3 AFINACION DEL PIANO INTRODUCCION AL SISTEMA TEMPERADO

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3. AFINACIÓN DEL PIANO. INTRODUCCIÓN AL SISTEMA TEMPERADO 
 
 
SÍNTESIS DIGITAL DE INSTRUMENTOS MUSICALES 
 
SÍNTESIS DIGITAL DE PIANOS ELECTRÓNICOS 
 
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3. Afinación del piano. Introducción al sistema temperado 
 
 A la hora de diseñar nuestro modelo de síntesis, es necesario conocer 
los fundamentos del fenómeno físico armónico y sus efectos sobre la 
afinación del piano moderno. La relación en frecuencia entre los intervalos 
más importantes así como entre semitonos consecutivos es de capital 
importancia en la construcción de modelos de síntesis, en los cuales a 
menudo se generan tonos secundarios a partir de un conjunto de tonos 
básicos. Por tanto es necesario describir, aunque someramente, la estructura 
matemática del sistema musical occidental y su aplicación práctica en la 
afinación del piano. 
 
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3.1. Bases acústicas de la escala 
 
 En la Grecia antigua, los matemáticos sabían que las relaciones 
interválicas más sencillas entre los sonidos corresponden con exactitud a 
proporciones simples, expresadas en números enteros pequeños, entre las 
longitudes de una cuerda vibrante. Si una cuerda pulsada que produce un 
determinado sonido se acorta, por ejemplo, la mitad exacta de su longitud, 
el sonido resultante es una octava más aguda que el original, suponiendo 
que la tensión de la cuerda se mantiene constante. La misma cuerda 
acortada sólo un tercio de su longitud, suena una quinta justa más aguda; 
otras proporciones simples dan otros intervalos. 
 
Los intervalos simples y las proporciones de longitud de la cuerda se 
pueden comprobar con facilidad utilizando un monocordio, que en realidad 
es una cuerda con un soporte fijo y el otro móvil, montado sobre una regla 
apropiada. Si tomamos una cuerda de cualquier longitud (que supondremos 
1 sin pérdida de generalidad) entre dos soportes fijos y la dividimos 
mediante otro soporte situado entre ellos, podemos obtener las notas 
representadas por la longitud 
n
1 y 
n
11− , siendo n un número entero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1. Monocordio para generar la serie armónica. 
 
 
 
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 Supongamos que la cuerda sin dividir, de longitud 1, suena como el 
Do-2 a dos octavas por debajo del Do-4 central del piano. Comprobaremos 
que las longitudes de los segmentos mostrados en el diagrama anterior 
sonarán de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2. Generación de los cuatro primeros armónicos de la nota Do-2. 
 
 El proceso de división no se puede prolongar demasiado sin llegar a 
longitudes de la cuerda tan pequeñas que resultarían impracticables. Sin 
embargo, suponiendo que podamos medirlas exactamente, las longitudes 
n
1 
darían los siguientes sonidos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3. Serie armónica de Do. 
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 Estos sonidos forman la llamada serie armónica de Do. Los números 
son los ordinales de los armónicos en la serie. El número de cada sonido, es 
también el denominador de la fracción que representa la longitud del 
segmento de la cuerda que produce el sonido. El asterisco indica aquellos 
sonidos que según los patrones musicales están demasiado desafinados, por 
razones que pronto aclararemos. 
 
Todos los sistemas naturales vibrantes generan armónicos. En 
condiciones normales, una cuerda vibrante, no produce sólo el sonido 
fundamental, sino que a la vez suenan todos los armónicos juntos. Los 
armónicos sobre la fundamental están presentes en el sonido, pero con una 
intensidad mucho más débil que la fundamental; su fuerza relativa decrece 
cuanto más alto es el número del armónico, y en la mayoría de los casos, no 
son audibles en absoluto más allá del decimosexto armónico. 
 
La intensidad relativa de los armónicos sobre una fundamental 
contribuye a nuestra percepción del timbre y de la individualidad 
instrumental; la distribución de estas intensidades relativas da como 
resultado una forma de onda característica. Un sonido puro, es decir una 
fundamental sin armónicos, tiene una sonoridad clara y pobre como un 
zumbido. 
 
