- UNIDAD 6

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Tranquilate! Junto a la Física 
 UNIDAD 6: Conservación de la Cantidad de Movimiento 
 
 Sistema de Partículas: 
 
 Veamos el movimiento unidimensional de dos cuerpos unidos por un resorte. Por simplicidad, 
supondremos que no actúa ninguna fuerza externa neta sobre los cuerpos, a excepción de la fuerza del 
resorte. La figura (1) ilustra un ejemplo del tipo de movimiento que 
deseamos analizar. En este caso especial se le da al resorte un 
alargamiento inicial, y los dos cuerpos se sueltan desde el resorte. Sea 
id la extensión inicial del resorte, de modo que su energía inicial es 
0 0
1 2
2
0
Ci P iE E E kd    . En cualquier instante de tiempo en 
particular, cuando la extensión del resorte sea d , la energía es: 
 
 
 La conservación de la energía requiere que iE E , lo cual nos da: 
 
 
 Como las posiciones de los dos cuerpos están relacionados por 2 1 (3)ix x L d   donde L es la 
longitud de relajamiento del resorte. Las ecuaciones (2) y (3) no son suficientes a la hora de resolver 2x y 1x 
en función del tiempo y no nos es posible completar la solución a este problema. 
 
 Por ello necesitamos información adicional que proviene del análisis de un punto particular del sistema. 
Este punto, llamado centro de masa del sistema, está señalado por una bandera en la figura (1). En este caso 
especial, el centro de masa no se mueve en lo absoluto. La posición del centro de masa se define, para el caso 
especial de dos partículas en una dimensión, como 
1
1 1 2 2( ) (4)cm Mx m x m x  . Donde 1x y 2x son las 
coordenadas x de las dos partículas respectivamente. Aquí M es la masa total del sistema ( 1 2M m m  ). El 
centro de masa del sistema de dos cuerpos es un punto en el espacio definido por la ecuación (4) en una 
dimensión. No se requiere que sea necesariamente una parte de cualquiera de los cuerpos. 
 
 La velocidad del centro de masa cmv , se encuentra derivando la ecuación (4) respecto al tiempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 La aceleración del centro de masa se halla diferenciando nuevamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Donde 1a y 2a son las aceleraciones respectivas de 1m y de 2m . 
 
 Continuamos aplicando las leyes de Newton a ambas masas. Sea 12F la fuerza ejercida sobre 1m por 2m , 
y 21F la fuerza ejercida sobre 2m por 1m , tendremos que: 12 1 1F m a y 21 2 2F m a (por la segunda ley de 
Newton). La tercera ley de Newton requiere que 12 21F F  . Sustituyendo en la ecuación (6) nos da: 
1 1 12 2 2
1 1 2 22 2 2
 (1)
CPE E E kd m v m v    
1 1 12 2 2 2
1 1 2 22 2 2
 (2)ikd kd m v m v  
 
1 1 2 2
1 2
1 2
1
 1 1 2 2
1
( )
1
(5)
cm
cm
cm
cm M
dx d
v m x m x
dt M dt
dx dx
v m m
M dt dt
v m v m v
  
 
  
 
 
 
1 1 2 2
1 2
1 2
1
1 1 2 2
1
( )
1
 (6)
cm
cm
cm
cm M
dv d
a m v m v
dt M dt
dv dv
a m m
M dt dt
a m a m a
  
 
  
 
 
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
 
 En este caso especial, en el cual ninguna fuerza neta actúa sobre el sistema, el centro de masa no tiene 
aceleración y, por lo tanto, se mueve a velocidad constante. 
 
 La figura (2) ilustra un caso ligeramente más general en el que se le da al resorte una extensión inicial y se 
les dan a los dos cuerpos velocidades iniciales 1iv y 
2iv . Aquí podemos ver que el centro de masa se mueve 
a velocidad constante, aun cuando el movimiento del 
sistema como un todo es bastante complejo. 
 
 Ahora supongamos que existe una fuerza externa 
,1extF sobre 1m en adición a la fuerza 12F . Lo mismo, 
una fuerza externa 
,1extF sobre 2m en adición a la 
fuerza 21F . Por lo tanto, la segunda ley de Newton 
aplicada a ambas masas es: 
 
 
 
 Al sumar estas dos ecuaciones nos da: 
 
 
 Los primeros dos términos de esta ecuación dan la fuerza externa neta extF que actúa sobre el sistema. 
La suma de los dos términos siguientes se anula por la tercera ley de Newton. El lado derecho de la ecuación 
puede expresarse como cmMa , usando la ecuación (6). Así, tenemos el resultado general: 
 
 
 Resumiendo nuestros resultados, vemos que todo el sistema puede considerarse para ciertos propósitos 
como si se moviera a una velocidad cmv y tuviera su masa total M concentrada en la posición cmx . Más aun, 
en ausencia de una fuerza externa neta 0cma  , y el centro de masa se mueve a velocidad constante. 
 
