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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
Termodinámica Cuántica: estudio de
máquinas a escalas nano- y mesoscópicas
por
Andrés Mauricio Villamil Sánchez
Facultadad de Ciencias
Departamento de Física
3 de enero de 2016
Contenido
Abstract (English) ii
Abstract (Español) iii
Introducción iv
1. Sistemas Cuánticos 1
1.1. Matriz densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Imágenes de estados cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Dinámica de un sistema cuántico abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Evolución temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Derivación microscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Evolución estocástica de un sistema cuántico abierto . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Comparación método estocástico y ecuación de Lindblad . . . . . . . . 12
2. Termodinámica Cuántica 14
2.1. Leyes Termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Ciclos Termodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Máquinas Termodinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1. Refrigerador de 2 Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Demonio de Maxwell Cuántico 20
3.1. Demonio de Maxwell de dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Transiciones Landau-Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Modelamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1. Aplicación Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. Conclusiones 28
Bibliografía 29
i
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
Abstract
Facultadad de Ciencias
Departamento de Física
Andrés Mauricio Villamil Sánchez
The intention of this work is to study and analyze the dynamics of quantum open systems and
relate them to QuantumThermodynamics, in order to analyze the behavior of quantummachines
and study their properties such as Heat, energy and Work. The principal machine studied in this
document is a theoretical realization of a Quantum Maxwell Demon.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
Abstract
Facultadad de Ciencias
Departamento de Física
Andrés Mauricio Villamil Sánchez
La intención de este trabajo es estudiar y analizar la dinámica de sistemas cuánticos abiertos y
relacionarlos con termodinámica cuántica, con el fin de analizar el comportamiento de las má-
quinas termodinámicas cuánticas y estudiar sus propiedades, tales como calor, energía y trabajo.
La máquina estudiada en este documento es una realización teórica de un demonio de Maxwell
Cuántico.
Introducción
Los formalismos de la mecánica cuántica constituyen la herramienta fundamental para el mo-
delamiento de sistemas nanoscópicos. A partir de estos formalismos, se puede ver cómo es la
evolución temporal de los sistemas, incluyendo sistemas complejos con términos de interaccio-
nes no triviales. El desarrollo de esta teoría permitió el avance y creación de dispositivos que
son esenciales como los láseres y los transistores [1]. Sin embargo, muchos de estos sistemas
en ocasiones carecen de un modelamiento más extensivo que tenga en cuenta los parámetros
que pueden llegar a afectar en un sistema abierto y que puedan ser utilizados en sistemas reales
donde resulta vital entender el comportamiento de estos fenómenos [2].
En sistemas clásicos, la termodinámica dicta el comportamiento del flujo de la energía de un
sistema a otro. En diversos casos, el sistema cuántico se pone en contacto con uno o varios
sistemas clásicos (reservorios de temperatura) por lo que va a existir un flujo de energía entre
estos [3]. No obstante a la escala nanoscópica o mesoscópica, esto no puede ser descrito por una
teoría clásica termodinámica y resulta importante ver el comportamiento del sistema teniendo
en cuenta las interacciones cuánticas. Para esto resulta fundamental entender los fenómenos
estadísticos que ocurren y cómo estos pueden modificar el estado del sistema [3].
Adicionalmente, resulta interesante ver la evolución temporal de estos sistemas cuánticos al
no encontrarse en equilibrio termodinámico [3]. De esta manera resulta necesario entender los
mecanismos de mecánica estadística cuántica y ver cómo afecta los efectos disipativos y las
pérdidas de coherencia a la evolución del estado cuántico [4], además resulta natural preguntarse
si existe alguna reversibilidad en estos procesos cuánticos.
Ahora bien, de todas estas preguntas que ya están resueltas para sistemas clásicos surgen nuevos
desafíos y retos sobre sistemas cuánticos abiertos. A partir de esto se desea explorar la evolución
temporal de los sistemas cuánticos abiertos a partir de la ecuación de Lindblad y su aplicación
a sistemas termodinámicos cuánticos, como refrigeradores [2, 5] o máquinas de donde extraer
trabajo [1, 6] cuánticos con la posibilidad de agregar fenómenos cuánticos como el enredamiento
[7] y de esta manera expandir el conocimiento sobre los sistemas cuánticos abiertos a nivel de la
aproximación de Born-Markov. Uno de estos sistemas es el denominado demonio de Maxwell
que será estudiado en este trabajo.
Este documento se divide en cuatro capítulos. El primero busca familiarizarse con los sistemas
cuánticos abiertos, teniendo en las propiedades de la matriz densidad y su evolución tempo-
ral dictada por la ecuación de Lindblad. Adicionalmente se muestra un método de simulación
Contenido v
estocástica para este tipo de sistemas. El segundo capítulo muestra los fundamentos de la ter-
modinámica cuántica y como se puede aplicar a una maquina termodinámica. El tercer capítulo
muestra el modelamiento de un demonio de Maxwell cuántico a partir de un sistema de dos
niveles. En el último capítulo se miran las conclusiones del trabajo.
Capítulo 1
Sistemas Cuánticos
Este capítulo muestra los fundamentos básicos para el entendimiento de la evolución temporal
de los sistemas cuánticos. Se empieza por introducir los formalismos de la matriz densidad, para
luego ver su evolución temporal en las diferentes imágenes (imagen de Schrödinger, imagen de
Heisenberg, imagen de interacción).
1.1. Matriz densidad
Todo sistema cuántico se puede describir mediante la información contenida en el espacio de
Hilbert H. Un punto en este espacio, describe un estado posible que puede tener el sistema
cuántico |ψ〉 (estado puro). Ahora bien, por los principios de la mecánica cuántica, cada uno
de estos estados va a tener una probabilidad asociada, dadas unas condiciones iniciales y el
hamiltoniano del sistema.
Sin embargo, puede ocurrir que se tenga una incertidumbre adicional sobre la preparación del
sistema y por ende se tenga una probabilidad adicional. En este caso, se tiene un ensamble
estadístico de los estados del sistema |ψi〉 con probabilidad pi. Para estudiar estos ensambles
estadísticos es necesario introducir la matriz densidad como operador que describe esta infor-
mación del sistema.
De esta manera se define la matriz densidad de la siguiente manera:
ρ̂ =
∑
i
pi |ψi〉 〈ψi| =
∑
i,j
ρijP̂ij (1.1)
1
Sistemas Cuánticos 2
1.1.1. Propiedades
1. Normalización de la probabilidad.
Tr[ρ̂] =
∑
i
pi = 1 (1.2)
2. Hermiticidad
ρ̂ = ρ̂† (1.3)
3. Positividad
ρ̂ ≥ 0 (1.4)
De esta manera los vectores propios de la matriz densidad siempre son valores reales y/o
mayores que cero.
