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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN Castilla y León
1. [2014] [EXT-A] a) Hallar el punto en el que la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x2-x+4 es paralela a la recta de
ecuación y = 5x-7.
b) Calcular el área delimitada por la parábola de ecuación y = 2x2 y la recta y = 2x+4.
2. [2014] [EXT-B] a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle.
b) Hallar la primitiva de f(x) = x2lnx cuya gráfica pasa por el punto (1,2).
3. [2014] [JUN-A] Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P(1,0), que tiene por tangente
en el punto de abscisa x = 0 la recta de ecuación y = 2x+1, y que su integral entre 0 y 1 vale 3.
4. [2014] [JUN-B] Sea la función f(x) = e
x
1+ex 2
.
a) Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje OX. Escribe la ecuación de la recta
tangente.
b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas x = 0 y x = ln5.
5. [2013] [EXT-A] a) Hallar lim
x+
xln(x+1)
x2+1
.
b) Calcular x+1+1
x+1
dx.
6. [2013] [EXT-B] a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función f(x) = 1
x2-x-2
.
b) Calcular 1
x2-x-2
dx.
7. [2013] [JUN-A] Sea la función f(x) = a x+bx si 0  x  1
clnx si 1 < x
. Hallar a, b y c sabiendo que f(x) es continua en (0,), la recta
tangente a f(x) en el punto de abscisa x = 1
16
 es paralela a la recta y = -4x+3, y se cumple que 
e
f(x)dx = 2
1
.
8. [2013] [JUN-B] Sea la función f(x) = x-2
x+2
.
a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento.
b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y = 1, la gráfica de la función f(x), el eje OX y la recta x = 2; calcular el área de
dicho recinto.
9. [2012] [EXT-A] a) Calcular sen(2x)
3+sen2(x)
dx
b) Calcular lim
x0
ln(1+x)+ln(1-x)
xsen(x)
dx
10. [2012] [EXT-B] a) Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y = x3-6x2+4x+8 la recta tangente a la misma es paralela
a la recta y = 4x+7.
b) Hallar el área de la región comprendida entre las rectas x = 1, x = 4 y que está limitada por dichas rectas, la gráfica de la
función f(x) = x2-4 y el eje OX.
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11. [2012] [JUN-A] Sea f(t) = 1
1+et
a) Calcular f(t)dt.
b) Sea g(x) = 
x
f(t)dt
0
. Calcular lim
x0
g(x)
x
.
12. [2012] [JUN-B] a) Calcular 1
x2+2x+3
dx.
b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f(x) = ax3+2x2+3 en los puntos de
abscisas x = 1 y x = -1 sean perpendiculares.
13. [2011] [EXT-A] a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = |x-1| en el intervalo [-2,2]. Calcular la función
derivada de f(x) en ese intervalo.
b) Calcular el área del recinto delimitado en el primer cuadrante por la gráfica de la función y = ln x y las rectas y = 0, y = 1 y
x = 0.
14. [2011] [EXT-B] Hallar el valor de m para que el área delimitada, en el primer cuadrante, por la función y = 4x3, y la recta y = mx
sea de 9 unidades cuadradas.
15. [2011] [JUN-A] Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f(x) = x3-x+1 y la recta tangente a la
gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
16. [2011] [JUN-B] a) Hallar el valor de los parámetros reales a y b para los que la función f(x) = 
sen(x)-ax
x2
si x > 0
x2+b si x  0
 es continua
en .
b) Calcular ln(x)
x2
dx.
17. [2010] [EXT-A] Determinar la función f tal que f'(x) = x
4+x+1
x2+x
 y con f(1) = 2.
18. [2010] [EXT-B] Determinar el área limitada por la parábola de ecuación y2 = x y la recta de ecuación y = x-2.
19. [2010] [JUN-A] a) Dadas las funciones f(x) = ln(x) y g(x) = 1-2x, hallar el área del recinto plano limitado por las rectas x = 1,
x = 2 y las gráficas de f(x) y g(x).
b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él
20. [2010] [JUN-A] a) Si el término independiente de un polinomio p(x) es -5 y el valor que toma p(x) para x = 3 es 7, ¿se puede
asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0,3]? Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que
se utilicen.
b) Calcular cos(x)
1+sen2(x)
dx.
21. [2009] [EXT-A] Sea la función f(x) = x
3
x2+1
.
a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad,
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puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
b) Calcular el valor de 
1
f(x)dx
0
.
