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Sismología Aplicada y de Exploración
513430 - Sismología Aplicada y de Exploración
Apuntes adicionales
Matt Miller
http://mttmllr.com/sismologia.htm
Universidad de Concepción, Geofı́sica, 513430 Sismologı́a Aplicada y de Exploración, Clase 1 – p. 1/17
1 Ondas de cuerpo
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1.1 Deformación
En una dimensión:
x es una posición en el medio.
u es el desplazamiento de esta posición x desde su punto de equilibrio.
La deformación en esta situación, denominada ǫ11, es:
ǫ11 =
l2 − l1
l1
=
u(x+ δx)− u(x)
δx
≃
δu
δx
≃
1
2
(
∂u(x)
∂x
+
∂u(x)
∂x
)
(1.1)
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1.1 Deformación
En tres dimensiones:
u(x+ δx) ≃ u(x) +




∂ux
∂x
∂ux
∂y
∂ux
∂z
∂uy
∂x
∂uy
∂y
∂uy
∂z
∂uz
∂x
∂uz
∂y
∂uz
∂z







dx
dy
dz



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1.1 Deformación
En otras palabras ...
u(x+ δx) ≃ u(x) + Jd
Podemos escribir J en componentes simétricos y asimétricos, J = ǫ+Ω:
ǫ =





∂ux
∂x
1
2
(
∂ux
∂y
+
∂uy
∂x
)
1
2
(
∂ux
∂z
+ ∂uz
∂x
)
1
2
(
∂uy
∂x
+ ∂ux
∂y
)
∂uy
∂y
1
2
(
∂uy
∂z
+ ∂uz
∂y
)
1
2
(
∂uz
∂x
+ ∂ux
∂z
)
1
2
(
∂uz
∂y
+
∂uy
∂z
)
∂uz
∂z





Ω =





0 1
2
(
∂ux
∂y
−
∂uy
∂x
)
1
2
(
∂ux
∂z
−
∂uz
∂x
)
1
2
(
∂uy
∂x
−
∂ux
∂y
)
0 1
2
(
∂uy
∂z
−
∂uz
∂y
)
1
2
(
∂uz
∂x
−
∂ux
∂z
)
1
2
(
∂uz
∂y
−
∂uy
∂z
)
0





Aquí, ǫ es el tensor de deformación y Ω es el tensor de rotación.
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1.1 Deformación
Un ejemplo en 2 dimensiones:
JA =
(
∂ux
∂x
∂ux
∂z
∂uz
∂x
∂uz
∂z
)
≃
(
0 θ
θ 0
)
; JB ≃
(
0 θ
−θ 0
)
Una deformación del elemento de área tiene un tensor simétrico, y una
rotación tiene un tensor asimétrico. En sismología trabajamos en un marco de
referencia en que el medio no se esta girando, entonces podemos representar
la deformación del medio por el tensor de deformación:
ǫij =
1
2
(
∂u(xi)
∂xj
+
∂u(xj)
∂xi
)
≡
1
2
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)
(1.2)
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1.2 Esfuerzo
Consideremos un elemento de volumen en el medio:
Los tres vectores de tracción T1, T2 y T3 representan las fuerzas por unidad
de área sobre las tres caras del cubo infinitesimal.
Para describir las fuerzas que actúan en un punto de un medio tres
dimensional, requerimos nueve elementos del tensor de esfuerzo σij . La
relación entre las tracciones y el esfuerzo es:
Ti = σijnj ≡ σjinj (1.3)
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1.2 Esfuerzo
En el marco de referencia en que el medio no se esta girando, lo que aplica en
sismología:
Los esfuerzos no dan rotación.
Entonces, el tensor de esfuerzo es simétrico.
Por ejemplo, en el plano x− z, la balanza de los torques significa que
σ13 = σ31
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1.3 La ecuación de movimiento
La relación general entre el esfuerzo y la deformación es
σij = cijklǫkl (1.4)
y para un medio homogéneo, isotrópico, continuo y elástico
cijkl = λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk) (1.5)
λ y µ son los parámetros del Lamé, asociados con el medio:
µ es su rigidez (la resistencia contra las fuerzas de cizalle).
κ = λ+ 2
3
µ es su módulo de incompresibilidad (la resistencia contra
las fuerzas de compresión).
La combinación de (1.4) y (1.5) da
σij = λδijǫkk + 2µǫij (1.6)
Note que ǫkk ≡ ∆ que representa la dilatación cubica.
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1.3 La ecuación de movimiento
La ecuación de movimiento para un cierto volumen V es
∫
V
ρ
∂2ui
∂t2
dV =
∮
S
TidS +
∫
V
fidV =
∮
S
σijnjdS +
∫
V
fidV (1.7)
Usamos el teorema de divergencia de Gauss,
∮
S
ainidS =
∫
V
∂ai
∂xi
dV , y
ignoramos las fuerzas de cuerpo (valida para sismología de frecuencias
& 0.003 Hz), y entonces
∫
V
ρ
∂2ui
∂t2
dV =
∫
V
∂σij
∂xj
dV (1.8)
Podemos usar la relación entre el esfuerzo y la deformación de antes, y la
simetría del tensor de deformación, para llegar al
ρ
∂2ui
∂t2
= cijkl
∂
∂xj
∂uk
∂xl
(1.9)
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1.3 La ecuación de movimiento
Entonces para un medio simple, con λ y µ constante (esta suposición requiere
mas justificación, porque claramente estos parámetros de Lamé varían dentro
de la Tierra, volveremos a este punto en una otra clase),
ρ
∂2ui
∂t2
= λδijδkl
∂
∂xj
∂uk
∂xl
+ µδikδjl
∂
∂xj
∂uk
∂xl
+ µδilδjk
∂
∂xj
∂uk
∂xl
= λ ∂
∂xi
∂uk
∂xk
+ µ ∂
∂xj
∂ui
∂xj
+ µ ∂
∂xj
∂uj
∂xi
= λ ∂
∂xi
∂uk
∂xk
+ µ ∂
∂xj
∂ui
∂xj
+ µ ∂
∂xi
∂uj
∂xj
ρ ∂
2
u
∂t2
= λ∇(∇ · u) + µ∇2u+ µ∇(∇ · u)
En la última línea hemos vuelto a la notación vectorial.
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1.3 La ecuación de movimiento
Entonces ...
ρü = (λ+ µ)∇(∇ · u) + µ∇2u (1.10)
y usamos la identidad vectorial,
∇
2
u = ∇(∇ · u)− (∇×∇× u)
para llegar a la ecuación de movimiento usada en sismología:
ρü = (λ+ 2µ)∇(∇ · u)
︸ ︷︷ ︸
parte dilatacional
−µ(∇×∇× u)
︸ ︷︷ ︸
parte de cizalle
(1.11)
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1.4 Ondas-P
Como hemos visto en GTS, tomando la divergencia de la ecuación (1.11), y
recordando que
∇ · (∇× ~algo) = 0
nos llega al
ρ
∂2(∇ · u)
∂t2
= (λ+ 2µ)∇2(∇ · u) (1.12)
Esta ecuación muestra que cualquier distorsión que esta asociada con un
cambio en el volumen de los elementos del medio (∇ · u) se va a propagar en
la forma de una onda con una velocidad de
α =
√
λ+ 2µ
ρ
=
√
κ+ 4
3
µ
ρ
(1.13)
Eso es una onda-P!
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1.5 Ondas-S
Tomando el rotor de la ecuación (1.11), usando
∇×∇ ~algo = 0
y una variación en la identidad vectorial usada antes
∇
2(∇× ~algo) =
✘
✘
✘
✘
✘
✘
✘✿ 0
∇(∇ · (∇× ~algo))− (∇×∇× (∇× ~algo))
nos llega al
ρ
∂2(∇× u)
∂t2
= µ∇2(∇× u) (1.14)
Esta ecuación muestra que cualquier distorsión que esta asociada con una
perturbación de cizalle de los elementos del medio (∇× u) se va a propagar
en la forma de una onda con una velocidad de
β =
√
µ
ρ
(1.15)
Eso es una onda-S!
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1.6 La descomposición de Helmholtz
En el caso general, el desplazamiento en el medio u puede ser representado
por:
un potencial escalar Φ
y un potencial vectorial (sin divergencia) Ψ
u = ∇Φ +∇×Ψ ; ∇ ·Ψ = 0 (1.16)
Entonces,
∇ · u = ∇2Φ
∇× u = ∇×∇×Ψ =
✘
✘
✘
✘✘✿
0
∇(∇ ·Ψ)−∇2Ψ
De las ecuaciones (1.12) y (1.14) entonces:
∇2(∇2Φ)− 1
α2
∂2
∂t2
(∇2Φ) = 0
∇2
[
∇2Φ− 1
α2
∂2Φ
∂t2
]
= 0
−∇2(∇2Ψ) + 1
β2
∂2
∂t2
(∇2Ψ) = 0
∇2
[
∇2Ψ−
1
β2
∂2Ψ
∂t2
]
= 0
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1.6 La descomposición de Helmholtz
Del análisis anterior, se puede apreciar que con el desplazamiento u escrito en
esta manera:
Φ representa el desplazamiento asociado con la onda-P.
Ψ representa el desplazamiento asociado con la onda-S.
Para una onda plana que se propaga en el plano x− z (que significa que no
hay ningún variación en las propiedades de la onda (fase, amplitud) en la
dirección ŷ; en términos matemáticos ∂
∂y
... = 0), el campo de desplazamiento
es
u = uP + uS =
(
∂Φ
∂x
−
∂Ψy
∂z
)
x̂+
(
∂Ψx
∂z
−
∂Ψz
∂x
)
ŷ +
(
∂Φ
∂z
+
∂Ψy
∂x
)
ẑ (1.17)
El desplazamientode esta onda esta en las direcciones x̂, ŷ y ẑ.
La onda P tiene movimiento particular en el plano x− z (Φ).
La onda S tiene dos componentes, la SH con movimiento particular en
la dirección ŷ (Ψx,Ψz),
y la SV con movimiento particular en el plano x− z (Ψy).
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1.7 Ondas Planas
Ondas planas, las soluciones a la ecuación de ondas, pueden estar
representadas por:
Φ = Aei(kα·x−ωt) (1.18)
Ψ = Bei(kβ·x−ωt) (1.19)
con
kα =
(ω
α
)
k̂, y kβ =
(
ω
β
)
k̂ (1.20)
k̂ es en la dirección de propagación de la onda.
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2 Ondas de superficie
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2.1 Semi espacio y superficie libre
Un semi espacio es un medio homogéneo que ocupa la mitad de un
volumen infinito.
La superficie libre es la única superficie que tiene un semi espacio.
A una distancia de +δ encima la superficie libre, en el vacío, los
elementos del tensor de esfuerzo están ceros σ31 = σ32 = σ33 = 0.
Hay continuidad de tracción a través de la superficie, entonces la
condición de borde en la superficie es que σ3j = 0.
(Note que la tracción es una medida de presión que una superficie
aplica al elemento de volumen conectado).
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2.1.1 Ondas Rayleigh: formulación
Consideremos ondas P y S, viajando en el plano x1 − x3 que
interactúan con la superficie terrestre:
SI ellos generan una onda en la dirección x1 (horizontal), los
potenciales Φ y Ψ están:
Φ que en esta clase llamaremos φ = f(x3)ei(kx1−ωt)
ψ2 que en esta clase llamaremos ψ = g(x3)ei(kx1−ωt)
u2 = h(x3)ei(kx1−ωt)
(2.2)
Note que podemos escribir u2 en la forma de ψ1 y ψ3 si
queremos, pero veremos que no vale la pena.
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2.1.2 La ecuación de ondas
Los potenciales tienen que satisfacer la ecuación de movimiento en el medio
(ver la sección 1.6)
∇2φ− 1
α2
∂2φ
∂t2
= 0
∇2ψ − 1
β2
∂2ψ
∂t2
= 0
Por ejemplo, para el caso φ,
∂2φ
∂x2
1
+
�
��✒
0
∂2φ
∂x2
2
+ ∂
2φ
∂x2
3
− 1
α2
∂2φ
∂t2
= 0
(
(ik)2f(x3) +
∂2f(x3)
∂x2
3
− (iω)
2
α2
f(x3)
)
ei(kx1−ωt) = 0
f ′′ − k2f + ω
2
α2
f = 0
f ′′ +
(
ω2
α2
− k2
)
f = 0
f ′′ + k2
(
c2
α2
− 1
)
f = 0
En la última linea, hemos usado ω = ck, donde c es la velocidad aparente de
la onda en la dirección x1, es decir por la superficie (si existe esta onda).
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2.1.2 La ecuación de ondas
Introducimos
rα =
√
c2
α2
− 1 rβ =
√
c2
β2
− 1
Entonces, la función f(x3) tiene que satisfacer
f ′′ + k2r2αf = 0 (2.3)
y similarmente g′′ + k2r2βg = 0 y h
′′ + k2r2βh = 0. La solución entonces es
f(x3) = A
′e−ikrαx3 +Ae+ikrαx3 (2.5)
con soluciones similares para g(x3) y h(x3). En la próxima diapositiva
vamos a ver que para una onda de superficie rα y rβ están imaginarias, y que
en este caso A′ = 0 porque conservación de energía requiere que
f(x3) lim
x3→∞
→ 0
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2.1.2 La ecuación de ondas
Los tres posibles soluciones para f , g y h están:
1. β < α < c. En este caso, rα y rβ están reales. Esta situación representa
ondas de cuerpo que se reflectan de la superficie (otro capítulo).
f = A′e−ikrαx3 +Ae+ikrαx3 etc. para g, h
φ ∼ cte.ei(kx1−ωt±krαx3) etc...
note que rα representa la tasa entre los componentes del vector de
onda vertical:horizontal.
2. β < c < α. En este caso, rα esta imaginaria y rβ esta real. Entonces la
onda P se propaga horizontalmente en la forma de una onda
quasi-evanescente (ruido superficial, o, en inglés, ground roll).
f = Ae−k|rα|x3
φ = Ae−k|rα|x3ei(kx1−ωt)
Se nota que φ decae exponencialmente con profundidad (propiedad
evanescente), pero esta onda continuamente pierde energía a las ondas
SV (condiciones de borde) entonces esta onda no se propaga grandes
distancias.
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2.1.2 La ecuación de ondas
Los tres posibles soluciones (cont...)
3. c < β < α. En este caso ambas rα y rβ están imaginarias, y entonces
φ, ψ, u2 ∼ cte.e−k|rα,β |x3ei(kx1−ωt)
El tercer caso entrega una solución que representa una onda que viaja
horizontalmente a una velocidad c, que es evanescente (atrapada en la
superficie) y que es una cierta mezcla de las contribuciones de las ondas
P, SV y SH.
No hemos encontrado la onda Rayleigh todavía. La onda descrita arriba
solamente existe si cumpla las condiciones de borde en la superficie
libre. ¿Podría satisfacer las condiciones de borde? ¡Revisemos!
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2.1.3 Condiciones de borde
Los potenciales están:
φ = Ae[ikrαx3+ik(x1−ct)]
ψ = Be[ikrβx3+ik(x1−ct)]
u2 = Ce
[ikrβx3+ik(x1−ct)]
(2.6)
Y las condiciones de borde en la superficie libre (x3 = 0) están
σ31 = σ32 = σ33 = 0. Recuerde, del capítulo anterior (ver ecuaciones (1.2),
(1.6), (1.16)):
σij = λδijǫkk + 2µǫij
ǫij =
1
2
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)
u = ∇Φ+∇×Ψ
Entonces, en la notación de esta clase,
u1 =
∂φ
∂x1
− ∂ψ
∂x3
u3 =
∂φ
∂x3
+ ∂ψ
∂x1
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2.1.3 Condiciones de borde
σ31 = 0
2µǫ31 = 0
∂u3
∂x1
+ ∂u1
∂x3
= 0
∂2φ
∂x3∂x1
+ ∂
2ψ
∂x2
1
+ ∂
2φ
∂x1∂x3
− ∂
2ψ
∂x2
3
= 0
O, en otra notación
2φ,31 + ψ,11 − ψ,33 = 0 (2.7a)
σ33 = 0
λ(ǫ11 + ǫ22 + ǫ33) + 2µǫ33 = 0
λ