4. Pureza
Tr[ρ̂2] ≤ 1 (1.5)
Es importante notar que se cumple la propiedad (1.5) con igualdad cuando el estado es
puro. Para un estado puro la matriz densidad tiene la forma:
ρ̂ = |Ψ〉 〈Ψ| (1.6)
Adicionalmente, con la matriz densidad se deben poder calcular los mismos observables que se
calculan con un estado |ψ〉. De esta manera el valor esperado de un observable Ô:
〈Ô〉 = Tr[Ô ρ̂] (1.7)
1.1.2. Imágenes de estados cuánticos
Es importanterevisar las diferentes maneras en la cual la matriz densidad puede evolucionar.
De esta manera es necesario mostrar cómo evoluciona este operador en las diferentes imágenes.
1. Imagen de Schrödinger Para toda evolución temporal se puede crear un operador evolu-
ción temporal que cumpla la siguiente propiedad:
Sistemas Cuánticos 3
|ψ(t)〉 = U(t) |ψ(0)〉 (1.8)
Al poner este operador en la ecuación de Schrödinger se obtiene una ecuación diferencial
del operador evolución y su solución será:
U(t) = T← exp
[
− i
~
∫ t
0
dsH(s)
]
(1.9)
donde T← indica el operador ordenamiento temporal. A partir de esta definicón se puede
formular la matriz densidad (1.1) en un instante de tiempo t como:
ρ̂(t) = U(t) ρ̂(0)U †(t) (1.10)
Al derivar la ecuación (1.10) se puede obtener la ecuación de Liouville-von Neumann:
d
dt
ρ̂(t) = L ρ̂(t) = − i
~
[Ĥ(t), ρ̂(t)] (1.11)
Donde L es Lindbladiano que es un superoperador de evolución temporal de la matriz
densidad.
2. Imagen de Heisenberg
En esta imagen, los estados descritos por |ψ〉 no evolucionan en el tiempo, pero los ope-
radores si. De esta manera el operador evolución afecta a los operadores. De esta manera
los operadores se definen como:
OH(t) = U
†(t)O(t)U(t) (1.12)
Al derivar esta ecuación se encuentra:
d
dt
OH(t) = i~[HH(t), OH(t)] + U †(t)
∂O(t)
∂t
U(t) (1.13)
3. Imagen de interacción
Para esta imagen se tiene el Hamiltoniano:
Ĥ(t) = Ĥ0(t) + Ĥ1(t) (1.14)
Para conseguir la evolución temporal se redefine el operador evolución de esta manera:
Sistemas Cuánticos 4
U(t) = U0(t)U1(t) =
(
T← exp
[
− i
~
∫ t
0
dsĤ0(s)
])(
T← exp
[
− i
~
∫ t
0
dsĤ1(s)
])
(1.15)
Ahora utilizando la ecuación (1.11) y multiplicando ambos lados por el operador U0(t) y
su hermitico conjugado, se obtiene que:
U †0(t)
d
dt
ρ̂(t)U0(t) = −
i
~
U †0(t)[Ĥ0(t) + Ĥ1(t), ρ̂(t)]U0(t)
U †0(t)
d
dt
ρ̂(t)U0(t) = −
(
dU †0(t)
dt
ρ̂(t)U0 + U
†
0(t) ρ̂(t)
dU0(t)
dt
)
− i
~
U †0(t)[H1(t), ρ̂(t)]U0(t)
d
dt
(
U †0(t)U(t) ρ̂ U0(t)U
†(t)
)
= − i
~
U †0(t)
(
H1(t)U0(t)U
†
0(t) ρ̂(t)− ρ̂(t)U0(t)U
†
0(t)H1(t)
)
U0(t)
d ρ̂I(t)
dt
= − i
~
[HI(t), ρ̂I(t)] (1.16)
Adicionalmente, la última expresión se puede expresar de una manera alternativa que es
de utilidad posteriormente:
ρ̂I(t) = ρ̂I(0)−
i
~
∫ t
0
ds[HI(s), ρ̂I(s)] (1.17)
1.2. Dinámica de un sistema cuántico abierto
Todo sistema cuántico abierto se puede formular como un sistema cuántico cerrado, donde este
estará compuesto por un conjunto de baños térmicos o ambiente y el sistema central de interés.
De esta manera el espacio de Hilbert y el hamiltoniano del sistema completo estará definido
como:
HT = Hs ⊗He (1.18)
HT = Hs ⊗ 1e + 1s ⊗He +Hse = H0 +H1 (1.19)
Sistemas Cuánticos 5
De esta manera se pueden aplicar las ecuaciones de evolución temporal en cualquiera de las
imágenes. Sin embargo, es de interés solamente la evolución del estado cuántico del sistema y
no del ambiente. Por este motivo la ecuación (1.11) se debe modificar solo teniendo en cuenta
los grados de libertad del sistema, de esta forma se obtiene en la imagen de interación:
d ρ̂s(t)
dt
= − i
~
Tre[ĤI(t), ρ̂(t)] (1.20)
1.2.1. Evolución temporal
Debido a las propiedades de la matriz densidad, debe existir un mapeo que conserve la estruc-
tura de esta. Por este motivo es importante ver la forma general de este operador. La dedución
completa del superoperador se encuentra en [8].
Primero se debe definir un superoperador que actué sobre la matriz densidad que describa su
evolución temporal. Se puede asumir que en un tiempo inicial la matriz densidad total es el
producto tensorial de las matrices densidad del sistema y la matriz densidad del ambiente. De
esta manera el operador se puede definir de la siguiente forma
ρ̂s(t) = V (t) ρ̂s(0) = Tre[U(t)(ρ̂s(0)⊗ ρ̂e)U †(t)] (1.21)
Ahora si hacemos la descomposición espectral de la matriz densidad del ambiente obtenemos:
ρ̂e =
∑
α
λα |ψα〉 〈ψα| (1.22)
Ahora el superoperador tendrá la forma:
Tre[U(t)(ρ̂s(0)⊗ ρ̂e)U †(t)] =
∑
α,β
λβ 〈ψα|U(t) |ψβ〉 ρ̂s 〈ψβ|U(t) |ψα〉
=
∑
α,β
Wαβ(t) ρ̂sW
†
αβ(t)
De esta manera los operadores Wαβ operan sobre el espacio de Hilbert Hs. Adicionalmente,
cada uno de estos operadores se puede descomponer en una base de operadores del espacio de
operadores correspondiente a la base del espacio de Hilbert.
