Investigación de Operaciones (Iris Abril Martínez Salazar)

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E M P R E S A D E L G R U P O
Iris A. Martínez Salazar / Gastón Vértiz Camarón / Jesús F. López Pérez
Guillermo Jiménez Lozano / Luis A. Moncayo Martínez
interactivo en
esta edición
“Si la gente no piensa que las matemáticas son simples,
es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida”.
John Von Neumann
En el presente texto se presenta con detalle los principales temas de un primer curso de 
investigación de operaciones. El atractivo y funcional diseño de este libro, así como su novedosa 
metodología, ofrecen una invitación a los alumnos de ingeniería para que se acerquen 
acompañados de lápiz, papel y una computadora, a fin de aprovechar al máximo la oportunidad 
de ejercitarse con la gran variedad de problemas propuestos que se incluyen en las unidades, los 
cuales le ayudarán a preparar sus exámenes.
Entre sus principales características destacan las siguientes:
El libro viene acompañado de un CD-ROM de apoyo, donde alumno y profesor podrán encontrar, entre 
otras cosas: respuestas a los problemas propuestos, documentos extras, simulación y ejemplos anotados.
La obra consta de cinco unidades y un apéndice (uso detallado del Solver de Excel).
Cuenta con breves, pero claras, explicaciones de los fundamentos de la investigación de 
operaciones.
Es un libro flexible, el estudiante lo puede utilizar según sus inquietudes y necesidades.
Explica con minuciosidad los pasos necesarios para resolver los problemas propuestos 
planteados a lo largo de las cinco unidades temáticas. Esto con el objetivo de que sepa resol-
ver diferentes tipos de problemas.
Cuenta con más de 300 problemas para resolver, presentados en diferentes categorías; 
según sus características, algunos deben ser resueltos con el apoyo de la tecnología, por 
ejemplo con el uso de Solver.
Algunos de los problemas propuestos están acompañados de breves textos destacados 
con el nombre de Alerta, cuyo propósito es preparar al lector para que esté al pendiente de 
detalles importantes del contenido, que le serán útiles para resolver los problemas.
Con el propósito de motivar al estudiante para resolver problemas con un grado de dificultad 
mayor, al final de cada unidad se incluye una selección de Problemas reto.
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PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
INVESTIGACIÓN 
DE OPERACIONES
Iris Abril Martínez Salazar
Universidad Autónoma de Nuevo León
Gastón Vértiz Camarón
Universidad Autónoma del Estado de México
Jesús Fabián López Pérez
Universidad Autónoma de Nuevo León
Guillermo Jiménez Lozano
Universidad Nacional de Colombia
Luis Antonio Moncayo Martínez
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Colaboración especial
Marco Antonio Montufar Benítez
Eva Selene Hernández Gress
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
INVESTIGACIÓN 
DE OPERACIONES
Iris Abril Martínez Salazar
Universidad Autónoma de Nuevo León
Gastón Vértiz Camarón
Universidad Autónoma del Estado de México
Jesús Fabián López Pérez
Universidad Autónoma de Nuevo León
Guillermo Jiménez Lozano
Universidad Nacional de Colombia
Luis Antonio Moncayo Martínez
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Colaboración especial
Marco Antonio Montufar Benítez
Eva Selene Hernández Gress
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Estela Delfín Ramírez
Supervisor de preprensa: Gerardo Briones González
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Ilustraciones: Adrian Zamorategui Berber
Fotografías: © Thinkstockphoto
Diagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J.
Colaboración especial:
Marco Antonio Montufar Benítez
Eva Selene Hernández Gress
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Revisión técnica:
Alejandra Gómez Padilla
Universidad de Guadalajara-CUCEI
Manuel Álvarez Madrigal
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey-CCM
Investigación de Operaciones
Derechos reservados:
© 2014, Iris Abril Martínez Salazar, Gastón Vértiz Camarón, Jesús Fabián López Pérez, 
Guillermo Jiménez Lozano, Luis Antonio Moncayo Martínez.
© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-438-923-4
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra 
en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
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Agradecimientos
A mi familia, por su apoyo incondicional. 
A cada una de las personas quienes contribuyeron 
en el desarrollo de este libro.
Iris Abril Martínez
Una vez concretado el libro, quiero agradecer de todo corazón a 
Grupo Editorial Patria por haberme permitido participar como autor. 
Mi mejor deseo es que mi participación en la obra en realidad 
contribuya a la formación de las futuras generaciones de estudiantes 
de las licenciaturas en Ingeniería y Administración y a la mejor 
comprensión de los temas de programación lineal que se abordan.
Gastón Vértiz Camarón
En primer lugar a Dios.
A mi madre y a mi hermano.
A mi esposa Albanery, con quien he compartido los mejores 
momentos, y espero al máximo los que vienen; “TE QUIERO MUCHO”.
A mi hija Xiomara Alexandra, quien recién comienza su 
vida laboral en Bogotá, la cual espero sea demasiado fructífera.
A mi hija Angélica, quien en la actualidad estudia su maestría en la 
Universidad de Guadalajara; aspiro a que construya una magnífica profesión.
A mis hijas les he permitido hacer todo 
lo que han querido en materia de estudio.
Todas ellas y ellos son los motores de mi vida.
Gracias a todos…
Guillermo Jiménez Lozano
A Eleonora y Emilio, quienes son mi amores.
A la Asociación Mexicana de Cultura, A.C.
Luis Moncayo Martínez
Agradezco a las siguientes instituciones académicas por su apoyo al escribir esta obra: 
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Toluca, 
Universidad de Lleida, Secretaría de Educación Pública, 
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAEH).
Al apoyo editorial encabezado por la Ingeniera Estela Delfín Ramírez.
Marco A. Montufar B.
A la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo (UAEH), por permitirme 
desarrollarme profesionalmente haciendo lo que más me gusta: impartir clases.
Al maestro Marco Montufar, por invitarme a participar en este libro.
A mis alumnos por dejarme ver con claridad cuáles son los 
requerimientos para que un libro de texto cumpla su función.
A mis padres, por haberme inspirado a ser docente.
A mi esposo, por todo su apoyo y a mis hijos quienes son el motor de mi vida.
Eva Hernández
VII
Presentación
Investigación de operaciones. Serie Universitaria Patria, destacada obra desarrollada por especialistas 
e investigadores de importantes universidades de México y Colombia, consta de cinco unidades y un 
apéndice, cada una de las cuales está estructurada con breves explicaciones teóricas, problemas re-
sueltos paso a paso, algunos de estos resueltos con el apoyo de software especializado, alertas (notas 
de atención para resolver los problemas) y problemas para resolver.
La unidad 1 está dedicada a la formulación de modelos matemáticos utilizados en investigación 
de operaciones. A lo largo de esta se listan los principales elementos de los modelos matemáticos y se 
describen algunos de los modelos clásicos, a través de la presentación de ejemplos en los que se ex-
plica, paso a paso, la construcción de estos. Además, también se analizan diversos tipos de funciones 
objetivo y de restricciones. Conocer y comprender la forma enque se modelan distintas situaciones 
facilita al lector la formulación de modelos matemáticos que representen (y apoyen en la solución) del 
problema bajo estudio.
La segunda unidad, Programación lineal, tiene como objetivo presentar la programación lineal 
continua (PLC) y sus métodos de solución; en esta, se analiza qué es la PLC, además de que también se 
estudian y describen sus prerrequisitos, las formas de representación de un modelo de PLC, así como 
los conceptos de variable de holgura, variable de excedencia, variable artificial y variable irrestricta. 
Asimismo, en esta parte se describe el concepto de solución básica y solución básica factible.
En general, existen varios tipos de modelos de programación lineal que presentan estructuras 
especiales, las cuales pueden ser aprovechadas y explotadas para la construcción de algoritmos más 
eficientes, con el fin de obtener cotas de búsqueda en el espacio solución y, al mismo tiempo, para 
obtener soluciones factibles de alta calidad. Inherentemente, la mayor parte de este beneficio tiene 
que ver con tomar ventaja de este tipo de estrategias para atender y resolver problemas de alta di-
mensionalidad y escala, y poder lograr soluciones hasta la optimalidad. Lo anterior no es trivial, pues 
en la práctica habitualmente se tienen limitaciones de tecnología computacional, lo que ha motivado 
la investigación y el desarrollo para atender problemas de gran escala. Esto, sin duda, es en particu-
lar aplicable para los modelos de redes que se exponen en la unidad 3, Aplicación de modelos de 
redes en la solución de problemas para la toma de decisiones. Pues, para el caso de los modelos 
de redes es posible referenciar históricamente el problema de transporte. El desarrollo de procedi-
mientos de solución eficientes para este tipo de problemas resultó en la primera aplicación de amplia 
utilización de la programación lineal en el ámbito industrial. En esta unidad se presentan y analizan las 
diversas propiedades y variantes que habitualmente se utilizan en los modelos de redes. Asimismo, 
aquí se formulan y plantean diversos ejemplos para estos modelos, al tiempo que también se presenta 
su enfoque de solución. De manera muy particular, en esta obra se exponen y desarrollan variantes de 
los modelos de redes, en los cuales se introduce el uso de variables binarias y enteras, dando lugar al 
desarrollo de modelos de programación mixta entera.
