BLOQUE 0 (1)

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DINÁMICA DE LA ATMÓSFERA
Téc. Sol Kseminski
Téc. Gastón Ramírez
Primer Cuatrimestre 2023
1
PRÁCTICA
BLOQUE 0
0.1 Matrices y vectores
0.2 Función corriente y potencial. Potencial de velocidad
0.3 Irrotacionalidad
0.4 Vorticidad
2
1.0: Conceptos fundamentales: escalares, vectores, tensores
En el estudio de los fluidos tenemos que lidiar con cantidades de diversas complejidades. Algunas de ellas definidas 
por un solo componente (escalares), otras están definidas por tres componentes (vectores), y algunas otras variables
llamadas tensores necesitan al menos nueve componentes para una descripción completa.
Magnitud escalar
es la cantidad que podemos medir de una cierta
propiedad que no depende de su dirección o
posición en el espacio.
(ejemplos: temperatura, presión, etc).
Magnitud vectorial
es la cantidad que podemos medir que
depende de la dirección o posición en
el espacio.
(ejemplos: viento, desplazamiento,
peso, etc).
3
Producto escalar 
Producto vectorial
Recordar:
Producto escalar producto entre dos 
vectores que nos a un número.
Producto vectorial  producto entre dos 
vectores que nos da otro vector.
11834.23.1.
)4,3(
)2,1(



ba
b
a
     
)1,5,2(152)32)(1())3(2)(1()11)(1(
13
12
1
13
12
1
11
11
1
113
112
)1,1,3(
)1,1,2(
312111














kjikji
kji
kji
ba
b
a
4
coinciden las dimensiones internas
2*1+(-5)*2=2-10=-8
Para calcular el producto A·B la dimensión de A debe ser mxn
(m=fila y n= columnas) y la de B debe ser nxk . La matriz 
producto A·B es de dimensión mxk.
5
mxn nxk = mxk
3x2 2x3 = 3x3
Recordemos El producto de matrices existe si
Son cuadradas
Coinciden las 
dimensiones internas
Funciones Potenciales
• El campo de un parámetro a menudo se puede derivar del de otro mediante diferenciación o integración. Por ejemplo, si conoce la velocidad, 
se puede calcular la aceleración derivando la velocidad con respecto al tiempo.
• En el caso de un flujo de fluido, cualquier parámetro que produzca una F sobre el fluido se considera una FUNCIÓN POTENCIAL para el flujo.
• Por ejemplo la velocidad de un flujo puede ser proporcional a la derivada del campo de P en cualquier dirección. Así, en ausencia de otras 
fuerzas, cuando un campo de P escalar se deriva con respecto al tiempo en tres direcciones (x, y, z), se obtiene un campo vectorial V = (u, v, 
w). El vector de velocidad V se puede escribir como proporcional al ∇P. 
• Hay otras FUNCIONES POTENCIALES a partir de las cuales se puede determinar la velocidad de un flujo. En fluidos NO VISCOSOS, la velocidad 
se puede obtener de una función de potencial escalar φ : V = ∇φ
• Los flujos básicos de ésta clase son:
Flujo rotacionalFlujo paralelo
Flujo lineal Ondas – Movimiento periódico
6
POTENCIAL DE VELOCIDADφ es una función especificada en cada punto de un campo, a partir del cual se puede obtener el campo de velocidad 
por diferenciación.
Hipótesis para FLUJO POTENCIAL:
• Fluido ideal (no viscoso)
• Fluido incompresible (flujo solenoidal): ∇. u = 0
• Flujo irrotacional: ω = 0 ;∇ x u = 0 o ∇ x ( ∇φ) = 0
Entonces se puede decir que la velocidad deriva de una función potencial según:
Por lo tanto las componentes de la velocidad resultan: 𝑢 = 𝑣 = 𝑤 = 
En el caso de flujo bidimensional w=0 y se cumple que ωz = 0 vorticidad nula - = - = 0
Si además el movimiento es solenoidal ∇. u = 0 ∇. ( ∇φ) = 0 ∇2φ=0
Las líneas de potencial de velocidad constante se llaman 
líneas de velocidad y son perpendiculares al vector velocidad en cada punto
Potencial de velocidad
ECUACIÓN DE LAPLACE
u = ∇φ
u
¿Qué significa que el fluido sea irrotacional? 
flujo en el cual un elemento de 
fluido en cada punto del 
espacio no tiene velocidad 
angular respecto de ese punto.
Que la densidad permanece constante a lo 
largo de todo el flujo. La misma cantidad de 
fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de 
una región.
¿Qué significa que el fluido sea incompresible? 
7
0
22












xyyxy
u
x
v 
Función corriente
Existe otra función potencial para determinar la velocidad, llamada Función Corriente ψ. Es una función que también produce el campo de 
velocidad bajo diferenciación y existe independientemente de φ. Las componentes de las velocidad se pueden obtener de la derivación de ψ
•
ψ = -𝑣 ψ = 𝑢 cumple que ∇. u = 0 porque las derivadas cruzadas son iguales 
• Como el flujo es irrotacional: - = 
2ψ + 
2ψ = ∇2ψ = 0 Es decir, ψ es armónica. Las líneas de ψ constante son tangentes a la velocidad
en todas partes (línea de corriente)
Geométricamente:
Las líneas de ψ constante son tangentes a la velocidad en todas partes (línea de corriente – Función corriente). 
¿Qué significa u = ∇φ? 
• La velocidad está en la dirección del máximo cambio de φ
• El vector velocidad es normal a las líneas de φconstante (en todas partes son perpendiculares entre sí)
• Las líneas de φyψconstantes forman un conjunto ortogonal
8
Función corriente
 Sobre las líneas de ψconstante: 
 Sobre las líneas de φconstante: 
La red de líneas de φ y ψ constantes forman la 
base de una amplia gama de soluciones de flujo 
llamadas FLUJOS POTENCIALES
9
La relación entre los dos potenciales se tiene a través de lo que se conoce como condiciones de Cauchy-Riemann
𝑢 = = ψ y 𝑣 = = - ψ
Ejercicio 8
Sean las componentes del vector velocidad de un flujo: u= 2xy ; v=y2 ; w= -4yz. Demostrar que el fluido es incompresible. 
Naturaleza de los fluidos y flujos
Ecuación de continuidad incompresible
Cualquier función que satisfaga 
esta ecuación puede usarse para 
definir un campo de velocidad 
irrotacional e incompresible.
3
3
2
2
1
1.
x
u
x
u
x
u
V










