Tarea4_25_Diego_Jimenez

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Tarea 4 – Espacios Vectoriales. 
Diego armando Jiménez Buelvas 
Código: 1066729863 
 
Docente: John Mauricio Blanco 
Algebra Lineal 
Grupo: 208046_25 
 
Universidad Nacional Abierta y a Distancia 
Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería 
Ingeniería de alimentos 
Montelibano – Córdoba 
15/05/2023 
 
Ejercicio 1: conceptualización de espacios vectoriales. 
Después de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma 
individual en el foro un Mapa conceptual en el que se ilustre los siguientes conceptos: 
B. Los diferentes subespacios del espacio vectorial 𝑹𝟑. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Link acceso: 
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Ejercicio 2. Axiomas y propiedades de los espacios vectoriales. 
Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente a la literal seleccionada en el 
foro: 
 
 
 
𝑰)𝝀(�⃗⃗� + �⃗⃗� ) = 𝝀 �⃗⃗� + �⃗⃗� 
𝟒((−𝟓, 𝟐, 𝟖) + (−𝟕, 𝟏, 𝟐)) = 𝟒(−𝟓, 𝟐, 𝟖) + 𝟒(−𝟕, 𝟏, 𝟐) 
𝟒((𝟏𝟐, 𝟑, 𝟏𝟎)) = (−𝟐𝟎, 𝟖, 𝟑𝟐) + (−𝟐𝟖, 𝟒, 𝟖) 
𝟒(−𝟏𝟐, 𝟑, 𝟏𝟎) = (−𝟐𝟎, 𝟖, 𝟑𝟐) + (−𝟐𝟖, 𝟒, 𝟖) 
(−𝟒𝟖, 𝟏𝟐, 𝟒𝟎) = (−𝟒𝟖, 𝟏𝟐, 𝟒𝟎) 
 
𝑰𝑰) �⃗⃗� +(− �⃗⃗� ) = (− �⃗⃗� ) +�⃗⃗� =𝟎 ⃗⃗ ⃗; 𝒖 = (−𝟓, 𝟐, 𝟖) 
�⃗⃗� =−𝒖⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝟏 ∗ 𝒖 = −𝟏(−𝟓, 𝟐, 𝟖) 
= −𝒖⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝟓,−𝟐,−𝟖) = 𝒙; Ø = (𝟎, 𝟎, 𝟎) 
(−𝟓, 𝟐, 𝟖) + (𝟓,−𝟐,−𝟖) = (𝟓,−𝟐,−𝟖) + (−𝟓, 𝟐, 𝟖) = (𝟎, 𝟎, 𝟎) 
(𝟎, 𝟎, 𝟎) = (𝟎, 𝟎, 𝟎) = (𝟎, 𝟎, 𝟎) 
 
𝑰𝑰𝑰)𝝀 ∗ (β ∗�⃗⃗� ) = (𝝀β) ∗ �⃗⃗� 
𝟒 ∗ ((−𝟐) ∗ (−𝟕, 𝟏, 𝟐) = (𝟒 ∗ −𝟐)(−𝟕, 𝟏, 𝟐) 
𝟒 ∗ ((𝟏𝟒,−𝟐,−𝟒) = (𝟓𝟔,−𝟖, 𝟏𝟔) 
𝟒 ∗ (𝟓𝟔,−𝟖,−𝟏𝟔) = (𝟓𝟔,−𝟖,−𝟏𝟔) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3: Conjuntos Generadores, dependencia lineal e independencia lineal. 
 Determine si el conjunto 𝑆 de vectores correspondiente es linealmente 
independiente. Si para alguno de ellos la respuesta puede determinarse por 
inspección (esto es, sin cálculo), establezca porqué. Para cualquier conjunto 
que sea linealmente dependiente, encuentre una relación de dependencia entre 
los vectores. 
𝑺 = {(𝟏, 𝟏, 𝟐), (𝟐, 𝟏, 𝟑), (𝟒, 𝟎, 𝟐)} 
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣 = (0,0,0)𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅3 
𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝑎(1,1,2) + 𝑏(2,1,3) + 𝑐(4,0,2) = (0,0,0) 
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
1𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 0
1𝑎 + 1𝑏 + 0𝑐 = 0
2𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 = 0
 
𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
1 2 4
1 1 0
2 3 2
|
0
0
0
 
𝑑𝑒𝑡𝐴 = |
1 2 4
1 1 0
2 3 2
 
0
0
0
| 
= 1 ∗ 1 ∗ 2 + 2 ∗ 0 ∗ 2 + 4 ∗ 1 ∗ 3 − 4 ∗ 1 ∗ 2 − 1 ∗ 0 ∗ 3 − 2 ∗ 1 ∗ 2
= 2 + 0 + 12 − 8 − 0.4 = 2 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3 
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 �⃗⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑛 ∈ 𝑅3 
𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝑎(1,1,2) + 𝑏(2,1,3) + 𝑐(4,0,2 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
1𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 𝑥
1𝑎 + 1𝑏 + 0𝑐 = 𝑦
2𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 = 𝑧
 
𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
(
1 2 4
1 1 0
2 3 2
|
𝑥
𝑦
𝑧
) 
(
1 2 4
1 1 0
2 3 2
|
𝑥
𝑦
𝑧
)𝐹2 − 1 ∗ 𝐹1 → 𝐹2 
(
1 2 4
0 −1 −4
2 3 2
| − 𝑥
𝑥
 +
𝑧
 𝑧)𝐹3 − 2 ∗ 𝐹1 → 𝐹3 
(
1 2 4
0 −1 −4
0 −1 −6
|
 𝑥
−𝑥 + 𝑦
−2𝑥 + 𝑧
)𝐹2/(−1) → 𝐹2 
(
1 2 4
0 1 4
0 −1 −6
|
 𝑥
𝑥 + 𝑦
−2𝑥 + 𝑧
)𝐹3 − (−1) ∗ 𝐹2 → 𝐹3 
(
1 2 4
0 1 4
0 0 −2
|
 𝑥
𝑥 + 𝑦
−𝑥 − 𝑦 + 𝑧
)𝐹3/(−2) → 𝐹3 
(
1 2 4
0 1 4
0 0 1
|
𝑥
𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
2
)𝐹2 − 4 ∗ 𝐹3 → 𝐹2 
(
1 2 4
0 1 0
0 0 1
|
𝑥
−𝑥 − 3𝑦 + 2
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
2
)𝐹1 − 4 ∗ 𝐹3 → 𝐹1 
(
1 2 0
0 1 0
0 0 1
|
−𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧
−𝑥 − 3𝑦 + 2
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
2
)𝐹1 − 2 ∗ 𝐹2 → 𝐹1 
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
−𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧
−𝑥 − 3𝑦 + 2
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
2
) 
 
𝑥 = 𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧
𝑦 = −𝑥 − 3𝑦 + 2
𝑧 =
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal. 
Dada la siguiente matriz 
𝐵 = (
2 0 4
0 4 −1
5
0
1
−1
1
1
 
0
−2
−4
1
 ) 
 
 Calcular el rango de la matriz 𝐵 por el método de Gauss –Jordán 
𝐹3 − (
5
2
)𝐹1 → 𝐹3(
2 0 4
0 4 −1
0
0
1
−1
−9
1
 
0
−2
−4
1
) 
𝐹3 − (
1
4
)𝐹2 → 𝐹3
(
 
 
2 0 4
0 4 −1
0
0
0
−1
−35
4
1
 
0
−2
−7
2
1 )
 
 
 
𝐹4 − (
−1
4
)𝐹2 → 𝐹4
(
 
 
 
2 0 4
0 4 −1
0
0
0
0
−35
4
3
4
 
0
−2
−7
2
1
2 )
 
 
 
 
𝐹4 − (−
3
35
)𝐹3 → 𝐹4
(
 
 
 
2 0 4
0 4 −1
0
0
0
0
−35
4
0
 
0
−2
−7
2
1
5 )
 
 
 
 
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 =
(
 
 
 
2 0 4
0 4 −1
0
0
0
0
−35
4
0
 
0
−2
−7
2
1
5 )
 
 
 
= 4 
 
 
 
 
 
 Calcular el rango de la matriz 𝐵 por el método de determinantes 
Tomaremos como base la primera fila 
𝐵 = (
2 0 4
0 4 −1
5
0
1
−1
1
1
 
0
−2
−4
1
 ) 
Calculamos el determinante por el método de cofactores 
det(𝐵) = 2 |
4 −1 2
1 1 −4
−1 1 1
| − 0 |
0 −1 −2
5 1 −4
0 1 1
| + 4 |
0 4 −2
5 1 −4
0 −1 1
| − 0 |
0 4 −1
5 1 1
0 −1 1
| 
det(𝐵) = 2(−2 + 15) + 4(10 − 20) 
det(𝐵) = 26 − 40 
det(𝐵) = −19 
Ya que el determinante dio un numero diferente a 0, el rango de la matriz es 4 
 
 
 
 Determine si el conjunto formado por las columnas de la matriz 𝐵 es 
linealmente independiente. 
Los vectores en cuestión son linealmente independientes porque el determinante 
resultó ser diferente de cero y no se encontraron filas nulas después de simplificar el 
sistema. Por lo tanto, en este caso, la conclusión de que los vectores son linealmente 
independientes está respaldada por dos indicadores importantes: el valor del 
determinante y la ausencia de filas nulas después de simplificar el sistema. 
Ejercicio 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El resultado nos da igual a 0 
 
Ejercicio 6: (Ejercicio Colaborativo de Equivalencia de Conceptos). 
Todos los integrantes del grupo deberán resolver el ejercicio correspondiente a su 
literal y luego realizar el aporte en el foro. Cada uno de los integrantes debe 
responder la pregunta que se presenta al final. 
Considere las siguientes matrices: 
𝐴 = (
1 −1 2
0 3 4
0 0 5
) 
Para verificar que el vector �⃗� se puede expresar como combinación lineal de los 
vectores de A, inicialmente definimos 3 escalas 𝛽, 𝛾, 𝛿 de manera que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹2 − (
4
3
)𝐹3 → 𝐹2
(
 