Sistemas Cuánticos 6
Si la dimensión del espacio de Hilbert Hs es N, entonces se tienen N2 operadores (Fi) con los
que se pueden formar una base ortonormal de operadores del espacio de Hilbert, donde uno
de estos debe ser proporcional a la identidad (FN2 = 1s/
√
N ). De esta manera se define un
producto interno en la base de operadores como:
(Fi, Fj) = Trs[F
†
i Fj] = δij (1.23)
Se puede descomponer los operadoresWαβ en la base correspondiente:
Wαβ(t) =
N2∑
i=1
Fi(Fi,Wαβ(t)) (1.24)
De esta manera el operador evolución se escribe:
V (t) ρ̂s =
N2∑
i,j=1
∑
α,β
(Fi,Wαβ(t))(Fj,Wαβ(t))
∗Fi ρ̂s Fj
=
N2∑
i,j=1
aij(t)Fi ρ̂s Fj
=
aN2N2(t)
N
ρ̂s +
1√
N
N2−1∑
i=1
(
aiN2(t)Fi ρ̂s +aN2i(t) ρ̂s F
†
N2i
)
+
N2−1∑
i,j=1
aij(t)Fi ρ̂s F
†
j
Tomando la última ecuación, describiendo la derivada como límite, se obtiene una ecuación de
la forma:
d ρ̂s(t)
dt
= ĺım
h→∞
V (h) ρ̂s− ρ̂s
h
= − i
~
[H, ρ̂s] + {G, ρ̂s}+
N2−1∑
i,j=1
bijFi ρ̂s Fj (1.25)
Finalmente utilizando propiedades de la traza de la evolución temporal y diagonalizando los
coeficientes bij , se obtiene la ecuación de Lindblad:
d ρ̂s(t)
dt
= − i
~
[H, ρ̂s] +
N2−1∑
k=1
γk
(
Ak ρ̂sA
†
k −
1
2
{A†kAk, ρ̂s}
)
(1.26)
Sistemas Cuánticos 7
Esta ecuación es la forma más general de un superoperador de la matriz densidad que preserve
las propiedades de la matriz densidad.
1.2.2. Derivación microscópica
Es importante deducir una ecuación temporal a partir del hamiltoniano del sistema. Introducien-
do la ecuación (1.17) en la ecuación (1.16), se obtiene que:
d
dt
ρ̂s(t) = −
1
~2
(
Tre[HI(t), ρ̂(0)] +
∫ t
0
dsTre ([HI(t), [HI(s), ρ̂(s)]])
)
(1.27)
Esta ecuación resulta ser no local en el tiempo al depender de estados en tiempos anteriores del
sistema. Se puede asumir que los grados de libertad de ambiente no cambian en los tiempos que
se realiza la evolución temporal y por este motivo la matriz densidad de los estados del baño
conmutan con el hamiltoniano de interacción. Por este motivo el primer término de la ecuación
(1.27) es cero.
Esta ecuación se puede simplificar asumiendo una interacción débil con el ambiente, de esta
manera el sistema no afecta la evolución temporal de la matriz densidad y por este motivo el
operador densidad se puede escribir como un producto tensorial de matrices densidad. Esta
aproximación se llama la aproximación de Born.
ρ̂(t) ≈ ρ̂s(t)⊗ ρ̂e (1.28)
Se puede realizar una aproximación para quitar la no localidad temporal del sistema. Esta apro-
ximación es la aproximación de Markov, en este caso se cambia ρ̂s(s) → ρ̂s(t) y la matriz
densidad se vuelve local en el tiempo.
Sin embargo, la ecuación no es aunMarkoviana. Por este motivo se cambia la variable s por s−t
y el límite superior se extiende a infinito debido a que los tiempos en que responde el sistema
son mucho menor a los tiempos en los que responde el ambiente. De esta manera la ecuación
que se obtiene es:
d
dt
ρ̂s(t) =
∫ ∞
0
dsTre ([HI(t), [HI(t− s), ρ̂s(t)⊗ ρ̂e]]) (1.29)
Sistemas Cuánticos 8
Se puede realizar una aproximación adicional sobre esta ecuación. Esta aproximación asume que
el hamiltoniano de interacción se puede descomponer en la sumatoria de productos tensoriales
de operadores que actúan sobre el sistema (A) y el ambiente (B). Adicionalmente, si se tiene
que el espectro del sistema es discreto y se considera que � es un valor propio del hamiltoniano
del sistema y . De esta manera se obtiene que el operador interacción es:
HI =
∑
α,ω
Aα(ω)⊗Bα (1.30)
Aα(ω) =
∑
�′−�=ω
Π(�)AαΠ(�
′
) (1.31)
donde Π(�) es el operador que proyecta al subespacio correspondiente a �.
Adicionalmente en la imagen de interación la evolución temporal del operador está dadapor:
HI(t) =
∑
αω
U0(t)Aα(ω)⊗BαU †0(t)
=
∑
αω
e−iwtAα(ω)⊗ eiHetBαe−iHet
=
∑
αω
e−iwtAα(ω)⊗Bα(t)
Este operador se puede reemplazar en la ecuación (1.29) obteniendo:
d
dt
ρ̂s(t) =
∑
ωω′
∑
αβ
ei(ω−ω
′)tΓαβ(t)
(
Aβ(ω) ρ̂s(t)A
†
α(ω
′) + A†α(ω
′)A†β(ω) ρ̂s(t)
)
+ h.c. (1.32)
Donde el factor Γαβ(ω) es la función de correlación del ambiente y está dado por:
Γαβ(ω) =
∫ ∞
0
dseiωs Tre[B
†
α(t)Bβ(t− s) ρ̂e] =
∫ ∞
0
dseiωs 〈B†α(t)Bβ(t− s)〉 (1.33)
Adicionalmente se puede asumir que ρ̂e es constante en el tiempo por lo que las funciones de
correlación, no deberían depender del tiempo por lo que se puede sustituir por:
Sistemas Cuánticos 9
Γαβ(ω) =
∫ ∞
0
dseiωs 〈B†α(s)Bβ(0)〉 (1.34)
Además en la ecuación (1.32) se pueden ignorar los términos donde ω 6= ω′ utilizando la apro-
ximación de onda rotante. Por último se puede descomponer las funciones de correlación por
parte real (γαβ(ω)) y parte compleja (Sαβ(ω)).