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3.2. Proporciones interválicas 
 
 La serie de armónicos del ejemplo precedente consta de sonidos que 
mantienen relaciones interválicas entre sí, pero estas relaciones permanecen 
constantes sea cual sea la fundamental. Por ejemplo, los seis primeros 
armónicos del Fa# bajo el Do-4 central son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4. Primeros armónicos de Fa#. 
 
 Se puede comprobar con facilidad, experimentando con cuerdas de 
diferente afinación, que la proporción de la longitud de la cuerda para 
cualquier intervalo debe ser constante, suponiendo que la tensión y la 
densidad de la cuerda permanezcan constantes. 
 
 En el plano frecuencial, podemos determinar que las frecuencias de 
los sonidos de la escala corresponden logarítmicamente a números enteros. 
Esto es bastante fácil de ver con la relación de octava. Si partimos de una 
frecuencia f, su octava superior será 2f, la superior 22 f, la siguiente 32 f y 
así sucesivamente. Estos coeficientes corresponden a los números de la 
serie de armónicos. 
 
Para el intervalo de octava más quinta justa, la relación en frecuencia 
sería 1:3 es decir, 3f. El sonido a dos octavas por encima sería 22 ·3f y así 
sucesivamente. El principio que se desprende es que cuando se suman 
intervalos, sus proporciones en frecuencia se multiplican. Esto es 
comparable a un procedimiento logarítmico en base 2. 
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 Esta propiedad sugiere que debería ser posible obtener sonidos que 
no aparecen en la serie armónica de Do, y por tanto generar toda la escala 
cromática en un ámbito dado. Por ejemplo, podríamos generar doce alturas 
diferentes a partir del Do más grave del piano y afinar los sonidos con 
quintas justas pitagóricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.5. Serie de Quintas de Do. 
 
 
 Puesto que cada una de estas quintas tiene una relación de frecuencia 
de 
2
3 (lo que equivale a una longitud de cuerda de 
3
2 ), para sumar quintas 
sucesivamente, tenemos que multiplicar la frecuencia más grave por 
factores sucesivos de 
2
3 . Los números del ejemplo son los multiplicadores 
y el Do más grave es la frecuencia básica (que según el patrón internacional 
de afinación es de 32.70 Hz). La serie de once quintas superpuestas 
proporciona los doce sonidos de la escala cromática y acaba con el Mi# 
agudo. Si afinamos las notas correspondientes en el piano con las 
frecuencias indicadas, el resto es una cuestión sencilla, pues partiendo de 
las notas afinadas basta añadir octavas hacia arriba o hacia abajo. 
 
 Por desgracia, este procedimiento da resultados muy poco 
satisfactorios. Para ver el porqué, calculemos la frecuencia de la siguiente 
quinta ascendente de la serie, el Si# agudo, que enarmónicamente 
corresponde al Do más agudo del piano. Su frecuencia en relación con la 
del Do más grave, a partir del procedimiento de las quintas sucesivas sería 
746,129
2
3 12
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ . Sin embargo, si consideramos que este Do está a siete 
octavas sobre el Do más grave, su relación con la frecuencia inicial sería 
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12827 = . Esto significa que el Si#obtenido afinando quintas ascendentes 
desde el Do grave será algo más agudo que el Do obtenido afinando 
octavas ascendentes. El cociente entre las dos alturas, expresada como la 
proporción interválica 1.014 se llama coma pitagórica, que es algo más 
pequeña que un cuarto de tono, pero fácilmente perceptible. 
 
 Una coma comparable no se podía haber evitado afinando los 
sonidos mediante cuartas justas, como demuestra el ejemplo siguiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.6. Serie de Cuartas de Do. 
 
La proporción de la cuarta justa 
3
4 multiplicada doce veces, da un 
resultado algo menor que el de cinco octavas mediante un factor de 1.014, 
al igual que en el caso precedente: 569.31
3
4 12
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 3225 = y el Rebb final será 
fastidiosamente más grave que el Do correspondiente. 
 
Una pequeña investigación adicional bastará para descubrir que 
ninguna de las proporciones que representan intervalos simples dará una 
división de la octava libre de comas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.7. Afinación por serie armónica y por quintas sucesivas. 
 