∂u1
∂x1
+
�
�✒
0
∂u2
∂x2
+ ∂u3
∂x3

+ 2µ ∂u3
∂x3
= 0
Cambiando la notación de nuevo
λ (φ,11 − ψ,31 + φ,33 + ψ,13) + 2µ (φ,33 + ψ,13) = 0
(λ+ 2µ)φ,33 + λφ,11 + 2µψ,13 = 0
(2.7b)
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2.1.3 Condiciones de borde
σ32 = 0
2µǫ32 = 0
�
�✒
0
∂u3
∂x2
+ ∂u2
∂x3
= 0
O, en otra notación
u2,3 = 0 (2.7c)
Para cumplir la condición de borde (2.7c), con las ecuaciones (2.6),
tenemos C = 0. Entonces u2 = 0. La primera condición para que
existe una onda de superficie, hecha por la interacción entre ondas P y
S, es que las ondas SH no entran al sistema. (Esta no es una gran
sorpresa, dado que el sistema P-SV es desacoplado del sistema SH).
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2.1.3 Condiciones de borde
Para cumplir las otras condiciones de borde (2.7a) y (2.7b), pongamos las
expresiones para φ y ψ de la ecuación (2.6) dentro de las dos ecuaciones que
dan las condiciones de borde (recuerde que la condición de borde se satisface
en la superficie, es decir x3 = 0):
1.
2φ,31 + ψ,11 − ψ,33 = 0
2A(ikrα)(ik) +B(ik)2 − B(ikrβ)2 = 0
−2Ak2rα − Bk2 +Bk2r2β = 0
2rαA+ (1− r2β)B = 0
(2.8a)
2. [Requiere λ+ 2µ = α2ρ, µ = β2ρ, λ = (α2 − 2β2)ρ]
(λ+ 2µ)φ,33 + λφ,11 + 2µψ,13 = 0
(λ+ 2µ)A(ikrα)2 + λA(ik)2 + 2µB(ik)(ikrβ) = 0
−(λ+ 2µ)Ar2α − λA− 2µBrβ = 0
α2Ar2α + (α
2 − 2β2)A+ 2β2Brβ = 0
[
α2(r2α + 1)− 2β2
]
A+ 2β2rβB = 0
(2.8b)
Buscamos la solución simultanea de (2.8a) y (2.8b) para cumplir las
condiciones de borde.
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2.1.3 Condiciones de borde
Para el sistema de ecuaciones
(
a b
c d
)(
A
B
)
=
(
0
0
)
la solución no-trivial (A 6= 0, B 6= 0) requiere (ad− bc) = 0. En nuestro
caso
[α2(r2α + 1)− 2β2](1− r2β)− 4rαrββ
2 = 0 (2.9)
Usando rα =
√
c2
α2
− 1 y rβ =
√
c2
β2
− 1:
[
α2
(
c2
α2
)
− 2β2
] [
2− c
2
β2
]
− 4
√
c2
α2
− 1
√
c2
β2
− 1β2 = 0
(
c2 − 2β2
)
(
2− c
2
β2
)
− 4
(
c2
β2
− 1)1/2 (
c2
α2
− 1
)1/2
β2 = 0
(
c2
β2
− 2
)(
2− c
2
β2
)
= 4
(
c2
β2
− 1
)1/2 (
c2
α2
− 1
)1/2
(
2− c
2
β2
)2
= 4
(
1− c
2
β2
)1/2 (
1− c
2
α2
)1/2
(2.10)
La ecuación (2.10) es el requisito para que existe la onda evanescente que
viaja horizontalmente. Universidad de Concepción, Geofı́sica, 513430 Sismologı́a Aplicada y de Exploración, Clase 2 – p. 12/18
2.1.4 Para un sólido de Poisson
Encontraremos la solución para un sólido de Poisson
(
λ = µ⇒ α2 = 3β2
)
:
(
2− c
2
β2
)2
= 4
(
1− c
2
β2
)1/2 (
1− c
2
3β2
)1/2
(
2− c
2
β2
)4
= 16
(
1− c
2
β2
)(
1− c
2
3β2
)
16− 32 c
2
β2
+ 24 c
4
β4
− 8 c
6
β6
+ c
8
β8
= 16
(
1− c
2
β2
− c
2
3β2
+ c
4
3β4
)
−32 c
2
β2
+ 24 c
4
β4
− 8 c
6
β6
+ c
8
β8
= − 64
3
c2
β2
+ 16
3
c4
β4
c2
β2
(
c6
β6
− 8 c
4
β4
+ 56
3
c2
β2
− 32
3
)
= 0
(2.11)
Las soluciones de (2.11) son:
c2/β2 = 0. Una solución trivial - el medio en equilibrio sin ondas
presentes cumpla las condiciones de borde.
c2/β2 = 4 y c2/β2 = 2 + 2/
√
3. Significa que β < α < c y entonces,
con rα y rβ números reales, el constraint A
′ = 0 puesto en la página 5
no se cumpla. No son soluciones actuales.
c2/β2 = 2− 2/
√
3 = 0.8453. Significa que c < β < α que implica
que existe una onda de superficie que cumpla las condiciones de
borde. Esta onda es la onda Rayleigh.
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2.1.5 Onda Rayleigh: propiedades
c2/β2 = 0.8453 ⇒ c = 0.92β (2.12)
La velocidad horizontal de una onda Rayleigh (en un semi espacio
homogéneo) es independiente de su frecuencia y ∼92% de la velocidad de la
onda S.
rβ =
√
c2
β2
− 1 =
√
0.8453− 1 = 0.393i , r2β = −0.155
rα =
√
c2
α2
− 1 =
√
(0.8453/3)− 1 = 0.847i , r2α = −0.718
De la ecuación (2.8):
2rαA+ (1− r2β)B = 0
B = −2rα
1−r2
β
A = −1.694i
1.155
A ≈ −1.47iA
Ahora estamos preparados para calcular los desplazamientos u1 y u3
asociados con la onda Rayleigh (recuerde que u2 = 0).
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2.1.5 Onda Rayleigh: propiedades
u1 =
∂φ
∂x1
− ∂ψ
∂x3
= Aike[ikrαx3+ik(x1−ct)] − Bikrβe[ikrβx3+ik(x1−ct)]
=
(
Aike−0.85kx3 − Bikrβe−0.39kx3
)
eik(x1−ct)
= −Ak sin(kx1 − ωt)
(
e−0.85kx3 − 0.58e−0.39kx3
)
(2.13a)
En x3 = 0, la superficie (usando la definición de un nuevo constante
a = −Ak):
u1 = 0.42a sin(kx1 − ωt) (2.14a)
u3 =
∂φ
∂x3
+ ∂ψ
∂x1
= Aikrαe[ikrαx3+ik(x1−ct)] + Bike
[ikrβx3+ik(x1−ct)]
=
(
Aikrαe−0.85kx3 + Bike−0.39kx3
)
eik(x1−ct)
= −Ak cos(kx1 − ωt)
(
0.85e−0.85kx3 − 1.47e−0.39kx3
)
(2.13b)
Y en la superficie:
u3 = −0.62a cos(kx1 − ωt) (2.14b)
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2.1.6 Rayleigh: movimiento particular
En nuestro la onda Rayleigh se propaga en la dirección +x̂.
El eje ẑ representa profundidad: apunta hacia abajo.
En la superficie:
u1 = 0.42a sin(kx1 − ωt) , u3 = −0.62a cos(kx1 − ωt)
En una cierta posición fija (como x1 = 0 por ejemplo):
u1 = −0.42a sin(ωt) , u3 = −0.62a cos(ωt)
ωt u1 u3
0 0 −0.62a
π/2 −0.42a 0
π 0 0.62a
3π/2 0.42a 0
etc.
El movimiento particular es retrogrado elíptico en la superficie de la
Tierra.
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2.1.6 Rayleigh: movimiento particular
La variación de |u1| y |u3| con profundidad significa que el movimiento
particular cambia de retrogrado elíptico en la superficie al progrado
elíptico a profundidades.
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2.1.7 Rayleigh: sismograma
La onda Rayleigh llega en los componentes vertical-radial de un
sismograma con movimiento retrogrado elíptico.
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2.2 Ondas Love: formulación
A diferencia de ondas Rayleigh (que tienen desplazamiento P-SV
acopladas), las ondas Love contienen solamente movimiento“estilo
SH”.
Las ondas Love no pueden existir en un semi espacio uniforme,
requieren una estructura de velocidad que varía con la profundidad.
El caso mas simple en que podemos analizar cuantitativamente la
propagación de ondas Love en un medio es el caso de una capa
horizontal (densidadρ1, velocidad de onda de cizalleβ1) encima de un
semi espacio (ρ2, β2).
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2.2 Ondas Love: formulación
En la capa (denominado por el símbolo➀), viaja una onda SH hacia arriba y
abajo:
u➀2 (x1, x3, t) = B1e
i(k1x1+k1rβ1x3−ωt) +B′1e
i(k1x1−k1rβ1x3−ωt) (2.15)
En el semi espacio (➁), suponemos que existe una onda que se propaga
horizontalmente:
u➁2 = f(x3)e
i(k1x1−ωt)
Para que la expresión parau2 satisface la ecuación de movimiento:
f(x3) = cte.e
±ik1rβ2x3
En la misma manera que antes, hay que elegir el signo positivode eso para
cumplir con la conservación de energía, entonces:
u➁2 (x1, x3, t) = B2e
i(k1x1+k1rβ2x3−ωt) (2.16)
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2.2 Ondas Love: formulación
Noten quek1 es el mismo para los dos medios. Eso es una consecuencia de la
ley de Snell (mostraremos eso en otra clase - sorry). También, noten que
rβ1 =
k➀3
k1
=
√
c2
β21
− 1 ; rβ2 =
k➁3
k1
=
√
c2
β22
− 1
Conc la velocidad de la onda que viaja horizontalmente, si esta onda existe.
Consideremos el caso cuandoc < β2, y veremos si existe una onda con esta
condición que cumpla las condiciones de borde en ambos la superficie y la
interfase. Si existe una solución conc < β2, tendrárβ2 imaginaria,
rβ2 =
(
c2
β22
− 1
)1/2
= i
(
1−
c2
β22
)1/2
= i|rβ2 | (2.17)
y entonces existirá una onda evanescente en el semi espacio.
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2.2.1 Condiciones de borde
En la superficie libre (x3 = 0) la tracción esta cero:
σ23|x3=0 = 0
µ1
∂u➀
2
∂x3
∣
∣
∣
∣
x3=0
= 0
µ1(ik1rβ1 )(B1 −B
′
1)e
i(k1x1−ωt) = 0
(2.18)
∴ B1 = B
′
1
En palabras, tenemos una reflexión interna total en la superficie. Esto no es
una gran sorpresa.