De esta manera se obtiene la ecuación diferencial de la matriz densidad.
d
dt
ρ̂s(t) = −
i
~
[HLS, ρ̂s(t)] +D(ρ̂s(t)) (1.35)
Sαβ(ω) =
1
2i
(
Γαβ − Γ†αβ
)
(1.36)
γαβ(ω) =
1
2
(
Γαβ + Γ
†
αβ
)
(1.37)
HLS =
∑
ω
∑
αβ
Sαβ(ω)A
†
α(ω)Aβ(ω) (1.38)
D(ρ̂s(t)) =
∑
ω
∑
αβ
γαβ(ω)
(
Aβ(ω) ρ̂sA
†
α(ω) +
1
2
{A†α(ω)Aβ(ω), ρ̂s}
)
(1.39)
1.2.3. Ejemplo
Un ejemplo de un sistema cuántico abierto es un sistema de dos niveles acoplado a un baño de
osciladores armónicos. Para este caso el hamiltoniano del sistema es:
H =
ω0
2
σz +
∑
ω
ωaωa
†
ω +
∑
ω
g(ω)(σ+aω + σ−a
†
ω) (1.40)
Donde ω0/2 es el valor propio del sistema cuántico. Para conseguir la ecuación de la evolución
temporal de la matriz densidad hay que encontrar los valores de HLS y γαβ , a partir de la ecua-
ciones (1.37,1.38). Para este caso se considerara que γαβ = δαβγα y Sαβ = δαβSα. De esta
manera utilizando la parte real de (1.34), se obtiene:
2γα(ω) = Γα(ω) + Γα(ω)
† =
∫ ∞
−∞
dseiωs 〈B†α(s)Bα〉 (1.41)
Ahora bien, se define que el baño térmico solo tiene un espectro de frecuencia finito por lo
que tiene una máxima frecuencia. De esta manera se puede modificar la integral de la siguiente
manera [9]:
Sistemas Cuánticos 10
γα(ω) =
∫ ∞
−∞
dseiωs Tr[B†α(s)BαρB] =
∫ ωmax
−ωmax
dω′
∫ ∞
−∞
dsei(ω−ω
′)s Tr[B†α(s)Bα]
γα(ω) = 2πTr[B
†
α(ω)BαρB] (1.42)
Finalmente, como los operadores del baño están descritos por operadores creación y destrucción
del oscilador armónico, se obtiene que la función γα(ω) tiene la forma:
γα(ω) =
π
2
g(ω)
∫ ∞
0
dω′g(ω′) Tr[a†ωaω′ρB] =
π
2
g(ω)2(nB(ω) + 1) (1.43)
Donde g(ω)2 es la densidad espectral del baño y nB(ω) es el número de ocupación bosonico.
Esto solo considera una de las transiciones posibles (emisión), falta considerar la otra transición
(absorción). Para realizar se deben cambiar los operadores de aniquilación por operadores de
creación y los operadores de creación por operadores de aniquilación. Haciendo uso de esto se
obtiene que:
γα(−ω) =
π
2
g(ω)
∫ ∞
0
dω′g(ω′) Tr[aωa
†
ω′ρB] =
π
2
g(ω)2nB(ω) (1.44)
De igual manera se puede calcular Sα(ω) y se obtendrán dos términos de corrección del ha-
miltoniano. Adicionalmente, se asume que solo hay una transición posible. De esta manera la
derivada de la matriz densidad será:
d ρ̂(t)
dt
= −i
[
ω0 + ∆
2
σz, ρ̂(t)
]
+
πg(ω0)
2
2
nB(ω)
(
σ+ ρ̂(t)σ− −
1
2
{σ−σ+, ρ̂(t)}
)
+
πg(ω0)
2
2
(nB(ω) + 1)
(
σ− ρ̂(t)σ+ −
1
2
{σ+σ−, ρ̂(t)}
)
(1.45)
Se puede ver que la ecuación (1.45) tiene la forma de la ecuación de Lindblad (1.35).
1.3. Evolución estocástica de un sistema cuántico abierto
Es importante tener en cuenta que los sistemas cuánticos abiertos pueden ser simulados por
medio de simulaciones estocásticas. Supóngase que se tiene un sistema cuántico abierto de dos
niveles a temperatura cero con una base descrita por |e〉 |g〉, acoplado a un láser monocromático
Sistemas Cuánticos 11
y el sistema está en contacto con un baño de osciladores armónicos. El hamiltoniano está dado
por:
H = −δ |e〉 〈e|+ Ω
2
σx (1.46)
Donde δ es la diferencia de frecuencias entre el láser y el sistema y Ω es la frecuencia de Rabí.
Se asumirá que el sistema está en resonancia y de esta manera δ = 0.
En [10], se muestra un método para solucionar la ecuación diferencial a partir de evoluciones es-
tocásticas a temperatura cero (solo emisión espontanea), además los intervalos de tiempo deben
ser lo suficientemente pequeños para que solo ocurra un salto. El funcionamiento del método es
el siguiente:
1. Se asigna un estado inicial y se calcula la probabilidad de transición.
2. Se obtiene un número de una distribución uniforme aleatoria entre 0 y 1, se compara con
la probabilidad de transición.
3. En caso de que el número aleatorio sea mayor que la probabilidad, el estado evoluciona a
partir de la ecuación (1.48). Sino ocurre un salto y vuelve al estado inicial (1.49).
4. Avanzar un paso de tiempo y repetir desde el paso 2, hasta haber recorrido un tiempo T.
|ψ(t)〉 = ae(t) |e〉+ ag(t) |g〉 (1.47)
|ψ(t+ dt)〉1 = (1− idtĤ ′) |ψ(t)〉 (1.48)
|ψ(t+ dt)〉2 = |g〉 (1.49)
H ′ = H0 − i
Γσ+σ−dt
2
(1.50)
Para tener en cuenta la evolución no unitaria del sistema, se utiliza un hamiltoniano complejo con
un término de decaimiento. La ecuación (1.50) describe este comportamiento que esta tenido
en cuenta en la simulación. Finalmente se debe tener en cuenta que la evolución dada por la
ecuación (1.48) tiene una probabilidad de ocurrencia de 1− δp, donde δp(t) = Γdt|ae(t)|2, por
lo que se debe normalizar la ecuación (1.48) por un factor µ = (1 − δp)−1/2. Es importante
tener en cuenta que Γ de este problema está relacionado con γαβ de la ecuación (1.37).
La grafica (1.1) muestra cual es el resultado de la simulación estocástica con respecto a la solu-
ción de la ecuación diferencial.
