445543750007

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Tecnología Química
ISSN: 0041-8420
revista.tec.quimica@fiq.uo.edu.cu
Universidad de Oriente
Cuba
Díaz García, Armando A.
BALANCES MICROSCÓPICOS DE ENERGIA CALORÍFICA EN COORDENADAS
CILÍNDRICAS APLICANDO ECUACIONES DISCRETAS OBTENIDAS EN UN VOLUMEN
DE CONTROL
Tecnología Química, vol. XXVI, núm. 2, mayo-agosto, 2006, pp. 53-63
Universidad de Oriente
Santiago de Cuba, Cuba
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TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 2006 53
BALANCES MICROSCÓPICOS DE ENERGIA CALORÍFICA
EN COORDENADAS CILÍNDRICAS APLICANDO
ECUACIONES DISCRETAS OBTENIDAS EN UN
VOLUMEN DE CONTROL
Armando A. Díaz García
Universidad de oriente
En el presente trabajo se expone un método para determinar numéricamente perfiles de temperatura
en un paralelepípedo utilizando diferencias finitas.
El método se basa en balances de energía calorífica en volúmenes de control para los distintos
sistemas de puntos en que se divide al modelo, utilizando diferencias finitas y sin utilizar ecuaciones
en derivadas parciales.
Se toma como modelo físico para desarrollar el método un cuerpo cilíndrico que se encuentra
inicialmente a una temperatura determinada y se introduce abruptamente en un fluido caliente
produciéndose un calentamiento gradual.
Se explica el método y se obtienen las ecuaciones que pueden ser utilizadas para predecir la
temperatura en algún punto del cilindro en cualquier tiempo deseado.
Palabras clave: balances de energía calorífica, ecuaciones discretas.
In the present work is exposed a method to determine profiles of temperature numerically in a
cylinder using finite differences.
The method is based on balances of heating energy in control volumes for the different systems of
points in that is divided to pattern using finite differences and without using equations in having
partial derivatives.
It is taken as physical model to develop the method a cylindrical body that is initially at a certain
temperature, and it is introduced abruptly in a hot fluid taking place a gradual heating.
The method is explained, and are obtained the equations that can be used to predict the temperature
in any point of the cylinder in any wanted time.
Key words: heating energy balances, discret equetions.
_____________________
Introducción
En un artículo de igual nombre, pero aplicado
a un sistema descrito en coordenadas rectangula-
res, publicado en esta misma revista, se dieron los
elementos básicos indispensables relacionados
con las diferencias finitas indispensables para
comprender cada uno de los pasos necesarios
para llevar a cabo el balance microscópico.
En este trabajo aplicaremos el método general
que permite, con conocimientos muy elementales
de álgebra y geometría, llevar a cabo balances
microscópicos de calor en un sistema cilíndrico
sometido a calentamiento o enfriamiento por
convección.
Generalidades
Para explicar el método utilizaremos un ejem-
plo basado en un modelo físico sencillo: un cilindro
homogéneo de longitud finita y propiedades físi-
cas constantes, sometido a calentamiento por
convección.
Supongamos un cuerpo sólido homogéneo en
forma cilíndrica de longitud 2L y radio R, que se
encuentra inicialmente a una temperatura T0 y
abruptamente (a partir de un tiempo t = 0) se
introduce en una masa de fluido a la temperatura
TEXT, constante, intercambiando calor por
convección. Consideremos que los coeficientes
de transferencia de calor en la película en toda la
superficie del sólido son conocidos y constantes,
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 200654
y se desea conocer la temperatura en cualquier
punto del cuerpo en un tiempo t.
Según las características especificadas, el ci-
lindro tendrá simetría tanto geométrica como
fenomenológica, y por lo tanto, sólo tendremos
que desarrollar las ecuaciones para describir la
mitad del cilindro en cuestión, tal como se muestra
en la figura 1.
Puntos bases del eje central: L(0,m).
Constituido por todos los puntos bases de la
línea central del cuerpo que intercambian calor
por conducción con dos puntos vecinos (ver
esquema en la figura 3).
Fig. 1 Cilindro sólido simétrico
expuesto a calentamiento por
convección.
Sistemas
Un sistema es, para los balances microscópi-
cos, el conjunto de puntos bases de la red que
pueden ser descritos por una misma ecuación
discreta. Para que distintos puntos bases formen
parte de un sistema, es necesario que tengan la
misma geometría e igual situación fenomenológica.
Para el caso que nos ocupa se pueden distinguir
los siguientes sistemas de puntos bases:
Puntos bases interiores: V(n,m)
Constituido por puntos bases que Intercambian
solo calor por conducción con cuatro puntos
vecinos (ver esquema en la figura 2).
Fig. 2 Esquema del sistema de puntos
bases interiores.
Fig. 3 Esquema del sistema de puntos
de bases del eje central.
Puntos bases de la superficie lateral: S(N,m).
Constituido por todos los puntos bases de la
superficie que intercambian calor por conduc-
ción con tres puntos vecinos y por convección
con un punto vecino ficticio (ver esquema en la
figura 4).
Fig. 4 Esquema del sistema de puntos
bases de la superficie exterior.
Puntos bases de la superficie inferior (fon-
do): S(N,m).
Constituido por todos los puntos bases de la
superficie inferior que intercambia calor por
conducción con tres puntos vecinos y por
convección con un punto vecino ficticio (ver
esquema en la figura 5).
L 
r 
Z 
TEX
TEXT 
 