 Sistema de varias Partículas: Consideremos un sistema que consiste en N partículas de masas 
1 2 3, , ,..., Nm m m m . La masa total es 1 2 3 ... N nM m m m m m      . Cada partícula del sistema 
puede ser representada por su masa nm ( 1, 2, 3,..., n N ), su posición en el espacio ( , y , zn n nx ), su 
velocidad nv (cuyas componentes son , , xn yn znv v v ) y su aceleración na . Sobre cada partícula actúa una 
fuerza nF , la cual en general difiere de una partícula a otra. El centro de masa del sistema puede definirse: 
 
 
 
 
 
 
 En la notación vectorial más completa, la posición del centro de masa seria: 
 
 
 Usando la derivada de esta expresión, hallamos la velocidad del centro de masa: 
 
 
 
 
 
 Diferenciando, una vez más, hallamos la aceleración del centro de masa: 
 
 1 12 21 =0cm Ma F F 
,1 12 1 1
,2 21 2 2
ext
ext
F F m a
F F m a
 
 
,1 ,2 12 21 1 1 2 2ext extF F F F m a m a    
 (7)ext cmF Ma
1 1
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
( ... )
( ... )
( ... )
cm N N n nM M
cm N N n nM M
cm N N n nM M
x m x m x m x m x
y m y m y m y m y
z m z m z m z m z
    
    
    



1 1
1 1 2 2( ... ) (8)cm N N n nM Mr m r m r m r m r     
1 1 2
1 2
1 1
1 1 2 2
( ... )
( ... ) (9)
cm N
cm NM
cm N N n nM M
dr drdr dr
v m m m
dt dt dt dt
v m v m v m v m v
    
     
 
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 Podemos reescribir la ecuación (3) así: 
 
 
 
 
 Donde el resultado de la ecuación (4) se deduce de la aplicación de la segunda ley de Newton a cada 
partícula individual. Todo lo que queda en esta ecuación es la suma total de todas las fuerzas externas, y la 
misma se reduce a (12)ext cmF Ma que puede expresarse en función de sus componentes: 
 
 
 
 Podemos resumir este importante resultado como sigue: “El movimiento de traslación total de un sistema 
de partículas puede ser analizado usando las leyes de Newton como si toda la masa estuviera concentrada 
en el centro de masa y la fuerza externa total estuviera aplicada en ese punto.” 
 
 Se deduce inmediatamente un corolario en el caso 0extF  : “Si la fuerza externa neta sobre un sistema 
de partículas es cero, entonces el centro de masa del sistema se mueve a velocidad constante.” 
 
 Centro de masa de Objetos Sólidos: Empleando la ecuación (1), dividiremos al objeto en elementos 
pequeños de masa nm . Cuando estos elementos se vuelven infinitesimalmente pequeños, se transforman en 
integrales: 
 
 
 
 Ímpetu Lineal de una Partícula: 
 
 El ímpetu de una partícula aislada es un vector P definido como el producto de su masa m por su 
velocidad v: 
 
 
 El ímpetu, por ser el producto de una cantidad escalar por una vectorial, es en sí mismo un vector. Puesto 
que es proporcional a v, el ímpetu P de una partícula depende del marco de referencia del observador, 
debemos siempre especificar este marco. 
 
 Newton expreso la segunda ley del movimiento en función del ímpetu (al cual llamo cantidad de 
movimiento). Expresado en la terminología moderna la segunda ley de Newton se lee así: “La razón de 
cambio del ímpetu de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y está en la 
dirección de esa fuerza.” En forma simbólica esto se convierte en: 
 
 
 
 Aquí F representa la fuerza resultante que actúa sobre la partícula. Para una partícula aislada de masa 
constante, esta forma de la segunda ley equivalente a la forma F ma que hemosvenido usando hasta 
ahora. Esto es, si m es constate, entonces: 
 
 
 
 Se halla una relación conveniente entre el ímpetu y la energía cinética al combinar 
1 2
2c
E mv y P mv , 
lo cual nos da: 
 
 
 
1 1
1 1 2 2( ... ) (10)
cm
cm N N n nM M
dv
a m a m a m a m a
dt
      
1 1 2 2
1 2
...
... (11)
cm N N
cm N
Ma m a m a m a
Ma F F F
   
   
, , , , , ,, y ext x cm x ext y cm y ext z cm zF Ma F Ma F Ma    
0
1 1
 (13)limcm n n
m
r x m r dm
M M


  
 (14)P mv
 (15)
dP
F
dt

( ) (16)
dP d dv
F mv m ma
dt dt dt
   
2
2
c
P
E
m

 
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 Ímpetu Lineal de un Sistema de Partículas: 
 
 Supongamos que en lugar de una partícula aislada tenemos un sistema de N partículas, con masas 
1 2 3, , ,..., Nm m m m , que no entran y salen del sistema de modo que la masa total ( nM m ) del sistema 
permanece constante en el tiempo. Las partículas pueden interactuar entre sí, y las fuerzas externas pueden 
actuar igualmente sobre ellas. Cada partícula tiene cierta velocidad y cierto ímpetu en el marco de referencia 
particular que se esté usando. El sistema, como un todo, tiene un ímpetu total el cual se define simplemente 
como el vector suma de los ímpetus de las partículas individuales en este mismo marco, o sea: 
 
 
 Si comparamos esta relación con la ecuación (9), vemos de inmediato que: 
 
 
 La cual es una definición equivalente al ímpetu de un sistema de partículas: “El ímpetu total de un sistema 
de partículas es igual al producto de la masa total del sistema por la velocidad de su centro de masa.” Si 
diferenciamos esta última ecuación con respecto al tiempo obtenemos, para una masa M constante supuesta: 
 
 
 
 La comparación de la ecuación (26) con la ecuación (12), nos permite escribir la segunda ley de Newton 
para un sistema de partículas en la forma: 
 
 
 
 
 Conservación del Ímpetu Lineal: 
 
 Supongamos que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema es cero. Entonces la ecuación 
(20): 
 
 
 
 “Cuando la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema es cero, el vector del ímpetu total del sistema 
permanece constante.” Este resultado sencillo pero de carácter general, se llama ley de conservación del 
ímpetu lineal. 
 
