variable control directamente, ta-
les como la restricción u(t)  U ∀t  [0,T] donde U denota algún con-
junto limitante al control. Dadas las condiciones del conjunto de control 
—cerrado y convexo—, la solución puede incluir sus fronteras, es decir, 
se admiten soluciones de esquina, lo que genera grandes ventajas a la 
solución de un problema práctico.
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27
Finalmente, otra diferencia con el problema del cálculo de variaciones es 
que el problema más simple de control óptimo tiene estado terminal libre 
más que punto terminal fijo.
Una ventaja adicional de la teoría de control óptimo es que se puede de-
sarrollar en modelos de tiempo continuo o de tiempo discreto.
a. El problema del control óptimo 
Consideremos el problema en tiempo continuo de una variable estado y 
una variable de control. Ésta es un instrumento de política que permite 
afectar la variable de estado. Así, cualquier senda de decisión u(t) impli-
cará una senda asociada S(t). Nuestra tarea es elegir la senda óptima u*(t), 
la cual, con la senda S*(t), optimizará el funcional objetivo en el intervalo 
[0,T].
Sea el problema
 
Para simplificar el análisis, vamos a suponer que tenemos un problema 
de maximización; si el problema es de minimización, la versión alterna-
tiva es:
 
El funcional objetivo toma la forma de una integral definida, pero F no 
contiene a s’, sino que hay un nuevo argumento u. La presencia de la 
variable de control exige una relación entre u y s para decirnos cómo las 
decisiones sobre u afectan el desempeño de s. Esta información la provee 
la ecuación de evolución . En el momento inicial los primeros dos 
argumentos de F tienen un valor dado: t = 0, S(0) = A y se debe elegir el 
tercero.
Usaremos f minúscula para la ecuación de evolución del estado y F ma-
yúscula para la función integrando en el funcional objetivo. Se supone 
que ambas funciones son continuas en todos sus argumentos y tienen 
derivadas de primer orden con respecto a t, pero no necesariamente con 
respecto a u.
Es resto del problema son las especificaciones con respecto al conjunto de 
control y los límites. El caso más simple de U es U = (–, ).
El desarrollo más significativo en la teoría del control óptimo es el 
Principio del Máximo desarrollado por Pontriagin. Este principio permi-
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te estudiar problemas en los cuales los valores admisibles de la variable 
de control u están confinados a un conjunto convexo, cerrado y limitado 
U; entonces, u  U para 0 < t < T.
b. El principio del máximo
Es el más importante resultado en la teoría del control óptimo; es una con-
dición necesaria de primer orden. El término fue acuñado por Pontriagin, 
Boltyanskie, Gamkrelidze y Mishehenko (1962). Involucra los conceptos 
de la función hamiltoniana y de la variable auxiliar o coestado. 
En el problema de control óptimo se presentan tres tipos de variables: 
tiempo (t), estado (s) y control (u). En el proceso de solución surgirá otro 
tipo de variable; se llama la variable auxiliar o de coestado y se denota 
por λ. Su connotación es similar al multiplicador de Lagrange, y como tal 
mide el precio sombra de la variable estado asociada. Como puede variar 
en el tiempo, estrictamente la denotamos λ(t).
El vehículo mediante el cual la variable auxiliar entra en el problema de 
control es la función del hamiltoniano o simplemente el hamiltoniano, 
que aparece ahora en el proceso de solución. El hamiltoniano se define 
como:
 