 
pT 0,0
 
pT 0,1 
pT 0,1− 
p
mT 1,0 + 
p
mT 1,0 −
 
r 
p
mNT , 
p
mNT ,1− 
p
mNT 1, + 
p
mNT 1, − 
P(0,0)
 
TEX
T
p
mnT ,
 
p
mnT ,1+
 
p
mnT ,1−
 
p
mnT 1, + 
p
mnT 1, −
 
P(0,0) 
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 2006 55
Puntos bases de línea o borde: L(N,0)
Constituido por todos los puntos bases del
borde inferior de la superficie del fondo que
ocupan la geometría típica de una circunferen-
cia y que intercambian calor por conducción
con dos puntos vecinos y por convección con
dos puntos vecinos ficticios (ver esquema en la
figura 6).
Puntos vecinos
Puntos vecinos de los puntos bases interiores
Son los puntos interiores que se relacionan con
los puntos bases según se indica en la figura 2.
Observe que para todos los puntos interiores el
punto base tiene como puntos vecinos, los puntos
p
mnT ,1+ , 
p
mnT ,1− , 
p
mnT 1, + y 
p
mnT 1, − todos transfiriendo
calor por conducción.
Teniendo en cuenta que la transmisión de calor
por conducción queda definida por las relaciones:
 
( ) ( )
( ) ( )pmnpmnpmnpmnZ
p
mn
p
mn
p
mn
p
mnr
TT
Z
kTT
Z
kqc
TT
r
kTT
r
kqc
,1,,1,
,,1,,1
−
∆
+−
∆
=
−
∆
+−
∆
=
−+
−+
donde qc es la densidad de flujo de calor en los
ejes cooordenados especificados, y que el flujo de
calor es perpendicular a las superficies de trans-
ferencia, no habrá otros puntos vecinos
involucrados que no sean los geométricamente
perpendiculares al punto base.
Fig. 5 Esquema del sistema de puntos
bases de la superficie exterior
inferior (fondo).
Fig. 6 Esquema del sistema de puntos
bases del borde inferior (fondo).
Punto base de centro (punto central del fon-
do): P(0,0)
Es similar a los puntos bases del eje central
pero se diferencia en que presenta intercam-
bio térmico por convección con un punto veci-
no ficticio (ver esquema en la figura 7).
Fig. 7 Esquema del sistema de puntos
bases del centro enel fondo del eje
central.
p
nT 0, 
p
nT 0,1− 
p
nT 1, 
P(0,0) 
TEX
p
nT 0,1+ 
 