Sistemas Cuánticos 12
Figura 1.1: Probabilidad del estado excitado con Ω = 3Γ
1.3.1. Comparación método estocástico y ecuación de Lindblad
Es importante ver que la ecuación de Lindblad (1.35) y este método estocástico converjan al
mismo resultado. Para esto se puede crear una matriz densidad en un tiempo t + dt con las
ecuaciones (1.48,1.49). De la ecuación (1.1) podemos decir que las ecuaciones (1.48,1.49) con-
forman un ensamble estadístico con probabilidades δp y (1 − δp) y solo se tiene en cuenta los
términos de primer orden en dt, de esta manera la matriz densidad será:
ρ̂(t+ dt) = (1− δp)µ2(1− iΓdtĤ ′) |ψ(t)〉 〈ψ(t)| (1 + iΓdtĤ ′†) + δp |g〉 〈g|
≈ ρ̂(t)− idt[H, ρ̂(t)]− Γdt
2
(σ+σ− ρ̂(t) + σ+ ρ̂(t)σ−)
+Γdt|ae(t)|2 |g〉 〈g|
≈ ρ̂(t)− idt[H, ρ̂(t)]− Γdt
2
{σ+σ−, ρ̂(t)}+ Γdtσ− ρ̂(t)σ+
d ρ̂(t)
dt
≈ −i[H, ρ̂(t)] + Γ
(
σ− ρ̂(t)σ+ −
1
2
{σ+σ−, ρ̂(t)}
)
(1.51)
Con el resultado obtenido en la ecuación (1.51) se puede observar que este método estocástico
tiende a ser aproximadamente igual a la ecuación diferencial del sistema (1.35). Las únicas con-
sideraciones que se deben tener en cuenta para el correcto funcionamiento es que los intervalos
de tiempo tienen que ser lo suficientemente pequeños para que exista la posibilidad de solo un
salto cuántico en ese intervalo de tiempo y el aumento de las iteraciones podrán mostrar un
mejor resultado.
Sistemas Cuánticos 13
Es importante notar que el método estocástico no solo sirve para una única transición sino que
puede generalizarse para un sistema de N niveles con M saltos posibles interactuando con di-
ferentes baños térmicos. Por este motivo, resulta tan importante el hecho de poder plantear un
problema de esta manera, ya que se tiene la certeza que el resultado en promedio va ser el mismo.
Capítulo 2
Termodinámica Cuántica
En el mundo macroscópico se conoce bien como es el funcionamiento de las leyes termodi-
námicas y como estas describen el funcionamiento de las maquinas térmicas. Sin embargo, es
importante notar como estas leyes se modifican al pasar a un régimen cuántico.
2.1. Leyes Termodinámicas
Debido a las relaciones de incertidumbre cuánticas, al realizar varias mediciones sobre algún
observable cuántico, los valores obtenidos no serán siempre iguales. Sin embargo la informaciónmás precisa que se puede obtener es el valor esperado de estos sistemas.
De esta manera se puede calcular un análogo a la primera ley de la termodinámica.
E(t) = 〈Ĥ(t)〉 = Tr[ρ̂(t)Ĥ(t)] (2.1)
Derivando esta expresión con respecto al tiempo se obtiene:
dE(t)
dt
= Tr
[
d ρ̂(t)
dt
Ĥ(t)
]
+ Tr
[
ρ̂(t)
dĤ(t)
dt
]
dE(t) = dQ(t) + dW (t)
14
Termodinámica Cuántica 15
La explicación de estas cantidades es interesante debido a que proporcionan información im-
portante en el funcionamiento de una máquina cuántica. Se define de esta manera las cantidades
termodinámicas de la forma [11]:
Q(t) =
∫ t
0
Tr
[
d ρ̂(t)
dt
Ĥ(t)
]
dt (2.2)
W (t) =
∫ t
0
Tr
[
ρ̂(t)
dĤ(t)
dt
]
dt (2.3)
El calor Q(t) en este régimen es el cambio de las probabilidades del sistema a lo largo de un
tiempo determinado. Es decir, que el flujo de calor determina los estados más probables de la
máquina cuántica. Por otro lado, el trabajo W (t) se puede ver como el valor esperado de la
derivada temporal del hamiltoniano, es decir, que indica en promedio cuanto va a cambiar la
energía del sistema en cierto tiempo.
Adicionalmente, si se usa el operador Lindbladiano para un sistema cuántico abierto sobre un
operador en la representación de Heisenberg se obtiene la ecuación:
dÔ
dt
= L∗Ô = i
~
[Ĥs, Ô(t)] +
∑
k
(
AkÔA
†
k −
1
2
{AkA†k, Ô}
)
+
∂ ˆO(t)
∂t
(2.4)
De esta manera, si se calcula el valor esperado de la energía del sistema, se obtiene[3]:
dEs
dt
=
〈
∂Ĥs
∂t
〉
+ 〈D(ρ̂s)〉 =
〈
∂Ĥs
∂t
〉
+
∑
j
Ji (2.5)
A partir de esto se puede ver cuáles son las fuentes que cambian la energía promedio del sis-
tema. Por un lado el mismo sistema produce cierto cambio en la energía promedio. Esto será
la potencia P̃ (2.6) que produce el sistema. Además la interacción con el ambiente produce un
flujo de energía que serían las corrientes térmicas Ji (2.7) del sistema.
P̃ =
〈
∂Ĥs
∂t
〉
(2.6)
Ji =
(
AiĤsA
†
i −
1
2
{AiA†i , Ĥs}
)
(2.7)
Termodinámica Cuántica 16
El problema de definir estas funciones a partir de un operador L es que no es único [3]. Por otro
lado a partir de la matriz densidad se puede definir la entropía von-Neumann del sistema:
S = −Tr[ρ̂ log ρ̂] (2.8)
Se puede formular una segunda ley a partir de la desigualdad de Spohn [3] y teniendo en cuenta
que ningún proceso puede transferir calor desde un cuerpo demenor temperatura a uno demayor
temperatura . En este formalismo se usa la matriz densidad en estado estable ρ̂ss y las corrientes
térmicas J i con T i.
Tr[L ρ̂(log ρ̂− log ρ̂ss)] ≤ 0 (2.9)
dS
dt
−
∑
j
J j
Tj
≥ 0 (2.10)
2.2. Ciclos Termodinámicos
A partir de las leyes termodinámicas se puede estudiar el funcionamiento de ciclos a partir de
variaciones en la energía y/o las poblaciones del sistema cuántico.
Un sistema que es fácil de estudiar es un Qubit. En este caso sacar la energía promedio del
sistema es fácil. Supóngase que se tiene un sistema con dos posibles espines con energías ±~ω
2
y asumiendo que en equilibrio la probabilidad de encontrar alguno de los estados va estar dada
por la probabilidad en el ensamble canónico P+ y P−.
De esta manera se tiene que la energía promedio es:
Es =
~ω
2
P+ −
~ω
2
P− = ~ωP (2.11)
P = P+ − P−
2
=
1
2
e−β~ω/2 − eβ~ω/2
e−β~ω/2 + eβ~ω/2
= −1
2
Tanh
(
β~ω
2
)
(2.12)
Donde P se define como la polarización. En este caso se puede ver que existe una relación 1 a
1 de la polarización y la temperatura del sistema (β = 1/kT ) [12].
Si se deriva la ecuación de la energía promedio se obtiene la siguiente ecuación.