La solución de todos los problemas concernientes al problema de transporte de la unidad 3 se 
resuelven con la aplicación del algoritmo simplex, desarrollado en la unidad 2.
La unidad 4, Programación lineal discreta, se divide en seis partes bien identificadas. En la pri-
mera se realiza una introducción a la programación lineal entera, algoritmo de Gomory, algoritmo de 
ramificación y acotamiento (branch and bound ), método de enumeración exhaustiva (enumeración 
explícita), cada uno acompañado con ejemplos de aplicación. La segunda parte comienza con una 
introducción a la programación lineal entera binaria y continúa con la explicación de los métodos de 
enumeración implícita cero-uno y aditivo (enumeración) de Egon Balas, con diversas aplicaciones a 
través de ejemplos. En la tercera parte se hace una introducción a la programación lineal entera mixta, 
VIII
acompañada de ejemplos de aplicación. En la cuarta sección se realiza una introducción al problema 
del transporte (distribución), se muestran los principales métodos de solución, ejemplos de aplicación, 
problemas de transporte de maximización, soluciones degeneradas y problemas del transporte gene-
ralizado. La quinta parte comienza con una introducción al problema de la asignación, se muestran los 
principales métodos de solución, ejemplos de aplicación, problemas de asignación de maximización y 
problemas de la asignación generalizada. En la última parte se plantean problemas de programación 
lineal entera, programación lineal entera binaria, programación lineal entera mixta, problema del trans-
porte y problema de la asignación.
Por último, en la unidad 5, Algoritmos especiales: el problema del transporte, se presenta con 
detalle el problema del transporte, donde cada una de sus variantes es un caso especial en la progra-
mación lineal. El problema tiene como objetivo minimizar los costos de distribución de cierto número 
de unidades de las fuentes u orígenes a los destinos. En el modelo más elemental, las fuentes son 
entidades que ofertan cierto número de unidades, mientras que los orígenes reciben cierto número 
de unidades. Esto implica considerar que los orígenes son proveedores de unidades y los destinos las 
entidades que demandan las primeras. El problema es muy común en la práctica profesional.
La presente obra también cuenta con un apéndice, cuyo objetivo principal es introducir al estu-
diante en la solución de varios tipos de problemas cotidianos de programación lineal mediante el uso 
del software Solver de Excel; por ejemplo: problemas de producción, de ruta más corta, de asignación, 
de transporte y de flujo máximo. La idea principal de usar Excel es que este programa constituye una 
herramienta fácil de entender y usar por la mayoría de los estudiantes de las diversas carreras de inge-
niería y administración. Su capacidad para comunicar el modelo y su solución a los interesados es otra 
de sus cualidades.
Sin duda, con las bases que ofrece Investigación de operaciones. Serie Universitaria Patria, el 
alumno será capaz de poner en práctica otras herramientas computacionales, con el fin de desarrollar 
modelos y encontrar su solución, sobre todo en modelos de gran escala.
Presentación
IX
Unidad 1 Modelos matemáticos 1
1.1 ¿Qué es un modelo? 2
1.2 Metodología de la investigación de operaciones 2
1.3 Modelo matemático 3
1.4 Modelos matemáticos clásicos 8
1.5 Modelando con variables enteras 26
Problemas para resolver 29
Problema reto 32
Referencias bibliográficas 32
Unidad 2 Programación lineal 33
2.1 Introducción a la programación lineal continua 34
2.2 Método gráfico 40
2.3 Método simplex 44
2.4 Método de la gran M 57
2.5 Método de las dos fases 64
2.6 Método dual simplex 68
Problemas para resolver 74
Problemas reto 75
Referencias bibliográficas 77
Referencias electrónicas 77
Contenido
X
Contenido
Unidad 3 Aplicación de modelos de redes en la 
solución de problemas para la toma 
de decisiones 79
3.1 Ejemplos de modelos de investigación de operaciones 
para redes 80
3.2 Modelo de redes para problemas de asignación 80
3.3 Modelo de redes aplicado al problema de 
programación óptima de horarios 86
3.4 Modelo de redes aplicado al problema de asignación 
óptima unidimensional y bidimensional 88
3.5 Modelos de redes para problemas de transporte 89
3.6 Modelo de redes para el problema de flujo máximo 93
3.7 Modelo de redes para el problema de costo mínimo 94
3.8 Modelo de redes para el problema de la ruta crítica 
aplicado en la planificación de proyectos 94
3.9 Modelo de redes aplicado a problemas de costo fijo 95
3.10 Modelo de redes para el problema de 
agrupamiento óptimo 96
Problemas para resolver 99
Problema reto 110
Referencias bibliográficas 110
Unidad 4 Programación lineal discreta 111
4.1 Introducción 112
4.2 Métodos de solución 112
4.3 Programación lineal entera binaria 125
4.4 Programación lineal entera mixta 129
4.5 Problema del transporte o distribución 129
4.6 Problema de asignación o afijación 
o de nombramientos 135
Problemas para resolver 142
Problema reto 148
Referencias bibliográficas 148
Referencias electrónicas 148
Grupo Editorial Patria©
XI
Unidad 5 Algoritmos especiales: 
el problema de transporte 149
5.1 Introducción al problema de transporte 150
5.2 Modelo de programación lineal del problema 
de transporte 151
5.3 Tabla simplex del problema de transporte 154
5.4 Métodos de aproximación para obtener una 
solución básica inicial 156
5.5 Métodos para obtener la solución óptima 164
5.6 Problema de asignación 173
5.7 Métodopara obtener la solución óptima 
del problema de asignación 174
5.8 Método húngaro 179
Problemas para resolver 185
Problemas reto 187
Referencias bibliográficas 188
Referencias electrónicas 188
Apéndice A Aplicaciones de la optimización 
lineal usando hojas de cálculo 189
Introducción 190
Solucionadores para hojas de cálculo 190
Solución de problemas de programación lineal (PL) 
con una hoja de cálculo 190
Pasos para implementar un modelo de PL 
en una hoja de cálculo 191
Modelo en hoja de cálculo para el problema 
de Luisa Caoba 192
Organización de los datos 192
Representación de las variables de decisión 193
Representación de la función objetivo 193
Representación de las restricciones 193
Representación de los límites sobre las variables 
de decisión 194
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XII
Contenido
¿Cómo ve Solver el modelo? 194
Usando Solver 195
Definiendo la celda objetivo 196
Definiendo las celdas variables 197
Definiendo las celdas de restricción 197
Definiendo las condiciones de no negatividad 197
Resolviendo el modelo 198
Problema de flujo máximo 199
El modelo en hoja de cálculo y su solución 200
Problema de transporte 202
Problema de asignación 207
Problema de transbordo 212
Problema de ruta más corta 218
Problemas para resolver 223
❚
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❚
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UNIDAD 1
Modelos 
matemáticos
ObjetivOs
	 Entender	el	concepto	de	función	objetivo,	restricciones,	parámetros	y	variables.
	 Reconocer	los	diferentes	tipos	de	variables.
	 Entender	el	concepto	de	modelado.
	 Entender	la	relación	entre	los	elementos	de	un	modelo	matemático.
	 Conocer	aplicaciones	de	los	modelos	matemáticos.
	 Formular	modelos	matemáticos.
¿Qué sabes?
	 ¿Cuál	es	la	diferencia	entre	parámetro,	variable	y	coeficiente	en	una	ecuación?
	 ¿Qué	es	una	solución	factible?
	 ¿Qué	son	las	restricciones	y	cómo	afectan?
	 ¿Cómo	usar	notación	matemática	para	expresar	una	situación?
	 ¿Cómo	usar	álgebra	para	representar	relaciones?
iris abril Martínez salazar
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Modelos matemáticosUNIDAD 1
1.1  ¿Qué es un modelo?
Entre las variadas acepciones que hay de la palabra modelo, citamos la siguiente, de la Real Academia 
Española, que es la que más se adecua al objetivo de esta unidad:
Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad 
compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para facilitar su com-
prensión y el estudio de su comportamiento.
Elaborar un modelo de un sistema o realidad compleja suele ser una tarea ardua y retadora. En la prác-
tica, es usual encontrar modelos desarrollados para representar el comportamiento de alguna sección 
del sistema o alguna versión simplificada del mismo.
Por ejemplo, supóngase que se desea saber el modo de acomodar un conjunto de productos con 
formas irregulares dentro de cajas de cartón, con el objetivo de minimizar la cantidad de estas para 
empaquetar todos los objetos. Una opción para modelar este problema, simplificándolo, es considerar 
a cada objeto como una figura regular, aunque esto ocasione desperdicio de espacio. Para ello, se 
pueden considerar los ejemplos de las figuras 1.1 y 1.2.
