- UNIDAD 3

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Tranquilate! Junto a la Física 
 UNIDAD 3: Cinemática 
 
Definición: “Estudio del movimiento de los cuerpos esto es, su ubicación relativa en el espacio y en 
el tiempo, sin considerar las causas que lo provoca (fuerzas)”. 
 
Objetivo: Determinación de la trayectoria es decir la posición de un cuerpo en el espacio en función 
del tiempo. 
 
Trayectoria: Es la sucesiva posición de puntos en el espacio, donde queda definida una línea recta 
entre dos puntos sucesivos o cualquier otra forma pueda tomarse en el espacio. 
 
Cinemática de una partícula: 
 
 Para el estudio de la cinemática, tomaremos como referencia el movimiento de una partícula en línea recta, 
para poder introducirnos en algunos conceptos básicos de la cinemática. 
 
 También consideraremos simplemente el movimiento de una partícula únicamente, es decir, trataremos a 
un objeto complejo como si fuera un simple punto de masa. Esto nos permite despreciar todos los 
movimientos internos posibles (ejemplo, el movimiento de rotación del objeto o la vibración de sus partes) 
 
El movimiento es un concepto relativo. Un cuerpo se mueve respecto del observador. Esto es un 
“Referencial” o “Sistema de Referencia”: Sistema de coordenada fijo o anclado en el espacio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Clasificación de Movimiento: 
 
Según la trayectoria: 
 
 Movimiento rectilíneo: La trayectoria que describe el punto es una línea recta. 
 Movimiento curvilíneo: El punto describe una curva cambiando su dirección a medida que se 
desplaza. Casos particulares del movimiento curvilíneo son el movimiento circular describiendo un 
círculo en torno a un punto fijo, y las trayectorias elípticas y parabólicas. 
 
Según la velocidad: 
 
 Movimiento uniforme: La velocidad de movimiento es constante. 
 Movimiento uniformemente variado: La aceleración es constante (si negativa retardado, si 
positiva acelerado) como es el caso de los cuerpos en caída libre sometidos a la aceleración de 
la gravedad. 
 
Movimiento uniforme unidimensional: 
 
 También conocido como movimiento rectilíneo uniforme (MRU), trata del movimiento de una partícula a 
velocidad constante en forma horizontal (unidimensional) en función del tiempo, es decir, solo se moverá en 
sentido positivo o negativo al eje x de nuestro sistema de referencias. 
 
http://enciclopedia.us.es/index.php/Movimiento_circular
http://enciclopedia.us.es/index.php/Gravedad
 
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 Para ello debemos tener en claro algunos conceptos: 
 
 Vector Posición: Es el vector que nos permite ubicar nuestra 
partícula en el sistema de referencias ( 1x y 2x ). El vector posición 
depende del origen del sistema de referencias elegido. 
 
 Vector Desplazamiento: Es la diferencia entre la posición final de la 
partícula y su posición inicial ( 2 1x x x  ). El vector 
desplazamiento es independiente del origen del sistema referencial. 
 
 Por lo cual podemos definir desplazamiento como: “el cambio de posición de la partícula en el tiempo 
trascurrido”. 
 
 Empleando notación con vectores unitarios podríamos decir que: 
 
 
 
 Velocidad Media o Promedio (V ): Es el cociente entre el vector desplazamiento en un intervalo de tiempo. 
 
 
 
 
 De esta fórmula se puede sacar las siguientes afirmaciones: 
 Si el desplazamiento es negativo (-), la velocidad media tiene sentido negativo. 
 Si el desplazamiento es positivo (+), la velocidad media tiene sentido positivo. 
 Si el desplazamiento es cero, la velocidad media también lo es. 
 
 La V no dice cómo fue el movimiento entre las posiciones ix y fx (si fue más rápido o más lento al 
comienzo, o al final, o si fue constante) sólo se refiere al desplazamiento para ése intervalo de tiempo. Por ej. 
Si Ud. hace un recorrido alrededor de la manzana y regresa a su casa en un intervalo 
t , su 0V  pues 0x  . 
 