 El ímpetu total de un sistema puede ser cambiado solamente por las fuerzas externas que actúen sobre el 
sistema. Las fuerzas internas, por ser iguales y opuestas, producen cambios de ímpetus iguales y opuestos, 
que se cancelan entre sí. En un sistema de partículas en el cual no actúe ninguna fuerza externa: 
 
 
 Los ímpetus de las partículas individuales pueden cambiar, pero su suma permanece constante si no existe 
fuerza externa alguna. 
 
 Sistemas de Masa Variable: 
 
 Imaginemos que la cureña que sostiene al cañón en la figura (1) 
sostiene también una gran dotación de balas de cañón; para este 
caso el ímpetu lineal total debe ser cero. Si consideramos un 
sistema que incluya solo al cañón más la cureña, entonces el 
planteamiento precio ya no es válido. El ímpetu del cañón aumenta 
cada vez que se dispara. Cuando el cañón se dispara 
repetidamente, la masa total de la cureña disminuye según la cantidad de balas de cañón que hayan sido 
arrojadas, lo que provoca que la masa total M del sistema sea diferente cada vez que el cañón dispara. 
 
 En este ejemplo nos referimos al sistema S, que consta del cañón más la cureña, como un sistema de masa 
variable. El sistema más grande S’ que consta del cañón y las balas disparadas, es un sistema de masa 
constante y también un sistema de ímpetu constante. Sin embargo, el sistema S no tiene una masa constante, 
1 2 1 1 2 2... ... (17)N N NP P P P m v m v m v       
 (18)cmP Mv
 (19)cm cm
dvdP
M Ma
dt dt
 
 (20)ext
dP
F
dt

0 o 
dP
P una ctte
dt
 
1 2 ... (21)NP P P ctte   
 
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 además de que las balas de cañón arrojadas llevan consigo un ímpetu y existe un flujo neto de ímpetu de S 
que es el responsable de su aceleración. Este ejemplo da una imagen mental de cómo trabaja un cohete. El 
combustible se quema y arroja a gran velocidad. El cohete experimenta una aceleración que depende de la 
cantidad de combustible que se consume y de la velocidad con que se arroja. 
 
 La figura (2) muestra una vista esquemática de un sistema generalizado. En el tiempo t, el sistema S tiene 
una masa M y se mueve a velocidad 
v en el marco de referencia 
particular desde el que lo estamos 
observando. En el tiempo t t , la 
masa de S ha cambiado en una 
cantidad M a M M , mientras 
que la masa del resto del sistema integro S’ ha cambiado en una cantidad M . El sistema S se mueve 
ahora a velocidad v v , y la materia arrojada se mueve a una velocidad u . También permitiremos una 
fuerza externa que pueda actuar sobre todo el sistema (esta fuerza no es la responsable de impulsar el cohete, 
como la gravedad). El ímpetu de todo el sistema S’ es P , y la segunda ley de Newton puede expresarse: 
 
 
 
 En el intervalo de tiempo t , el cambio de ímpetu P es f iP P P   , donde: 
 
 
 
 
 El cambio de ímpetu de S’ es, entonces: 
 
 
 Reescribiendo la derivada de la ecuación (22) como un límite y sustituyendo esta expresión para P : 
 
 
 
 
 
 
 Al tomar limite, el ultimo termino dentro de los corchetes se anula, porque 0v  según 0t  . 
También podemos expresar la ecuación (24) de una forma ligeramente más general: 
 
 
 
 Podemos reducir la ecuación (25) a la forma de la partícula de la segunda ley de Newton en dos casos 
especiales: (1.) cuando / 0dM dt  de modo que M es una constante, en cuyo caso estamos otra vez 
discutiendo sistemas de masa constante; (2.) cuando 0u  , en cuyo caso estamos viendo al sistema de masa 
variable desde un marco de referencia muy especial en el cual la materia arrojada esta en reposo. 
 
 La ecuación (24) ha sido derivada en una forma especial que puede ser adaptada fácilmente al análisis del 
movimiento de un cohete. La cantidad u v es relv la velocidad de los gases expulsados con relación al 
cohete. En función de relv podemos escribir la ecuación (24) de la siguiente forma: 
 
 
 
 El último término de esta ecuación nos da la razón a la cual el ímpetu está siendo transferido al subsistema 
S o quizá fuera de él. Puede ser interpretada como una fuerza ejercida sobre S por la masa que entra o sale de 
este sistema. En el caso del cohete, este término se llama empuje. 
 
 (22)ext
dP
F
dt

( )( ) ( )
i
f
P Mv
P M M v v M u

    
( )( ) ( ) (23)f iP P P M M v v M u Mv        
0 0
0
( )( ) ( )
lim lim
lim ( ) ( ) (24)
ext
t t
ext
t
P M M v v M u Mv
F
t t
v M M dv dM
F M v u v M v u
t t t dt dt
   
 
     
 
 
   
           
( ) (25)ext
d dM
F Mv u
dt dt
 
 (26)ext rel
dv dM
F M v
dt dt
 
 
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 La ecuación del Cohete: Considerando un cohete en el espacio lejano, donde no está sujeto a fuerza 
externa alguna. Supongamos que el movimiento es unidimensional; /dv dt define la dirección positiva 
cuando el cohete acelera y relv apunta en dirección negativa. 
 
