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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN Castilla-La Mancha
1. [2014] [EXT-A] a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x) = x-1
2x+2
.
Estudia si tiene puntos de inflexión.
b) ¿En qué puntos de la gráfica de f(x) la recta tengente es paralela a la recta y = x-2?
2. [2014] [EXT-B] Para la función f(x) = x2+x+1
a) Estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus extremos relativos.
b) Estudia si tiene asíntota oblicua cuando x  +.
3. [2014] [JUN-A] a) Calcula los valores de los parámetros a,b para que la función f(x) = x
2-2x+a si x  0
x2+bex+3 si x > 0
 sea continua y
derivable en x = 0.
b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 0.
4. [2014] [JUN-B] a) Calcula los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = 1+x2e-x2.
b) Calcula las asíntotas de f(x).
5. [2013] [EXT-A] a) Calcula el valor de a, a > 0, para que la función f(x) = 
ex-e-x
ax
si x < 0
2x+7
2x+1
x
si x  0
 sea continua en x = 0.
b) Calcula el límite lim
x+
f(x).
6. [2013] [EXT-B] a) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
b) Halla el punto de la gráfica de la función f(x) = x3+3x2+1 donde la recta tangente tiene pendiente mínima.
7. [2013] [JUN-A] a) Enuncia el teorema de Bolzano.
b) Razona que las gráficas de las funciones f(x) = 3x5-10x4+10x3+3 y g(x) = ex se cortan en algún punto con coordenada de
abscisa entre -1 y 0.
c) Calcula los puntos de inflexión de f(x).
8. [2013] [JUN-B] a) Calcula los valores de los parámetros a,b para que la función f(x) = ax
2+bx
x+1
 tenga como asíntota oblicua la
recta y = 2x+3.
b) Para los valores encontrados, escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisas x = 0.
9. [2012] [EXT-A] a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle.
b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas de la ecuación x5-5x+3 = 0.
c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres raíces reales distintas.
10. [2012] [EXT-B] Dada la función f(x) = ax
2+b
2x+6
, calcula los parámetros a, b   sabiendo que:
> f(x) tiene una asíntota oblicua de pendiente 2.
> f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0.
11. [2012] [JUN-A] Dada la función f(x) = x3+ax2+bx+c, calcula los parámetros a, b, c   sabiendo que la recta tangente a la
gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = -1 tiene de pendiente -3 y que f(x) tiene un punto de inflexión de coordenadas (1,2).
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12. [2012] [JUN-B] La concentración (en %) de nitrógeno de un compuesto viene dada, en función del tiempo, t[0,+) medido en
segundos, por la función N(t) = 60
1+2e-t
.
a ) Comprueba que la concentración de nitrógeno crece con el tiempo. ¿Para qué tiempo t[0,+) la concentración de nitrógeno es
mínima y cuál es esta concentración?
b ) ¿A qué valor tiende la concentración de nitrógeno cuando el tiempo tiende a infinito?
13. [2011] [EXT-A] a) Determina el valor del parámetro a para que la función f(x) = (x-a)ex tenga un mínimo relativo en x = 0.
Razona que, de hecho, es un mínimo absoluto.
b) Para el valor de a obtenido, calcula los puntos de inflexión de f(x).
14. [2011] [EXT-B] a) Enuncia el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle.
b) Demuestra que la ecuación ex+x7 = 0 tiene al menos una solución real.
c) Demuestra que, de hecho, dicha solución es única.
15. [2011] [JUN-A] Dda la función f(x) = 4x
2+3x+4
2x
, se pide:
a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(x).
b) Coordenadas de los máximos y mínimos relativos de f(x).
16. [2011] [JUN-B] En cierto experimento, la cantidad de agua en testado líquido C(t), medida en litros, está determinada en función
del tiempo t, medido en horas, por la expresión: C(t) = 2
3
 + 10t + 10
t
 + 240
t3
, t[1,10]. Halla cuál es la cantidad mínima de agua en
estado líquido y en qué instante de tiempo se obtiene, en el intervalo comprendido entre t = 1 hora y t = 10 horas.
17. [2010] [EXT-A] a) Denición de derivada de una función en un punto.
b) Dada la función f(x) = 
ax+senx
2x-x2
si x < 0
bx+c si 0  x < 1
1
1+x
si x  1
 , determina los parámetros a, b, c   para que f(x) sea una función continua en x
= 0, y además sea continua y derivable en x = 1.
18. [2010] [EXT-B] Dada la función definida por f(x) = 
3x 1 0
0 x 1
-1 0 x-6
 , se pide:
a) Halla su expresión polinómica simplicada calculando el determinante.
b) Calcula las coordenadas de su punto de inflexión y los intervalos en donde sea cóncava hacia arriba () y cóncava hacia abajo
().