 Espacio Total Recorrido: es el desplazamiento que tuvo que recorrer una partícula hasta alcanzar su 
posición final. 
 
 
 
2 1 2 1ˆ ˆ ˆ( ) ( )x i x i x i x x       
f i
f i
x x x
V
t t t
 
 
 
 m
m
seg
 
  
 
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 Rapidez Media: tanto “rapidez” como “velocidad” describen cuán rápidamente cambia la posición de un 
cuerpo, es una cantidad escalar y siempre positiva (+) 
 
 
 
 
 
 
 
Diagramas (v, t) y (x, t) 
 
 
 
 
 
 Velocidad Instantánea: Como la velocidad puede variar en magnitud y sentido, si se hacen los t más 
pequeños obtenemos mejor información. Si queremos la velocidad en un instante determinado tiempo, 
debemos hacer un t más pequeño y por lo tanto considerar un x también más pequeño alrededor del 
punto considerado ( )x t . Si tanto t como x tienden a cero podemos definir: 
 
 
 
 
 Rapidez Instantánea: Es la magnitud o módulo de la velocidad instantánea (o sea el valor absoluto de v ). 
 
 Es escalar y siempre positiva (+) 
 
 
 Cuando los intervalos se hacen más pequeños alrededor de 
P, llega un momento en que no se puede distinguir más entre 
secante y tangente de modo que la velocidad instantánea en 
P (o en cualquier punto arbitrario) es la pendiente de la 
tangente a la gráfica en dicho punto. 
 
 De la formula de velocidad, podemos obtener dos formulas 
para el MRU. 
 
 
 
 
 
Movimiento Uniforme Variado: 
 
 Si v cambia en magnitud, en dirección o sentido, la partícula tiene una 
aceleración que es la rapidez con que cambia su velocidad al transcurrir el 
tiempo. 
 
 Aceleración Media: 
 
 
 
 
 
 Al igual que el concepto de velocidad media, la aceleración media solo se 
refiere a la aceleración en ese intervalo de tiempo. Es decir, no nos dice si la 
aceleración en ese intervalo de tiempo es constante o varia en dicho 
intervalo. 
 Si en el intervalo de tiempo dicha aceleración no es constante, si queremos saber cuál es la aceleración en 
recorridoe
rapidez
t


( ) ( )
0 0
lim lim
t t t
t t
x x x dx
v
t t dt
 
   
 
  
 
dx
rapidez v
dt
 
f o
f o
v v v
a
t t t
 
 
 
m
seg
 
  
2
m
seg
 
  
0fx x
t
v

 0fx x v t  
 
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 un cierto punto del intervalo dicha aceleración se denomina aceleración instantánea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aceleración Instantánea: Es el límite de la aceleración media cuando 0t  . 
 
 
 
 También: 
 
 
 
 
 
 Si observamos la formula de la aceleración podremos notar que la misma puede tomar valores tanto 
negativos como positivos. Es decir, la aceleración representa el aumento o disminución de la velocidad, ya 
sea esta positiva o negativa. 
 
 Cuando hablamos de un MRU Variado, nos referimos a un aumento de la velocidad (MRU Acelerado) o a 
una disminución de la velocidad (MRU Retardado), siendo la velocidad positiva o negativa. 
 
 De la formula de la aceleración podemos obtener las siguientes formulas para el MRUV. 
 
 
 
 
 
 
 Si hacemos un estudio más detallista del movimiento de una partícula con aceleración constante podremos 
obtener la siguiente fórmula: 
 
 
 
 De esta fórmula, y apoyándonos en las anteriores, podremos obtener las siguientes igualdades: 
 
 
 
 
 
 
 Caída Libre y Tiro Vertical: 
 
 Si permitimos que un cuerpo caiga en un vacio, de modo que la resistencia del aire no afecta su 
movimiento, encontramos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o 
composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta 
aceleración, denotada con el símbolo g, se denomina aceleración en caída libre. 
 