22. [2009] [EXT-B] Sea la función f(x) = sen(x)+cos(x), definida en el intervalo [0,2].
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos. Esbozar su gráfica.
b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones x = 0, x = 
4
 e y = 2.
23. [2009] [EXT-B] Calcular 
dx
(1+x) x
24. [2009] [JUN-A] Sea la función f(x) = x2-x-2 .
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica.
b) Demostrar que no es derivable en x = 2.
c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = -2, x = 0.
25. [2009] [JUN-A] Calcular 1
1-x2
dx
26. [2009] [JUN-B] Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función y = -x2+a4 y el eje OX
es de 256
3
 unidades de superficie.
27. [2008] [EXT-A] Calcular dx
x(x+1)
28. [2008] [EXT-B] Calcular 
dx
9-(x-1)2
29. [2008] [JUN-A] Sea la función f(x) = lnx
x2
, con x  (0,+). Se pide:
a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar la gráfica.
b) Calcular f(x)dx.
30. [2008] [JUN-B] Dada f(x) = 
sen x2
x
si x > 0
x2-2x si x  0
 , se pide:
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x).
b) Calcular 
2
x2f(x)dx

.
31. [2007] [EXT-A] Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = ln x, el eje OX y las rectas x = 1 y x = 2.
32. [2007] [EXT-B] Sea la función f(x) = x
x2+4
. Se pide hallar:
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a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica.
b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = -2 y x = 2.
33. [2007] [JUN-A] Sea la función f(x) = x
x2-1
.
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas.
Esbozar su gráfica.
b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = -4, x = -2.
34. [2007] [JUN-B] Hallar el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = x2-4, y = 3x-6.
35. [2006] [EXT-A] Calcúlese el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = x3-3x2+2x y por la recta tangente a dicha
curva en el punto x = 0.
36. [2006] [EXT-B] Sea f(x) = 4-2x
2
x
.
a) Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máximos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica.
b) Calcúlese 
2
f(x)ln(x)dx
1
.
37. [2006] [JUN-A] Hállese el área del recinto limitado por la parábola y = -x2 y la recta y = 2x-3.
38. [2006] [JUN-B] Dada la función f(x) = x-1
x+1
, se pide:
a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las
asíntotas de f. Esbócese su gráfica.
b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = 0, y = 0.
39. [2005] [EXT-A] (a) Estúdiense la derivabilidad de f(x) = ln 1+x
2 , x > 0
x2 , x  0
 , sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus
puntos de inflexión. Esbócese su gráfica.
(b) Calcúlese el área limitada por la gráfica de f(x) y las rectas x = -1, x = 1, y = 0.
40. [2005] [EXT-B] Sea P(a,sena) un punto de la gráficade la función f(x) = sen(x) en el intervalo [0,]. Sea rp la recta tangente a
dicha gráfica en el punto P y Ap el área de la región determinada por las rectas rp, x = 0, x = , y = 0.
Calcúlese el punto P para el cual el área Ap es mínima (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta rp se mantiene por
encima del eje OX entre = y ).
41. [2005] [EXT-B] Calcúlese 1
x2+4x+13
dx.
42. [2005] [JUN-A] (a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = e1-x2, sus extremos relativos,
puntos de inflexión y asíntotas.
(b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese 
3
xf(x)dx
1
.
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43. [2005] [JUN-B] Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = x2; y = x
2
2
; y = 2x.
44. [2004] [EXT-A] Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas: y = 6x-x2 ; y = x2-2x.
45. [2004] [EXT-B] a) Dada la función f:[1,e] definida por f(x) = 1
x
 + lnx, determínese de entre todas las rectas tangentes a la
gráfica de f la que tiene máxima pendiente.
b) Calcúlese una función primitiva de f(x) que pase por el punto P(e,2).
46. [2004] [EXT-B] Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y = 3x-x2, y = 2x-2.
47. [2004] [JUN-A] Sea la función f(x) = 2e-2|x|.
a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas.
b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x = 1 y x = -1.
48. [2004] [JUN-A] De todas las primitivas de la función f(x) = 2tg(x)·sec2(x), hállese la que pasa por el punto P 
4
,1 .
49. [2004] [JUN-B] Sea f(x) = x3+ax2+bx+c. Determínese a, b y c de modo que f(x) tenga un extremo relativo en x = 0, la recta
tangente a la gráfica de f(x) en x = 1 sea paralela a la recta y-4x = 0, y el área comprendida por la gráfica de f(x), el eje OX y las
rectas x = 0 y x = 1 sea igual a 1.