z
w
y
v
x
u
V










.
¿Fluido incompresible? 
x
u


 y2
y
v


 y2
z
w


 y4
∇.u = 0
0422.  yyyV

Como la divergencia 
del flujo dio cero  es 
incompresible La ecuación de continuidad surge de la ley 
de conservación de la masa  la cantidad de 
fluido que entra por uno de sus extremos 
(tuberia) debe salir por el otro. 
La divergencia mide la 
diferencia entre el flujo 
saliente y el flujo 
entrante de un campo 
vectorial sobre la 
superficie que rodea a 
un volumen de control
¿Es este un campo vectorial solenoide?
10
Ejercicio
Calcule la velocidad para el φ dado ¿Es un flujo incompresible? ¿Es rotacional?
¿Que vamos a plantear? Incompresible 
∇ X U = 0 es irrotacional (rotacional de U es 0).Rotacional
∇.U = 0
Dado el campo de potencial de velocidad φ (x1,x2)  podemos calcular el campo de velocidad U (x1,x2). 
U= ∇φ
Se verifica la incompresibilidad de este campo de velocidad calculando ∇.U
Está claro que ∇ X U = 0, ya que U = ∇φ y ∇ X ∇φ = 0 Sin embargo, es bueno comprobarlo. Dado que este 
es un flujo bidimensional, solo hay un componente de la vorticidad
11ky
u
x
v
j
z
u
x
w
i
z
v
y
w
wvu
zyxV 
















































Dado que  φ (x1,x2) representa un flujo irrotacional
Sabiendo que la vorticidad se calcula así y los términos en i y j se anulan (no existen las derivadas de w ya que es flujo 
bidimensional), me queda solo el tercer termino. Al calcularlo da 0 
k
y
u
x
v
j
z
u
x
w
i
z
v
y
w
wvu
zyxV 
















































La vorticidad permite cuantificar la
rotación de las partículas fluidas (es el
doble de la velocidad angular).
12
Aplicaciones de fluidos y flujos
Ejercicio
Suponga que se observa que un campo de flujo satisface: u = Ax i + By j
(a) ¿Cuáles son las restricciones de A y B para la continuidad?
(b) ¿El flujo es irrotacional?
(a) Para satisfacer la continuidad
(b) Comprobar si ∇ X u = 0
b) Para ver si es irrotacional∇ X u = 0 (rotacional de U = 0)
k
y
u
x
v
j
z
u
x
w
i
z
v
y
w
wvu
zyxV 
















































13
Ejercicio
Considere el flujo dado por el potencial de velocidad:
¿Es este flujo irrotacional?
Ejercicio
Dado u = (2xy + z, x2y + z, x + y + z) ¿Es este flujo irrotacional?
Ejercicio
Defina si los siguientes flujos son irrotacionales:
a. u= -2y v=3x
b. u= 3x v=6xy
c. u= c v=xy
Aplicaciones de fluidos y flujos
14
Ejercicio
Considere el flujo dado por el potencial de velocidad: 
¿Es este flujo irrotacional? 
∇ X U = 0 es irrotacional (rotacional de U =0)
Calculamos U
k
y
u
x
v
j
z
u
x
w
i
z
v
y
w
wvu
zyxV 
















































0
2
22
,












w
xv
yxu
z
w
y
v
x
u

2
2






y
u
x
v
= -2-(-2)=0
Como el rotacional de U e 
cero  Es irrotacional
15
Ejercicio
Dado u = (2xy + z, x2y + z, x + y + z) ¿Es este flujo irrotacional?
Para que sea irrotaional ∇ X U = 0 (rotacional de U = 0)
u = (2xy + z, x2y + z, x + y + z) calculo: 
k
y
u
x
v
j
z
u
x
w
i
z
v
y
w
wvu
zyxV 
















































;1;1
1;2
1;2


















y
w
x
w
z
v
xy
x
v
z
u
x
y
u
kxxykxxyjiV )22()22()11()11( 
Como es distinto de 
cero  es rotacional
16
k
y
u
x
v
j
z
u
x
w
i
z
v
y
w
wvu
zyxV 
















































Ejercicio
Defina si los siguientes flujos son irrotacionales:
a. u= -2y v=3x
b. u= 3x v=6xy
c. u= c v=xy
Calculamos:
Hacer lo mismo 
para los items b y c
a) No hay flujo en la direccion z, w=0  Solo me queda el 
tercer termino:
W= = (3-(-2))k= 5 k  Es rotacional (distinto 
de cero)
Para ver si es irrotacional ∇ X u = 0 (rotacional de U = 0)
17
b) u= 3x v=6xy
Para ver si es irrotacional ∇ X u = 0 (rotacional de U = 0)
Otra vez, no tenemos la componente w del viento  En ∇ X u solo me queda componente en k
En este caso vemos que se anula para y=0, es decir que para 
este valor de y es rotacional.
yy
y
u
x
v
W 606 











18