 La dirección de la aceleración en caída libre en un punto determina lo que queremos significar con las 
palabras “hacia abajo” en ese punto. 
0
lim
tv dv
a
t dt 

 

2
2
dx
d
dv d xdt
a
dt dt dt
 
 
   
0v v
a
t


0v v a t  
0v v
t
a


2
0 0
1
2
x x v t a t     
2 2
0 02 ( )v v a x x    
0 0
1
( )
2
x x v v t    
 
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 Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimientos hacia 
arriba experimentan la misma aceleración en caída libre (en magnitud y 
dirección), es decir, cuando se trata de un tiro vertical de un cuerpo. Esto es, 
sin importar que la velocidad de la partícula sea hacia arriba o hacia abajo, la 
dirección de su aceleración bajo la influencia de la aceleración de la gravedad 
de la Tierra es siempre hacia abajo. 
 
 El valor exacto de la aceleración en caída libre varia por diversos factores, 
tales como la distancia desde el centro de la Tierra, la latitud y la longitud 
donde esté ubicado el cuerpo entre otros factores. 
 
 Las ecuaciones vistas para el MRU Variado, son aplicables para caída libre 
y tiro vertical de un cuerpo. Para ello, solo tendremos en cuenta dos cambios: 
marcamos la dirección de la caída libre como el eje y, y tomamos como 
positiva la dirección hacia arriba. 
 
 
 
 
 
 
 
Movimiento en el Plano (Mov. Bidimensional): 
 
 Los conceptos de posición, velocidad y aceleración vistos para 
movimiento rectilíneo son aplicables en el movimiento de 2D, 
teniendo en cuenta que ahora se cuenta netamente con vectores, 
ya que en movimiento rectilíneo solo se necesitaba saber el 
sentido del desplazamiento, ya que la dirección era siempre la 
misma. 
 
 También notaremos que el vector velocidad de la partícula es 
siempre tangencial a la trayectoria de la misma. 
 
 r (m): Vector Posición 
 r (m): Vector Desplazamiento 
 
 Velocidad Media ( m s ): 
 
 
 Velocidad Instantánea ( m s ): 
 
 
 Aceleración Media ( 2m s ): 
 
 El vector aceleración, tiene la misma dirección y sentido del 
vector v 
 
 Aceleración Instantánea ( 2m s ): 
 
 
 Dado que estamos trabajando en un plano, tendremos que expresar la posición, velocidad y aceleración de 
la partícula en sus vectores unitarios. 
 
 
 
0
0 0
2
0 0
0 0
1 2
2
2
1
2
2 ( )
( )
v v g t
y y v t g t
v v g y y
y y v v t
  
     
    
    
m
r
v
t



0
lim
t
r dr
v
t dt 

 

m
v
a
t



0
limm
t
v dv
a
t dt 

 

 
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 Posición: 
 
 Velocidad: 
 
 Aceleración: 
 
 Recordemos que en este caso estamos tratando con aceleración 
media, por lo tanto no sabemos si la aceleración en el intervalo de 
tiempo es o no constante durante toda la trayectoria de la partícula. 
 
 Movimiento en 2D con Aceleración Constante: 
 
 En este caso consideramos el caso particular de la aceleración constante, donde a no varía ni en magnitud 
ni en dirección, y por consecuencia sus componentes también se mantienen constantes. 
 
 
 
 
 Teniendo en cuenta que estamos en movimiento en 2D, expresaremos los conceptos de posición y 
velocidad con sus componentes en los ejes x y . 
 
 
 
 
 
 
 
 Si expresamos la velocidad en forma vectorial tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 De la misma forma podemos llegar a las siguientes formulas: 
 
 
 
 
 Ahora vamos a ver un caso particular del movimiento en 2D, se trata del movimiento de un proyectil o 
comúnmente llamado Tiro Oblicuo. 
 