1.2  Metodología de la investigación de operaciones
Dada la naturaleza de la investigación de operaciones, la definición del problema a resolver constituye 
un paso clave para que los resultados obtenidos del análisis sean útiles y efectivos para la empresa. 
Por tanto, en este paso se deberá definir el alcance del estudio, la información con que se cuenta y las 
restricciones del sistema, entre otros.
 Las etapas básicas para aplicar la investigación de operaciones en la práctica, una vez que se ha 
identificado y definido el alcance y las características del problema a resolver, son las siguientes:
  1. Formulación del modelo matemático.
  2. Solución del modelo matemático.
  3. Validación del modelo.
En esta primera unidad nos centramos en la formulación del modelo matemático, destacando sus ele-
mentos, construcción y modelos clásicos.
Los otros dos pasos antes mencionados son posteriores a la formulación del modelo matemático; 
por tanto, a lo largo de esta unidad se resaltarán algunas características sobre estos dos pasos.
Una vez que se ha validado el modelo, se procede a la implementación de los resultados obteni-
dos con el modelo a la práctica, esperando que estos logren resultados favorables en el sistema bajo 
estudio.
Figura 1.1 Objetos.
Figura 1.� Objetos, versión simplificada.
Grupo Editorial Patria©
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1.3  Modelo matemático
Un modelo matemático busca representar una realidad mediante el uso de relaciones matemáticas, a 
través de la lógica, con el objetivo de ayudar en el proceso de toma de decisiones.
En general, un modelo matemático está compuesto de ecuaciones y/o desigualdades algebraicas.
Una ecuación establece que dos términos son iguales. Esta igualdad se representa mediante el 
signo de igual (=) y se interpreta como: término de la izquierda (es igual a) término de la derecha.
Los elementos de una ecuación son los siguientes:
Variable. Símbolo (letra) que representa un número que desconocemos.
Constante. Número que no va acompañado de una variable.
Coeficiente. Número que va acompañado de una variable, multiplicándola.
Operador. Corresponde a los símbolos que representan una operación.
Por ejemplo, en la ecuación:
2W - 25Y = 3 050
El coeficiente 2 multiplica a la variable W; de igual manera, el coeficiente 25 multiplica a la variable Y. 
El operador es el de resta y la constante es el número 3 050.
Una desigualdad algebraica puede tener la estructura de una ecuación, pero representa no igual-
dad entre dos términos.
Las relaciones de desigualdad que se pueden tener son:
W < Z denota que W es menor que Z.
W > Z representa que W es mayor que Z.
W ≤ Z denota que W es menor o igual que Z; es decir, puede ser que W < Z o que W = Z.
W ≥ Z representa que W es mayor o igual que Z; es decir, puede ser que W > Z o que W = Z.
elementos de un modelo matemático
Al constituir una herramienta para la toma de decisiones, el modelo matemático debe necesariamente 
incluir en su totalidad las alternativas entre las cuales se deberá tomar la decisión, las restricciones 
que existen y la medida con la que se evaluarán las alternativas, de acuerdo al objetivo que se quiere 
lograr.
Para explicar los términos alternativas, las restricciones y los objetivos, primero se analizarán en el 
contexto de un problema.
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Alerta
Recuérdese que W es a lo 
más Z, W es a lo sumo Z y W 
es no más que Z, significan 
lo mismo; esto es, que W 
puede tomar un valor igual 
que Z o menor a Z.
Problema resuelto
Problema de proyectos de inversión
Imaginemos que ocupamos el puesto de coordinador de proyectos dentro de una empresa. El gerente 
general de dicha empresa ha destinado 100 000 pesos para invertir en los proyectos que generen be-
neficios económicos a esta. Existen tres proyectos en los que se puede invertir. ¿En cuál(es) proyecto(s) 
debería invertir la empresa para obtener los máximos beneficios económicos?
 Se tiene la siguiente información sobre los proyectos:
 tabla 1.1
Nombre Costo de inversión Beneficio económico
Proyecto A $50 000 $80 000
Proyecto B $70 000 $90 000
Proyecto C $25 000 $30 000
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Modelos matemáticosUNIDAD 1
Las acciones que podemos ejecutar para la resolución de este problema son:
1. No invertir.
2. Invertir en el proyecto A.
3. Invertir en el proyecto B.
4. Invertir en el proyecto C.
5. Invertir en los proyectos A y B.
6. Invertir en los proyectos B y C.
7. Invertir en los proyectos A y C.
8. Invertir en los proyectos A, B y C.
¿Cuál de estas acciones se debe tomar?
Para responder a esta pregunta, primero debemos considerar el objetivo que busca el tomador de 
decisiones. En este caso, lo que se pretende es invertir en el (los) proyecto(s) que genere(n) los máximos 
beneficios económicos a la empresa.
Solución
 tabla 1.�
Acciones Beneficio
1. No invertir 0
2. Invertir en el proyecto A. $80 000
3. Invertiren el proyecto B. $90 000
4. Invertir en el proyecto C. $30 000
5. Invertir en los proyectos A y B. $170 000
6. Invertir en los proyectos B y C. $120 000
7. Invertir en los proyectos A y C. $110 000
8. Invertir en los proyectos A, B y C. $200 000
Basados en el beneficio descrito en la tabla 1.2, la mejor decisión sería invertir en los tres proyectos con 
un beneficio de $200 000. Sin embargo, hay que recordar que existe una restricción en cuanto al monto 
de inversión, la cual es una limitante en nuestro espacio de alternativas.
 Evaluando el costo de inversión de cada una de las acciones se tiene:
 tabla 1.�
Acciones Costo inversión
1. No invertir 0
2. Invertir en el proyecto A. $50 000
3. Invertir en el proyecto B. $70 000
4. Invertir en el proyecto C. $25 000
5. Invertir en los proyectos A y B. $120 000
6. Invertir en los proyectos B y C. $95 000
7. Invertir en los proyectos A y C. $75 000
8. Invertir en los proyectos A, B y C. $145 000
Por tanto, como se puede comprobar mediante la tabla 1.3, la opción de invertir en los tres proyectos 
no es posible, pues excede en 45 000 pesos el presupuesto de inversión de 100 000 pesos. Cuando una 
acción viola alguna restricción, se dice que es no factible. Las alternativas de solución a este problema 
son aquellas acciones factibles, es decir, aquellas que no violan la(s) restricción(es) del problema.
 De este modo, las alternativas factibles del problema son: 1, 2, 3, 4, 6 y 7. Entre las alternativas, 
observamos que la opción 6, invertir en los proyectos B y C, es la que brinda un mayor beneficio eco-
nómico. Por lo cual, el coordinador de proyectos debería invertir en los proyectos B y C, lo que le daría 
un beneficio económico de 120 000 pesos.
Solución
Grupo Editorial Patria©
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Construcción de un modelo matemático
En general, un modelo matemático en investigación de operaciones se representa mediante el si-
guiente formato:
Maximizar o minimizar función objetivo.
Sujeto a:
Restricciones.
La función objetivo debe expresar la meta que se quiere lograr: maximizar ganancia, minimizar cos-
tos, minimizar el número de trabajadores, minimizar el tiempo muerto, minimizar desperdicio, entre 
otros.
Las restricciones, por su parte, expresan limitaciones en los recursos o características de la natu-
raleza del sistema a modelar. La solución obtenida al resolver el modelo debe cumplir con todas las 
restricciones.
La información del sistema se expresa a través de parámetros. Un parámetro es un dato dado con 
antelación que corresponde a un valor real (o supuesto) presente en el sistema. Típicamente, los cos-
tos, las demandas de los clientes, las distancias, las capacidades y el tiempo de procesamiento, entre 
otros, son vistos como parámetros.
Las soluciones al sistema están dadas mediante variables, usualmente llamadas de decisión. Para 
solucionar el modelo matemático, siempre es necesario determinar el valor que deberán tomar las va-
riables, que representan aspectos que el tomador de decisiones puede controlar. Algunos ejemplos de 
variables son cantidad de productos a producir, cantidad de productos a enviar a cada cliente, decisión 
de instalar o no un almacén en cierta ubicación, decisión de invertir o no en cierto proyecto, cantidad de 
trabajadores a contratar, entre otros.
Existen varios tipos de variables, dependiendo del tipo de valor que puedan tomar. Las variables 
continuas pueden tomar valores fraccionarios, por ejemplo: litros, kilos, pesos. Por su parte, las varia-
bles enteras pueden tomar únicamente valores enteros, por ejemplo: cantidad de trabajadores a con-
tratar, camiones a enviar a cierto cliente, máquinas a utilizar, etcétera. Las variables binarias únicamente 
pueden tomar valor de 0 o 1 y, por lo general, se utilizan para representar decisiones de hacer o no 
hacer, por ejemplo: la decisión de instalar o no un almacén en cierta ubicación, la decisión de invertir 
o no en cierto proyecto, etcétera.