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2.2.1 Condiciones de borde
En la interfase (x3 = h) hay continuidad de tracción y de
desplazamiento:
Continuidad de desplazamiento:
u➀2
∣
∣
x3=h
= u➁2
∣
∣
x3=h
B1
[
e
ik1rβ1h + e−ik1rβ1h
]
ei(k1x1−ωt) = B2e
ik1rβ2hei(k1x1−ωt)
2B1 cos(k1rβ1h) = B2e
ik1rβ2h
(2.21)
Continuidad de tracción:
µ1
∂u➀
2
∂x3
∣
∣
∣
∣
x3=h
= µ2
∂u➁
2
∂x3
∣
∣
∣
∣
x3=h
µ1(ik1rβ1 )B1
[
e
ik1rβ1h − e−ik1rβ1h
]
= µ2(ik1rβ2 )B2e
ik1rβ2h
2iµ1rβ1B1 sin(k1rβ1h) = µ2rβ2B2e
ik1rβ2h
(2.22)
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2.2.1 Condiciones de borde
Las condiciones de borde tienen que estar cumplidas simultáneamente,
entonces podemos encontrar la condición para que existe unaonda Love:
(2.22)
(2.21) ⇒
2iµ1rβ1B1 sin(k1rβ1h)
2B1 cos(k1rβ1h)
=
µ2rβ2B2e
ik1rβ2
h
B2e
ik1rβ2
h
tan(k1rβ1h) =
µ2rβ2
iµ1rβ1
=
−iµ2rβ2
µ1rβ1
tan(k1rβ1h) =
µ2|rβ2 |
µ1rβ1
≡
µ2
√
1− c
2
β2
2
µ1
√
c2
β2
1
−1
(2.23)
La ecuación (2.23) es la condición para quec < β2, y entonces existe una
onda Love. Noten que cuandoc < β2, rβ2 es imaginaria (rβ2 = i|rβ2 |), y
entonces:
u➁2 = B2e
i(k1x1−ωt)e
−k1rβ2x3
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2.2.2 La solución
Si tomamos la ecuación (2.23), hagamos la sustitución parak1 = ω/c, y
definimos una variableξ:
ξ = h
c
√
c2
β2
1
− 1
⇒ h
2
c2
= h
2
β2
1
− ξ2
llegamos al
tan
[
ωh
c
√
c2
β2
1
− 1
]
=
µ2
√
1− c
2
β2
2
µ1
√
c2
β2
1
−1
tan(ωξ) = µ2
µ1
h
c
√
1− c
2β2
2
h
c
√
c2
β2
1
−1
tan(ωξ) = µ2
µ1
√
h2
c2
− h
2
β2
2
ξ
tan(ωξ) = µ2
µ1
√
h2( 1
β2
1
− 1
β2
2
)−ξ2
ξ
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2.2.2 La solución
Podemos encontrar la solución a la previa ecuación gráficamente:
Graficamos las dos funciones de la ecuación anterior, dónde las dos
curvas se cruzan, tenemos un valor paraξ, y entonces parac, que
cumpla las condiciones de borde.
Una cantidad finita de soluciones parac existen, que depende deω, β1,
β2, ρ1, ρ2 y h.
Las soluciones se llaman modos, para una cierta frecuencia podrían
existir varios modos.
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2.2.3 Love: modos
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2.2.3 Love: modos
La ecuación (2.23) solo tiene raíces reales (soluciones) para
β1 < c < β2.
En la figura anterior, la soluciónn = 0 se llama el modo fundamental.
Las otras están modos mayores o armónicos.
El modo fundamental tiene la menor frecuencia, y velocidad,de todos
los modos. Es típicamente lo mas importante para las onda Love
generada por terremotos.
Se nota que la velocidad de fase para la onda Love cambia con la
frecuencia. Incluso en este ejemplo simplificado, las ondasLove
muestran dispersión.
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2.2.4 Love: movimiento particular
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2.2.4 Love: movimiento particular
Las ondas Love están hechas por ondas SH atrapadas en una capa, y
debajo de esta capa la amplitud de la oscilación (u2) decae
exponencialmente (onda evanescente).
En el ejemplo en la diapositiva anterior, la capa de baja velocidad
representa la corteza continental. Siempre las ondas Love están
atrapadas en la corteza Terrestre, continental u oceánica.(Pero también
ondas Love de alta frecuencia pueden estar atrapadas en una capa
sedimentaria encima de la roca madre de una continente.)
Se puede considerar esta capa como una guía de ondas. Los diferentes
modos representan diferentes configuraciones de ondas atrapadas en la
capa.
Los modos mayores para la onda Love están “equivalentes” a los
armónicos de instrumentos musicales.
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2.3 Velocidad de fase y grupo
La velocidad c en las secciones anteriores es la velocidad de fase de las
ondas superficiales (c = ω/k). Es la velocidad con que una fase se
propaga.
En general, las velocidades α y β del medio aumentan con la
profundidad dentro del manto de la Tierra.
Entonces, c disminuye cuando aumenta la frecuencia de las ondas
superficiales. Las ondas están dispersivas.
La energía de una onda dispersiva se propaga con la velocidad del
grupo, u = dω/dk. u y c están diferentes para las ondas de superficie.
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2.3.1 Una demostración simple
¿Cuál es la suma de dos ondas armónicas con ω y k ligeramente
diferente entre ellos?
Vamos a usar cos(A+B) + cos(A−B) = 2 cosA cosB
u(x, t) = cos(ω1t− k1x) + cos(ω2t− k2x)
ω1 = ω + δω , ω2 = ω − δω , ω >> δω
k1 = k + δk , k2 = k − δk , k >> δk
∴ u(x, t) = cos(ωt+ δωt− kx− δkx) + cos(ωt− δωt− kx+ δkx)
= 2 cos(ωt− kx) cos(δωt− δkx)
El envolvente tiene velocidad u = δω/δk, la velocidad del grupo.
Cimas individuales tienen velocidades c = ω/k, la velocidad de fase.
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2.3.1 Una demostración simple
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2.3.2 Relación entre u y c
La relación entre u y c puede estar escrito como:
u = dω
dk
= d
dk
(ck)
= c+ k dc
dk
= c
(
1 + k
c
dc
dk
)
= c
(1−k dc
dω
)
✘
✘
✘
✘
✘
✘
✘
✘
✘
✘✿ 1
[(
1 + k
c
dc
dk
)(
1− k dc
dω
)]
= c
(1−k dc
dω
)
(2.25)
Entonces la manera de la dispersión de las ondas de superficie
determina su forma física.
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Intermezzo
Para demostrar que
A =
(
1 +
k
c
dc
dk
)(
1 − k
dc
dw
)
= 1
usaremos la siguiente relación:
c = ω
k
dc
dω
= 1
k
−
ω
k2
dk
dω
dc
dk
= dc
dω
dω
dk
= − ω
k2
+ 1
k
dω
dk
Luego
A =
(
1 + k
c
dc
dk
) (
1 − k dc
dw
)
= 1 + k
c
dc
dk
− k
dc
dω
−
k
2
c
dc
dk
dc
dω
= 1 + k
c
(
−
ω
k2
+ 1
k
dω
dk
)
− k
(
1
k
−
ω
k2
dk
dω
)
−
k
2
c
(
−
ω
k2
+ 1
k
dω
dk
) (
1
k
−
ω
k2
dk
dω
)
= 1 − ω
kc
+ 1
c
dω
dk
− 1 + ω
k
dk
dω
−
k
2
c
(
−
ω
k3
+ 1
k2
dω
dk
+ ω
2
k4
dk
dω
−
ω
k3
)
= − ω
kc
+ 1
c
dω
dk
+ ω
k
dk
dω
+ ω
kc
−
1
c
dω
dk
−
ω
2
ck2
dk
dω
+ ω
kc
= ω
k
dk
dω
−
ω
2
ck2
dk
dω
+ ω
kc
Recordando que c = ω
k
escribimos
A = c dk
dω
− c
dk
dω
+ 1
= 1
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2.3.3 Dispersión en un sismograma
La forma de una onda de superficie en un sismograma contiene inicialmente
bajas frecuencias, después una mezcla de bajas y altas frecuencias, y al final la
fase de Airy. (Por supuesto, siempre es mas complicado que este ejemplo
simplificado).
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2.3.4 Fase de Airy
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2.4 Tierra esférica, ondas de superficie
Las ondas de superficie pueden recorrer la circunferencia de la Tierra varias
veces. Cada vez que pasan a un instrumento muestran mayor dispersión y
tienen menor amplitud.
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2.4 Tierra esférica, ondas de superficie
La figura muestra muchos sismogramas (6 horas de datos, componente
vertical) amontonados, por estaciones entre cero y 180 grados de distancia
desde la fuente. Se puede claramente notar R1, R2, R3 y R4, entre otras fases.
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2.5 Oscilaciones libres de la Tierra
Cuando la longitud de onda esta comparable con el tamaño de la Tierra,
se deben usar modos normales en vez de la teoría de rayos.
Para una Tierra esférica, homogénea, isotrópica y elástica, podemos
escribir el desplazamiento como:
u = ∇Φ+∇×Ψ = ∇Φ+∇×∇× Sr+∇×Tr (2.26)
Y la ecuación de movimiento es:
α2∇(∇u)− β2∇×∇× u = ü (2.27)
Las soluciones para Φ, Sr y Tr tienen la forma:
Φ(r, θ, φ) =
∞
∑
l=0
jl(kαr)
l
∑
m=−l
Y m
l
(θ, φ) (2.28)
Y ml (θ, φ) = P
m
l (cos θ)e
±imφ son las funciones armónicas esféricas y
jl(kαr) son funciones esféricas de Bessel.
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2.5 Oscilaciones libres de la Tierra