Termodinámica Cuántica 17
dEs = ωdP + Pdω = dQ+ dW (2.13)
De esta manera se puede calcular los valores esperados del trabajo y del calor de la máquina
térmica en un ciclo en específico. Es importante notar que si se tiene el sistema acotado por dos
temperaturas, una alta y otra baja, se tiene acotada la polarización del sistema, por este motivo
se tiene que:
Ph > Pc
ωc
Tc
>
ωh
Th
1− ωc
Tc
< 1− ωh
Th
1− ωc
ωh
< 1− Tc
Th
De esta manera se puede ver que la relación de las energías del proceso está acotada por la
eficiencia de Carnot de una máquina térmica clásica. De igual manera se puede ver cuál es el
intercambio de calor y el trabajo realizado por la máquina.
Finalmente se puede estudiar un ciclo termodinámico y revisar las cantidades que salen de cada
proceso. Adicionalmente, se asume que existe un término de fricción que aumenta la polariza-
ción del sistema que será inversamente proporcional al tiempo de la transición del proceso y se
debe hacer un trabajo en contra de esta fricción para que el proceso se mantenga adiabático. La
siguiente tabla muestra el calor y el trabajo del sistema[12]. El ciclo que se realiza consiste en
dos procesos adiabáticos (1a,2a) y dos procesos de cambio de energía base del sistema(1e,2e).
Proceso Calor Trabajo
1e ωb(S1 − S2) 0
1a 0 (ωa − ωb)[P1 + σ
2
2τa
] + [σ2 ωa+ωb
2τa
]
2e ωa(S2 − S1) 0
2a 0 (ωb − ωa)[P2 + σ
2
2τb
] + [σ2 ωa+ωb
2τb
]
2.3. Máquinas Termodinámicas
Habiendo estudiado las diferentes leyes termodinámicas cuánticas se puede proceder al entendi-
miento de diferentes máquinas térmicas cuánticas. Se pueden analizar sistemas de refrigeradores
o máquinas de calor cuántica.
Termodinámica Cuántica 18
2.3.1. Refrigerador de 2 Qubits
Se puede estudiar el funcionamiento de un refrigerador cuántico a partir del uso de 2 Qubits,
donde uno de estos se enfría (el sistema con sub índice 1).
Para esto se conecta el sistema a tres reservorios térmicos: caliente, frio y de disipación cada
uno con temperatura Tj (donde j ∈ {c, h, d}), donde los reservorios caliente y de disipación
están conectados a ambos Qubits y el reservorio frio solo al primer Qubit. El hamiltoniano del
sistema se expresa de la siguiente manera:
H0 = E1 |11〉 〈11| ⊗ 12 + 11 ⊗ E2 |12〉 〈12| (2.14)
La única condición que se debe establecer es queE1 < E2. El funcionamiento de la máquina va
estar dada por cuatro procesos donde existen intercambios de calor del sistema con los baños.
Por facilidad se notara el estado cuántico total del refrigerador como: |ψ〉 = |n1〉 |n2〉 = |n1n2〉,
donde ni = {0, 1}. Adicionalmente la energía asociada a la interacción de los baños será:
Ec = E1
Eh = E2 − E1
Es = E2 + E1
Donde Ec es la energía asociada al baño frio, Eh es la energía asociada al baño caliente y Es es
la energía asociada al baño de disipación. El funcionamiento de la máquina térmica estará dada
por:
1. El sistema absorbe energía del reservorio frio. |00〉 → |10〉
2. El sistema absorbe energía del reservorio caliente. |10〉 → |01〉
3. El sistema absorbe energía del reservorio frio. |01〉 → |11〉
4. El sistema disipa energía en el reservorio de disipación. |11〉 → |00〉
En [5] se muestra como es el funcionamiento completo para un reservorio de Qubits y de oscila-
dores armónicos, el resultado es similar y determina que la eficiencia de la máquina está acotada
por la eficiencia de Carnot y que para lograrla el sistema debe tener la misma temperatura que el
Termodinámica Cuántica 19
reservorio frio. Adicionalmente muestran una forma más sencilla de calcular esta información
a partir de leyes termodinámicas.
En primera instancia es importante verificar que la dirección del ciclo es la establecida y no al
contrario, lo cual significaría que el sistema no estaría enfriándose, para esto se hace uso de la
segunda ley de la termodinámica. De esta manera se ven los flujos de calor desde los reservorios
al sistema.
Qi = ∆PiEi (2.15)
∆S = −2βcE1 +−βh(E2 − E1) + βr(E1 + E2) ≥ 0 (2.16)
βv =
βr(E2 + E1)− βh(E2 − E1)
2E1
≥ βc (2.17)
Donde βv se refiere a la temperatura virtual del sistema y esta puede ser menor o igual que la
temperatura del reservorio frio. Si la temperatura del sistema está a la misma temperatura del
reservorio frio el proceso es reversible.
Capítulo 3
Demonio de Maxwell Cuántico
Se conoce las diferentes propiedades de la termodinámica en los sistemas clásicos. Sin embargo,
muchos de estos fenómenos son afectados por fluctuaciones a niveles cuánticos, de esta manera
se puedenestimar observables cuánticos que dan información sobre estos sistemas. Uno de
los temas interesantes de la termodinámica clásica, es el demonio de Maxwell. Este tipo de
fenómeno se puede estudiar en el régimen cuántico.
Este estilo de maquina intercambia información por calor manteniendo la segunda ley de la
termodinámica valida. Para el caso cuántico, estamáquina a partir de su ciclo de funcionamiento,
adquiere un estado que posteriormente puede ser utilizado. La información obtenida puede servir
para extraer trabajo de un baño térmico [13].
3.1. Demonio de Maxwell de dos niveles
Un caso de un demonio de Maxwell cuántico se muestra en este trabajo [14], en el cual a partir
de un sistema de dos niveles se modela un demonio de Maxwell teórico. El funcionamiento de
esta máquina es el siguiente:
1. Se parte con una diferencia de energía ∆Ea, que se disminuye con una tasa constante τ1
hasta obtener una diferencia de energía ∆E0.
2. Se realiza una medición sobre el sistema y se determina en cuál de los dos niveles ter-
mina el estado cuántico. Si el estado se encuentra en el estado excitado, se extrae trabajo
cambiando al estado base. De lo contrario se deja el estado en el mismo estado.
20
Demonio de Maxwell Cuántico 21
3. Se retorna a la diferencia de energía inicial a una tasa constante τ2 procurando mantener
el sistema en el nivel base.
Se deben tener unas consideraciones para el funcionamiento correcto de este sistema. Como el
sistema está en contacto con un sistema a una temperatura T, la diferencia de energías inicial
debe ser lo suficientemente grande para que el sistema tenga entropía cero en el estado base
[14].
Adicionalmente, el tiempo τ1 debe ser lento para permitir fluctuaciones entre los estados cuán-
ticos del sistema. Por el contrario, el tiempo τ2 debe ser más rápido para evitar la interacción
con el baño térmico, pero no puede ser demasiado rápida debido a que generaría una población
finita en el estado excitado de energía [14] por transiciones Landau-Zener.