❚
Alerta
La determinación del 
objetivo a perseguir, 
las limitaciones de 
recursos y la definición 
de las alternativas de 
solución corresponden 
a la identificación del 
problema, que es la primera 
etapa en la aplicación 
de la investigación de 
operaciones en la práctica.
Alerta
La definición de las 
variables de decisión es 
uno de los pasos críticos 
y más complicados en la 
construcción de un modelo 
matemático.
Como primer paso, tenemos que establecer los parámetros del problema.
 tabla 1.� Parámetros
Pantalón Falda Disponible
Cantidad de material 2 metros 1.5 metros 50 metros
Tiempo de mano de obra 3 horas 1 hora 8 horas × 5 días = 40 horas
Ganancia 80 50
Solución
Problema resuelto
Una costurera fabrica y vende faldas y pantalones de mezclilla, para lo cual cada semana compra un 
rollo de 50 metros de mezclilla. Para hacer un pantalón requiere 2 metros de tela, mientras que para 
una falda, 1.5 metros.
 Por lo general, ella trabaja ocho horas diarias, de lunes a viernes. Para hacer un pantalón requiere 
tres horas, mientras que hacer una falda le toma una. Un pantalón le genera 80 pesos de ganancia, 
mientras que al vender una falda gana 50 pesos.
 Construir un modelo matemático que permita maximizar la ganancia semanal de la costurera, consi-
derando que todo producto que fabrique puede venderlo.
�
Modelos matemáticosUNIDAD 1
El siguiente paso es definir las variables, recuérdese que estas deben representar lo que necesitamos 
determinar. En este caso, la costurera quiere saber la cantidad de pantalones y faldas que debe fabricar. 
Por tanto, las variables deben quedar:
 x1 = cantidad de pantalones a fabricar en una semana.
 x2 = cantidad de faldas a fabricar en una semana.
Para construir la función objetivo, debemos tomar en cuenta que la costurera quiere maximizar su ga-
nancia semanal. Por tanto, tomando en cuenta que la ganancia por vender un pantalón es de 80 pesos 
y por una falda es de 50 pesos. Tenemos que:
 Ganancia semanal por venta de pantalones = 80 × x1 pesos.
 Ganancia semanal por venta de faldas = 50 × x2 pesos.
Ahora, utilizaremos z para representar la ganancia semanal de la costurera, resultando la función obje-
tivo como:
Maximizar z = 80x1 + 50x2
Después, hay que escribir las restricciones. En este problema, la costurera tiene restricciones de mate-
rial (mezclilla) y mano de obra.
Restricciones:
1. De mezclilla.
 Cantidad de mezclilla usada en pantalones + cantidad de mezclilla usada en faldas ≤ cantidad de 
mezclilla disponible.
 ° Cantidad de mezclilla usada en pantalones = 2 metros por cada pantalón que se fabrique (la 
cantidad de pantalones se representa con la variable x1 ) = 2x1.
 ° Cantidad de mezclilla usada en faldas = 1.5 metros por cada falda que se fabrique (la cantidad de 
pantalones se representa con la variable x2 ) = 1.5x2.
 Por tanto, la restricción de mezclilla resulta:
2x1 + 1.5x2 ≤ 50
2. Mano de obra.
 Horas dedicadas a fabricar pantalones + horas dedicadas a fabricar faldas ≤ horas disponibles
 Por ende, la restricción de mano de obra es:
3x1 + 1x2 ≤ 40
Además de las restricciones de material y mano de obra, también es necesario indicar las restricciones 
respecto al tipo de variable con el que se está trabajando. En este caso, al tratarse de cantidad de pro-
ducción, podemos inferir que estas variables deben ser mayores que cero (no puede haber producción 
negativa) y entera (asumiendo que se trata de pantalones y faldas completos). Estas restricciones se 
identifican de la siguiente manera: x1, x2 ≥ 0, enteras.
 El modelo matemático para representar el problema de la costurera es:
Maximizar z = 80x1 + 50x2
Sujeto a:
 2x1 + 1.5x2 ≤ 50
 3x1 + 1x2 ≤ 40
x1, x2 ≥ 0, enteras.
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�
Una solución a un modelo matemático debe satisfacer todas 
las restricciones del modelo. Retomando el problema de la cos-
turera, la solución de fabricar 15 pantalones y 10 faldas no es 
factible, pues aun cuando cumple con la restricción de material 
(2 × 15 + 1.5 × 10 = 45 ≤ 50) se excede en quincehoras del tiem-
po semanal disponible (3 × 15 + 1 × 10 = 55 ≥ 40).
Para obtener la solución óptima (o cercana a la óptima) de 
un modelo matemático existen diversos algoritmos y herramien-
tas entre los que se encuentran el método gráfico, el método 
simplex, los algoritmos especiales y, de más reciente creación, 
los algoritmos metaheurísticos, para la resolución de modelos 
matemáticos de alta complejidad.
Como primer paso, debemos definir la información sobre los parámetros que tenemos y las variables 
que se requieren.
Parámetros:
Para el problema de proyectos de inversión, los parámetros que tenemos son el presupuesto para los 
proyectos, los costos de inversión y los beneficios económicos de cada proyecto.
En este caso, el presupuesto para los proyectos es: $100 000.
 tabla 1.� Información sobre los proyectos
Nombre Costo de inversión Beneficio económico
Proyecto A $50 000 $80 000
Proyecto B $70 000 $90 000
Proyecto C $25 000 $30 000
Variables de decisión:
Lo que queremos saber es en qué proyectos debe invertir el dinero. Es decir, para cada proyecto, la 
decisión es invertir o no invertir en él. Por tanto, se necesita una variable por cada proyecto, la cual 
puede tomar únicamente dos valores. Este tipo de variables de decisión se suele representar como 
binarias, de la siguiente manera:
 x
A
A =
1
0
   
 
si se invierte en el proyecto
en otro caaso



 x
B
B =
1
0
   
 
si se invierte en el proyecto
en otro caaso



 x
C
C =
1
0
   
 
si se invierte en el proyecto
en otro caaso



Solución
Problema resuelto
Plantear un modelo matemático que represente el problema de proyectos de inversión.
Todo modelo matemático debe ser validado, en cuya fase se analizará si 
la solución obtenida con el modelo refleja en realidad lo que ocurre en el 
sistema.
 Una vez que el modelo ha sido validado, se pasa a la fase de 
implementación, que es la traducción del modelo (o los resultados del 
modelo) en el lenguaje del cliente o dueño del sistema.
Alerta
Es de suma importancia que el modelo matemático incluya la correcta 
representación de las restricciones del problema; de otro modo, se podría 
excluir del conjunto de soluciones factibles la solución óptima o la resolución 
del modelo podrá dar lugar a una solución que en realidad no es factible.
Alerta
�
Modelos matemáticosUNIDAD 1
1.4  Modelos matemáticos clásicos
En esta sección se analizarán algunos de los modelos matemáticos clásicos.
Problemas de mezcla de productos
En este tipo de problemas se tienen que determinar las cantidades a fabricar de ciertos productos en 
algún periodo de tiempo. Entre las restricciones que se presentan en este tipo de problemas están la 
limitación de recursos, de mano de obra, capacidades de plantas, demanda de productos limitada, 
entre otros. El objetivo más común es el de maximizar la ganancia que genera la venta de productos.
❚
Función objetivo:
Lo que se busca es obtener los máximos beneficios económicos de las inversiones. Por tanto, la función 
objetivo deberá tener la siguiente forma:
Maximizar: Beneficio por invertir en proyecto A + Beneficio por invertir en el proyecto B + Beneficio por 
invertir en el proyecto C.
Tomando la información de los proyectos y las variables de decisión y utilizando z para representar el 
beneficio de invertir en los proyectos, la función objetivo resulta:
Maximizar z = 80 000xA + 90
 000xB + 30
 000xC.
Restricciones:
1. Del presupuesto de inversión. En este caso, la inversión en proyectos no debe superar los $100 000 
disponibles.
 Costo de invertir en proyecto A + Costo de invertir en proyecto B + Costo de invertir en proyecto C 
≤ Presupuesto disponible.
 Resultando:
50 000xA + 70
 000xB + 25
 000xC ≤ 100
 000
2. De la naturaleza de las variables. Para este problema, las variables son binarias, esto se representa 
de la siguiente manera:
xA, xB, xC ∈ {0, 1}
 Por tanto, el modelo matemático para el problema de proyectos de inversión resulta:
Maximizar z = 80 000xA + 90
 000xB + 30
 000xC
 Sujeto a:
 50 000xA + 70
 000xB + 25
 000xC ≤ 100
 000
 xA, xB, xC ∈ {0, 1}
Alerta
No existe una receta 
para formular modelos 
matemáticos. Inclusive, 
puede existir más de un 
modelo para representar un 
sistema. Una buena forma 
de aprender a construirlos 
es analizar y comprender 
modelos matemáticos 
que se encuentran en la 
literatura de investigación 
de operaciones y practicar 
construyéndolos.