La solución puede estar escrito en términos de modos esferoidales nS
m
l
(asociados con los potenciales de las ondas P y SV - Φ y Sr), y modos
toroidales nT
m
l (asociados con el potencial de la onda SH - Tr).
n es el número de nodos del desplazamiento radial.
l determina la distribución de desplazamiento con la colatitud.
Existen 2m nodos en 360◦ de longitud.
Algunos ejemplos de modos se muestran en la próxima diapositiva.
Estos modos significan que la Tierra vibra como una campana después
de grandes terremotos. Las frecuencias resonantes dan pistas sobre las
propiedades elásticas de las diferentes capas de la Tierra.
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2.5 Oscilaciones libres de la Tierra
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2.5 Oscilaciones libres de la Tierra
El espectro de la componente radial, con los modos esferoidales visible, de
240 horas de datos del terremoto de 2004 Sumatra-Andaman (Mw=9.1),
registrado en la estación ARU (en Rusia).
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2.6 Rayos y modos: correspondencia
Un rayo puede estar representado por una suma sobre los modos.
La aproximación de rayos asume que el rayo no es sensible a la
estructura bajo del punto del doblamiento del rayo. Actualmente esta
profundidad representa la profundidad en que la solución usando
modos cambia a decaimiento exponencial; entonces la onda es
influenciada por esta estructura de la Tierra debajo de ella.
Universidad de Concepción, Geofı́sica, 513430 Sismologı́a Aplicada y de Exploración, Clase 4 – p. 14/14
3.1 El campo de ondas global
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3.1 El campo de ondas global
Note que la escala de distancia en el imagen anterior esta dada en
términos de ∆.
Note que el tiempo de viaje es reducido por un factor de 8×∆. ¿Qué
significa eso?
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3.1.1 Fases de corteza
Si estamos a cortas distancias de la fuente, podemos tener varias fases de P (y
S) asociadas con la corteza.
Pg - Onda P que dobla en la corteza.
PmP - Onda P que reflecta del Moho.
Pn - Onda P que dobla justo debajo del Moho.
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3.1.2 Fases de un sismo profundo
p - onda P en el manto que se origina en la fuente y viaja hacia arriba.
s - onda S en el manto que se origina en la fuente y viaja hacia arriba.
¿Cómo varía el tiempo de llegada entre P y pP con la profundidad del
terremoto?
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3.1.3 Fases globales
P - onda P en el manto que se origina en la fuente y viaja hacia abajo.
S - onda S en el manto que se origina en la fuente y viaja hacia abajo.
K - onda P en el núcleo externo.
I - onda P en el núcleo interno.
J - onda S en el núcleo interno.
c - una reflexión en el borde núcleo externo-manto.
i - una reflexión en el borde núcleo interno-núcleo externo.
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3.1.4 Fases adicionales - W
La fase es análoga al efecto de una galería susurrante. Se genera por
una interferencia compleja entre ondas de cuero de largo periodo.
La onda viaja en el manto superior, llega entre la fase P y las ondas de
superficie. Se puede sintetizar por la suposición de modos normales.
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3.1.4 Fases adicionales - W
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3.1.4 Fases adicionales - T
La letra T significa onda terciaria.
La fase T se genera por fuentes cerca los océanos, se propaga dentro del
océano como una onda acústica guiada en la canal SOFAR, y se
convierte a ondas sísmicas en la frontera océano-tierra cerca de la
estación sísmica.
La canal SOFAR es una capa de baja velocidad acústica dentro del
océano, dentro de esta capa la onda acústica puede viajar grandes
distancias con muy poca atenuación.
Comparado con los terremotos típicos, terremotos de ruptura lenta que
pueden generar grandes tsunamis no generan ondas T con gran
amplitud.
La figura siguiente muestra registros de la fase T en estaciones de
Noruega de eventos que se originan en el Océano Atlántico.
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3.1.4 Fases adicionales - T
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3.2.1 El campo de ondas regional
La figura muestra sismogramas sintéticos generados por el modelo de
velocidades ak135.
Debajo de la litosfera, existe una zona de baja velocidad.
Existen discontinuidades a profundidades de 410 y 660 km.
El campo de ondas regional es afectado por esta estructura de la Tierra.
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3.2.1 El campo de ondas regional
Gris: frente de onda P; Negro: frente de onda S.
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3.2.2 El campo de ondas global
Arriba: Rayos P; Abajo: Rayos S.
*Les pido ver las figura 28 de los apuntes, que es en color entonces no lo
replicaré en las diapositivas.
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4 Localización de terremotos
El epicentro (λ, φ) o (x, y)
El hipocentro (λ, φ, z, t) o (x, y, z, t)
El área de ruptura que tiene un desplazamiento de D(x, t)
Queremos obtener h(x, t). Tenemos: (i) la identificación de las fases
sísmicas, y (ii) Un modelo de velocidades terrestre con que calcular el tiempo
de viaje de las fases.
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4.1 Sismos locales
Sismos locales se encuentran a una distancia de . 200 km entre las
estaciones y el sismo (la definición es poco rígida).
La idea básica (usando vp, vs constante), es usar los tiempos S-P para
encontrar la distancia estación-sismo.
Tiempo (S-P) =
(
x
vs
− t0
)
−
(
x
vp
− t0
)
⇒ x = (S-P)
vpvs
vp − vs
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4.1 Sismos locales
Note que con un modelo de corteza-manto, la ecuación anterior se
ajuste para tomar en cuenta las fases Pg y Pn.
Con tres estaciones o mas, se puede hacer una simple triangulación
para estimar el epicentro (2D) o el hipocentro (3D).
¿Si los círculos no cruzan, que dice eso sobre las suposiciones?
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4.1 Sismos locales
En una computadora:
Tenemos n observaciones de tiempos de llegada (P, S) en diferentes
estaciones.
Ta,i = ti(h, xi, yi, zi, v(r)) (4.1)
El a significa “actual”, y i corre de 1 a n. El tiempo de llegada de cada
observación depende de:
1. la ubicación del hipocentro h,
2. la ubicación de la estación xi, yi, zi,
3. y el modelo de velocidades actual en la región v(r).
Hay que elegir un hipocentro inicial h0 y calcular los tiempos de
llegada predichos Tp,i para obtener los residuos ri = Ta,i − Tp,i.
La idea es minimizar los residuos.
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4.1 Sismos locales
Un ejemplo lo mas simple posible, con una constante velocidad v, da
Tp,i =
√
(x− xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2/v (4.3)
Pero note que podemos usar un modelo de velocidades mucho mas
complejo que esto para calcular los tiempos de llegada predichos.
Los residuos se pueden escribir en la forma:
Ta,i − Tp,i =
∂ti
∂x
∆x+
∂ti
∂y
∆y +
∂ti
∂z
∆z +
✓
✓✓✼
1
∂ti
∂t
∆t0 (4.4)
Aquí, ∂ti
∂x
representa el pendiente ∂t
∂x
de la estación que registra el rayo
i. (El cambio en el tiempo de llegada del rayo, con el cambio en la
coordenada-x del hipocentro del evento).
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4.1 Sismos locales
Usamos un modelo de velocidades estimada para calcular Tp,i y las
derivadas parciales, y entonces la ecuación 4.4 reduce a un sistema
lineal representado por:
r = G∆h (4.5)
es decir