 
 
 Donde relv es la magnitud de la velocidad de escape. Esta ecuación es la ecuación fundamental que rige el 
comportamiento de un cohete. 
 
 Choque o Colisión: 
 
 En la colisión, una fuerza relativamente grande actúa sobre cada partícula que interviene en el choque 
durante un tiempo relativamente corto. La idea básica de colisión consiste en que el movimiento de las 
partículas (o cuando menos una de ellas) cambia de manera brusca, y que podemos hacer una separación 
relativamente clara de los tiempos de antes de la colisión y de los de después de la colisión. Las fuerzas que 
actúan durante un tiempocorto en comparación con el tiempo de observación del sistema se denominan 
fuerzas impulsivas. 
 
 Impulso e Ímpetu: 
 
 Supongamos que la figura (1) muestra la magnitud de la fuerza neta ejercida 
en un cuerpo durante una colisión. Según la segunda ley de Newton en la forma 
/F dP dt podemos escribir el cambio de ímpetu dP de una partícula en un 
tiempo dt durante el que actué sobre él una fuerza F en la forma: 
 
 
 Podemos hallar el ímpetu del cuerpo durante la colisión al integrar sobre el tiempo de colisión, esto es, 
entre las condiciones iniciales (el ímpetu iP en el tiempo it ) y las condiciones finales (el ímpetu fP en el 
tiempo 
ft ). 
 
 
 
 El lado izquierdo de la ecuación es el cambio de ímpetu f iP P . El lado derecho, que depende tanto de la 
intensidad de la fuerza como de su dirección, se llama impulso J de la fuerza: 
 
 
 
 
 Quedando que (3)f iJ P P  . La ecuación (3) es el enunciado matemático del teorema impulso-
ímpetu: “El impulso de la fuerza neta que actúa sobre una partícula durante un intervalo de tiempo 
determinado es igual al cambio en el ímpetu de la partícula durante ese intervalo”. El teorema rige para 
partículas aisladas y se deriva directamente de la segunda ley de Newton. 
 
 La magnitud del impulso de esta fuerza está representada por el área debajo de la curva F(t). Podemos 
representar esa misma área por el rectángulo de la figura (1) de anchura t y altura F ; donde F es la 
magnitud de la fuerza promedio que actúa durante el intervalo t . 
 
 
 
 Conservación del Ímpetu durante las Colisiones: 
 
 Consideremos la colisión entre dos partículas como las de la figura (2). 
Durante la breve colisión estas partículas ejercen fuerzas grandes entre sí 
( 12F y 21F ). Según la tercera ley de Newton estas fuerzas son iguales en 
 (27)rel
dv dM
M v
dt dt
 
dP Fdt
 (1)
f f
i i
P t
P t
dP Fdt 
 (2)
f
i
t
t
J Fdt 
 (4)J F t 
 
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 magnitud pero se oponen directamente. El cambio en ímpetu de las partículas que resulta de la colisión son: 
 
 
 
 
 Si no actúa sobre la partícula ninguna otra fuerza, entonces 1P y 2P dan el cambio total del ímpetu para 
cada partícula. Sin embargo, hemos visto que en cada instante 12 21F F  de modo que 12 21F F  y por lo 
tanto: 
 
 
 Si consideramos a las dos partículas como un sistema aislado, el ímpetu total del sistema es 
1 2 (8)P P P  y el cambio total en el ímpetu del sistema como resultado de la colisión es cero: 
 
 
 De aquí que, si no existen fuerzas externas el ímpetu total del sistema de dos partículas no cambia por la 
colisión. 
 
 Podemos también caracterizar a una colisión como un evento en el que 
las fuerzas externas que pueden actuar sobre el sistema son despreciables 
comparadas con las fuerzas impulsivas de la colisión. Por ejemplo, cuando 
un bate golpea contra una bola de béisbol, la colisión dura solo unos 
cuantos milisegundos. Puesto que el cambio en el ímpetu de la bola es más 
grande y el tiempo de colisión es pequeño, a partir de P F t   se 
deduce que la fuerza impulsiva promedio F es relativamente grande. 
Comparada con esta fuerza, la fuerza externa de la gravedad es 
despreciable. Así, durante la colisión podemos despreciar por completo esta fuerza externa para determinar 
es cambio en el movimiento de la bola. 
 
 Podemos decir que el ímpetu de un sistema de partículas en el instante antes de que estas choquen es igual 
al ímpetu del sistema en el instante después de haber chocado las partículas. 
 
 Colisiones en una Dimensión: 
 
 Consideraremos el efecto de una colisión entre dos objetos, conociendo las velocidades iniciales de los dos 
objetos antes de la colisión, y nuestra meta es aplicar las leyes de conservación o las leyes del movimiento 
para hallar las velocidades después de la colisión. 
 
 La ley de conservación del ímpetu debe cumplirse durante cualquier colisión en la que solo actúen fuerzas 
internas, y puede aplicarse aun si no conocemos las fuerzas. 
 
 En una categoría especial de la colisión, llamada colisión elástica, despreciamos todas las demás formas de 
la energía y consideramos solamente la energía mecánica. Además suponemos que, en una colisión 
impulsiva, las fuerzas internas actúan durante un tiempo corto y, por lo tanto, sobre una distancia corta. En 
una colisión elástica, la energía cinética de traslación es la única forma de energía por la que debemos 
responder, y la conservación de la energía mecánica es, por lo tanto, equivalente a la conservación de la 
energía cinética (
0 fC C
E E ). 
 