Movimiento de Proyectiles (Tiro Oblicuo): 
 
 Se trata del movimiento bidimensional de una partícula lanzada oblicuamente en el aire. El movimiento del 
proyectil es aquel de aceleración constante g, dirigido hacia abajo. Aun cuando pueda haber una componente 
horizontal de la velocidad, no hay una componente horizontal de la aceleración. Por lo tanto: 
 
 
 
 
 Dispondremos de un sistema coordenado x y donde en el origen del mismo la partícula iniciará su 
movimiento, con una velocidad 0v con un ángulo 0 , cuya trayectoria es una trayectoria parabólica. 
ˆ ˆx yr i r j r   
ˆ ˆx yv i v j v   
ˆ ˆx ya i a j a   
x
y
a ctte
a
a ctte



0 0
0 0
0
0 0
1
2
1 2
2
2 2
( )
2 ( )
x x
x x
x x x
x x x
x x v v t
x x v t a t
v v a t
v v a x x
    
     
  
    
0 0
0 0
0
0 0
1
2
1 2
2
2 2
( )
2 ( )
y y
y y
y y y
y y y
y y v v t
y y v t a t
v v a t
v v a y y
    
     
  
    
0 0
0 0
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )
x x y y
x y x y
x yv i v j v
v i v a t j v a t
v i v j v i a j a t
v v a t
   
       
        
  
0 0
0 0
1 2
2
2 2 2 ( )
r r v t a t
v v a r r
     
    
0x
y
a
a ctte
a g

 
 
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Descomponemos la velocidad 0v en sus componentes rectangulares (condiciones iniciales de la velocidad): 
 
 
 
 
 Para un tiempo determinado, tendremos que la velocidad varia en magnitud 0v y sentido. Analizando las 
componentes de dicha velocidad y las aceleraciones correspondientes, teniendo en cuenta la formula de 
velocidad en MRUV, tendremos que: 
 
 
 
 
 La primera formula nos dice que: la componente horizontal de la velocidad retiene su valor durante todo 
el vuelo. Es decir, la componente horizontal de la velocidad es de MRU. La componente vertical de la 
velocidad es la de la caída libre. 
 
 Si queremos saber la magnitud y dirección de la velocidad en un determinado tiempo empleamos sus 
componentes xv y yv , por lo tanto tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 El vector velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula en todo punto. Para determinar la posición de 
la partícula en un tiempo t en su trayectoria, teniendo en cuenta las aceleraciones y las condiciones iniciales 
de la velocidad, emplearemos las siguientes formulas: 
 
 
 
 
 De la combinación de estas dos formulas, de manera tal de eliminar el parámetro t obtendremos: 
 
 Ecuación Cartesiana de la Trayectoria 
 
 
 Si observamos esta ultima formula podremos ver el por qué de la trayectoria parabólica de la partícula, 
dado que la componente y la podemos expresar en función de la componente x la cual resulta ser una variable 
de grado 2 (ecuación cuadrática). 
 
0 0 0 
0
0 0 0 
cos (1)
(2)
x
y
v v
v
v v sen


 

 
0 0 0 
0 0 0
2
cos (3)
 (4)
x x x
y y y
v v a t v
v v a t v sen g t


    
      
2 2 (5)
 (6)
x yv v v
vy
arctg
vx

 
 
  
 
0 0 0 0
0 0 0 0
1 2
2
1 12 2
2 2
( cos ) (7)
( ) (8)
x x
y y
x x v t a t v t
y y v t a t v sen t g t


        
           
0
0 0
2
2
( ) (9)
2 ( cos )
g
y tg x x
v


   
 
 
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 Alcance Horizontal (R): El alcance de la partícula representa la distancia horizontal máxima que alcanza 
la partícula desde su punto de partida hasta su impacto en el suelo. 
 
 Si analizamos la trayectoria de la partícula, al impactar en el suelo la componente vertical 0y  , 
reemplazando este valor en ecuación (8), obtendremos que: 
 
Tiempo de Vuelo 
 
 
 Por lo tanto, reemplazando el valor t en la ecuación (7) obtendremos que: 
 
 
 
 
 
 
 El alcance horizontal de la partícula va a depender del ángulo de tiro, por lo cual para que el alcance de la 
misma sea el máximo posible 0 2 1sen   , por lo tanto 0 45   . 
 
 
 
 Altura Máxima: ( maxy ) Es la máxima altura que puede alcanzar la partícula durante su vuelo. Para ello la 
componente de la velocidad 0yv  , para lo cual y es máximo. 
 