r1
r2
r3
.
.
.
.











=













∂t1
∂x
∂t1
∂y
∂t1
∂z
1
∂t2
∂x
∂t2
∂y
∂t2
∂z
1
∂t3
∂x
∂t3
∂y
∂t3
∂z
1
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .


















∆x
∆y
∆z
∆t0





Esta ecuación puede estar resuelta para obtener ∆h
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Intermezzo
r = G∆h
G
T
r = GTG∆h
(GTG)−1(GT r) = ∆h
La matriz transpuesta, denotada por AT , está dada por ATij = Aji, es
decir



1 2
3 4
5 6



T
=
(
1 3 5
2 4 6
)
G
T
G es una matriz cuadrada, entonces tiene una inversa.
La definición de una matriz inversa es que A−1A = I .
Eso es un problema inverso, DGEO tiene un curso electivo sobre
problemas inversos en geofísica que recomiendo.
El proceso minimiza E2 =
∑N
i=1
(
ri −
∑P
j=1Gij∆hj
)2
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4.1 Sismos locales
Los pasos para obtener el hipocentro del evento requieren una iteración:
1. Elegir h0 (solamente tiene que estar una ubicación aproximada).
2. Usar el valor de h0 para obtener los residuos ri de los datos.
3. Usar un modelo de velocidades para calcular ∂ti
∂x
etc.
4. Resolver el sistema de ecuaciones para ∆h.
5. h0(nuevo) = h0+∆h.
6. Repite pasos 2-6 con el nuevo valor de h0, hasta un punto en que
∑
i r
2
i no mejora.
Note que
∑
i r
2
i nunca llega a cero porque:
1. La elección de las fases en los sismogramas lleva un error.
2. El modelo de velocidades usado para calcular los tiempos de viaje
predichos es solamente una aproximación. (¿Podemos iterar el
modelo en la misma manera de los hipocentros? - si, eso es
tomografía).
3. La distribución de estaciones sísmicas puede estar insuficiente.
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4.1 Sismos locales
Movimiento lateral en la falla San Andrés resulta en diferentes rocas en
cada lado de la falla.
Si la variación lateral en velocidad sísmica no se toma en cuanta,
resulta en una mala ubicación de los sismos. (Mapa es de ∼ 1970, hoy
en día localizan con un modelo 3D).
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4.1 Sismos locales
La distribución de estaciones tiene un gran efecto sobre la precisión de
una ubicación (especialmente su profundidad).
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4.2 Método de un evento principal
Este método localiza réplicas de un evento relativo a la ubicación del
evento principal.
Si están en la misma falla y tienen mecanismos similares, entonces las
formas de las ondas en las estaciones están similares para el evento y su
replica.
Podemos usar correlación para calcular los tiempos relativos de llegada
(tiempo relativo al evento principal).
Trel,i = Ta,i − Tprincipal,i (4.6)
En la misma manera que antes, podemos encontrar ∆hj , donde
Trel,i =
∂ti
∂hj
∆hj (4.7)
∆hj representa la corrección en la ubicación del evento principal para
llegar a la posición de la réplica. Entonces tenemos localizaciones
relativas, que pueden dar información sobre la geometría de la falla.
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4.2 Método de un evento principal
La figura muestra una comparación entre las ubicaciones de las réplicas de
cuatro grandes terremotos en el arco de Kurile (entre Japón y Rusia) con las
reubicaciones usando el método de un evento principal.
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4.3 Método de una estación
El tiempo S-P da la distancia.
La rotación de las componentes del sismómetro (en 3 dimensiones),
para que la energía de la onda P llega en un solo componente, nos da la
orientación.
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4.4 Localización global
La localización global toma los mismos principios que la localización
regional: hay más fases, y tenemos que tomar en cuenta la curvatura de la
Tierra para calcular los tiempos de llegada predichos, pero la meta de
minimizar los residuos es la misma. La figura muestra los tiempos de llegada,
y los rangos, para una Tierra esférica.
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5.1 Fallas
n̂ - el vector normal al plano de la falla
d̂ - el vector de deslizamiento
φf - el rumbo (strike) de la falla que se mide en sentido horario desde el
Norte (0 - 360◦)
δ - el manteo/buzamiento (dip)
λ - el ángulo de deslizamiento (rake), entre el eje x1 y d̂ en el plano de
la falla (0 - 360◦)
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5.1 Fallas
Falla de desgarre (strike-slip). λ = 0: lateral-izquierda; λ = 180:
lateral-derecha.
Falla normal λ = 270.
Falla inversa λ = 90.
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5.2 El tensor de momento sísmico
Fuentes sísmicas están representadas por un par de fuerzas.
Por la conservación de momento angular, requerimos un par de fuerzas
complementarias - una dobla cupla.
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5.2 El tensor de momento sísmico
Un par de fuerzas es anotado por Mij , donde i representa la dirección
en que apuntan las fuerzas, y j representa la dirección en que están
separadas las fuerzas.
Con esta anotación, podemos escribir el tensor de momento como
M =



M11 M12 M13
M21 M22 M23
M31 M32 M33



(5.1)
con |Mij | = fd|d→0
Mij representa las fuerzas que pueden actuar en un punto en el medio,
los elementos del tensor representan torques de fuerza por distancia.
Note que Mij es simétrico por la conservación de momento angular.
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5.2.1 Ejemplo: falla de desgarre
Falla de desgarre, lateral derecha:
M12 = M0 (lo que implica M21 = M0).
∴ M =



0 M0 0
M0 0 0
0 0 0



(5.2)
M0 = µDA, el momento sísmico.
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5.2.1 Ejemplo: falla de desgarre
Note que dos diferentes tipos de fallas corresponden a la misma dobla
cupla.
Entonces, las dos situaciones producen exactamente el mismo
movimiento/oscilación del medio (en el campo lejano).
Se nota que el mismo tensor de momento puede representar la falla
lateral-derecha, o igualmente una falla lateral-izquierda con una
diferente orientación.
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5.2.1 Ejemplo: falla de desgarre
Podemos diagonalizar el tensor M .
M =