 En otra categoría, que llamamos inelástica, la energía aparece en otras formas, y las energías cinéticas 
inicial y final no son iguales. En ciertos casos 
0 fC C
E E como, por ejemplo, cuando la energía cinética 
inicial se convierte en energía interna de los productos, mientras que en otros casos 
0 fC C
E E , como 
cuando la energía interna almacenada en las partículas al chocar se libera. En una colisión inelástica la 
energía mecánica no se conserva, pero la energía total si. 
 
 
1 12 12 (5)
f
i
t
t
P F dt F t    2 21 21 (6)
f
i
t
t
P F dt F t   
1 2 (7)P P  
1 2 0 (9)P P P    
 
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 Colisión Elástica: Consideremos una colisión elástica unidimensional. Imaginemos a dos objetos que se 
mueven inicialmente a lo largo de la línea que une a los centros, luego chocan de frente y se mueven a lo 
largo de la misma línea recta después de la 
colisión (figura 3). Estos cuerpos ejercen 
fuerzas entre si durante la colisión que están 
a lo largo de la línea de movimiento inicial, 
de modo que el movimiento final está 
también a lo largo de la misma línea. 
 Las masas de las partículas en la colisión 
son 1m y 2m , siendo las componentes de la velocidad 1iv y 2iv antes de la colisión y 1 fv y 2 fv después de 
la colisión. Tomamos la dirección positiva del ímpetu y de la velocidad hacia la derecha de la figura (3). 
Suponiendo que las velocidades de las partículas en colisión sean suficientemente bajas, según la 
conservación del ímpetu obtendremos: 
 
 
 Puesto que estamos considerando una colisión elástica, la energía cinética se conserva por definición, y 
obtenemos, al ser 
0 fC C
E E : 
 
 
 Si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podemos calcular las dos velocidades finales 
1 fv y 
2 fv a partir de estas dos ecuaciones. La ecuación del ímpetu y la ecuación de la energía pueden escribirse: 
 
 
 
 
 Dividiendo la ecuación (13) entre la (12), y suponiendo que las velocidades iniciales son distintas a las 
velocidades finales para ambas masas, obtendremos que: 
 
 
 Y, después de un reordenamiento: 
 
 
 Para obtener las componentes de la velocidad 
1 fv y 2 fv después de la colisión a partir de las componentes 
de la velocidad 1iv y 2iv antes de la colisión, combinamos las ecuaciones (12) y (14) para eliminar a 2 fv y 
resolver para 
1 fv : 
 
 
 
 
 Similarmente, eliminamos a 1 fv y resolvemos para 2 fv : 
 
 
 
 
 Colisión Inelástica: Consideraremos ahora las colisiones inelásticas, en las que, por definición, la energía 
cinética no se conserva, pero la conservación del ímpetu siempre se cumple. 
 
 En el caso de la colisión completamente inelástica, el resultado final puede obtenerse a partir de los valores 
iniciales solamente. En este caso, las partículas se quedan pegadas y se mueven a una velocidad común fv 
después de la colisión. Entonces existe solamente una incógnita, y la ecuación del ímpetu (ecuación 10) es 
suficiente. Reemplazando tanto 1 fv como 2 fv en esa ecuación por la velocidad común fv nos conduce a: 
 
 
 
1 1 2 2 1 1 2 2 (10)i i f fm v m v m v m v  
1 1 1 12 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2
 (11)i i f fm v m v m v m v  
1 1 1 2 2 2() ( ) (12)i f f im v v m v v  
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2( ) ( ) (13)i f f im v v m v v  
1 1 2 2i f i fv v v v  
1 2 1 2( ) (14)i i f fv v v v   
1 2 2
1 1 2
1 2 1 2
2
 (15)f i i
m m m
v v v
m m m m
   
    
    
1 2 1
2 1 2
1 2 1 2
2
 (16)f i i
m m m
v v v
m m m m
   
    
    
1 2
1 2
1 2 1 2
 (17)f i i
m m
v v v
m m m m
   
    
    
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Cuando 2m esta inicialmente en reposo, esta se reduce a: 
 
 
 
 
 Colisiones Bidimensionales: 
 
 Si dos partículas colisionan de una manera diferente a la frontal, las partículas pueden moverse en 
direcciones que no coinciden con las direcciones del movimiento original (figura 4). Hemos elegido a 
nuestro sistema de coordenadas de modo que 
1P tenga 
una sola componente x, simplificando el cálculo, 
suponiendo que 2m está en reposo. La distancia b entre 
la línea de movimiento de la partícula incidente y una 
línea paralela que pase por 2m se llama parámetro de 
impacto. 
 
