TEORIA DE MATRICES

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TEORIA DE MATRICES
NUMEROS COMPLEJOS
Un número complejo ”Z” se define como un par ordenado de números reales:
 Z=(a,b) con a,b ∈ R
Donde el primer elemento del par ordenado se llama “Parte Real” del número complejo, y el segundo elemento se llama parte “imaginaria”:
Re(z)=a
Im(z)=b
TEORIA DE MATRICES
NUMEROS COMPLEJOS
En los números complejos se definen las siguientes operaciones:
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
(a,b) . (c,d) = (ac–bd,ad+bc)
Con estas operaciones, puede demostrarse que el conjunto de los números complejos tiene las mismas propiedades que los reales con la suma y el producto. 
TEORIA DE MATRICES
OPERACIONES EN FORMA BINOMICA
Suma y resta.-
Si,  z1=a+bi  y,  z2=c+di 
entonces:
z1+z2 = (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
Análogamente: z1–z2=(a–c)+(b–d)i
						
TEORIA DE MATRICES
OPERACIONES EN FORMA BINOMICA
Multiplicación.-
z1.z2=(a+bi).(c+di)=ac+adi+bic+bdi2 [1] ¿ Cuánto vale i ² ?
De acuerdo con la multiplicación definida:
(a,b).(c,d)=(ac–bd,ad+bc) [2]
Para i=(0,1) resulta:
i2=(0,1).(0,1)=(–1,0)i2=(0,1).(0,1)=(–1,0), que identificamos con el número real (–1).
En resumen:					i ² =–1
Reemplazando en [1] resulta:
		 z1.z2=(ac–bd)+i(ad+bc)
			
TEORIA DE MATRICES
OPERACIONES EN FORMA BINOMICA
Conjugado de un Número Complejo.-
El Conjugado de z = a + bi, se define así:
 ž = a – bi.
Observamos que z y ž son simétricos respecto del eje real, como muestra la siguiente figura:
			
TEORIA DE MATRICES
OPERACIONES EN FORMA BINOMICA
División.-
Sean:  z1=a+bi  ,  z2=c+di
Para hallar z1/z2 multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:
				z1 z1 ž2
 				 = *
				z2 z2 ž2
Entonces:
						
TEORIA DE MATRICES
IDENTIDAD DE EULER
La fórmula de Euler es considerada la fórmula más bella del mundo, porque en forma sencilla y elegante, relaciona cinco (5) de las identidades fundamentales de las Matemáticas, y se posesiona en el centro de nuestras vidas: 
Celular
Aviones
Barcos
Meteorología
Sistemas anti hurto
Todo lo que use posicionamiento global 
						
TEORIA DE MATRICES
IDENTIDAD DE EULER
La particularidad de esta ecuación es que relaciona los números más importantes de distintas áreas de las Matemáticas:
e : Es el número más importante del análisis matemático
Pi : Es el número más importante de la geometría (3,1416)
I : Es el número más importante del Algebra, denota los 
 números imaginarios 
1 : Elemento neutro en la multiplicación
0 : Elemento neutro en la adición 
					
TEORIA DE MATRICES
La Teoría de Matrices ofrece la posibilidad de trabajar cómodamente con modelos de gran dimensión, tanto en número de variables, como de ecuaciones o datos, ya que brinda una notación simple y compacta para designar amplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez en una mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos de datos desde un punto de vista computacional.
TEORIA DE MATRICES
La Teoría de Matrices no sólo debe su importancia a la bondad de sus cualidades operativas, sino que además tiene gran relevancia teórica, ya que una matriz es la representación de determinadas transformaciones vectoriales (aplicaciones lineales)
TEORIA DE MATRICES
MATRIZ DE ORDEN .- m x n
Toda distribución de elementos dispuestos en m filas y n columnas
 a11 a12 a13 … a1n Fila
 a21 a22 a23 … a2n i{1,2,3…n}
 a31 a32 a33 … a3n
 A= . . . . . = (aij) mxn
 . . . . .
 . . . . . Columna 
 am1 am2 am3 … amn j= {1,2,3…n}
TEORIA DE MATRICES
Habitualmente se denotan las matrices con letras mayúsculas ( A, B, C,... ) y con minúsculas los elementos que las constituyen. Dado que los elementos están ordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denotará por aij . Es decir, con el primer subíndice i se indica la fila en la que está el elemento y con el segundo subíndice j , la columna.
TEORIA DE MATRICES
Matriz Fila: (1xn) A = ( a11 a12 … a1n)
Matriz columna (mx1) 
 a11
 a12
 A = .
 .
 .
 am1 
TEORIA DE MATRICES
Matriz Nula: (0)mxn Todos sus elementos son CEROS
Matriz Opuesta de: A = (aij) : -A = (-aij) mxn
 
TEORIA DE MATRICES
Matriz Cuadrada de orden “n”
 a11 a12 a13 … a1n 
 a21 a22 a23 … a2n 
 a31 a32 a33 … a3n
A= . . . . . 
 . . . . .
 . . . . . 
 an1 an2 an3 … ann 
 
 a11, a22, a33, …, ann FORMAN LA DIAGONAL PRINCIPAL
MISMO NUMERO DE FILAS Y COLUMNAS
TEORIA DE MATRICES
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR .
 a11 a12 a13 … a1n 
 0 a22 a23 … a2n 
 A= . . . . . 
 . . . . .
 	 . . . . . 
 0 0 0 … ann
				 aij = 0, para i > j
Ceros DEBAJO de la diagonal Principal
TEORIA DE MATRICES
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR .
 a11 0 0 … 0 
 a21 a22 0 … 0 
 A= . . . . . 
 . . . . .
 . . . . . 
 an1 an2 an3 … ann
				 aij = 0, para i < j
Ceros ENCIMA de la diagonal Principal
TEORIA DE MATRICES
MATRIZ DIAGONAL .
 a11 0 0 … 0 
 0 a22 0 … 0 
 A= . . . . . 
 . . . . .
 . . . . . 
 0 0 0 … ann
				 aij = 0, para i ≠ j
Ceros FUERA de la diagonal Principal
TEORIA DE MATRICES
MATRIZ ESCALAR .
 λ 0 0 … 0 
 0 λ 0 … 0 
 A= . . . . . 
 . . . . .
 . . . . . 
 0 0 0 … λ 
				
TEORIA DE MATRICES
MATRIZ UNIDAD .a11 0 0 … 0 
 0 a22 0 … 0 
 A= . . . . . 
 . . . . .
 . . . . . 
 0 0 0 … ann
				 
 δ ij = 0 i ≠ j
 1 i = j 
Ceros FUERA de la Diagonal Principal, unos en la Diagonal Principal
DELTA DE KRONECKER