Problema resuelto
Una compañía fabrica tres productos: crema corporal, crema facial y crema para bebés. Los tres produc-
tos comparten ingredientes en su elaboración: mezcla base, aceite de almendras, vitamina E y manteca 
de karité. En la tabla 1.6 se presenta información acerca de los porcentajes de composición de cada 
uno de los tres productos.
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�
Parámetros:
Los parámetros de este problema son los costos de cada ingrediente, los precios de venta, la disponi-
bilidad de productos, los porcentajes de composición de cada producto, la demanda de cada producto 
y el mínimo a producir de crema facial.
Variables:
Dado que se desea determinar la cantidad diaria de litros a producir de cada uno de los productos, las 
variables de decisión se definen de la siguiente manera:
 x1 = cantidad de litros diarios de crema corporal
 x2 = cantidad de litros diarios de crema facial
 x3 = cantidad de litros diarios de crema para bebé
Función objetivo:
En este caso, el objetivo es maximizar la utilidad de la compañía; la utilidad es la diferencia entre los 
ingresos y los gastos. En este caso, los ingresos provienen de la venta de litros de producto, mientras 
que los gastos se dan a través de los costos de los ingredientes.
Utilidad = ingresos por ventas - gastos por ingredientes.
Ingresos por ventas = ingreso por ventas de crema corporal + ingreso por ventas de crema facial + 
ingreso por ventas de crema para bebé = 80x1 + 120x2 + 100x3.
Gastos por ingredientes = gasto por uso de mezcla base + gasto por uso de aceite de almendras + gas-
to por uso de vitamina E + gasto por uso de manteca de karité = 20(0.9x1 + 0.85x2 + 0.8x3 ) + 500(0.04x1 
+ 0.08x2 + 0.1x3 ) + 1
 500(0.01x1 + 0.025x2 ) + 200(0.05x1 + 0.045x2 + 0.1x3 ).
Si representamos la utilidad diaria por z, tenemos la siguiente función objetivo:
Maximizar z = 17x1 + 16.5x2 + 14x3
Solución
 tabla 1.�
Mezcla 
base
Aceite de 
almendras
Vitamina 
 E
Manteca 
de karité
Crema corporal 90% 4% 1% 5%
Crema facial 85% 8% 2.5% 4.5%
Crema para bebé 80% 10% - 10%
Cada día, la compañía cuenta con 500 litros de la mezcla base, 50 litros de aceite de almendras, 5 litros 
de vitamina E y 30 litros de manteca de karité. Adicionalmente, se tiene la siguiente información sobre 
costos y precios de venta.
 tabla 1.� tabla 1.�
Ingrediente Costo por litro Producto Precio de venta ($ / l)
Mezcla base $20 Crema corporal $80
Aceite de almendras $500 Crema facial $120
Vitamina E $1 500 Crema para bebé $100
Manteca de karité $200
La demanda diaria de la crema corporal es de 200 litros, de la crema facial, 150 litros, y de la crema para 
bebé, de 250 litros. Por políticas de la empresa, se deben fabricar al menos 50 litros de crema facial. 
¿Cuánto de cada producto deberá producir la compañía para maximizar su utilidad?
10
Modelos matemáticosUNIDAD 1
Problemas de planificación de procesos productivos
Los problemas de planificación de procesos productivos involucran la determinación de niveles de 
producción, fuerza de trabajo, inventario, tiempo extra y subcontrataciones, entre otros, con el fin 
de determinar el plan estratégico para los distintos periodos de planeación de la compañía.
La información que usualmente se tiene en este tipo de modelos es la demanda de producto o 
productos (o pronósticos de la demanda), costo de producir en tiempo normal y en tiempo extra, costo 
por subcontratar, despidos, contrataciones y por mantener inventario, entre otros.
Este tipo de problemas suelen llamarse de planeación agregada y son decisionesde tipo estraté-
gico dentro de la compañía.
❚
Restricciones:
Las restricciones del problema están dadas por disponibilidad limitada de ingredientes, la demanda de 
los clientes y las estrategias de la compañía.
1. La disponibilidad limitada de ingredientes tiene la siguiente estructura:
 (litros de ingrediente Y usados en crema corporal) + (litros de ingrediente Y usados en crema facial) 
+ (litros de ingrediente Y usados en crema para bebé) ≤ litros disponibles de ingrediente Y.
 ° Restricción para la mezcla base: 0.9x1 + 0.85x2 + 0.8x3 ≤ 500.
 ° Restricción para el aceite de almendras: 0.04x1 + 0.08x2 + 0.1x3 ≤ 50.
 ° Restricción para la vitamina E: 0.01x1 + 0.025x2 ≤ 5.
 ° Restricción para la manteca de karité: 0.05x1 + 0.045x2 + 0.1x3 ≤ 30.
2. Las demandas de los clientes tienen la siguiente estructura:
Litros diarios de producto x ≤ Demanda diaria de producto x (en litros).
 ° Restricción para la demanda de crema corporal: x1 ≤ 200.
 ° Restricción para la demanda de crema facial: x2 ≤ 150.
 ° Restricción para la demanda de crema para bebé: x3 ≤ 250.
3. De manera similar, la restricción de fabricar por lo menos 50 litros de crema facial (estrategia de la 
compañía), se representa: x2 ≥ 50.
 Las restricciones de demanda y política de la empresa presentada en este problema pueden verse 
como cotas para las variables de decisión.
 Las variables de decisión, por tratarse de litros de producto, son no negativas. Dado que x2 cuen-
ta con una cota inferior mayor que cero, faltaría incluir x1 ≥ 0, x3 ≥ 0.
El modelo matemático resulta:
Maximizar z = 17x1 + 16.5x2 + 14x3
Sujeto a:
 0.9x1 + 0.85x2 + 0.8x3 ≤ 500
 0.04x1 +0.08x2 + 0.1x3 ≤ 50
 0.01x1 + 0.025x2 ≤ 5
 0.05x1 + 0.045x2 + 0.1x3 ≤ 30
 0 ≤ x1 ≤ 200
 50 ≤ x2 ≤ 150
 0 ≤ x3 ≤ 250
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11
Planeación de la producción con múltiples periodos❚
Parámetros:
Los parámetros de este problema son los pronósticos de las demandas, costos de inventario y de pro-
ducción.
Variables:
Lo que se quiere saber son las cantidades a producir en cada mes; por tanto, las variables son:
 P1 = unidades a producir en el mes de enero.
 P2 = unidades a producir en el mes de febrero.
 P3 = unidades a producir en el mes de marzo.
 P4 = unidades a producir en el mes de abril.
 P5 = unidades a producir en el mes de mayo.
 P6 = unidades a producir en el mes de junio.
Dado que los costos de producción cambian mensualmente, puede resultar conveniente producir más 
de lo demandado algún mes (por lo común los meses con producción más económica) para poder 
reducir la producción en los meses posteriores (por lo común los meses con un costo de producción 
mayor). Por tanto, se requieren variables extra que correspondan al exceso de producción que se guar-
dará para periodos posteriores, las cuales representan el inventario mensual:
 I1 = unidades en inventario en el mes de enero.
 I2 = unidades en inventario en el mes de febrero.
 I3 = unidades en inventario en el mes de marzo.
 I4 = unidades en inventario en el mes de abril.
 I5 = unidades en inventario en el mes de mayo.
En este caso, I6 = unidades en inventario en el mes de junio, no se considera una variable, pues su valor 
está definido por las políticas de la empresa, I6 = 600 unidades.
Función objetivo:
El objetivo del problema es minimizar el costo total del plan de producción, donde se observan dos 
tipos de costos: costo unitario de producción y costo unitario por mantener en inventario. El objetivo 
quedaría entonces de la siguiente manera:
Minimizar z = costos por mantener inventario en cada uno de los meses + costos de producción de cada 
uno de los meses.
Minimizar z = 3I1 + 3I2 + 3I3 + 3I4 + 3I5 + 3I6 + 40P1 + 34P2 + 38P3 + 32P4 + 41P5 + 38P6
Solución
Problema resuelto
Una empresa que produce una línea de componentes para computadoras está planeando los niveles 
de producción para el periodo de enero a junio.
 Los pronósticos de las demandas de componentes para los seis meses son de 980, 640, 700, 1 200, 
900 y 550 unidades, respectivamente. El inventario al final de diciembre se espera que sea de 500 
unidades y la empresa desea tener 600 unidades al final de junio. El costo por mantener una unidad en 
inventario un mes es de $3.
 Debido a cuestiones de costos de materia prima y salarios de los trabajadores, el precio por producir 
un componente varía de un mes a otro. Al analizar datos históricos, la empresa considera que el precio 
de fabricación de una unidad es de $40, $34, $38, $32, $41 y $38 para enero, febrero, marzo, abril, 
mayo y junio, respectivamente.