 Independientemente de la fuerza que actué entre las 
partículas, el ímpetu debe conservase. Puesto que el 
ímpetu es un vector, sabemos que las componentes x e y 
nos darán dos ecuaciones escalares independientes. Para 
las componentes en x: 
 
 
 
 
 Aquí tenemos en cuenta las direcciones de 
1 fv y 2 fv a través de los ángulos 1 y 2 respectivamente. El 
ímpetu y inicial es cero, y el ímpetu y final es la diferencia entre el de cada una de las partículas: 
 
 
 
 
 Si la colisión es elástica, se cumple el resultado usual para la conservación de la energía. Igualando las 
energías cinéticas inicial y final tenemos: 
 
 
 
 Colisiones Inelásticas bidimensionales: Una colisión en dos dimensiones completamente inelástica debe 
comenzar con ambos cuerpos en movimiento. Hacemos que el movimiento de un cuerpo defina al eje x, y 
disponemos la colisión de modo que los dos cuerpos se encuentren 
y se adhieran entre sí en el origen. El objeto final se mueve 
entonces en la dirección f a una velocidad fv (figura 5). La 
conservación del ímpetu para las componentes x e y da lo 
siguiente: 
 
 
 
 
 Donde 1 2M m m  es la masa total de la combinación después 
de la colisión. Puesto que la combinación se mueve a velocidad 
común, las cuatro incógnitas del caso elástico se reducen a dos: f y fv . Estas dos ecuaciones son 
suficientes para una solución única. 
 
 
 
 
1
1
1 2
 (18)f i
m
v v
m m
 
  
 
1 1
1 1 1 1 1 2 2 2cos cos (19)
i f
i f f
P P
m v m v m v 

 
1 1 1 2 2 20 (20)
iy fy
f f
P P
m v sen m v sen 

 
1 1 12 2 2
1 1 1 1 2 22 2 2
 (21)i f fm v m v m v 
1 1 2 2 2
2 2 2
cos cos (22)
sen sen (23)
f f
f f
m v m v Mv
m v Mv
 
 
 

 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Coeficiente de Restitución: 
 
 El coeficiente de restitución es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque 
entre partículas clásicas. En una colisión frontal alineada de dos esferas sólidas (como las que experimentan 
las bolas de billar) las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del 
choque, por la expresión: 
 
 
 
 Donde e es precisamente el coeficiente de restitución, que toma valores entre 0 y 1. El valor 1 se da en 
un choque perfectamente elástico, donde se conserva tanto el momento lineal como la energía cinética del 
sistema. El valor 0 se da en un choque perfectamente inelástico (o plástico) donde sólo se conserva 
el momento lineal, una porción de la energía cinética inicial de las partículas se "consume" durante el 
choque, convirtiéndose en energía de deformación plástica, energía sonora, calor, etcétera. 
 
 El coeficiente de restitución es la velocidad relativa de alejamiento, dividido entre la velocidad relativa de 
acercamiento de las partículas. 
 
 Péndulo Balístico: 
 
 Un péndulo balístico (figura 6) es un dispositivo que se empleaba para 
medir la velocidad de las balas antes de que se dispusiera de dispositivos 
electrónicos para medir el tiempo. Consta de un gran bloque de madera de 
masa M, colgado de dos largos de cuerdas. Se dispara una bala de masa m 
contra el bloque, dentro del cual llega rápidamente al reposo. La 
combinación bloque + bala oscila, elevándose su centro de masa a una 
distancia vertical h antes de que el péndulo llegue momentáneamente al 
reposo en el extremo de su arco. 
 
 Cuando la bala contra el bloque tenemos, por la conservación del ímpetu en la dirección horizontal 
( )mv M m V  donde v es la velocidad de la bala antes del impacto y V es la velocidad de la combinación 
después del impacto. Aunque la energía mecánica ciertamente no se conserva durante la colisión de la bala 
con el bloque, si se conserva en el péndulo al oscilar después del impacto. La energía cinética del sistema 
cuando el bloque esta en el fondo de su arco debe ser igual a la energía potencial del sistema cuando el 
bloque está en la parte superior, es decir: 
 
 
 Eliminando V entre estas dos ecuaciones llegamos a: 
 
 
 
 
 Podemos ver al péndulo balístico como una clase de transformador, intercambiando la alta velocidad de un 
objeto ligero (la bala) con la baja velocidad y, por lo tanto más fácilmente medible, de un objeto masivo (el 
bloque). 
 
 Momento de una Fuerza que actúa sobre una Partícula (TORQUE): 
 
 La experiencia con una puerta pesada nos enseña que una fuerza dada puede 
producir varias aceleraciones angulares dependiendo de donde se aplique la 
fuerza a la puerta y como aquella está dirigida (figura 7). Una fuerza 1F 
aplicada al borde y dirigida a lo largo de la puerta no puede producir ninguna 
aceleración angular, como tampoco lo puede hacer una fuerza 2F aplicada a lo 
largo del gozne de la puerta; pero una fuerza 3F aplicada en ángulo recto con la 
puerta en su borde exterior produce la mayor aceleración angular. 
 
2 1
2 1
f f
i i
v v
e
v v

 

1 2
2
( ) ( )M m V M m gh  
2
M m
v gh
m
 
  
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Choque_perfectamente_el%C3%A1stico
http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_lineal
http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica
http://es.wikipedia.org/wiki/Choque_perfectamente_inel%C3%A1stico
http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_lineal
http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_de_deformaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Plasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)
http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_sonora
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 El análogo de la rotación de la fuerza se llama torque ( ). Sea F una fuerza que actúa sobre una partícula 
aislada en un punto P cuya posición en torno al origen O del marco de referencia inercial esta dado por el 
vector r (figura 8). El torque que actúa sobre la partícula con respecto al origen O se define en términos del 
producto vectorial: 
 
 
 El torque es una cantidad vectorial, cuya magnitud está dada por 
, F rF r sen    , donde ,F r es el 
ángulo entre F y r . 
 
 El torque tiene las dimensiones de fuerza multiplicada por distancia. 
Estas son las mismas que las dimensiones de trabajo, pero el torque y 
el trabajo son magnitudes muy diferentes. La diferencia más notable 
que el trabajo es una magnitud escalar, mientras el torque es una 
magnitud vectorial. 
 