3.2. Transiciones Landau-Zener
Para entender mejor el funcionamiento de este demonio de Maxwell es necesario estudiar las
dinámicas producidas por efectos Landau-Zener. Las transiciones Landau-Zener se obtienen
cuando el sistema tiene un hamiltoniano que depende del tiempo. Este hamiltoniano es similar
al Hamiltoniano usado en 1.46 y se puede describir de la siguiente manera [15, 16]:
H(t) = −∆σx − σzαt = −
[
αt ∆
∆ −αt
]
(3.1)
Los elementos no diagonales pueden ser asociados a un campo externo que se le aplique al
sistema y varié en el tiempo. Adicionalmente se puede realizar una rotación sobre el hamilto-
niano para tener la dependencia temporal fuera de la diagonal. De esta manera si uno realiza
una operación unitaria sobre el hamiltoniano [16], se obtiene:
H ′(t) = e−i
π
4
σyH(t)ei
π
4
σy = −∆σz + αtσx (3.2)
A partir del hamiltoniano (3.1), se pueden determinar los valores propios y los estados propios
del sistema [16].
Demonio de Maxwell Cuántico 22
E±(t) = ±
√
(αt)2 + ∆2 (3.3)
|ψ±〉 = β∓ |+〉 ∓ β± |−〉 (3.4)
β± =
√
E(t)2 + (αt)2
2E(t)
(3.5)
De esta manera, se puede analizar el comportamiento de la probabilidad en alguna base, la de los
valores propios de σz o los valores propios del hamiltoniano (3.1). La siguiente grafica muestra
la evolución de la probabilidad en la base de σz. De aquí se puede ver que cuando el sistema
llega a t = 0 las probabilidades cambian de valor y oscilan a un valor determinado. En este caso
se asume que el estado inicial está en el estado de alta energía.
Figura 3.1: Cambio de probabilidad para ∆ = 1 y α = 1
Figura 3.2: Valores propios de energía del hamiltoniano (3.1)
Demonio de Maxwell Cuántico 23
De ambas graficas se puede observar como al tener una diferencia de energía pequeña se puede
tener oscilaciones en la probabilidad del estado excitado. Debido a esto el efecto Landau-Zener
debe ser tenido en cuenta para el funcionamiento del demonio de Maxwell.
3.3. Modelamiento
A partir de un sistema de dos niveles se puede modelar un demonio de Maxwell cuántico [14],
donde se tiene un Hamiltoniano dependiente del tiempo y se utiliza la base instantánea del
Hamiltoniano. Adicionalmente se plantea que el Hamiltoniano depende de un parámetro q(t)
que su derivada es constante y en un principio toma valor de −1
2
y al final es 0.
El funcionamiento del demonio de Maxwell consiste en tres fases [17]: medición, operación
condicional y extracción de trabajo. En este caso el Qubit empieza en el estado base (|g〉)con
una energía de separación igual a∆Ea y se disminuye a una tasa constante q̇ hasta un valor∆E0.
Esta tasa debe ser pequeña para permitir oscilaciones entre los estados cuánticos del sistema, de
manera que la probabilidad del estado excitado (|e〉) sea diferente de cero.
Finalizando este ciclo se realiza una medición de energía del sistema. En caso de estar en el
nivel bajo, se deja el sistema en este estado bajo, de lo contrario, se cambia el nivel del Qubit.
De aquí se extrae el trabajo del sistema.
Finalmente se quiere pasar de nuevo al estado inicial del sistema, pero ahora se desea que la
probabilidad del sistema no oscile y se mantenga en el estado base (Proceso adiabático). La tasa
que se debe usar debe ser rápida para evitar transiciones debidas al baño térmico, pero a su vez
lenta para evitar transiciones Landau-Zener.
El sistema descrito tendrá un Hamiltoniano dado por:
H0 = ∆E(t) |e〉 〈e| (3.6)
Donde ∆E(t) = 2∆Ea
√
q(t)2 + �2 y � = ∆Ea
2∆E0
. Adicionalmente se asume que se tiene un baño
de osciladores armónicos interactuando con energía ~Ω
2
σy (Ω = �q(t)2+�2 ) y se asumirá que la
densidad espectral será proporcional a la energía del sistema. De esta manera se puede definir
en imagen de interacción el Lindbladiano del sistema como:
Demonio de Maxwell Cuántico 24
d ρ̂(t)
dt
= − i
~
[H, ρ̂(t)] +
g2∆E(t)
~
nB(∆E(t))
(
σ+ ρ̂(t)σ− −
1
2
{σ−σ+, ρ̂(t)}
)
+
g2∆E(t)
~
(nB(∆E(t)) + 1)
(
σ− ρ̂(t)σ+ −
1
2
{σ+σ−, ρ̂(t)}
)
Se vuelve a escribir la ecuación introduciendo los términos Γ↓ y Γ↑ que está asociado a las tasas
de relajación y excitación del Qubit.
d ρ̂(t)
dt
= − i
~
[H, ρ̂(t)] + Γ↓
(
σ+ ρ̂(t)σ− −
1
2
{σ−σ+, ρ̂(t)}
)
+ Γ↑
(
σ− ρ̂(t)σ+ −
1
2
{σ+σ−, ρ̂(t)}
)
(3.7)
H =
~Ω
2
(
−ie
i
~
∫ t
0 ∆E(t
′)dt′ |e〉 〈g|+ ie−
i
~
∫ t
0 ∆E(t
′)dt′ |g〉 〈e|
)
(3.8)
Finalmente para demostrar el funcionamiento del demonio de Maxwell es necesario ver el com-
portamiento del calor en la primer parte del ciclo termodinámico. Se realiza la siguiente para-
metrización para realizar las simulaciones v = ~q̇
∆Ea
, donde v es un parámetro adimensional que
describe la tasa de cambio de la energía del sistema. Para calcular el calor del sistema se parte
de la definición de (2.2) y con un menos adicional por la definición utilizada en [14] se obtiene:
Q = −
∫ τ
0
Tr[ ˙̂ρH(t)]dt = −
∫ τ
0
ρ̇ee∆E(t)dt =
∫ τ
0
ρ̇gg∆E(t)dt (3.9)
De la gráfica (3.3), se puede observar que el calor siempre es negativo. De estamanera se observa
que el cambio de entropía tiende a disminuir para cualquier velocidad y aplicando un pulso de
baja energía (ejerciendo poco trabajo ∆E0 pequeño).
Se puede verificar la cota del funcionamiento del sistema a partir de la ecuación diferencial y
suponiendo que el tiempo que se demora el sistema en hacer la transición es muy grande (q̂ � 1)
de esta manera la ecuación de Lindblad se puede escribir como:
ρ̇gg = −(Γ↑ + Γ↓)ρgg + Γ↑ (3.10)
Demonio de Maxwell Cuántico 25
Figura 3.3: Calor promedio para diferentes valores v.