19. [2010] [JUN-B] La velocidad de una partícula, medida en m/s, esta determinada en función del tiempo t  0, medido en segundos,
por la expresion v(t) = (t2+2t)e-t. Se pide:
a) ¿En qué instante de tiempo del intervalo [0,3] se alcanza la velocidad maxima?
b) Calcula lim
t
v(t), e interpreta el resultado obtenido.
20. [2009] [EXT] Un depósito cilíndrico construido sin la tapa superior tiene una capacidad de 27 m3. Determina cuánto miden el
radio de su base y su altura sabiendo que se ha construido de forma que su superficie sea mínima.
21. [2009] [JUN] Encuentra el punto de la recta x+y = 4 que cumpla que la suma de los cuadrados de sus coordenadas sea mínima.
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22. [2008] [EXT] Dadas las funciones f(x) = ln 1-x2 y g(x) = ln 1+x2 , se pide:
a) Determina el dominio de cada una de ellas.
b) Estudia si dichas funciones tienen puntos de inflexión.
23. [2008] [EXT] Determina los valores de los parámetros a,b para que la función f(x) = ax2+bx e-x tenga un extremo relativo
en el punto de abscisa x = 3 y además pase por el punto 1,- 1
e
. Halla la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de
abscisa x = 0.
24. [2008] [JUN] Calcular los siguientes límites:
a) lim
x0
x3-8x2+7x
x2-x
b) lim
x 
2
2x

 +cos(x)
1
cos(x)
25. [2008] [JUN] Definición de punto de inflexión de una función. Calcula el valor de los parámetros a,b para que la función
f(x) = x2-a ex+bx tenga un punto de inflexión en x = 0 y un mínimo relativo en x = 1.
26. [2007] [EXT] En agosto de 1584 el matemático Ludovico Ferrari le propuso a su colega Niccolo Fontana, apodado Tartaglia, el
siguiente problema: "Halla dos números reales no negativos cuya suma sea 8, de manera que su producto multiplicado por su
diferencia sea máximo". Obtén las soluciones de este problema con dos decimales de aproximación.
27. [2007] [JUN] Dada la función f(x) = 9x+6x2-x4, se pide:
a) Halla los puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f(x) tiene pendiente 1.
b) Calcula los puntos de inflexión de f(x).
28. [2006] [EXT] Determina, si es posible, los valores del parámetro k para que la función definida por
f(x) = 
x+1-ex
2x+1-e2x
si x < 0
(2x-k)2 si x  0
 sea continua en x = 0.
29. [2006] [EXT] Para la función f(x) = (x+2)ex se pide:
a) Estudia su dominio y continuidad.
b) Determina sus puntos de corte con los ejes.
c) Obtén las coordenadas de los máximos y mínimos relativos.
d) Determina las coordenadas de los puntos de inflexión.
(Recuerda que ex0, x)
30. [2006] [JUN] Determina los valores a, b, c  para que la función f(x) = x3+ax2+bx+c pase por el origen de coordenadas, tengaun
punto de inflexión en x = -1, y su recta tangente en x = 1 tenga pendiente 3.
31. [2006] [JUN] Enuncia el teorema de Rolle. En los ejemplos siguientes f(-2) = f(2) pero no hay ningún valor c -2,2 tal que f'(c)
= 0. Justifica en cada caso por qué no contradicen el teorema de Rolle:
a) f(x) = 1
x4
.
b) f(x) = 2-|x| (Nota: |x| representa el valor absoluto de x).
32. [2005] [EXT] De todos los prismas rectos de base cuadraday tales que el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, halla las
dimensiones del que tiene volumen máximo.
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33. [2005] [EXT] Estudia el crecimiento y la concavidad de la función f:(0,+) definida por f(x) = Lx
x
(L=Logarimo neperiano).
34. [2005] [EXT] a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función y = x3+bx2+cx+d corte al eje OY en
el punto (0,-1), pase por el punto (2,3) y, en ese punto, tenga tangente paralela al eje OX.
b) Una vez hallados esos valores, halla los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
citada función.
35. [2005] [JUN] Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartel con las siguientes características: La zona impresa debe
ocupar 100 cm2, el margen superior debe medir 3 cm, el inferior 2 cm, y los márgenes laterales 4 cm cada uno. Calcula las
dimensiones que debe tener el cartel de modo que se utilice la menor cantidad de papel posible.
36. [2005] [JUN] a) Enuncia la regla de L'Hôpital.
b) Resuelve el siguiente límite: lim
x0
 x - sen x
tg x - sen x
.