 
 
 La altura máxima se alcanza en la mitad de la trayectoria, siendo este el tiempo de semivuelo. 
Reemplazamos este valor en la ecuación (8), obteniendo:El valor de 0 para el cual la altura es la máxima que podría llegar a alcanzar la partícula es cuando 
0 90   : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 02 v sen
t
g
 

0 0
2 2
 (10)
v sen
R
g


0 0
0 0
2 
( cos )
v sen
R x v
g


 
   
0
max
2v
R
g

0 0 v sen
t
g


0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
2
1
2
2 2 2 2
1
2
 
 
 
v sen v sen
y v sen g
g g
v sen v sen
y
g g
 

 
    
        
   
 
  
0 0
max
2 2 
 (11)
2
v sen
y y
g

 
0
max vert.
2
2
v
Y
g

 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Movimiento Circular o Circunferencial: 
 
 Se trata del movimiento de una partícula cuya trayectoria es 
circunferencial (de radio r), y cuyas coordenadas que se usan en este tipo 
de movimiento son las coordenadas polares. 
 
 La posición de la partícula queda determinada por el ángulo  y por el 
modulo del vector posición r que es constante. Dado que el vector r
barre el ángulo  en el tiempo t , podemos definir la velocidad 
angular media. 
 
 
 
La dirección y sentido de  queda determinado por la dirección y sentido de la rotación de la partícula en 
el plano. Es decir, coincide con la dirección del vector unitario nu o versor normal al plano determinado por 
 y r . Por convención, asignamos al sentido anti horario 
el signo positivo (+), y el sentido de  será hacia arriba en la 
figura. Se aplica la regla del tirabuzón de giro derecho; o la 
regla de la mano derecha. 
 
 
 Velocidad Angular Instantánea: 
 
 
 
 La unidad de  es rad
s
 
 
 
 dado que  se mide en radianes. La razón de ello es que la longitud de un arco de 
círculo de radio r se expresa por la siguiente relación: 
 
 
 
 Por lo tanto, la longitud de arco será s r   
 
 Cinemática Angular: 
 
 Para el caso en el que m  , la velocidad angular ctte  . Es decir que: 
 
 
 
 Por lo cual tendremos que: 0 0 0 0( ) ( ) con 0, 0t t t         
 
 
 Si se da el caso en que la velocidad angular varía en el tiempo, tendremos una aceleración angular ( ), 
que al igual que en cinemática de una partícula tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 Si la aceleración angular media es igual a la velocidad angular instantánea m  , quiere decir que 
ctte  y por lo tanto estamos en presencia de un movimiento circular uniforme variado. 
 
 Al igual que en cinemática de una partícula, las mismas formulas son aplicables para cinemática angular. 
 
m
t





0
lim n
t
d
u
t dt
 

 

  

long. de arco (s) circunferencia del círculo 2
. del arco ( ) angulo total del círculo 2
s r
ang

  
  
 se tiene un mov. Círcular Uniforme
d
ctte
t dt
 


   

 (1)t  
 m Aceleración Angular Media
t





0
= Instántanealim
t
d
Aceleración Angular
t dt
 

 



 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Relación entre Velocidad Angular y Velocidad Tangencial: Consideremos un punto iP de un cuerpo 
(disco) en rotación. La velocidad  es la misma en todos los puntos, no así la velocidad de traslación que 
será distinta para los puntos ubicados en cada circunferencia. 
 
 En t el punto se desplaza r . Si paulatinamente hacemos más 
chico a t hasta llegar a dt llega un momento en que no se puede 
distinguir la cuerda dr del arco ds , o sea ds dr siendo la 
velocidad instantánea de iP . 
 
 
 
 Donde la dirección de v es la del vector dr y coincide con la 
tangente a la circunferencia en el punto considerado, por ello se 
llama velocidad tangencial Tv . 
 
 Como ds dr y de ds r d  , dividiendo miembro a miembro esta última igualdad por dt : 
 
 
 
 Por lo tanto: 
 
 Vectorialmente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aceleración Centrípeta: Representa la variación de la dirección de la velocidad aun si esta mantiene su 
magnitud, representa una variación vectorial de la velocidad. La dirección y sentido de dicha aceleración será 
la misma de la del vector v . 
 