 
pT 0,0
 
pT 0,1
 
pT 0,1−
 
pT 1,0 
EXTT
 
r 
p
NT 0, 
p
NT 0,1− 
p
NT 1, 
P(0,0) 
TEX
EXTT 
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 200656
Puntos vecinos de los puntos bases de la
superficie lateral
Para un punto base en la superficie la relación
de los puntos vecinos se muestra en la figura 4. En
la misma se observa que a la derecha,en la
dirección r no existe cuerpo material, sino contac-
to con el fluido con el cual se establecerá la
tranferencia por convección
Los puntos bases, en este caso para todos los
puntos de la pared situados en el plano (N,m),
pueden ser representados de forma general según
la figura 4 por p mNT , , siendo los puntos vecinos en
contacto por conducción p mN
p
mN TT 1,1, ; −+ y 
p
mNT ,1− y
en contacto por convección con el punto vecino
ficticio TEXT. Observe que en este caso, todos los
puntos están en la posición (N,m) correspondien-
te a la pared situada en 
r
RN
∆
= de acuerdo con
la simetría. .
Puntos vecinos de los puntos bases de la
superficies inferior (fondo)
La relación con los puntos vecinos para un
punto base situado en la superficie inferior se
muestra en la figura 5. En la misma se observa
que hacia abajo, en la dirección -Z no existe
cuerpo material sino contacto con el fluido con el
cual se establecerá la tranferencia por convección.
Los puntos bases, en este caso para todos los
puntos de la pared situados en el plano (n,0),
pueden ser representados de forma general según
la figura 5 por pnT 0, , siendo los puntos vecinos en
contacto por conducción pn
p
n TT 0,11, ; − y 
p
nT 0,1+ y el
punto vecino ficticio en contacto por convección
TEXT.
Puntos vecinos de los puntos bases de linea
(bordes)
Los puntos que conforman el borde de la
superficie del fondo concuerdan también con un
sistema de puntos pues, presentan transferencia
de calor por convección por dos lados, y a su vez
presentan conducción de forma geométricamente
diferente de los de la superficie . De este modo,
teniendo en cuenta que el cuerpo presenta sime-
tría, habrá sólo un sistema de puntos para el borde,
el correspondiente al borde de la superficie del
fondo. En la figura 6 se muestra un esquema de la
distribución de los puntos vecinos en el borde
inferior del cilindro, observe que presenta dos
puntos vecinos por conducción y dos puntos veci-
nos ficticios en contacto por convección. El punto
base, en este caso para todos los puntos del borde
situados en la circunferencia L (n,0), viene dado
de forma general por el representado en la figura
6, pNT 0, siendo los puntos vecinos en contacto por
conducción pN
p
N TyT 1,0,1− .
Puntos vecinos de los puntos bases de linea
(eje central)
Los puntos bases del eje central se caracteri-
zan, al igual que los puntos interiores, por inter-
cambiar calor con cuatro puntos vecinos por
conducción (ver figura 3) con la diferencia que
todos los puntos vecinos en el radio presentan
simetría fenomenológica y geométrica, y por tan-
to son una misma variable, por lo que la ecuación
que los describe estará en función sólo de tres
puntos vecinos.
Puntos vecinos de centro (punto central
del fondo): P(0,0)
Son similares a los puntos vecinos de la super-
ficie del fondo pero se diferencia en que los
puntos vecinos radiales son simétricos, corres-