 Nótese que el torque producido por una fuerza depende no 
solamente de la magnitud y la dirección de esta, sino también del 
punto de aplicación de la fuerza respecto al origen, esto es, el vector 
r . 
 
 Podemos también escribir la magnitud de  ya sea como ,( )F rF r sen Fr      o como 
,( )F rr F sen rF      . 
 
 Momento Angular de una Partícula: 
 
 Dado una partícula de masa m que se mueve con una 
trayectoria circular con una velocidad tangencial v ,definimos al ímpetu lineal de dicha partícula como: 
 
 
 Se define momento angular de una partícula con 
respecto al punto de referencia: 
 
 
 El vector L (figura 9) es un vector normal al plano definido por r y P . Si disponemos a r y a P en el 
plano x-y, y aplicando el producto vectorial, tendremos que: 
 
 
 
 
 
 
 Dado que estamos en el plano x-y tendremos que 0z  , y por lo tanto 0zP  : 
 
 
 
 Teorema de Conservación de Momento Angular: Derivamos la ecuación (1) de momento angular 
con respecto al tiempo, tendremos que: 
 
 
 
 
 
 
 
P mv
( ) (1)L r P r v m   
F r  
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )z y x z y x
x y z
i j k
L r P x y z i yP zP j zP xP k xP yP
P P P
        
ˆ( )y xL k xP yP 
0
 (2)
dL dr dP
P r v mv r F r F
dt dt dt
dL
dt


         

 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Si tenemos que el torque de la fuerza aplicada a dicha partícula 0  tendremos que / 0dL dt  y por lo 
tanto: L ctte (Teorema de Conservación de la Cantidad de Mov. Angular). Cuando un torque es nulo, este 
se debe a dos causas: 
 
 
 
 
 
 Si 0F  tendremos que no existe fuerza externa sobre la partícula, y por lo tanto podemos decir que 
la partícula se mueve a velocidad constante (partícula libre). Por lo cual podemos expresar lo 
siguiente: 
 
 
 
 
 
 
Donde r sen y v son las magnitudes de los vectores r y v respectivamente, por lo cual se 
comprueba que L es constante (ya que todos las variables que intervienen en la ecuación son 
constantes). 
 
 Si la fuerza externa aplicada a una partícula es paralela al vector posición, tendremos el caso 
particular de un movimiento circular uniforme. 
 
 Momento Angular para un Sistema de Partículas: Consideremos ahora un sistema de partículas, por 
simplicidad emplearemos como ejemplo un sistema de dos partículas de masas 1m y 2m (figura 12). Ambas 
partículas conservan su momento angular con respecto al tiempo, por lo cual tendremos que: 
 
 
 
 Donde los torques 1 y 2 representan los momentos angulares de las partículas 1m y 2m 
respectivamente. Sumando las dos ecuaciones anteriores tendremos que: 
 
 
 
 Supongamos que cada partícula, además de su interacción con la otra, 
está sometida a una fuerza externa. Entonces la fuerza sobre la partícula de 
masa 1m es 1 12F F y sobre la partícula de masa 2m es 2 21F F , y 
 
 
 
 
 Dado que 21 12F F  , el torque total sobre la partícula será 1 2 1 1 2 2 1 2 12( )r F r F r r F         
El vector 12 1 2r r r  tiene la dirección de la línea que une las dos partículas. Sabiendo que las fuerzas 
internas 12F y 21F actúan a lo largo de la dirección de 12r que une las dos partículas, los vectores 1 2( )r r y 
12F son paralelos, y por lo tanto 1 2 12( ) 0r r F   . En conclusión tendremos que: 
 
 
 
 Donde tenemos que 1,ext y 2,ext , representan los torques externos (producido por las fuerzas externas) de 
las partículas 1m y 2m respectivamente. Por lo tanto, podemos generalizar esta última ecuación para un 
sistema de n partículas: 
 0
0
 ( / / )
Si F
Si F pasa por el centro de rotacion F r

 
 

 
L r P r mv
L r sen m v
L ctte

   
   

1
1
dL
dt
 2 2
dL
dt

1 2
1 2
( )d L L
dt
 

 
1 1 1 12 1 1 1 12
2 2 2 21 2 2 2 21
( )
( )
r F F r F r F
r F F r F r F


      
      
1 2
1 1 2 2 1, 2,
( )
ext ext
d L L
r F r F
dt
 

     
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
 
 
 Se puede enunciar esta ultima ecuación de la siguiente manera: “La rapidez de cambio del momento 
angular total de un sistema de partículas, relativo a un punto arbitrario, es igual al torque total relativo al 
mismo punto, de las fuerzas externas actuantes sobre el sistema.” 
 Si no existen fuerzas externas que actúen sobre el sistema tendremos que ( ) 0sist i
dL d
L
dt dt
  . Por lo 
cual obtenemos que 1 2 ...i nL L L L ctte     , cumpliendo el teorema de conservación del momento 
angular. Expresado en palabras, el teorema indica que: “El momento angular total de un sistema aislado, o 
un sistema sobre el que actúa un torque externo total nulo, es constante en magnitud y dirección.” 
 