50. [2004] [JUN-B] Calcúlese 
(x-1)2
x
dx.
51. [2003] [EXT-A] Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x) = (x-2)2(x+2), el eje OX y la rectas x = -3,
x = 2.
52. [2003] [EXT-B] a) Hallar las coordenadas del punto P de la gráfica de la función y = 2cosx, siendo 0  x  
2
 con la propiedad de
que la suma de la ordenada y la abscisa sea máxima.
b) Calcular el área comprendida por la curva y = 2cosx y la recta y = 1 en el intervalo - 
2
, 
2
.
53. [2003] [JUN-A] Dada la función f(x) = x
x2+1
, hallar:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos.
b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = -1, x = 1.
54. [2003] [JUN-B] Hallar el área de la región limitada por la curva y = x2 y la recta y = 2x+3.
 Soluciones
9. a) ln 3+sen2x +c b) -1 10. a) (0,8), (4,-8) b) 37
3
 11. a) ln e
t
et+1
 +c b) 1
2
 12. a) 2
2
arctgx+1
2
 +c b)  15
3
 13. a) cont (-2,2); derv (-2,1)(1,2); f'(x) =
-1 si -2 < x < 1
1 si 1 < x < 2
 b) e-1 14. 12 15. 27
4
 16. a) 1, 0 b) - lnx
x
 - 1
x
 + c 17. x
3
3
 - x
2
2
 +x+ 1
2
ln|x|- 1
2
ln|x+2|+ 7
6
 +ln 3 18. 9
2
 19. a) 1+ln4 20. a) si b) arctg(senx)+c
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21. a) 
1 2-1
1
2
-2
X
Y
 b) 1-ln2
2
 22. a) crec: 0,
4
 5
4
,2 ; 
1 2 3 4 5 6
1 X
Y
 b) -2
2
 23. 2arctg x+c 24. a) 
1 2 3 4-1
1
3
X
Y
 c) 3 25. 1
2
ln|x+1|- 1
2
ln|x-1|+c 26.
2 27. ln|x|-ln|x+1|+c 28. arcsenx-1
3
+ c 29. a) Crec: 0, e ; max: e; asint: x = 0; y = 0; 
1 2 3
1
-1
X
Y
 b) - 1+lnx
x
 +c 30. a) Cont: ; Deriv: -{0} b) -1
31. ln4-1 32. a) Creciente: -2,2 . Máximo: 2. Mínimo: -2. Asíntotas: y = 0. Gráfica: 
1 2-1
1
-1
X
Y
 b) ln2 33. a) Creciente: . Convexa: -1,0  1,+ .
Asíntotas: x = -1; x = 1; y = 0. Gráfica: 
1 2-1-2
1
2
-2
X
Y
 b) ln 5
2
 34. 1
6
 35. 27
4
 36. a) Dominio: -{0}. Asíntotas: x = 1, y = -2x. Simetría: respecto al origen. Gráfica:
1 2 3-1
1
3
-2
X
Y
 b) ln4-1 37. 32
3
 38. a) Creciente: . Cóncava: -1,+ . Asíntotas: y = 1. Gráfica: 
2 4-2-4
2
4
-4
X
Y
 b) 2ln2-1 39. (a) Derivable en . Creciente en (0,+).
P.i: x=1. 
1 2 3-1
1
2
X
Y
 (b) 1
3
 + 
2
 +ln2-2 40. 
2
,1 41. 1
3
arctgx+2
3
 +c 42. (a) Crec: (-,0); Max: (0,e); P.i: 2
2
, e , - 2
2
, e ; asint.hor: y = 0 b)
1 2-1-2
1
2
X
Y
 ; e
8-1
2e8
 43. 4 44. 64
3
 45. a) x-4y+4ln2 = 0 b) F(x) = ln|x|+xlnx-x+1 46. 9
2
 47. a) Creciente: (-,0); max: (0,2); asínt: y = 0 b) 2- 2
e2
 48. F(x) =
tg2(x)
2
 + 1
2
 49. 1
2
, 0, 7
12
 50. 6x
2-20x+30 x
15
 +c 51. 129
4
 52. a) 
6
, 3 b) 2 3- 2
3
 53. a) Crec: (-1,1); max: 1, 1
2
; min: -1,-1
2
 b) ln2 54. 32
3
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