M0 0 0
0 −M0 0
0 0 0



(5.4)
En este ejemplo, es una rotación del sistema de coordenadas por 45◦ en
el plano horizontal.
El sistema de coordenadas ahora estaré alineados por las direcciones de
compresión (P) y tensión (T) máximas.
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5.2.2 Patrón de radiación
El patrón de radiación de la energía sísmica, para la onda P, esta
alineado a lo largo de los ejes de compresión y tensión. El plano de la
falla, y el plano auxiliar, son planos nodales.
El patrón de radiación de las ondas S tiene su mayor amplitud en estos
planos nodales.
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5.2.3 Relación entre M y la falla
El vector unitario normal al plano de la falla es n̂ = (nx, ny, nz).
El vector unitario de deslizamiento es d̂ = (dx,dy, dz).
Podemos escribir el tensor de momento como
Mij = M0(nidj + njdi) (5.5)
o
M = M0



2nxdx nxdy + nydx nxdz + nzdx
nydx + nxdy 2nydy nydz + nzdy
nzdx + nxdz nzdy + nydz 2nzdz



(5.6)
Note que el tensor de momento es simétrico.
La traza del tensor es TrMij = 2M0nidjδij = 2M0n̂ · d̂ = 0; el
deslizamiento esta en el plano de la falla con vector normal n̂.
La traza representa un cambio en volumen del medio. Para terremotos,
este esta cero; pero podría estar distinto de cero para otras fuentes
(explosiones etc.).
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5.2.3 Relación entre M y la falla
Podemos escribir n̂ y d̂ en términos del rumbo (φf ), manteo (δ) y
ángulo de deslizamiento (λ):
n̂ =



− sin δ sinφf
sin δ cosφf
− cos δ



(5.7)
d̂ =



cosλ cosφf + sinλ cos δ sinφf
cosλ sinφf − sinλ cos δ cosφf
− sinλ sin δ



(5.8)
Las propiedades de la falla entonces determinan M .
El tensor del momento, es decir el mecanismo de un terremoto, puede
estar representado por un mecanismo focal.
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5.2.4 Mecanismos focales
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5.2.4 Mecanismos focales
La esfera focal es una esfera imaginaria que envuelta el hipocentro.
Se puede dividir la esfera en cuadrantes compresionales y
dilatacionales.
Para terremotos “telesísmicos”, podemos relacionar los primeros
movimientos de sismómetros al hemisferio inferior de esta esfera,
tomando en cuenta el camino del rayo.
(Note que para sismos locales el rayo sale del hemisferio superior).
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5.2.4 Mecanismos focales
Para dibujar un mecanismo focal:
Dibuja la falla, y una esfera alrededor del hipocentro.
La esfera se corta por 2 planos perpendiculares (entonces en 4
secciones). Los planos están los nodos con desplazamiento vertical
cero.
Los sectores de dilatación (T) están en color. Los sectores de
compresión (P) están blancas.
La proyección del hemisferio inferior de la esfera es el mecanismo
focal (en la vista de mapa).
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5.2.4 Mecanismos focales
Inicialmente, las propiedades de la falla en que se origina un terremoto no
están conocidos. Para obtener un mecanismo focal, y entonces las
propiedades del terremoto, hay que usar datos sísmicos.
Se puede usar la polarización de la onda P, registrada en estaciones a
distancias telesísmicas. La polaridad de la onda P indica si el rayo sale
de la esfera focal de un cuadrante dilatacional o compresional.
Se puede encontrar 2 planos que separan los cuadrantes de la esfera
focal. Uno será el plano de la falla, uno será el plano auxiliar.
Para conocer cuál es el plano de la falla, es necesario obtener mas
información (geología de la zona, etc.).
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5.2.4 Mecanismos focales
Se puede apreciar los diferentes tipos de mecanismos asociados con la
tectónica en dorsales oceánicas (la figura esta en vista de mapa). ¿Qué esta
pasando aquí?
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5.3 La estructura de sismogramas
u(t) = s(t) ∗ g(t) ∗ q(t) ∗ i(t) (5.9)
El desplazamiento de la Tierra en un cierto punto puede estar escrito
como una convolución entre los efectos de la fuente (s), la propagación
(g), la atenuación (q) y la respuesta del instrumento (i).
Además, se debe sumar a eso ruido ambiental de la Tierra asociado con
las vibraciones que no tienen fuentes sísmicas.
La descripción matemática de una convolución es
(f ∗ g)(t) =
∫
∞
−∞
f(τ)g(t− τ)dτ ≡
∫
∞
−∞
f(t− τ)g(τ)dτ
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5.3 La estructura de sismogramas
Gráficamente, la convolución entre dos funciones es el área en común a
los dos cuando están sobrepuestos (separados en tiempo por un cierto
tiempo).
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5.3.1 Campos cercano y lejano
Podemos escribir el potencial de la onda P (por ejemplo) como:
φ(r, t) =
−f(t− r/α)
r
(5.10)
El desplazamiento esta dado por el gradiente de este potencial:
u(r, t) =
∂φ(r, t)
∂r
=
1
r2
f(t− r/α)−
1
r
∂f(t− r/α)
∂r
(5.11)
El primer término en la ecuación (5.11) representa el desplazamiento en
el campo cercano (deformación permanente de la Tierra que puede
estar medida por una estación GPS).
El segundo término en la ecuación (5.11) representa el desplazamiento
en el campo lejano (la respuesta dinámica a la deformación permanente:
la oscilación de la Tierra que puede estar medida por un sismómetro).
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Intermezzo
Se defina un tiempo de demora, τ = t− r/α.
Note que t− r/α es el tiempo, t, reducido por la cantidad de tiempo
que demoraría la onda en viajar una distancia r, entonces es una
medida temporal que representa la fuente.
Entonces:
∂f(t− r/α)
∂r
=
∂f(t− r/α)
∂τ
∂τ
∂r
= −
1
α
∂f(t− r/α)
∂τ
Y se puede expresar la ecuación (5.11) como:
u(r, t) =
1
r2
f(t− r/α) +
1
rα
∂f(t− r/α)
∂τ
La respuesta dinámica en el campo lejano esta relacionada con la
derivada temporal del desplazamiento en el campo cercano.
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5.3.1 Movimiento en el campo lejano
Para representar una fuente en 3 dimensiones, M(t) es el tensor de
momento sísmico con sus 9 componentes.
Note que la traza que registra un sismómetro generalmente representa
la velocidad u̇(t).
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5.3.2 La fuente de Haskell
Suponemos que la primera partícula en la falla que mueve (en el
hipocentro) demora τa segundos para mover de su posición inicial a su
posición final. (τa se llama el tiempo de aumento).
Además suponemos que la última partícula que desliza en la falla
durante el mismo terremoto empieza su movimiento un tiempo τd
después del tiempo del hipocentro. (τd se llama el tiempo de duración).
Para simplicidad, la última partícula que desliza también demora τa
segundos para moverse.
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5.3.2 La fuente de Haskell
Para cada partícula individual:
Para todas las partículas que mueven, se puede expresar el tiempo de
duración de la ruptura en términos del largo de la ruptura (L), la
velocidad de la ruptura (vr) y el ángulo φ entre la dirección de
propagación de la ruptura y la dirección del hipocentro a la estación que
mide el terremoto.
τd = L
(
1
vr
−
cosφ
α
)
(5.12)
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5.3.2 La fuente de Haskell
La convolución entre τa y τd da la función temporal de la fuente de
Haskell (que representa Ṁ(t)). El área debajo de Ṁ(t) es proporcional
al momento sísmico M0 del terremoto. Note que τd puede variar con la
ubicación de la estación que registra el terremoto.
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5.3.3 Los efectos de propagación
g(t) toma en cuenta los efectos de reflexión y transmisión a lo largo del
camino del rayo entre la fuente y la estación. Un ejemplo simple (y lo
mas importante) enfoca en el efecto de un terremoto profundo, para que
una onda P registrada en una estación es una combinación de P, pP y sP.El tiempo de retraso de la onda pP, por ejemplo, es
∆tpP = 2h cos i/αsuperficial (5.13)
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5.3.4 Los efectos de atenuación
El operador de atenuación, para una cierta frecuencia ω, puede estar
escrito como una oscilación cuya amplitud decae exponencialmente en
tiempo, donde Q es el factor de calidad:
q(t) = Aeiωte−ωt/2Q (5.14)
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5.3.5 El efecto del instrumento
Sismómetros solamente pueden estar desarrollados para medir ciertas
frecuencias de oscilaciones. A cada frecuencia existe una ganancia del
instrumento (y potencialmente un cambio en fase) entre la velocidad
del suelo y el voltaje que registra el equipo.
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5.3.6 La combinación de los efectos
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5.3.7 Mecanismos focales y ondas P
La forma de la onda P en cada estación depende en el mecanismo del
terremoto.
(Note que la reflexión de la onda P en la superficie de la Tierra causa