 Energía Cinética Rotacional: 
 
 La figura (13) muestra un cuerpo rígido que gira con respecto a un 
eje vertical fijo. Consideremos al cuerpo como un sistema de 
partículas, y hacemos el análisis de una partícula sola. Una partícula 
de masa m a una distancia r del eje de rotación se mueve en un 
circulo de radio r a una velocidad angular  con respecto a este eje 
y tiene una velocidad lineal tangencial v r . La energía cinética 
de la partícula es, por lo tanto
1 12 2 2
2 2
mv mr  . 
 
 La energía cinética total CrE del cuerpo que gira es la suma de las energías cinéticas de todas las partículas 
que componen el cuerpo, que puede expresarse así: 
 
 
 
 Al suponer que el cuerpo es rígido, todas las partículas tienen la misma velocidad angular  . La cantidad 
se le llama inercia de rotación del cuerpo con respecto al eje de rotación particular, y está representada por 
el símbolo I: 
 
 
 Nótese que la inercia rotacional de un cuerpo depende del eje en torno al cual este girando así como de la 
manera en que este distribuida su masa. Combinando las ecuaciones (1) y (2) tendremos que: 
 
 
 Esta es análoga a la expresión para la energía cinética de traslación de un cuerpo 
1 2
2C
E Mv . Al igual 
que se puede demostrar que la inercia de rotación I es análoga a la masa M (que podemos considerar como la 
inercia de traslación). 
 
 Teorema del Trabajo y la Energía Cinética en el Movimiento Rotacional: 
 
 Supongamos un cuerpo rígido que pivotea en el eje z (figura 14). Se aplica al cuerpo una fuerza externa F 
actúa sobre el punto P, de tal manera que el trabajo realizado por dicha fuerza, cuando gira una distancia 
 ds r d , es: 
 
 
 Donde F sen  es el componente tangencial de F , mientras que no se considera el trabajo realizado por 
la componente radial de la misma no realiza trabajo, al ser perpendicular al desplazamiento. Obsérvese que 
( )F sen r  representa la ecuación del torque  de una fuerza sobre una partícula, por lo cual el trabajo 
realizado por la rotación se puede expresar: 
 
 
,
1
n
sist
i ext
i
dL
dt



( )dW F ds F sen r d      
dW d  
 1 2 22 (1)Cr i iE m r  
2 (2)i iI m r
1 2
2
 (3)CrE I
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 La rapidez a la que el trabajo es realizado por F cuando el cuerpo gira 
alrededor del eje, todo el ángulo d en un intervalo dt , es: 
 
 
 
 La expresión dW d  es análoga dW F dx  . Supongamos ahora que 
varias fuerzas 1F , 2F , …, se aplican en diferentes puntos del cuerpo en el plano 
normal a su eje de rotación. El trabajo neto efectuado por estas fuerzas sobre el 
cuerpo en una rotación d es: 
 
 
 Suponemos que es el desplazamiento angular d de cualquier punto del cuerpo durante el intervalo de 
tiempo dt , sin importar donde este situado el punto en un cuerpo. Podemos escribir así: 
 
 
 
 Aquí ext representa el torque externo total que actúa sobre el cuerpo, la cual se calcula considerando a 
cada torque externo como positiva en caso de que, al actuar aisladamente, tienda a girar al cuerpo en sentido 
contrario a las manecillas del reloj, caso contrario, el torque externo se considera negativo. 
 
 Durante el intervalo dt , la energía cinética del cuerpo cambia en una cantidad CdE como resultado de la 
acción de las fuerzas externas. Supongamos que la energía cinética de rotación es la única forma de energía 
que el cuerpo puede contener. Por lo tanto tendremos: 
 
 
 
 Durante el intervalo dt , el teorema de trabajo-energía da CdW dE . Sustituyendo las ecuaciones (1) y 
(2) en esta última expresión tendremos que:Esta última ecuación es análoga a la segunda ley de Newton análoga para el movimiento circular. Para 
obtener la razón a la cual se efectúa el trabajo en el movimiento de rotación, dividimos la ecuación (1) entre 
el intervalo de tiempo infinitesimal durante el cual se desplaza el cuerpo y obtenemos: 
 
 
 Donde p representa la potencia mecánica instantánea. La ecuación (4) es el análogo de rotación de 
p F v  para el movimiento de traslación. De lo que aprendimos en movimiento lineal, esperamos que 
cuando un cuerpo simétrico rota alrededor de un eje fijo, el trabajo realizado por fuerzas externas es igual al 
cambio en la energía rotacional. Para demostrar esto sabemos que I  . De la cual podemos obtener: 
 
 
 
 Comparando esta ecuación con los primeros dos términos de la ecuación (1), obtendremos que: 
 
 
 
 Al integrar esta última expresión obtendremos el trabajo total realizado por la fuerza externa neta que actúa 
sobre un sistema rotante: 
 
 
 
 
dW d
dt dt

 
     1 1 1 2 1 2 1 2cos cos ... ...dW F d rd F d r d d           
    (1)ext extdW d dt     
 1 22 (2)CdE d I I d I dt       
 
 (3)
ext
ext
dt I dt
I
  
 
 



 (4)p   
 (5)
d d d d
I I I I
dt d dt d
   
  
 
   
 (6)d dW I d    
1 12 2
2 2
 (7)
f
i
f iW I d I I


      
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Donde la rapidez angular cambia de i a f . Esta ecuación representa el teorema del trabajo y energía 
cinética para el movimiento rotacional, y expresa que: “El trabajo neto realizado por fuerzas externas al 
rotar un cuerpo rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igual al cambio en la energía rotacional del 
cuerpo.”