 Construir un modelo matemático que permita determinar la cantidad de componentes a producir en 
cada periodo.
1�
Modelos matemáticosUNIDAD 1
Planeación de la producción con programación de la fuerza de trabajo
En este tipo de problemas también se busca determinar las unidades a producir por la empresa en el 
periodo de planeación, pero, a diferencia del problema anterior en el que no se tenía control sobre los 
trabajadores, aquí se puede tomar la decisión de contratar o despedir personal con el fin de minimizar 
los costos de operación de la empresa. No obstante, resulta lógico pensar que contratar o despedir a 
un empleado genera un costo para la empresa por motivos de capacitación, indemnización, sueldos, 
entre otros.
❚
Restricciones:
Para este problema, se debe determinar la relación que existe entre la producción, el nivel de inventario 
y los distintos periodos de planeación.
1. El inventario lo constituyen aquellas unidades que permanecen uno o varios periodos más en la 
empresa, por exceso de producción.
Por tanto, la relación entre el inventario y las unidades producidas es:
Inventario del mes de enero = (unidades disponibles en mes de enero) - (unidades vendidas en el mes 
de enero).
Esto es equivalente a:
Inventario del mes de enero = (unidades producidas en el mes de enero + inventario del mes de diciem-
bre) - (unidades demandas en enero).
Utilizando las variables de decisión y considerando que de acuerdo con el problema en el mes de di-
ciembre se tuvo un inventario final de 500 unidades, tenemos:
I1 = P1 + 500 - 980
De manera similar, para los siguientes meses tenemos las siguientes restricciones.
 I2 = P2 + I1 - 640
 I3 = P3 + I2 - 700
 I4 = P4 + I3 - 1
 200
 I5 = P5 + I4 - 900
 I6 = P6 + I5 - 550, dado que se requiere tener 600 unidades en inventario en el 
mes de junio, esta restricción queda como:
 600 = P6 + I5 - 550
El modelo queda como sigue:
Minimizar z = 3I1 + 3I2 + 3I3 + 3I4 + 3I5 + 3I6 + 40P1 + 34P2 + 38P3 + 32P4 + 41P5 + 38P6
Sujeto a:
 I1 = P1 + 500 - 980
 I2 = P2 + I1 - 640
 I3 = P3 + I2 - 700
 I4 = P4 + I3 - 1
 200
 I5 = P5 + I4 - 900
 600 = P6 + I5 - 550
 I1, I2, I3, I4, I5, I6, P1, P2, P3, P4, P5, P6 ≥ 0
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1�
Parámetros:
Los parámetros que se tienen que considerar son los días laborales por bimestre, la demanda bimestral, 
el número de empleados, el costo de contratación y despido, el sueldo diario, la tasa de producción y el 
costo por mantener inventario.
Variables:
De manera similar al problema de planeación de la producción con múltiples periodos, en este se re-
quieren variables que reflejen la cantidad de unidades a producir por periodo, en este caso bimestre.
 P1 = unidades a producir en el bimestre enero-febrero.
 P2 = unidades a producir en el bimestre marzo-abril.
 P3 = unidades a producir en el bimestre mayo-junio.
 P4 = unidades a producir en el bimestre julio-agosto.
 P5 = unidades a producir en el bimestre septiembre-octubre.
 P6 = unidades a producir en el bimestre noviembre-diciembre.
Aquí también se definen las variables correspondientes a la cantidad de inventario por bimestre.
 I1 = unidades en inventario en el bimestre enero-febrero.
 I2 = unidades en inventario en el bimestre marzo-abril.
 I3 = unidades en inventario en el bimestre mayo-junio.
 I4 = unidades en inventarioen el bimestre julio-agosto.
 I5 = unidades en inventario en el bimestre septiembre-octubre.
 I6 = unidades en inventario en el bimestre noviembre-diciembre.
Dado que se debe determinar también la fuerza de trabajo por bimestre, y esta fuerza de trabajo se 
determina mediante despidos y contrataciones, se requieren variables que representen los valores que 
deben tomar cada uno de estos elementos. De modo que:
 W1 = cantidad de empleados en el bimestre enero-febrero.
 W2 = cantidad de empleados en el bimestre marzo-abril.
 W3 = cantidad de empleados en el bimestre mayo-junio.
Solución
Problema resuelto
El gerente general de una empresa que produce aparatos electrónicos está interesado en planear su 
producción para el próximo año. Los pronósticos de ventas para el siguiente año se presentan en la 
tabla 1.9.
 tabla 1.�
Bimestre
Días 
laborales
Demanda 
(en unidades)
Enero-febrero 41 31 000
Marzo-abril 40 40 000
Mayo-junio 42 52 000
Julio-agosto 41 43 000
Septiembre-octubre 43 31 000
Noviembre-diciembre 39 21 000
En la actualidad, la empresa cuenta con 100 empleados, pero cada bimestre se pueden contratar o 
despedir empleados, incurriendo en un costo de $300 por cada empleado contratado y de $200 por 
cada empleado despedido. El sueldo de un empleado es de $60 por día de trabajo y cada empleado 
produce 12 unidades diariamente.
 El costo por mantener inventario es de $5 por unidad por bimestre.
1�
Modelos matemáticosUNIDAD 1
 W4 = cantidad de empleados en el bimestre julio-agosto.
 W5 = cantidad de empleados en el bimestre septiembre-octubre.
 W6 = cantidad de empleados en el bimestre noviembre-diciembre.
Para las contrataciones:
 H1 = número de contrataciones en el bimestre enero-febrero.
 H2 = número de contrataciones en el bimestre marzo-abril.
 H3 = número de contrataciones en el bimestre mayo-junio.
 H4 = número de contrataciones en el bimestre julio-agosto.
 H5 = número de contrataciones en el bimestre septiembre-octubre.
 H6 = número de contrataciones en el bimestre noviembre-diciembre.
Para los despidos:
 F1 = número de despidos en el bimestre enero-febrero.
 F2 = número de despidos en el bimestre marzo-abril.
 F3 = número de despidos en el bimestre mayo-junio.
 F4 = número de despidos en el bimestre julio-agosto.
 F5 = número de despidos en el bimestre septiembre-octubre.
 F6 = número de despidos en el bimestre noviembre-diciembre.
Función objetivo:
El objetivo del problema es minimizar el costo total del plan de producción, donde se observan cinco 
tipos de costos: costo unitario de producción, costo unitario por mantener en inventario, costo por 
sueldos de empleados, costo por contratar y costo por despedir.
 Considerando los parámetros para dichos costos y las variables previamente definidas, el objetivo 
resulta:
Minimizar z = 5I1 + 5I2 + 5I3 + 5I4 + 5I5 + 5I6 + ($60/día laboral × 41 días laborales)W1 + ($60/día laboral × 
40 días laborales)W2 + ($60/día laboral × 42 días laborales)W3 + ($60/día laboral × 41 días laborales)W4 
+ ($60/día laboral × 43 días laborales)W5 + ($60/día laboral × 39 días laborales)W6 + 300 H1 + 300 H2 + 
300H3 + 300H4 + 300H5 + 300H6 + 200F1 + 200F2 + 200F3 + 200F4 + 200F5 + 200F6.
Restricciones:
Además de las restricciones que establecen la relación que existe entre la producción, el nivel de inven-
tario y los distintos periodos de planeación, se requieren dos conjuntos más de restricciones:
° Restricciones que establecen la capacidad de producción de acuerdo con la tasa de producción por 
empleado y la cantidad de empleados por periodo.
° Restricciones que establecen la cantidad de empleados por periodo, en relación con las contratacio-
nes y despidos en el periodo.
1. Las restricciones de inventario y producción siguen la estructura:
Inventario del bimestre i = (unidades que quedaron en inventario en el bimestre anterior a i) + (unidades 
producidas en bimestre i) - (unidades vendidas en el bimestre i).
Esto es equivalente a:
 I1 = P1 + I0 - 31
 000
I2 = P2 + I1 - 40
 000
 I3 = P3 + I2 - 52
 000
 I4 = P4 + I3 - 43
 000
 I5 = P5 + I4 - 31
 000
 I6 = P6 + I5 - 21
 000
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1�
2. Restricciones de capacidad de producción, las cuales siguen la siguiente estructura lógica:
Cantidad a producir en bimestre i = (tasa diaria de producción por empleado (unidades/día laboral × 
empleado)) × (cantidad de días laborales en el bimestre i ) × (cantidad de empleados en el bimestre i ).
Traducido en variables y parámetros resulta el siguiente conjunto de restricciones.
 P1 = 12 (unidades/día laboral × empleado) × 41 días laborales × W1
 P2 = 12 (unidades/día laboral × empleado) × 40 días laborales × W2
 P3 = 504W3
 P4 = 492W4
 P5 = 516W5
 P6 = 468W6
3. Las que relacionan el nivel de fuerza de trabajo con las contrataciones y despidos, tienen la siguiente 
estructura:
Trabajadores en bimestre i = (trabajadores en bimestre anterior a i ) + (contrataciones en bimestre i ) 
- (despidos en bimestre i ).
