TEMA Torsion RESUMEN FI-UNJu

Vista previa del material en texto

Facultad de Ingeniería - UNJu- Argentina. 
 
 
 
 
Preparó: Ing. Daniel Alejandro NIETO 
Página 1 de 6 
 
RESUMEN 
 
TORSIÓN DE UNA BARRA 
CIRCULAR 
 
I. Introducción 
 
� Definición de Torsión. 
 
� Efectos de la Torsión. 
 
 
II. Fundamento 
 
 
 
 
• Consideremos determinar las deformaciones en 
el exterior o superficie. 
 
 
 
 
 
Facultad de Ingeniería - UNJu- Argentina. 
 
 
 
 
Preparó: Ing. Daniel Alejandro NIETO 
Página 2 de 6 
Elemento de la barra entre dos secciones 
 
 
 
 
 
 
dx
dφθ = = cte Y por se torsión pura vemos que 
L
φθ = 
 
 
L
r
r
dx
dr
MAX
φθφγ ⋅=⋅=⋅=
 
 
 
• Consideremos ahora hallar las deformaciones 
unitarias en el interior de la barra 
 
L
φρθργ ⋅=⋅=
 
 
 
• Esfuerzos Cortantes 
 
γτ ⋅= G 
 
 Vemos así que 
θτ ⋅⋅= rGMax Maxr
G τρθρτ ⋅=⋅⋅=
 
 
 
 
 
ab
bb
MAX
,
=γ
 
 
φdrbb ⋅=, 
 
dx
dr
MAX
φγ ⋅=
 
 
Facultad de Ingeniería - UNJu- Argentina. 
 
 
 
 
Preparó: Ing. Daniel Alejandro NIETO 
Página 3 de 6 
 
 
• La fórmula de la torsión y del Angulo de torsión 
 
� Primero estableceremos la relación entre el 
momento torsor y los esfuerzos cortantes. 
 
 
 
Para ello consideramos un diferencial de área dA, localizada a una 
distancia ρ del eje de la barra. 
 
La fuerza cortante que actúa sobre dA es: dA⋅τ 
 
El momento de esta fuerza con respecto al eje 
geométrico de la barra será: ρτ ⋅⋅ dA 
 
Reemplazando en la ecuación anterior θρτ ⋅⋅= G , el momento nos 
queda: 
 
2ρθρθρ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ dAGdAG 
 
Facultad de Ingeniería - UNJu- Argentina. 
 
 
 
 
Preparó: Ing. Daniel Alejandro NIETO 
Página 4 de 6 
El momento total será la suma de todos los momentos 
elementales, extendida a toda el área de la sección de la 
barra, o sea: 
 
T= ∫∫ =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
rr
dAGdAG
0
2
0
2 ρθρθ 
 
 T= PJG ⋅⋅θ 
 
Donde JP representa el momento de inercia polar que para un diámetro 
d, vale: JP = ∏ d
4/32 
 
Y reordenando la ecuación anterior puede obtenerse el 
esfuerzo cortante máximo (despejo de la ecuación anterior 
PJG
T
⋅
=θ y uso θτ ⋅⋅= rGMax ). 
P
Max J
Tr ⋅=τ
 
 
Finalmente el esfuerzo cortante en cualquier otro punto de la sección a 
una distancia ρ del centro es: 
PJ
T⋅= ρτ
 
� A continuación determinamos el ángulo de torsión 
 
Despejando de la ecuación T= PJG ⋅⋅θ , obtenemos el ángulo de 
torsión por unidad de longitud. 
PJG
T
⋅
=θ
 
El ángulo total de torsión será: 
 
=⋅= Lθφ
PJG
LT
⋅
⋅
 
 
 
 
 
Facultad de Ingeniería - UNJu- Argentina. 
 
 
 
 
Preparó: Ing. Daniel Alejandro NIETO 
Página 5 de 6 
 
• Torsión de una barra circular hueca 
 
El análisis es el mismo que para barra maciza y como los 
radios se mantienen rectos, se pueden emplear las 
mismas ecuaciones que vimos anteriormente con la 
salvedad que: 
 
JP = ∏ (dE
4- dI
4)/32 
 
 
III. Ejemplo de Aplicación 
 
Una barra sólida de acero con sección transversal circular, 
que se muestra en la figura esta sometida a pares de 
torsión T, que actúan en sus extremos. 
 ¿Cual es el esfuerzo cortante máximo en la barra y el 
ángulo de torsión entre los extremos? 
 
 
 
Respuesta 
 
Como la barra tiene sección circular y es maciza se 
utiliza la ecuación. 
 
P
Max J
Tr ⋅=τ Con JP = ∏ d4/32 y trabajando la ecuación queda: 
 
 
3
16
d
T
Max ⋅
⋅=
π
τ 
 
G = 11.5 106 psi 
 
d = 1.5 in; L= 54 in. 
 
T = 250 lb-ft 
 
Facultad de Ingeniería - UNJu- Argentina. 
 
 
 
 
Preparó: Ing. Daniel Alejandro NIETO 
Página 6 de 6 
psi
in
ftinftlb
Max 4530)5.1(
)/12250(16
3
=
⋅
⋅−⋅=
π
τ 
 
 
Y ángulo de torsión total será: 
 
JP = ∏ d
4/32 
 
 JP = ∏ (1.5 in)
4/32 = 0.4970 in4 
 
 
φ = 
PJG
LT
⋅
⋅
 
 
φ = )4970.0(psi 10 11.5
54)/12250(
46 in
inftinftlb
⋅⋅
⋅⋅−
 
 
 
φ = 0.02834 rad = 1.62 º