pondiendo a una misma variable discreta, por lo
que la ecuación que lo describe estará en función
sólo de tres puntos. El esquema de la distribución
de los puntos se muestra en la figura 7.
Balances de calor en el volumen de control
Balance de calor no estacionario
Para llevar a cabo el balance de calor no
estacionario en el volumen de control, tendremos
en cuenta que en cualquiera de los sistemas
analizados se cumple que:
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 2006 57
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
controldevolumen
delsaleque
calordeFlujo
controldevolumen
alentraque
calordeFlujo
calorde
flujodel
Variacion
 (1)
La variación del flujo de calor viene dada por la expresión:
 (2)( )
t
TTViCp
calorde
flujodel
Variación p
basepunto
p
basepunto
∆
−
⋅⋅⋅=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ +1
2
ρ
y el flujo de calor que entra o sale del volumen de
control es específico del punto base de que se trate.
Se toma la mitad del volumen de control teniendo en
cuenta que el flujo de calor se produce en todo el
volumen, y se supone que la acumulación ocurra en
la mitad del volumen de control y no en su totalidad.
Balance de calor en puntos interiores
Para el sistema de puntos bases interiores en
que sólo tiene lugar intercambio de calor por
conducción la ecuación de balance viene dada
por:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]pmnp mnpmnp mnZ
p
mn
p
mnrINT
p
mn
p
mnrEXT
TTTTA
Z
k
TTATTA
r
k
calorde
flujodel
Variación
,,1,,1
,,1,,1
−+−
∆
+
+−+−
∆
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−+
 (3)
donde ArINT, ArEXT y Az son las áreas de transferen-
cia del volumen de control perpendiculares a la
dirección del flujo, ya sea en r o en Z. Obsérvese de
la existencia de dos áreas en la dirección r, una
interna y otra externa. Esto es debido a que el área
en la dirección r es variable en un cilindro, siendo una
función del radio, por lo que posteriormente cuando
se analicen las áreas de transferencia habrá que
definir el valor de r donde se efectúa el balance.
Balance de calor en puntos bases de la
superficie
Para los puntos de la pared lateral, cuyos
puntos vecinos se muestran en la figura 4, en
los que tiene lugar transferencia de calor por
convección y conducción, la ecuación de ba-
lance será según el esquema mostrado en la
figura 4:
 (4)
( ) ( )
( ) ( )[ ]p mNp mNp mNp mNZ
p
mNEXTrEXT
p
mN
p
mNrINT
TTTTA
Z
k
TThATTA
r
k
calorde
flujodel
Variación
,1,,1,
,,,1
−+−
∆
+
+−+−
∆
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−
Balance de calor en puntos bases de la
superficie del fondo
Para los puntos del fondo del cilindro, cuyos
puntos vecinos se muestran en la figura 5, en los
que tiene lugar transferencia de calor por
convección y conducción, la ecuación de ba-
lance será, según el esquema mostrado en la
figura mencionada:
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 200658
Balance de calor en puntos bases del borde
Los puntos bases del borde se asemejan en
mucho a los puntos bases de la superficie del
fondo, pero se diferencian en que presentan dos
puntos vecinos ficticios ocupados por la tempera-
tura externa. En la figura 6 se muestra un esque-
ma para el sistema de puntos del borde en su