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En el primer caso el Mi se obtiene como 
5
1 de la longitud inicial lo 
que significa una frecuencia 5 veces mayor. En el segundo caso el Mi se 
obtiene tomando quintas sucesivas lo que supone 0625.5
2
3 4
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
 
El resultado práctico de cualquiera de estas afinaciones es que las 
notas más agudas en la superposición de intervalos repetidos están cada vez 
más desafinadas. Las desigualdades derivadas de la multiplicación, 
inherentes a las proporciones interválicas, se pueden comprobar en la 
propia serie armónica. 
 
La proporción de esta diferencia 
80
81 , llamada coma sintónica, revela 
un hecho sorprendente. En el caso de las otras comas, era evidente que 
existía una diferencia de notación entre Si#, Rebb y Do, y podríamos haber 
supuesto que estas diferencias de notación eran el resultado de las 
diferencias naturales en el método empleado para generar las frecuencias. 
En el caso de los dos Mi del ejemplo anterior, no existe esta diferencia de 
notación, ambos son el mismo Mi. 
 
Examinemos de nuevo la serie armónica. Una propiedad que 
podemos advertir, es que los intervalos entre armónicos adyacentes se van 
haciendo cada vez más pequeños (p.ej. 
9
10 =1.1111 es más pequeño que 
8
9 =1.125). Pero esto no es evidente en la notación. En el ejemplo, la 
distancia entre Do y Re es una segunda mayor, al igual que entre Re y Mi. 
 
Así existe una desigualdad entre la serie armónica que podemos 
generar y la notación musical que hemos elegido para representarla. En 
otras palabras, nuestro sistema familiar de notación no puede representar en 
detalle las notas de la serie armónica, o al menos no todas las notas. 
Sabemos que la notación musical que utilizamos, aunque complicada e 
incómoda de aprender, es adecuada para representar la música de nuestra 
experiencia habitual, y quizás resulte algo alarmante descubrir que está en 
desacuerdo con la realidad acústica 
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3.3. El sistema temperado 
 
 La respuesta a esta evidente contradicción la proporciona el 
temperamento igual, inventado a principios del siglo XVII, pero que no 
gozó de amplia difusión hasta la época de J.S.Bach (que contribuyó en gran 
medida a popularizarlo). En el temperamento igual, la octava se divide en 
doce intervalos de semitono exactamente iguales, lo que significa que cada 
semitono de la octava, allí donde esté situado, está representado por una 
proporción constante, a saber 05926.1212 = . La segunda mayor temperada 
viene representada por 12
2
2 y la tercera menor 12
3
2 y así sucesivamente a lo 
largo de toda la escala cromática, de modo que la octava viene representada 
por 12
12
2 =2. 
 
 El factor 12 2 es un número irracional y no puede expresarse como 
fracción de dos enteros, por tanto, el semitono temperado no puede ser el 
intervalo exacto entre ningún par de sonidos de la serie armónica (aunque 
un valor muy aproximado es 
17
18 ) 
 
Lo que esto significa es que de todos los intervalos de la escala 
cromática temperada, sólo las octavas están afinadas con exactitud. Desde 
el punto de vista de la afinación “ideal”, medida por la serie armónica, esto 
es una desventaja general, desde el punto de vista de la interpretación y la 
notación musical práctica, sin embargo, la ventaja es inmensa. Las comas 
desaparecen y las diferencias de entonación entre los intervalos se dividen 
por igual a lo largo de toda la escala y son demasiado pequeñas para ser 
percibidas en la interpretación 
 
En nuestro sistema de notación musical, su base diatónica permite un 
subsistema den notas cromáticas con signos de sostenidos y bemoles, y que 
el temperamento igual acomoda a la perfección esas notas cuando se 
emplea la equivalencia enarmónica. 
 
Un pequeño cálculo demuestra que la proporción de la quinta justa 
temperada (siete semitonos) es 12
7
2 =1.498, ligeramente más pequeña que 
1.5, la quinta pitagórica. La tercera mayor temperada es 1.2599, más 
grande que la tercera mayor de la serie armónica 1.25. En definitiva, todos 
los intervalos excepto la octava están imperceptiblemente desafinados.