Es decir, el hamiltoniano se define por la suma de la función integrando 
F y el producto de la variable auxiliar con la función f. Esta función de-
pende de cuatro argumentos. Estrictamente hablando, el hamiltoniano 
debería ser escrito como 
 
donde λ0 es una constante no cero (estrictamente positiva) que usualmen-
te puede ser normalizada a 1. 
Teniendo en cuenta el hamiltoniano y el precio sombra, junto con la nota-
ción asumida para el problema descrito, las condiciones del principio del 
máximo para la solución del problema son:
 Ecuación de evolución de la variable de estado, s.
 Ecuación de evolución de la variable de coestado, λ.
λ(T) = 0 Condición de transversalidad.
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29
El símbolo significa que el hamiltoniano se maximiza con respecto 
a u como única posible elección. Una forma equivalente de expresar esta 
condición es:
 
donde u* es el control óptimo y u es otro valor de control cualquiera. De la 
maximización de esta variable de control, u, viene el principio del máximo.
Nótese que se podría decir en vez de 
 
que la condición sería 
más la condición de segundo orden. Sin embargo, la propuesta original 
es mucho más amplia, ya que incluye casos en los cuales el hamiltoniano 
no sea derivable con respecto a u o donde existan soluciones de esquina. 
Si la función es derivable con respecto a u en el óptimo, entonces será 
suficiente expresarlo de la segunda forma. 
La segunda condición no es más que la restricción de la evolución del 
estado, ya que la derivada del hamiltoniano con respecto a lambda no es 
más que f(t,s,u). Entonces, la condición será , en todos los momen-
tos del período de análisis.
La tercera condición dice que el cambio en el tiempo del precio sombra 
del recurso, en el óptimo, estará dado por la negativa de la derivada par-
cial del hamiltoniano con respecto a la variable estado.
En contraste con la ecuación de Euler, que es una ecuación diferencial de 
segundo orden en la variable estado, el principio del máximo involucra 
dos ecuaciones diferenciales de primer orden en la variable de estado s 
y en la variable auxiliar λ. Las dos constituyen un sistema de ecuaciones 
diferenciales llamado el sistema hamiltoniano o sistema canónico.
La última condición se conoce como la condición terminal o condición de 
transversalidad, y dice que el precio sombra del recurso debe ser llevado, 
en el óptimo, a un valor nulo en el último período que el recurso sea apro-
vechado, de manera que cualquier unidad de él dejada sin utilizar no re-
presenta ningún valor adicional para el agente. Éste es el caso de tiempo 
terminal dado con estado terminal fijo. Sin embargo, pueden existir otras 
condiciones terminales.
c. Condiciones terminales alternativas
En general, las primeras tres condiciones del principio del máximo se 
deben mantener, independientemente de las condiciones de transversa-
lidad del problema. Estas condiciones terminales sí pueden variar y ge-
nerar variaciones en la última condición del problema. Las condiciones 
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de transversalidad se refieren a las condiciones que surgen de los puntos 
finales, y pueden ser:
- Tiempo terminal fijo (T), estado terminal libre; se llama problema de 
línea terminal vertical2.
- Tiempo terminal libre, estado terminal fijo ( ), se llama problema de 
línea terminal horizontal.
- Tiempo terminal y estado terminal que dependen de una restric-
ción; se llama problema de curva terminal.
- Tiempo terminal fijo (T), estado terminal fijo ( ); se conoce como 
problema de punto terminal fijo, como en el caso del cálculo de va-
riaciones.
- Tiempo terminal fijo (T), estado terminal mínimo (o máximo); se lla-
ma problema de línea terminal vertical truncada.
- Tiempo terminal libre, estado terminal fijo, pero tiempo restringido 
(mínimo o máximo); se llama problema de línea terminal horizontal 
truncada
Los problemas de resolución de optimización dinámica se pueden resol-
ver por diferentes enfoques. Veamos los más relevantes de estos casos. 
Los detalles de todos ellos se explican y detallan claramente en Chiang 
(1992):
i. Punto terminal fijo 
Éste no es el problema más simple en teoría de control óptimo. Sin embar-
go, sin entrar en detalles, podemos aceptar que el principio del máximo 
no pierde su validez en este contexto. Simplemente la condición de trans-
versalidad se convierte ahora en la condición:
 s(T) = sT (T, st , dados)
ii. Línea terminal horizontal 
Si el problema tiene una línea terminal horizontal con tiempo terminal 
libre, st está fijo y las condiciones de transversalidad serán ahora:
 [H]t=T = 0
2. Se llama línea terminal vertical porque se supone quese está analizando el 
desempeño del sistema en un gráfico donde el eje vertical corresponde a la existencia 
en cualquier momento dado, y el eje horizontal, a la variable tiempo.
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31
Es decir, la función del hamiltoniano debe alcanzar un valor de cero en el 
tiempo terminal óptimo. No hay restricción al valor de λ en el período T.
iii. Curva terminal
En caso de una curva terminal st=(T) que gobierna la selección del punto 
terminal, entonces la condición terminal ahora implica:
 [H – λ'] t = T = 0 
Otras condiciones transversales se pueden encontrar al detalle en Chiang 
(1992), que desarrolla cuidadosamente cada una de ellas.
d. Interpretación económica del Principio del Máximo
Cada condición de este principio tiene un significado económico intuiti-
vo y posible. 
Como ya se había expuesto, λ es un multiplicador de Lagrange y como tal 
debe tener la connotación de un precio sombra. Así λ*(0), el valor auxiliar 
inicial óptimamente determinado, es una medida de la sensibilidad de 
los beneficios totales óptimos V* a la cantidad inicial dada. Si tenemos 
una unidad (infinitesimal) adicional de recurso inicial, los beneficios V* 
aumentarían en λ*(0). Por tanto, la expresión puede ser tomada como el 
valor imputado o precio sombra de una unidad de existencia o de recurso 
inicial.
En la tercera condición del principio del máximo, aquella que muestra la 
senda óptima de la variable auxiliar, λ* (t), se observa que este precio som-
bra decrece de acuerdo con el negativo de la tasa de cambio del hamilto-
niano con respecto a la existencia óptima de recurso. Si deseamos preser-
var una unidad adicional (extraer una unidad menos) de dicha existencia 
en un período, entonces tendríamos que sacrificar los beneficios totales 
en la cantidad λ*(t). De nuevo, el valor λ* en el período t mide el precio 
sombra de una unidad de cantidad de recurso en cada momento.
Revisemos ahora el concepto del hamiltoniano. Recordemos que éste se 
define por:
 