relación con los puntos vecinos.
( ) ( )[ ]
( ) ( )pnEXTZpnpnZ
p
n
p
nrINT
p
n
p
nrEXT
TThATTA
Z
k
TTATTA
r
k
calorde
flujodel
Variación
0,0,1,
0,0,10,0,1
−+−
∆
+
−+−
∆
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
 (6)
 Observe que hay dos puntos vecinos ficticios
descritos por la ecuación de convección.
Balance de calor en los puntos bases del eje
central
Los puntos bases del eje central se diferencian
de los puntos bases interiores en que en éstos
existen dos puntos simétricos alrededor del eje
que son descritos por una sola variable. De este
modo, según el esquema mostrado en la figura 3.
( ) ( )
( ) ( )pNEXTZpNpNZ
p
NEXTrEXT
p
N
p
NrINT
TThATTA
Z
k
TThATTA
r
k
calorde
flujodel
Variación
0,0,1,
0,0,0,1
−+−
∆
+
+−+−
∆
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
 (7)
Como los puntos vecinos p m
p
m TyT ,1,1 − son iguales y las áreas rINTArEXTA = la ecuación se puede escribir
de la siguiente manera:
 (8)( )[ ] ( ) ( )[ ]pmpmpmpmZpmpmrINT TTTTAZ
kTTA
r
k
calorde
flujodel
Variación
,01,0,01,0,0,1
2
−+−
∆
+−
∆
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜⎝
⎛
−+
Balance de calor en el punto base del
centro en el fondo
El balance de calor en el punto del centro del
área del fondo tiene mucha similitud con el
balance en la superficie del fondo, pero en este
caso existen dos puntos vecinos simétricos que
son representados por un solo punto. Para este
punto cuyo esquema se muestra en la figura 7.
( ) ( )[ ]
( ) ( )pEXTZppZ
pp
rINT
pp
rEXT
TThATTA
Z
k
TTATTA
r
k
calorde
flujodel
Variación
0,00,01,0
0,00,10,00,1
−+−
∆
−+−
∆
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 2006 59
Como pp TT 0,10,1 −= por simetría y las áreas son iguales ArINT = ArEXT, la ecuación se puede escribir de
la forma:
(9)( ) ( )⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−
∆
+−
∆
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
p
EXT
pp
Z
pp
rINT TThTTZ
kATTA
r
k
calorde
flujodel
Variación
0,00,01,00,00,12
Determinación de las áreas y el
volumen de control
El área de transferencia de calor del volumen
de control en el caso de las superficies cilíndricas,
tiene características singulares.
El área seccional AZ es constante siempre,
para el caso de la transferencia de calor cuando
se utilizan espacios discretos igualmente espacia-
dos, como es el ejemplo que tratamos.
El área lateral del cilindro Ar es función
del radio y se incrementa en la medida
que el radio crece según la ecuación:
2422 rnZrAZ ∆⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅= ππ , por lo que al
efectuar el balance de calor debe elegirse el área
que mejor represente el flujo global de transferen-
cia de calor, en el trabajo ( ) desarrollado para
discutir este aspecto se demostró que para coor-
denadas cilíndricas el balance debe desarrollarse
en el área anular intermedia del incremento, esto
es en el punto del ángulo 2
r∆
.
Áreas para el balance en los puntos interiores
Para el caso de los puntos interiores el área de
transferencia se determina de acuerdo con el
diagrama de la figura 2. El área de transferencia
se determina calculando el área del volumen de
control perpendicular al flujo de calor para todos
los casos es:
Teniendo en cuenta que rnr ∆⋅= y haciendo
 