una inversión de la polaridad para la fase pP).
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5.3.8 Profundidad y ondas P
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5.3.9 Función temporal de la fuente
A veces, la forma exacta de la fuente de Haskell es difícil determinar.
Pero, en general, para grandes terremotos τd >> τa.
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5.3.9 Función temporal de la fuente
Terremotos grandes a veces están construidos de varios subeventos
separados en tiempo y espacio.
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5.3.10 Japón 2011
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5.3.10 Japón 2011
(a) Time slices of the rupture evolution for the 0.05-0.10 Hz band in
15-second intervals. Coordinates are in km (UTM grid). (b) Moment rate
functions for the three frequency bands obtained from the rupture time slices.
“The earthquake began as a small-size twin rupture, slowly propagating
mainly updip and triggering the break of a larger-size asperity at shallower
depths, resulting in up to 50 m slip and causing high-amplitude tsunami
waves. For a long time the rupture remained in a 100-150 km wide slab
segment delimited by oceanic fractures, before propagating further to the
southwest. ”
N Maercklin, G Festa, S Colombelli, A Zollo (2012). Twin ruptures grew to
build up the giant 2011 Tohoku, Japan, earthquake. Scientific Reports 2: 709
October
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5.3.11 Chile 2010
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5.3.11 Chile 2010
Pulido, N., Yagi, Y., Nishimura, N. and Kumagai, H. (2010). Source rupture
process and strong motion simulation of the Mw8.8, 2010 Chile Mega
earthquake. Abstracts of the Fall meeting of the Seismological Society of
Japan, B11-07.
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6 La teoría de rayos geométricos
Usar rayos en sismología es una aproximación de alta frecuencia.
Funciona bien para ondas propagándose en la corteza, manto, núcleo
externo.
Aún, para la estructura más interna de la Tierra, siempre es mejor usar
modos normales.
La ley de Snell describe la geometría del rayo.
sin i
c
= p = (constante) (6.1)
El parámetro del rayo, p, también conocido como la lentitud horizontal,
es constante para un rayo particular que sale de una fuente.
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6.1 Geometría de rayos
El frente de onda en un instante puede estar representado por W (x).
El rayo asociado con una cierta posición en este frente de onda puede
estar representado por un elemento de línea con ds ∝ ∇W (x).
Para simplicidad, siempre se puede reorientar los ejes del sistema de
coordenadas para considerar el rayo propagándose en el plano x1 − x3.
Para datos sísmicos, esto es equivalente de una rotación de los ejes
horizontales de un sismómetro de norte, este al radial, transversal.
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6.2 Tiempo de viaje
Para simplicidad, consideremos una Tierra plana en esta clase.
La modificación de esta teoría para una Tierra esférica es bastante
simple, se puede ver el libro de Shearer para los detalles.
Note que si la velocidad del medio aumenta con la profundidad, el rayo
se dobla a una cierta profundidad y vuelve a la superficie (mas detalles
vienen en una tarea).
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6.2 Tiempo de viaje
Cada elemento de línea del rayo, ds = (dx1, dx3), es un cierto ángulo i
de la vertical.
dx1
ds
= sin i
dx3
ds
= cos i = (1− sin2 i)1/2 (6.2)
Recuerde la ley de Snell, sin i = pc = p/u, con p un constante para el
rayo y u la lentitud del medio que es el inverso de su velocidad
(u = 1/c); entonces:
dx1
ds
=
p
u
dx3
ds
= u−1(u2 − p2)1/2 (6.3)
Podemos combinar estas expresiones en una ecuación que describe la
geometría del rayo:
dx1
dx3
=
p
(u2 − p2)1/2
(6.4)
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6.2 Tiempo de viaje
Para un modelo de velocidades terrestre que solamente varía con la
profundidad, es decir u = u(x3), podemos encontrar la distancia que
viaja un cierto rayo en términos de su parámetro del rayo y la estructura
de velocidad.
X(p) = 2p
∫ zp
0
dx3
(u2(x3)− p2)1/2
(6.5)
En esta expresión, zp es la profundidad del punto de doblamiento del
rayo, y se puede apreciar que el factor de 2 existe porque el rayo viaja
hacia abajo (hasta este punto de doblamiento), y después hacia arriba
en una forma simétrica.
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6.2 Tiempo de viaje
Podemos cambiar de un modelo de velocidades continuo a una
secuencia de capas horizontales:
[∫ z2
z1
dx3 = ∆z2
]
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6.2 Tiempo de viaje
Para esta secuencia de capas horizontales, la lentitud u es constante
dentro de una cierta capa, y el rayo viaja en todas las capas que
cumplan la relación ui > p. Se puede escribir la ecuación (6.5) en una
forma discreta:
X(p) =
2p∆z1
(u2
1
− p2)1/2
+
2p∆z2
(u2
2
− p2)1/2
+ ... +
2p∆z3
(u2
3
− p2)1/2
= 2p
∑
i
∆zi
(u2i − p
2)1/2
(6.6)
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6.2 Tiempo de viaje
Para convertir entre distancia y tiempo podemos usar la relación
dt
ds =
1
c = u.
Y entonces:
dt
dx3
=
dt
ds
ds
dx3
=
u2
(u2 − p2)1/2
En la misma manera que antes:
T (p) = 2
∫ zp
0
u2(x3)dx3
(u2(x3)− p2)1/2
(6.8)
Y para una secuencia de capas, para ui > p:
T (p) = 2
∑
i
u2i∆zi
(u2i − p
2)1/2
(6.9)
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6.2 Tiempo de viaje
Podemos reescribir la ecuación (6.8) en la siguiente manera:
T (p) = 2
∫ zp
0
{
p2
(u2(x3) − p2)
1/2
+ (u
2
(x3) − p
2
)
1/2
}
dx3 = pX + 2
∫ zp
0
η(x3)dx3 (6.10)
η(x3) = (u
2(x3)− p
2)1/2 es la lentitud vertical.
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6.3 Curvas tau-p
Podemos definir un tiempo de retraso:
τ(p) = 2
∫ zp
0
(u2(x3)− p
2)1/2dx3 = 2
∫ zp
0
η(x3)dx3 (6.11)
Tomando la derivada del tiempo de retraso con respecto al p nos da un
valor siempre negativo, dado que X(p) es positivo:
dτ
dp
= 2
d
dp
∫ zp
0
(u2 − p2)1/2dx3 = −2p
∫ zp
0
dx3
(u2 − p2)1/2
= −X(p) (6.13)
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6.4 Rayos en una capa homogénea
El caso simple de una capa homogénea sobre un semi-espacio:
Tenemos un rayo directo, una refracción crítica*, una reflexión
pre-crítica y una reflexión post-crítica.
*¿Qué esta pasando actualmente con esta refracción crítica? ¿Por qué vuelve a la superficie?
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6.4 Rayos en una capa homogénea
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7 Tomografía sísmica
¿Cómo podemos usar las ondas sísmicas para determinar la estructura
3-D de la Tierra?
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7.1 Residuos en los tiempos de viaje
tresid = tobs − tpred (7.4)
En sismología, el residuo de un tiempo de viaje es la diferencia entre el
tiempo observado, y un tiempo de referencia predicho por un modelo
de velocidades.
Comúnmente se usa un modelo 1-D para calcular el tiempo de
referencia.
Hemos visto el concepto de residuos anteriormente para la localización
de terremotos, cuando uno intenta encontrar el hipocentro que
minimiza los residuos para un evento.
Podemos extender esta idea, y encontrar un modelo de velocidades tres
dimensional que minimiza los residuos para muchos eventos
simultáneamente - esto es la base de la tomografía sísmica.
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7.1 Residuos en los tiempos de viaje
Para un rayo, el tiempo de viaje es el integral de los incrementos de
tiempo a través del camino de propagación. Para una onda P:
tA ≈
∫
rayoA
α
−1(r)ds (7.2)
El residuo para este rayo entonces tiene la siguiente forma, donde el
subíndice r indica el modelo de referencia:
∆tA =
∫
rayoA
[α−1(r)− α−1r (r)]ds (7.3)
Si encontramos un modelo de referencia que mas parece la situación
actual, los residuos deberían acercarse al cero.
Pero los residuos nunca van a llegar al exactamente cero, debido a la
imprecisión que existe en la elección de los tiempos de llegada de las
fases sísmicas.
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7.1 Residuos en los tiempos de viaje
Siempre en estos tipos de problemas se defina el modelo de velocidades
como bloques con una velocidad uniforme.
Se puede usar la ley de Snell para calcular el camino del rayo. Además
se conoce la distancia que viaja el rayo en cada bloque, y entonces el
tiempo que demora el rayo en cada bloque.
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7.2 El sistema de ecuaciones para resolver
Con bk el tiempo de viaje dentro del bloque k, y δvk la perturbación
relativa de velocidad dentro del bloque podemos definir el residuo:
tresid ≡ r =
∑
k
bkδvk (7.5)
Para n rayos, de diferentes caminos fuente-receptor, y m bloques que
definen el modelo de velocidades:
ri =
m
∑
j=1
bijδvj =⇒