Utilizando las variables correspondientes, tenemos:
 W1 = W0 + H1 - F1
 W2 = W1 + H2 - F2
 W3 = W2 + H3 - F2
 W4 = W3 + H4 - F3
 W5 = W4 + H5 - F4
 W6 = W5+ H6 - F5
El modelo resulta:
Minimizar z = 5I1 + 5I2 + 5I3 + 5I4 + 5I5 + 5I6 + 2
 460W1 + 2
 400W2 + 2
 520W3 + 2
 460W4 + 2
 580W5 + 
2 340W6 + 300H1 + 300H2 + 300H3 + 300H4 + 300H5 + 300H6 + 200F1 + 200F2 + 200F3 + 200F4 + 200F5 
+ 200F6.
 P1 = 492W1
 P2 = 480W2
 P3 = 504W3
 P4 = 492W4
 P5 = 516W5
 P6 = 468W6
 W1 = 100 + H1 - F1
 W2 = W1 + H2 - F2
 W3 = W2 + H3 - F2
 W4 = W3 + H4 - F3
 W5 = W4 + H5 - F4
 W6 = W5 + H6 - F5
 I1 = P1 - 31
 000
 I2 = P2 + I1 - 40
 000
 I3 = P3 + I2 - 52
 000
 I4 = P4 + I3 - 43
 000
 I5 = P5 + I4 - 31
 000
 I6 = P6 + I5 - 21
 000
 P1, P2, P3, P4, P5, P6, H1, H2, H3, H4, H5, H6, F1, F2, F3, F4, F5, F6, I1, I2, I3, I4, I5, I6 > = 0.
 W1, W2, W3, W4, W5, W6 ≥ 0, enteras.
Alerta
Adicionalmente se incluyen 
las restricciones que 
determinen la naturaleza 
de las variables; por 
ejemplo, las variables 
fuerza de trabajo puede ser 
recomendable considerarlas 
enteras.
1�
Modelos matemáticosUNIDAD 1
expresando los modelos en forma resumida
En los problemas anteriores ha sido posible expresar explícitamente cada una de las restricciones re-
queridas y la función objetivo, desarrollando a detalle cada uno de estos elementos.
En la práctica es común encontrar modelos en forma general, de manera que, tomándolo como 
base, se puedan realizar las sustituciones correspondientes y hacer que represente cada situación 
particular.
Para el de planeación de la producción con programación de la fuerza de trabajo, denotemos:
 cc = Costo por contratar un trabajador.
 cf = Costo por despedir un trabajador.
 ci = Costo por mantener una unidad en inventario por un periodo.
 cd = Costo diario por trabajador.
 nt = Días laborales en el periodo t.
 Dt = Demanda en el periodo t.
 R = Tasa de producción diaria por un empleado.
Además, se puede observar que se requiere una variable de cada tipo para cada uno de los perio-
dos de planeación. Consideremos que se tienen T periodos de planeación, para el caso en particular 
T = 6, donde el bimestre enero-febrero corresponde al periodo 1, marzo-abril al periodo 2, y así suce-
sivamente. Por tanto, las variables pueden dejarse expresadas como:
 Pt = unidades a producir en el periodo t.
 It = unidades en inventario en el periodo t.
 Wt = cantidad de empleados en el periodo t.
 Ht = número de contrataciones en el periodo t.
 Ft = número de despidos en el periodo t.
De este modo, la función objetivo podría pasar de:
Minimizar z = 5I1 + 5I2 + 5I3 + 5I4 + 5I5 + 5I6 + 2
 460W1 + 2
 400W2 + 2
 520W3 + 2
 460W4 + 2
 580W5 + 
2 340W6 + 300H1 + 300H2 + 300H3 + 300H4 + 300H5 + 300H6 + 200F1 + 200F2 + 200F3 + 200F4 + 200F5 
+ 200F6.
Al verla en forma resumida como:
Minimizar z = ( )ci I cd n W cc H cf Ft t t t t
t
T
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + +
=
∑
1
Restricciones:De manera similar, cada una de las restricciones resultaría:
 1. Las de inventario y producción:
 Inventario del periodo t = (unidades que quedaron en inventario en el periodo t - 1) + (unidades 
producidas en periodo t) - (unidades vendidas en el periodo t).
Por tanto:
It = It - 1 + Pt - Dt y se necesita una para 1 ≤ t ≤ T.
 2. Las restricciones que establecen la capacidad de producción con:
 Cantidad a producir en periodo t = (tasa diaria de producción por empleado) × (cantidad de días 
laborales en periodo t) × (cantidad de empleados en periodo t).
Pt = R × yt × Wt para 1 ≤ t ≤ T.
❚
Grupo Editorial Patria©
1�
 3. Las restricciones que relacionan el nivel de fuerza de trabajo con las contrataciones y despidos:
 Trabajadores en periodo t = (trabajadores en periodo t - 1) + (contrataciones en periodo t) - 
(despidos en periodo t).
 Wt = Wt - 1 + Ht - Ft para 1 ≤ t ≤ T
Así, el modelo matemático resulta:
Minimizar z = ( )ci I cd n W cc H cf Ft t t t t
t
T
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + +
=
∑
1
Sujeto a:
 It = It - 1 + Pt - Dt para 1 ≤ t ≤ T
 Pt = R ⋅ yt ⋅ Wt para 1 ≤ t ≤ T
 Wt = Wt - 1 + Ht - Ft para 1 ≤ t ≤ T
 Wt, Ht, Ft, Pt ≥ 0 para 1 ≤ t ≤ T
 Wt enteras
Planeación de la producción, características adicionales
Hay ciertas prácticas que realizan las empresas que se deben considerar al planear la producción, entre 
dichas prácticas se encuentra la producción en tiempo extra, subcontratación de servicios o productos, 
la posibilidad de tener faltantes, entre otros.
Al considerar estos aspectos en el modelo matemático para planeación de la producción, nos 
acercamos más al complejo sistema de producción de una empresa.
❚
Alerta
Ahora que ya sabemos 
establecer modelos 
de manera resumida, 
usaremos esta notación 
libremente.
Parámetros:
Además de los parámetros antes establecidos, se requieren los siguientes:
 cpe = costo por unidad producida en tiempo extra.
 cs = costo por unidad subcontratada.
 ctm = costo por unidad no producida debido a tiempo muerto.
 MTe = porcentaje de capacidad de producción que puede usarse para producir en tiempo extra.
Variables:
En este caso, se requieren variables extra que reflejen las unidades producidas en tiempo extra, las 
unidades subcontratadas y las unidades no producidas debido a tiempo muerto. Así:
 PEt = unidades a producir en tiempo extra en el periodo t.
 St = unidades subcontratadas en el periodo t.
 TMt = unidades no producidas por tiempo muerto en el periodo t.
Solución
Problema resuelto
Siguiendo con el problema resuelto de planeación de la producción con programación de la fuerza de 
trabajo, consideremos que la capacidad de la empresa puede incrementarse 30% mediante tiempo 
extra. Las unidades producidas en tiempo extra tienen un costo adicional de $3 por unidad y es posi-
ble subcontratar a un costo de $9 por unidad. Además, se puede tener tiempo muerto en la línea de 
producción, aunque esto ocasiona un costo bimestral de $2 por cada unidad no producida debido a 
tiempo muerto.
1�
Modelos matemáticosUNIDAD 1
Función objetivo:
El objetivo del problema es minimizar el costo total del plan de producción; por tanto, debemos agre-
gar los costos extra que se expresan en el enunciado del problema. El objetivo resulta:
Minimizar z = (ci I cd n W cc H cf F cpe PE cs S ctm Tt t t t t t t⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + + + + + MMt
t
T
)
=
∑
1
Sustituyendo los parámetros:
Minimizar z = ( )5 60 300 200 3 9 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + + + + +I n W H F PE S TMt t t t t t t t
t ==
∑
1
6
Restricciones:
1. En las restricciones que regulan el inventario con la cantidad de unidades disponibles y vendidas, es 
necesario considerar que es posible adquirir unidades mediante la subcontratación. Por tanto, las 
restricciones deberán tener la siguiente estructura:
 Inventario del periodo: t = (unidades que quedaron en inventario en el periodo t - 1) + (unidades 
producidas en periodo t) + (unidades subcontratadas en periodo t) - (unidades vendidas en el pe-
riodo t).
It = It - 1 + Pt + St - Dt para 1 ≤ t ≤ 6
2. Las restricciones referentes a la producción deben tomar en cuenta, además de la capacidad de 
producción en tiempo normal, la producción en tiempo extra y las unidades que resulta mejor 
no producir (unidades en tiempo muerto).