El volumen de control será:
382 rnZAVi Z ∆⋅⋅⋅=∆⋅⋅= π
Áreas para el balance en puntos bases de la superficie
Para la superficie lateral según el esquema mostrado en la figura 4:
 ( )[ ]2222;2
2
2 rRRAyZRAZrRA ZrEXTrINT ∆−−=∆⋅⋅⋅=∆⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆−⋅= πππ
Como los incrementos son iguales y rNR ∆⋅=
 
 
El volumen de control será: ( )1222 −⋅=∆⋅⋅= NZAVi Z π
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆+=∆⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆+⋅=∆⋅⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆−⋅=
22
22
2
2
2;2
2
2 rrrrAyZrrAZrrA ZrEXTrINT πππ
( ) ( ) 222 4122;122 rnAyrnArnA ZrEXTrINT ∆⋅⋅⋅=∆⋅+⋅=∆⋅−⋅= πππ
 
( ) [ ] 222 124;12 rNAyrNArNA ZrEXTrINT ∆⋅−⋅=∆⋅⋅⋅=∆⋅−⋅= πππ
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 200660
Área para el balance en puntos bases de la superficie del fondo
Para los bordes, mostrado el ejemplo en la figura 5:
las cuales se pueden escribir de forma discreta:
El volumen de control será: 
 
 Para el resto de los puntos, las áreas se dan en la tabla 1.
( ) ( )[ ]222;
2
2;
2
2 rrrrAZrrAZrrA ZrEXTrINT ∆−−∆+=∆⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆+⋅=∆⋅⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ∆−⋅= πππ
[ ] ( ) 222 4;12;12 rnArnArnA ZrEXTrINT ∆⋅⋅⋅=∆⋅+⋅⋅=∆⋅−⋅= πππ
Tabla 1
Áreas de transferencia y volumen de los volúmenes
de control de los puntos bases en un cilindro
 32 rVdyrAd ∆⋅=∆⋅= ππ
 Puntos bases ArINT/Ad ArINT/Ad AZ/Ad Vi/Vd 
 
T(n,m) 2(2n-1) 2(2n+1) 4n 8n 
T(0,m) 2 2 1 2 
T(N,m) 2(2N-1) 4N (2N-1) 2(2N-1) 
T(n,0) (2n-1) (2n+1) 4n 4n 
T(N,0) (2N-1) 2N 2N-1 2 N-1 
 
T(0,0) 1 1 1 1 
 
Obtención de las ecuaciones
discretas
Ecuación discreta para los puntos base
interiores
Obtenidas las áreas de transferencia se
sustituyen en la ecuación (3) y este resultado
se sus t i tuye luego en la ecuación (2) ,
obteniéndose:
 (T
 la cual se puede escribir de la forma:
 (10)( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++⋅−= −+−+
+ p
qmn
p
mn
p
qmn
p
qmn
p
mn
p
qmn TTTn
T
n
FoTFoT ,1,1,,,1,,1,
1
,, 2
11
2
1141
donde Fo es el número adimensional de Fourier y
viene dado por:
 (11)
Ecuación discreta para los puntos bases de
superficie
Sustituyendo (2) en (4) y sustituyendo las
áreas por su valor dado en la tabla 1, se tiene:
2rCp
tkFo
∆⋅⋅
∆⋅
=
ρ
 
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=− −+−+
+ p
mn
p
mn
p
mn
p
mn
p
mn
p
mqn
p
qmn TTTTn
nT
n
nFoTT ,1,1,,1,1,
1
,, 42
12
2
12)
 
34 rnZAVi Z ∆⋅⋅⋅=∆⋅= π
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 2006 61
la cual se puede escribir de la forma:
donde Bio es el número adimensional de Biot y viene dado por:
 (13)
Balance de calor en puntos bases de la superficie del fondo
Sustituyendo (5) en (2) y sustituyendo las áreas por su valor dado en la tabla 1, se tiene:
la cual se escribe definitivamente de la forma:
 (14)
Procediendo de igual forma en todos los casos se obtiene:
Ecuación discreta para los puntos bases del borde
 (15)
Ecuación discreta para los puntos bases del eje central
 (16)
Ecuación discreta para el punto base del centro en el fondo
 (17)
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+++=− +−+−
+ 1
12
4
12
42 1,01,1,,1,
1
,
p
mEXT
p
mN
p
mN
p
mN
p
mN
p
mN TN
NBioFoT
N
NBioTTTFoTT
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+++++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+−= +−−
+
EXT
p
qm
p
mN
p
mN
p
mN
p
mN
p
mN TN
NBioTTTTFoT
N
NBioFoT
12
2
12
141 ,,01,1,,1,
1
,
k
rhBio ∆⋅=
( ) ( )BioFoTBioTn
nBioTT
n
n
FoTT EXT
p
n
p
N
p
np
n
p
n +−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅+
−
++
+
=− −++ 22
2
2
12
2
12
11,0,1
0,
1
0,
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
+++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
+−= −
+
EXT
p
N
p
N
p
N
p
N TN
NBioTTFoT
N
NBioFoT 1
12
221`
12
2221 1,0,10,
1
0,
( ) ( )11,011,0,1,01,0 461 +−+++ +++−= pmpmpmpmpm TTTFoTFoT
( )( ) ( )EXTpppp BioTTTFoTBioFoT ++++−=+ 1,00,10,010,0 2321
Las seis ecuaciones discretas obtenidas para
los diferentes sistemas de puntos bases deberán
ser aplicados en los puntos correspondientes a
 Variable Mínimo Máximo 
n 1 N-1 
.m 1 M 
sus límites superior en inferior. En el caso expues-
to de acuerdo con la simetría, todos los sistemas
de puntos bases tendrán las siguientes límites:
 