 1 −1 2
0 1 0
0 0 1
|
𝑏1
5𝑏2 − 4𝑏3
15
𝑏3
5 )
 
 
 
𝐹1 − 2𝐹3 → 𝐹1
(
 
 
 1 −1 0
0 1 0
0 0 1
|
5𝑏1 − 2𝑏3
5
5𝑏2 − 4𝑏3
15
𝑏3
5 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo que se puede concluir que el sistema es consistente y por esto cualquier vector de �⃗� 
al realizar el remplazo el resultado anterior se puede expresar como combinación lineal de 
columnas de matriz A. 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora vamos a comprobar el vector 𝑐 =(𝐶1, 𝐶2, 𝐶3)
𝑇𝑒𝑛 𝑅3 que no se puede expresar 
como una combinación lineal de los vectores columna de matriz B 
𝐵 = (
1 −1 0
1 −2 5
2 −4 10
) 
Escribimos la fórmula para el caso donde el vector 𝑐 no sea combinación lineal de 
las columnas de la matriz B 
(
1
1
2
) + (
−1
−2
−4) + (
0
5
10
) = (
𝐶1
𝐶2
𝐶3
) 
Definimos el mismo vector: 
𝑐 = (0.23) 
Escribimos el sistema de ecuaciones: 
1𝑥1 − 1𝑥2 + 0𝑥3 = 0
1𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 = 2
2𝑥1 − 4𝑥2 + 10𝑥3 = 3
 
Realizamos el método de eliminación de Gauss Jordán para determinar las 
respuestas a las variables 
2(2|5) 
𝐹2 − 1𝐹1 → 𝐹2(
1 −1 0
0 −1 5
2 −4 10
|
0
2
3
) 
𝐹3 − 2𝐹1 → 𝐹3(
1 −1 0
0 −1 5
0 −2 10
|
0
2
3
) 
𝐹2
−1
→ 𝐹2(
1 −1 0
0 1 −5
0 −2 10
|
0
−2
3
) 
𝐹3 − (−2)𝐹2 → 𝐹3(
1 −1 0
0 1 −5
0 0 0
|
0
−2
−1
) 
(
1 −1 0
0 1 −5
0 0 0
|
0
−2
−1
) 
 
 
 
 
Debido a que el sistema es inconsistente y no tiene solución se puede afirmar que le vector 
𝑐 no es combinación lineal de las columnas de la matriz B 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pregunta para todos: ¿Qué se puede concluir de las equivalencias lógicas que se 
presentan en los enunciados de los literales A, B, C y D? 
Las equivalencias lógicas presentadas en los enunciados A, B, C y D están relacionadas 
con la independencia lineal de las columnas de una matriz y su rango. En particular, si las 
columnas de una matriz son linealmente independientes, entonces la matriz tiene rango 
completo y sus columnas generan todo el espacio. Por otro lado, si las columnas de una 
matriz no son linealmente independientes, entonces la matriz no tiene rango completo y sus 
columnas no generan todo el espacio 
 
 
Referencias Bibliográficas 
Grossman, S. I., Flores Godoy, J. J. (2019). Álgebra lineal: Espacios Vectoriales. 
Pág. (310-318).McGraw-Hill. https://www-ebooks7-24-
com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=310 
Grossman, S. I., Flores Godoy, J. J. (2019). Álgebra lineal: Combinación lineal y espacio 
generado. Pág. (330-335).McGraw-Hill. https://www-ebooks7-24-
com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=330 
Grossman, S. I., Flores Godoy, J. J. (2019). Álgebra lineal: Independencia lineal. Pág. 
(346-356).McGraw-Hill. https://www-ebooks7-24-
com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=346 
Grossman, S. I., Flores Godoy, J. J. (2019). Álgebra lineal: Subespacios. Pág. (323-
327). McGraw-Hill. https://www-ebooks7-24-
com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=323 
Grossman, S. I., Flores Godoy, J. J. (2019). Álgebra lineal: Rango de una matriz. Pág. 
(399-410). McGraw-Hill. https://www-ebooks7-24-
com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=399 
Zúñiga, C. (2010). Módulo Álgebra Lineal: Espacios vectoriales. Pág (241-245). Bogotá, 
UNAD. http://hdl.handle.net/10596/7081 
 
Zúñiga, C. (2010). Módulo Álgebra Lineal: Dependencia e Independencia lineal. Pág (256-
259). Bogotá, UNAD. http://hdl.handle.net/10596/7081 
 
Zúñiga, C. (2010). Módulo Álgebra Lineal: Subespacios. Pág. (269-273). Bogotá, 
UNAD. http://hdl.handle.net/10596/7081 
 
https://www-ebooks7-24-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=310
https://www-ebooks7-24-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=330
https://www-ebooks7-24-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=330
https://www-ebooks7-24-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=346
https://www-ebooks7-24-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=323
https://www-ebooks7-24-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/?il=9168&pg=399
http://hdl.handle.net/10596/7081
http://hdl.handle.net/10596/7081
http://hdl.handle.net/10596/7081