El primer componente es la función de beneficios en el período t, con 
base en la cantidad actual y la decisión de política tomada en ese período. 
Podemos pensar de ella como representado el beneficio presente corres-
pondiente a la política u. En el segundo componente, la función f(t, s, u) 
indica la tasa de cambio (física) de la cantidad de recurso correspondien-
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te a la política u, pero como está multiplicada por el precio sombra λ(t), 
está convertida en un valor monetario. Por tanto, este componente del 
hamiltoniano representa la tasa de cambio del valor del recurso corres-
pondiente a la política u. A diferencia del primer término, que relaciona el 
efecto de beneficio actual de u, el segundo término se puede ver como el 
efecto de beneficio (o costo) futuro de u. Estos dos efectos son en general 
competitivos en naturaleza: si una decisión de política particular u es fa-
vorable al beneficio presente, entonces normalmente involucra un sacri-
ficio del beneficio futuro: extraer una unidad del recurso hoy disminuye 
la disponibilidad de éste en el futuro. En resumen, entonces: el hamilto-
niano representa las expectativas globales de beneficio de las diferentes 
decisiones de política, tomando en cuenta los efectos tanto inmediatos 
como futuros.
El principio del máximo requiere la maximización del hamiltoniano con 
respecto a u. Esto significa que el agente decisor debe intentar en cada 
momento del tiempo maximizar las expectativas de beneficios globales 
(presentes y futuros) con la elección adecuada de u. Específicamente, esto 
requiere equilibrar las expectativas de ganancias en el beneficio presente 
contra las perspectivas de pérdidas en el beneficio futuro. Para ver esto 
más claramente, examinemos la versión débil de la condición max H:
 