 
( )[ ] ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅++
−
+
+
++−= −+
+
EXT
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n TBioTTn
nT
n
nFoTBioFoT 22
2
12
2
12221 1,0,10,10,
1
0,
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 200662
Las ecuaciones se evalúan paso a paso par-
tiendo del valor de temperatura inicial conocida, y
actualizando las variables cada vez que se requie-
ra un nuevo cálculo.
Convergencia y estabilidad de las
ecuaciones discretas
 Las ecuaciones (10), (12), (14), (15), (16) y
(17) son ecuaciones en diferencias finitas explíci-
tas, las cuales deben cumplir condiciones de con-
vergencia y estabilidad.
Todas las ecuaciones obtenidas son del tipo:
y para que sean convergentes y estables los
coeficientes a1 deben cumplir las siguientes con-
diciones:
0.1 >ia Todos los coeficientes deben ser
positivos.
1.2 <ia Todos los coeficientes deben ser
menores que la unidad.
1.3 ≤∑ ia La suma de los coeficientes debe
ser igual o menor que la unidad.
Conclusiones
La conclusión fundamental de este trabajo
consiste en mostrar un método relativamente sen-
cillo, conel cual es posible obtener un sistema de
ecuaciones discretas que describa la distribución
de temperatura en un cuerpo en coordenadas
cilíndricas, sin otros requerimientos matemáticos
que simples conocimientos de geometría y álge-
bra elemental.
También pueden ser utilizadas para describir
los puntos bases en condiciones límites por
convección o con condiciones variables, en las
que no es posible obtener modelos matemáticos
analíticos.
Nomenclatura y unidades
A área de transferencia de calor (m2)
Ad área del circulo de radio ∆r (m2)
ArEXT área externa de intercambio de calor
en el volumen de control en la dirección r (m2)
ArINT área interna de intercambio de calor
en el volumen de control en la dirección r (m2)
AZ área de intercambio de calor en el
volumen de control en la dirección Z (m2)
Bio número adimensional de Biot.
Cp capacidad calorífica ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
°⋅ Ckg
kcal
Fo número de Fourier de transferencia
de calor por conducción (adimensional)
.h transferencia de calor en la interfase
sólido fluido ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
°⋅⋅ Cmh
kcal
2
.m número de iteraciones en dirección Z
M número total de intervalos en dirección Z
.k conductividad térmica ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
°⋅⋅ Cmh
kcal
N número total de intervalos de espacios
en dirección r
N número de iteración en dirección r
qc densidad de flujo de calor (kcal/h.m2)
TEXT temperatura del fluido circundante al
cuerpo (°C)
T temperatura (°C)
p
mnT , temperatura en un tiempo para t= p . ∆t
para el punto base de coordenadas (n,m)
Vd 3r∆⋅π (m3)
Vi dimensión de un elemento de volumen
de control (m3)
Z coordenada axial en dirección z (m)
ρρρρρ densidad (kg/m3)
CTaTaTaT pppp ++++⋅=+ .........332211
1
1
TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVI, No. 2, 2006 63
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