De esta manera en estado estacionario:
ρgg =
1
1 + e−β∆E(t)
(3.11)
Finalmente introduciendo (3.11) en (3.9), se obtiene que el calor promedio es:
〈Q〉 = − 1
β
log
(
1 + eβ∆E0
1 + eβ∆Ea
)
− ∆Ea
1 + e−β∆Ea
+
∆E0
1 + e−β∆E0
(3.12)
Para verificar que el trabajo ejercido es menor que el calor del sistema. Se calcula el trabajo
promedio del pulso y se resta con el calor del sistema. El trabajo que se ejerce va a ser cero
cuando el sistema está en el estado base, por otro lado si el sistema está enel estado excitado se
ejerce un trabajo de −∆E0. De esta manera el trabajo promedio es:
〈W 〉 = −ρee∆E0 = −
∆E0
1 + eβ∆E0
(3.13)
Se puede notar que el trabajo que se realiza es negativo. Para verificar el funcionamiento se
aplican las siguiente condición a la ecuación (3.12), asumir que β∆Ea � 1.
〈W 〉 − 〈Q〉 = 1
β
log(1 + e−β∆E0) > 0 (3.14)
Sabiendo que el calor y el trabajo son negativos se puede ver que el calor extraído del sistema
es mayor que el trabajo extraído del sistema por lo que la entropía se reduce con esta máquina.
Demonio de Maxwell Cuántico 26
3.3.1. Aplicación Experimental
Este tipo demáquinas es bastante interesante debido a que parece que violara la segunda ley de la
termodinámica, pero a partir de información obtenida no lo hace y por eso una implementación
experimental sería interesante.
A continuación se expondrán dos implementaciones de demonios de Maxwell. En [17] se mues-
tra un modelo de una máquina que puede ser implementada experimentalmente a partir de fo-
tones y en [18] una máquina que funciona a partir de dos islas metálicas conectadas por una
juntura túnel.
El funcionamiento del primer sistema es bastante sencillo. Se tienen dos Beam-splitters y dos
fuentes de fotones de luz térmica que pasan por estos. Los Beam-splitters tienen una trasmitancia
alta por lo que se puede reflejar un fotón del haz principal. Este fotón que se separó ira a un
detector de fotones. A partir de la medición del sistema se puede cambiar los modos de la luz
térmica, para que en promedio un haz tenga más energía que el otro.
Este sistema se conecta a un sistema de dos diodos conectados en serie con polarización opuesta.
Estos se conectan en serie a un capacitor que puede almacenar carga que puede ser utilizada para
realizar un trabajo. De esta manera si se detecta un fotón en solo uno de los fotodectectores y
se retroalimenta en la selección de modos, la energía acumulada promedio en el capacitor es
diferente de cero.
Figura 3.4: Demonio de Maxwell fotónico. Imagen tomada de [17].
El otro mecanismo funciona a partir del voltaje Gate de la juntura. Las islas metálicas están
conectadas a electrodos que tienen un gas de electrones con un número alto de electrones y el
parámetro que se manipula es la configuración de carga en las islas, que es obtenida cuando una
isla tiene un electrón extra. Esto se controla cuando el parámetro carga offset del Gate ng es un
medio.
Demonio de Maxwell Cuántico 27
Figura 3.5: Demonio de Maxwell a partir de juntura túnel. Imagen tomada de [18].
Inicialmente, se mide si en alguna de las islas se almacena un electrón, cuando se observa esto
se aumenta instantáneamente el potencial para evitar un salto del electrón al otro espacio, de-
pendiendo de la medición el parámetro ng se vuelve 0 o 1. Finalmente se devuelve el parámetro
ng a su valor inicial lentamente extrayendo trabajo del sistema. El calor transferido al sistema,
se da por medio de eventos de tune amiento de electrones.
Se puede observar que el modelamiento teórico del segundo sistema puede ser muy similar
al demonio de Maxwell estudiado en este documento, por lo que se puede ver que es posible
implementar este esquema en un experimento.
Ambos sistemas muestran como a partir de información se puede extraer trabajo que puede ser
utilizado posteriormente. Es interesante ver que diferentes esquemas experimentales puedan dar
evidencia del mismo fenómeno físico. Igualmente se puede ver que estos experimentos dan una
plataforma para el estudio de termodinámica cuántica.
Capítulo 4
Conclusiones
A partir de este proyecto se puede ver las aplicaciones de los sistemas cuánticos abiertos a siste-
mas termodinámicos cuánticos. Adicionalmente se pudo observar que los formalismos descri-
tos en este documento pueden describir aproximadamente bien el comportamiento de cualquier
sistema cuántico. Cabe recordar que esto se logra bajo un marco de aproximaciones de Born-
Markov y se podría profundizar en la dinámica de sistemas cuánticos abiertos no Markovianos.
Se pudo observar como los principios de la mecánica cuántica modifican el entendimiento de
observables clásicos y un área como la termodinámica se redefine a partir de las definiciones de
estos formalismos. Al redefinir los observables para un régimen cuántico, se puede analizar el
las leyes de la termodinámica en el funcionamiento de máquinas cuánticas.
Adicionalmente, utilizando ambas ideas, se pueden mezclar para ver como es el funcionamiento
y evolución de una máquina termodinámica cuántica a partir de la evolución de su matriz den-
sidad y sus observables termodinámicos cuánticos. En especial se mostró en el funcionamiento
de un demonio de Maxwell cuántico.
Finalmente, es de gran interés ver que los sistemas cuánticos abiertos es un área amplia de aplica-
ciones que pueden utilizar cualquier sistema ya sea de fermiones y/o bosones para implementar
una máquina termodinámica cuántica.
28
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	Abstract (English)
	Abstract (Español)
	Introducción
	1 Sistemas Cuánticos 
	1.1 Matriz densidad
	1.1.1 Propiedades
	1.1.2 Imágenes de estados cuánticos
	1.2 Dinámica de un sistema cuántico abierto
	1.2.1 Evolución temporal
	1.2.2 Derivación microscópica
	1.2.3 Ejemplo
	1.3 Evolución estocástica de un sistema cuántico abierto
	1.3.1 Comparación método estocástico y ecuación de Lindblad
	2 Termodinámica Cuántica 
	2.1 Leyes Termodinámicas
	2.2 Ciclos Termodinámicos
	2.3 Máquinas Termodinámicas
	2.3.1 Refrigerador de 2 Qubits
	3 Demonio de Maxwell Cuántico
	3.1 Demonio de Maxwell de dos niveles
	3.2 Transiciones Landau-Zener
	3.3 Modelamiento
	3.3.1 Aplicación Experimental
	4 Conclusiones
	Bibliografía