 
El modulo o magnitud de ca se obtiene de los triángulos de la 
figura (semejantes y sus  son iguales). 
 
 
 
 
 
 Dividiendo miembro a miembro por t : 
 
 
0 0 (2)v v a t t        
0 0
1 1
2 2
( ) ( ) (3)x v v t t           
0 0 0 0
1 12 2
2 2
 (4)x x v t a t t t               
0 0
2 2 2 22 2 (5)v v a x            
dr
v
dt

dr d
r
dt dt

 
 (6)Tv r  
Tv r  
 Tv r sen   
 con 90Tv R sen      
Tv R  
c
v
a
t



r v v
v r
r v r
 
   
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
2
ca r 
c Ta v 
 
 
 
 
 
 
 
 Por lo tanto: Relación entre aceleración centrípeta y velocidad tangencial 
 
 Como Tv r  : Relación entre aceleración centrípeta y velocidad angular 
 
 Relación entre aceleración centrípeta, velocidad tangencial y angular 
 
 Vectorialmente: c Ta v  cuyo modulo es c T Ta v sen v       
 
 Debemos recordar que  y Tv son perpendiculares, y que por lo tanto 1sen   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración: 
 
 Si la velocidad tangencial no es constante, es decir varia su modulo, surge lo que se denomina aceleración 
tangencial. 
 
 
 Dividiendo miembro a miembro por t y en el límite de 0t  
 
 
 El cambio en el modulo de la velocidad tangencial: Ta 
 El cambio en la dirección de la velocidad tangencial: Ca 
 
 En consecuencia, el modulo y dirección del vector a serán: 
 
 
 
 Relación entre Ta y  : 
 
 
 
 
Movimiento Relativo: 
 
 Transformación de Galileo: Los puntos O y O’ y un punto P que se mueve con una velocidad v respecto 
al sistema referencial de origen O’, donde tendremos que en triangulo vectorial 'OO P

: 
2
T
c
v
a
r

v v r
t r t
 
 
 
0 0
lim lim
T
c T
t t
v v r v
a v
t r t r   
 
    
 
C Tv v v   
C Ta a a 
2 2
C Ta a a  1 T
C
a
tg
a
 
 
  
 
T
T T
dv d
a R R a R
dt dt

        
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Tomando diferenciales y derivando con respecto a t. 
 
 
 
 
 
 
 
 Donde u se denomina velocidad de arrastre y es constante. 
 
 Si derivamos esta última ecuación nuevamente con respecto a t 
tendremos que: 
 
 
 
 
 
 Si para 0t  , los sistemas coordenados de orígenes O y O’ son coincidentes: 
 
 
 
 
 
 Luego las componentes de r serán (para cualquier tiempo t): 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformación de Lorentz: En 1905 Einstein estableció que “Todas las leyes de la naturaleza son las 
mismas (es decir permanecen invariante) para todos los observadores en movimiento relativo de traslación 
uniforme”. 
 
 Supuso que la velocidad de la luz es una invariante física es decir que tiene el mismo valor para todos los 
observadores. Bajo esta suposición la transformación Galileana no es correcto. En particular la ecuación t = 
t’ no puede ser correcta. Puesto que la velocidad es la distancia dividida el tiempo para que permanezca 
constante debemos ajustar tanto el tiempo como la distancia para que la velocidad de la luz pueda ser 
constante. 
 
 Por ello debemos reemplazar la transformación Galileana por otra de modo que la velocidad sea un 
invariante. Y la nueva transformación, compatible con la invariancia de la velocidad de la luz, es entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
'' OOr r

 
'' OOdr dr d
dt dt dt

 
'v v u 
'
 como es ctte. 0
dv dv du du
u
dt dt dt dt
  
'a a
x
y
z
u t
u t
u t
 




'
'
'
'
x x x
y y y
z z z
r r u t
r r u t
r r u t
t t
  

  

  

2
1
2
'
 que muestra la xx
u
c
r u t
r constraccion longitudinal

 

'
'
y y
z z
r r
r r


'
2
1
2
 que muestra la 
u r
xt
c
u
c
t dilatación del tiempo