r1
r2
r3
.
.
.
rn












=










0 0.2 0 0 ...
1.3 0 0.3 0 ...
0 0 0 0.1 ...
. . . . .
. . . . .
0 0.1 0 0 ...






















δv1
δv2
δv3
.
.
.
δvm












(7.6)
Los números en la matriz representan los tiempos de viaje del rayo por
los bloques individuales.
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7.2 El sistema de ecuaciones para resolver
La ecuación (7.6) debe ser solucionada simultáneamente para todos los
rayos, es un problema inverso para minimizar los residuos y producir el
modelo 3-D.
Este problema inverso tiene m desconocidos, entonces se necesitan
muchos rayos para resolver los desconocidos.
Además, se necesita que todos los bloques en el modelo de velocidad
están “tocados” por varias rayos.
Para una solución única, también es necesario que los rayos se cruzan.
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7.2 Pruebas de resolución
La mejora manera de ver la resolución de la tomografía obtenida es ver
si la geometría de los rayos puede resolver un modelo de velocidades
sintéticos, típicamente de estilo “tablero de ajedrez”.
Una serie de tiempos de viaje sintéticos es creada para un modelo
simple de velocidades usando los mismos rayos que tiene los datos
actuales; los tiempos de viaje sintéticos después son invertidos para ver
si el modelo inicial se recupera.
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7.3 Complicaciones
La compensación entre las anomalías de velocidad y las ubicaciones de
los terremotos.
La estructura a pocas profundidades no resuelta.
La embadurnada de anomalías de velocidad (ver Figura).
La desviación del camino del rayo de lo del modelo de referencia.
Las suposiciones de la teoría de rayos.
La otra multitud de aproximaciones y suposiciones que se toman en un
estudio tomográfico.
La sobre-interpretación de los modelos tomográficos. Es difícil saber si
características del modelo al limite de resolución realmente existen.
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7.4 Otros tipos de tomografía
Tomografía usando ondas de superficie.
Tomografía de ruido sísmico ambiental (viene muy pronto).
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7.5 Modelos de tomografía global
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8 Funciones receptoras en sismología
Las funciones receptoras, llamadas “Receiver Functions” en inglés,
pueden ser computados de sismogramas de tres componentes para
mostrar el efecto de las capas de la Tierra debajo de un instrumento.
Generalmente, se usan las ondas P telesísmicas que llegan a una
estación.
La forma de la función receptora depende de ondas convertidas entre P
y S que retumban en la estructura debajo del sismómetro.
Usando este método, se puede encontrar la estructura de la Tierra
debajo de una estación, solamente usando fuentes pasivas.
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8.1 Funciones receptoras - teoría
Los rebotes cerca el receptor que generan la forma típica de una
función receptora existen debido a la discontinuidad corteza - manto.
Otras discontinuidades de velocidad a poca profundidad tendrán
influencia sobre la estructura mas finita de la señal.
Las amplitudes de los rebotes dependen del contraste de velocidad en
las interfaces, el tiempo que demoran depende de la profundidad de las
interfases.
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8.1 Funciones receptoras - teoría
Hemos visto en este curso que cada sismograma es una convolución
entre los efectos de la fuente, los efectos de la propagación del rayo, los
efectos de la atenuación y la respuesta del instrumento que mide la
oscilación. Es decir u(t) = s(t) ∗ g(t) ∗ q(t) ∗ i(t).
Los efectos de la propagación depende de efectos cerca la fuente, y
efectos cerca la estación.
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8.1 Funciones receptoras - teoría
Podemos escribir los efectos de la propagación como una combinación
de la estructura a distancia de la estación gd(t) y de la estructura
cercana gc(t).
Debido a las conversiones P - S, la estructura cercana de la estación
afecta los tres componentes del sismograma en diferentes maneras.
Entonces:
uZ(t) = s(t) ∗ q(t) ∗ i(t) ∗ gd(t) ∗ gcZ(t)
uR(t) = s(t) ∗ q(t) ∗ i(t) ∗ gd(t) ∗ gcR(t)
uT (t) = s(t) ∗ q(t) ∗ i(t) ∗ gd(t) ∗ gcT (t) (8.1)
La Tierra se aproxima a una estructura con simetría radial, entonces si
estamos considerando la onda P, esta fase llegará en los componentes
vertical y radial del sismograma. Las conversiones entre las ondas cerca
la estación están P - SV, en el plano del rayo, y entonces el componente
transversal no esta afectado.
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8.1 Funciones receptoras - teoría
Para ver los efectos de propagación cerca la estación, se puede hacer
una deconvolución entre los componentes radial y vertical del
sismograma y ver la señal resultante.
Matemáticamente, la deconvolución esta hecha en el dominio de
frecuencia:
ER(ω) =
R(ω)Z∗(ω)
Z(ω)Z∗(ω)
(8.2)
ω es la frecuencia angular, y Z∗(ω) el complejo conjugado de Z(ω).
Z(ω), R(ω) representan las transformadas de Fourier de los
componentes de movimiento vertical y radial.
La función receptora en el dominio de tiempo es la transformada de
Fourier inversa de ER(ω).
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8.2 Funciones receptoras - resultados
En la función receptora, note la ausencia de la fase PpPmp porque
aparece en ambos componentes radial y vertical.
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8.2 Funciones receptoras - resultados
Si la estructura debajo de una estación no tiene variaciones laterales,
entonces las funciones receptoras de diferentes eventos, con un
diferente azimut entre la estación y el epicentro, deberían ser iguales.
Se puede amontonar muchas funciones receptores de la misma estación
para identificar las características claves de la función.
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8.2 Funciones receptoras - resultados
Universidad de Concepción, Geofı́sica, 513430 Sismologı́a Aplicada y de Exploración, Clase 11 – p. 8/9
8.2 Funciones receptoras - resultados
Se puede tomar cortes transversales de varias funciones receptoras
(migradas) para ver las discontinuidades de velocidad que están
presentes en la zona de estudio.
Las funciones receptoras siempre están usadas para encontrar
discontinuidades como el Moho y como su profundidad varía con
distancia a lo largo del corte transversal.
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9 La dispersión de ondas de superficie
Para una onda dispersiva, el desplazamiento en una cierta posición y
tiempo es determinado por la integral sobre todas las frecuencias que
contribuyen a la onda.
u(x, t) =
∫ ∞
−∞
A(k)ei(kx−ωt)dk (9.1)
La amplitud, A(k), varía lentamente en comparación con la fase
Φ = (kx− ωt). Este implica que el integral solamente contribuye al
sismograma cuando (kx− ωt) es constante.
Cuando la fase esta estacionaria,
dΦ
dk
= d
dk
(kx− ωt) = x− dω
dk
t = x− Ut = 0
=⇒ U ≡ dω
dk
∣
∣
∣
k0
= x
t
(9.2)
U es la velocidad del grupo, corresponde a la frecuencia ω0, o el
número de onda k0. En un sismograma con posición (x, t), hay
contribución al sismograma u(x, t) de una frecuencia ω0.
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9.1 Teoría
Se puede hacer una expansión de Taylor alrededor de ω0:
kx−ωt = (k0x−ω0t)+(k−k0)
d
dk
[kx−ωt]k=k0+
1
2
(k−k0)2
d2
dk2
[kx−ωt]k=k0+...
(9.3)
En esta expansión,
d
dk
[kx− ωt]k=k0 = 0
y
d2
dk2
[kx− ωt]k=k0 =
d
dk
[x− Ut]k=k0 = −t
dU
dk
∣
∣
∣
∣
k=k0
Entonces:
u(x, t) =
∫∞
−∞
A(k0)ei(k0x−ω0t) exp
{
−i 1
2
(k − k0)2 dUdk t
}
dk
= A(k0)ei(k0x−ω0t)
∫∞
−∞
exp
{
−i 1
2
(k − k0)2 dUdk t
}
dk
(9.4)
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Intermezzo
Se requiere un cambio de variable: ξ2 = (1/2)(k − k0)
2(dU/dk)t
Entonces podemos escribir la ecuación (9.4) como:
u(x, t) = A(k0)e
i(k0x−ω0t)
∫ ∞
−∞
exp
{
−iξ2
} dk
dξ
dξ
Y con un poco de manipulación:
d[ξ2]
dk
= 2ξ dξ
dk
= (k − k0) dUdk t+
1
2
(k − k0)2
✟
✟
✟✟✯
0
d
dk
dU
dk
t
dξ
dk
=
(k−k0)
dU
dk
t
2ξ
dξ
dk
=
(k−k0)
dU
dk
t
2
√
(1/2)(k−k0)2(dU/dk)t
dξ
dk
=
√
t
√
dU
dk√
2
En esta expresión cabe recordar que dU
dk
es una constante en ω0.
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9.1 Teoría
Entonces la ecuación (9.4) se reduce al
u(x, t) = A(k0)ei(k0x−ω0t)
[
t
2
dU
dk
]−1/2
k=k0✘
✘✘
✘✘
✘✿
√
iπ
∫∞
−∞
e−iξ
2
dξ
= A(k0)ei(k0x−ω0t)
[
t
2
dU
dk
]−1/2
k=k0
(iπ)1/2
(9.5)
Tomando la parte real de la ecuación:
u(x, t) = A(k0)
[
2π
(x/U)(dU/dk)
]1/2
cos(k0x− ω0t± π/4) (9.6)
Para un cierto (x, t), la energía de la onda dispersiva esta contenida en
la forma de una oscilación de frecuencia ω0, que corresponde a
d
dk
(kx− ωt) = 0.
La amplitud más grande en el sismograma corresponde al dU
dk
= 0, y es
la fase de Airy. (Para calcular la amplitud de la fase de Airy, es
necesario tomar el próximo término en la expansión de Taylor (9.3)).
Universidad de Concepción, Geofı́sica, 513430 Sismologı́a Aplicada y de Exploración, Clase 12 – p. 4/10
9.2 Análisis: velocidad de grupo
Velocidad de Grupo: La fase de la onda dispersiva esta dada por
Φ = kx− ωt+ φ± π/4 (9.9)
φ es la fase original de la onda que es típicamente desconocida.
Para la velocidad de grupo, se necesita que la fase es estacionaria
(dΦ
dk
= 0), entonces
d
dk
(kx− ωt+ φ± π/4) = 0
x− dω
dk
t+ dφ
dω
dω
dk
= 0
Y, recordando que U = dω
dk
,
U =
x
t− dφ
dω
≈
x
t
(9.10)
En la última ecuación, se supone que la fase introducida por la fuente
del terremoto no cambia con la frecuencia angular.
Universidad de Concepción, Geofı́sica, 513430 Sismologı́a Aplicada y de Exploración, Clase 12 – p. 5/10
9.2 Análisis: velocidad de grupo
El método más simple para medir U de un sismograma es medir los
tiempos de un periodo de la onda de superficie. Para una llegada a
tiempo ti, el intervalo ti+1 − ti−1 es una estimación del periodo T de la
llegada a ti. La velocidad del grupo entonces es U(T ) = x/ti. La
curva de U(T ) puede ser modelada para obtener la estructura en
promedio de la región donde pasa la onda. Además, varias curvas de
U(T ) de caminos de propagación que se cruzan dentro de un área
pueden ser usadas para tomografía de las ondas de superficie.
Universidad de Concepción, Geofı́sica, 513430 Sismologı́a Aplicada y de Exploración, Clase 12 – p. 6/10
9.2 Análisis: velocidad de grupo
Ejemplos de las curvas de dispersión para unas diferentes regiones de la
Tierra.
Universidad de Concepción, Geofı́sica, 513430 Sismologı́a Aplicada y de Exploración, Clase 12 – p. 7/10
9.2 Análisis: velocidad de fase
Velocidad de Fase: Para encontrar la expresión para la velocidad de
fase para una onda dispersiva a un cierto periodo (es decir,
c(T0) = ω0/k0 = 2π/T0k0), hay que considerar la propagación de la
misma fase. En términos matemáticos, buscamos soluciones para
Φ = 2Nπ y la ecuación (9.9), con esta condición, reduce al:
k0x− ω0t+ φ± π/4 = 2Nπ (9.11)
El el siguiente manipulación de la ecuación (9.11) se usa
c(T0) = ω0/k0 y 1/k0 = [c(T0)T0]/2π
x− ω0
k0
t+ φ
k0
± π
4
1
k0
= 2Nπ
k0
x− c(T0)t+ c(T0)T0φ2π ±
π
4
c(T0)T0
2π
=
2Nπc(T0)T0
2π
con el siguiente resultado (donde φ
′
= φ/2π)
c(T0) =
x
t− (φ′ −N ± 1/8)T0
(9.12)
Universidad