 
Esta condición muestra que la elección óptima u* debe equilibrar cual-
quier aumento marginal en el beneficio presente hecho posible por la po-
lítica con la disminución marginal en el beneficio futuro que induzca la 
política. 
Además, el cambio en el precio sombra está dado por:
 
 
El lado izquierdo muestra la tasa de disminución del precio sombra en 
el tiempo, o la tasa de depreciación del precio sombra; la ecuación de 
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evolución del precio sombra exige que esta tasa sea igual en magnitud a 
la suma de los dos términos del lado derecho. El primero de ellos, 
representa la contribución marginal de la existencia del recurso al bene-
ficio presente, y el segundo representa la contribución marginal del 
recurso al aumento del valor de tal existencia. El principio del máximo 
exige que el precio sombra del recurso se deprecie a la tasa a la cual este 
recurso contribuye con los beneficios actuales y futuros de la empresa.
Finalmente, las condiciones de transversalidad también tienen su inter-
pretación:
Con un estado terminal libre s(T) y con el período terminal fijo (T), la 
condición es: 
 λ(T) = 0
Esto significa que el precio sombra de la existencia de recurso debe ser 
llevado a cero en el período final. La razón para esto es que el valor del 
recurso para el agente decisor surge únicamente de su potencial para pro-
ducir beneficios. Dado un horizonte de planeación rígido T, la implica-
ción tácita es que sólo los beneficios obtenidos en el período 0, T impor-
tarían y que cualquier cantidad de recurso que aún exista en el período 
T, siendo muy tarde para ser usado, no tendría valor económico para el 
agente. Por tanto, es apenas natural que el precio sombra del recurso en el 
período T debe ser igual a cero. Es decir, ante este escenario no esperaría-
mos que el agente decisor se empeñara en la conservación del recurso. 
Para un agente interesado en que los beneficios de la cantidad de recurso 
se mantengan más allá del horizonte de planeación 0, T sería razonable 
estipular algún nivel mínimo aceptable para la cantidad terminal, diga-
mos Smin. En ese caso tendríamos una condición de transversalidad de 
línea terminal vertical truncada. La condición ahora es:
λ(T) ≥ 0 s*(T) – smin  λ(T)=0
Si s*(T) excede el valor smin, la restricción puesta a la cantidad de recurso 
terminal no genera ahora límites. El resultado es el mismo que sin restric-
ción y permanece la condición λ(T) = 0. Pero si el precio sombra terminal 
λ(T) es óptimamente mayor que cero (positivo) entonces la restricción 
smin es limitante, en el sentido de que está previniendo al agente agotar la 
cantidad al final del horizonte de análisis, lo que de otra forma haría. En 
ese caso, la cantidad de recurso dejado por el agente será exactamente el 
nivel mínimo requerido smin.
Por último, consideremos el caso de la línea terminal horizontal. En este 
caso la empresa tiene un nivel de stock terminal previamente definido, 
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sT, pero está en libertad de elegir el tiempo para alcanzar el objetivo. La 
condición de transversalidad es:
 [H]t = T = 0
Que significa que en el período terminal escogido (T), la suma de los be-
neficios actuales y futuros correspondientes a ese momento debe ser cero. 
En otras palabras, el agente no debe alcanzar sT mientras la suma de benefi-
cios inmediatos y futuros (el valor del hamiltoniano) aún sea positiva. Para 
maximizar beneficios, el agente debe (después de haber tomado ventaja de 
todas la posibles oportunidades de beneficio) alcanzar sT en el momento 
en que la suma de los beneficios inmediatos y futuros haya llegado a cero.
e. El hamiltoniano de valor corriente
En la mayoría de las aplicaciones económicas de la teoría del control óp-
timo, la función integrando F a menudo contiene un factor de descuento: 
e–ρ.t, ya que económicamente se trata de un flujo de beneficios (moneta-
rios) que no pueden ser agregados si