37. [2004] [EXT] Considera la función siguiente: f(x) = x
3-x2 si x  1
ax+b si x > 1
a) Determina los valores de a y b para que sea derivable en todos los puntos.
b) Esboza la gráfica de la curva representativa de la función para los valores de a y b calculados.
38. [2004] [EXT] Expresa el número 60 como suma de tres números positivos de forma que el segundo sea doble del primero. Si el
producto de los tres es máximo, determina el valor de dicho producto.
39. [2004] [JUN] Un alambre de 100 metros de largo se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el
otro una circunferencia. Halla la longitud de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima.
40. [2004] [JUN] Dada la curva y = x
2-1
x2+1
 se pide:
a) Dominio de definición de la función y puntos de corte con los ejes, si los hay.
b) Asíntotas, si las hay.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos, si los hay.
e) Una repesentación gráfica aproximada de la misma.
41. [2004] [JUN] Determina b y c para que la función f(x) = x
3 si x  2
-x2+bx+c si x > 2
a) Sea derivable en todos los puntos de R.
b) Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa 1.
42. [2003] [EXT] En un semicírculo de radio 10 m se quiere inscribir un rectángulo, uno de cuyos lados esté sobre el
diámetro y el opuesto a él tenga sus extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del rectángulo para que su
área sea máxima.
43. [2003] [EXT] Dada la función f: definida por f(x) = x3-6x2+5x:
a) Halla las coordenadas del punto de inflexión.
b) Halla las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas.
c) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a f(x) en el punto de inflexión y en el origen de coordenadas.
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44. [2003] [EXT] Sea la función f: dada por f(x) = x
2-4x+3 si x  3
2x-4 si x > 3
a) Define continuidad de una función en un punto.
b) ¿En qué puntos es continua la función f(x)?
c) ¿En qué puntos es derivable la función f(x)?
d) Si una función no es continua en un punto, ¿puede ser derivable en él?
45. [2003] [JUN] El perímetro de la ventana del dibujo mide 6 metros. Los lados superiores forman entre sí un
ángulo de 90º.
Calcular la longitud de los lados a y b para que el área de la ventana sea máxima.
46. [2003] [JUN] Enuncia la regla de L'Hôpital.
Calcula el siguiente límite: lim
x0
1
L(x+1)
 - 1
x
. (L = Logaritmo neperiano)
47. [2003] [JUN] Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) en el punto
de abscisa 0, a la gráfica de la función dada por f(x) = 2xex+ x
3-2
x2+4
 .
 Soluciones
10. 4, 0 11. -3, -12, 16 12. a) crec; t=0; 20% b) tiende al 60% 13. a) 1 b) -1 15. a) x = 0; y = 2x+3
2
 b) -1,-5
2
, 1,11
2
 16. (3,42'899) 17. b) 1
2
,-1
4
,3
4
 18. a)
3x3-18x2-1 b) conv: (2,+); p.i: 2 19. a) 2 b) 0 20. 3, 3 21. (2,2) 22. a) f: (-1,1); g:  b) f: no; g: 1 23. 2, -3 ; y = -3x 24. a) -7 b) e
-2
 25. 2, -e 26. 6,31 y
1,69 27. a) -1, 2 b) 1 28.  1
2
 29. a)  b) -2,0 , 2,0 c) Mínimo -3, -1
e3
 d) -4, -2
e4
 30. 3, -6, 0 31. a) no está definida en el 0 b) no es derivable en el 0 32.
lado base: 10 cm, altura: 5 cm 33. Creciente: (0,e). Cóncava: 0,e e 34. a) -5, 8, -1 b) max: 4
3
; min: 2; Creciente: -,4
3
(2,+) 35. 20,65 cm de largo x 12,9 cm de
alto 36. 1
3
 37. a) 1, -1 b) 
1
1
-1
X
Y
 38. x, 2x, 60-3x; 64000
9
 39. 56 m para el cuadrado. 40. a) Dominio: . Cortes: (-1,0), (1,0), (0,-1) b) A. horizontal: y = 1
c) Creciente en (0,+). d) Mínimo en (0,-1) e) 1 2-1
1
-2
X
Y
 41. a) 16, -20 b) y = 3x-2. 42. base: 5 2; altura: 5 2
2
 43. a) (2,-6) b) (0,0), (1,0), (5,0) c) y = -7x+8;
y = 5x 44. b) -{3} c) -{3} d) no 45. 3 2
1+2 2
, 6
1+2 2
 46. 1
2
 47. y = 2x- 1
2
 ; y = -1
2
x- 1
2
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