Resultando:
Producción en periodo t = (tasa diaria de producción por empleado) ⋅ (cantidad de días laborales en 
periodo t) ⋅ (cantidad de empleados en periodo t) + (producción en tiempo extra) - (unidades no pro-
ducidas debido a tiempo muerto).
 Pt = R ⋅ nt ⋅ Wt + PEt - TMt para 1 ≤ t ≤ 6
 Pt = 12 ⋅ nt ⋅ Wt + PEt - TMt para 1 ≤ t ≤ 6
3. Si se considera la posibilidad de producir en tiempo extra, se requiere establecer, a través de restric-
ciones, la cantidad máxima de unidades producidas en tiempo extra, que corresponden a 30% de la 
producción en tiempo normal; por tanto,
Producción en tiempo extra en periodo t ≤ (porcentaje de capacidad de producción que pueden usarse 
para producir en tiempo extra) × (capacidad de producción en tiempo normal).
Producción en tiempo extra en periodo t ≤ (porcentaje de capacidad de producción que pueden usarse 
para producir en tiempo extra) × (tasa diaria de producción por empleado × cantidad de días laborales 
en periodo t × cantidad de empleados en periodo t).
 PEt ≤ MTe × R × nt × Wt para 1 ≤ t ≤ 6
 PEt ≤ 0.30 × 12 × nt × Wt para 1 ≤ t ≤ 6
4. Las restricciones que relacionan el nivel de fuerza de trabajo con las contrataciones y despidos per-
manecen iguales:
Wt = Wt - 1 + Ht - Ft para 1 ≤ t ≤ 6
Modelo matemático:
Minimizar z = ( )5 60 300 200 3 9 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + + + + +I n W H F PE S TMt t t t t t t t
t ==
∑
1
6
Grupo Editorial Patria©
1�
Problemas financieros
El modelado matemático es de gran utilidad en numerosos procesos financieros. Hemos visto en esta 
unidad un problema de decisión sobre un conjunto de inversiones. Además del análisis de inversiones, 
los modelos matemáticos también son útiles para problemas de caja óptima, a través de los cuales se 
pretende determinar el nivel de efectivo que conviene para no perder liquidez, problemas de asigna-
ción de préstamos a un conjunto de clientes, entre otros.
❚
Sujeto a:
 It = It - 1 + Pt + St - Dt para 1 ≤ t ≤ 6
 Pt = 12 ⋅ nt ⋅ Wt + PEt - TMt para 1 ≤ t ≤ 6
 PEt ≤ 0.30 ⋅ 12 ⋅ nt ⋅ Wt para 1 ≤ t ≤ 6
 Wt = Wt - 1 + Ht - Ft para 1 ≤ t ≤ 6
 Wt, Ht, Ft, Pt, PEt, St + TMt ≥ 0 para 1 ≤ t ≤ T
 Wt enteras
Parámetros:
En este caso, tenemos los siguientes parámetros:
 n = horizonte de planeación de las inversiones = 5
 IA = tasa de interés anual de plan A = 4% por año
 IB = tasa de interés por dos años de plan B = 9% por cada dos años
 IC = tasa de interés por tres años de plan C = 14% por cada tres años
 Q = cantidad de dinero disponible en el año 0, para invertir $50 000
También, sabemos que el plan A es anual (tA = 1), el plan B es a dos años (tB = 2) y el plan C es a tres 
años (tC = 3).
Variables:
¿Qué queremos saber? Las cantidades a invertir (de los $50 000 originales, llamémosle dinero de bol-
sillo) a lo largo de los cinco años en los tres planes de inversión. Por tanto, se necesitan variables que 
determinen esto. Entonces, denotemos:
xij = cantidad de dinero de bolsillo a invertir a inicios de año i en plan j, para i = 1, 2, 3, 4, 5; j = A, B, C.
Otra cosa que interesa es la ganancia que obtendrá Manuel por año, la pista para considerar esta 
variable está en el hecho de que lo que debemos maximizar es el valor que tome esta variable en el 
quinto año.
Denotemos:
rij = Cantidad de dinero recibido a final del año i debido a inversión en plan j, para i = 1, 2, 3, 4, 5; 
j = A, B, C.
Solución
Problema resuelto
Manuel desea invertir $50 000 y permitir que esa cantidad incremente su valor en un periodo de cinco 
años. En la actualidad hay tres planes en los que puede invertir. El plan A le otorga un interés de 4% 
anual, pudiendo hacer cualquier movimiento al finalizar cada año. El plan de inversión B le ofrece un 
interés de 9% cada dosaños. Mientras que el plan C le ofrece un interés de 14% si mantiene su dinero 
en dicho plan por tres años.
 ¿Cómo debería Manuel invertir su dinero a fin de obtener el mayor rendimiento al finalizar el quinto 
año?
�0
Modelos matemáticosUNIDAD 1
Dado que se puede, y es deseable, reinvertir las ganancias obtenidas por inversiones pasadas, se hace 
necesario considerar las siguientes variables.
gij = cantidad de dinero recibido a final del año i - 1 que se invertirá a inicios de año i en el plan j, para 
i = 2, 3, 4, 5; j = A, B, C.
Dadas las características de este problema, se puede intuir que desde principios del año 1 se busca in-
vertir el capital total, a fin de hacerlo crecer desde ese momento; sin embargo, esto puede no ser cierto 
en todo plan de inversión. Puede darse el caso de que un plan de inversión no esté disponible desde 
el año 1, o que se reciba algún capital extra a lo largo del horizonte de planeación de las inversiones; 
por tanto, se expresan las siguientes variables.
yij = cantidad de dinero total: cantidad de dinero de bolsillo y cantidad de dinero recibido de inversión 
previa, que se invertirá en el año i en el plan j, para i = 2, 3, 4, 5; j = A, B, C.
Definidas dichas variables, estamos listos para diseñar la función objetivo y las restricciones.
Función objetivo:
Lo que buscamos es maximizar el dinero recibido de las inversiones en cinco años, el cual está repre-
sentado por r5A, r5B o r5C.
Maximizar z = r5A + r5B + r5C
Restricciones:
1. La primera restricción que nos viene a la mente es la referente a la cantidad de dinero disponible 
para invertir. Aquí se puede pensar que es suficiente indicar:
x1A + x1B + x1C ≤ 50
 000
Sin embargo, debemos dejar indicada la posibilidad de que el desembolso de dinero de bolsillo se dé 
en cualquier año del horizonte de planeación, esto por la misma razón por la que se consideró necesaria 
la definición de las variables yij.
x1A + x1B + x1C + x2A + x2B + x2C + x3A + x3B + x3C + x4A + x4B + x4C + x5A + x5B + x5C ≤ 50
 000
2. En este caso, se requieren restricciones que establezcan la relación entre la cantidad invertida y la 
cantidad recibida por año; es decir, particularmente:
Para el final del año 1, plan A:
r1A = (1 + 0.04) x1A
Plan B y plan C, debido a que su tiempo de inversión es mayor a 1, al final del año 1, la cantidad reci-
bida será cero.
 r1B = 0
 r1C = 0
Para el final del año 2:
Dinero a recibir a final del año 2 por inversión en plan A: r2A = (1 + 0.04) y2A, donde y2A = x2A + g2A.
Es importante considerar aquí que g2A no debe ser mayor al dinero que se tiene para reinvertir. 
Además, es importante tomar en cuenta que, por año, este dinero debe contemplar la posibilidad de 
repartirse entre los tres planes.
g2A + g2B + g2C ≤ r1A + r1B + r1C
Plan B, a finales del año 2 por dinero invertido a inicios del año 1 se recibe:
r2B = (1 + 0.09) x1B
Grupo Editorial Patria©
�1
Plan C:
r2C = 0
Para el final del año 3:
Dinero a recibir a final del año 3 por inversión en plan A:
 r3A = (1 + 0.04) y3A
 y3A = x3A + g3A
 g3A + g3B + g3C ≤ r2A + r2B + r2C
Plan B, a finales del año 3 por dinero invertido a inicios del año 2 se recibe:
 r3B = (1 + 0.09) y2B
 y2B = x2B + g2B
Plan C, a finales del año 3 por dinero invertido a inicios del año 1 se recibe:
r3C = (1 + 0.14) x1C
De manera similar, para los años 4 y 5, resultando el modelo matemático:
Maximizar z = r5A + r5B + r5C
 x1A + x1B + x1C + x2A + x2B + x2C + x3A + x3B + x3C + x4A + x4B + x4C + x5A + x5B + x5C ≤ 50
 000
 r1B = 0
 r1C = 0
 r2C = 0
 r1A = (1 + 0.04) x1A
 r2A = (1 + 0.04) y2A
 r2B = (1 + 0.09) x1B
 r3A = (1 + 0.04) y3A
 r3B = (1 + 0.09) y2B
 r3C = (1 + 0.14) x1C
 r4A = (1 + 0.04) y4A
 r4B = (1 + 0.09) y3B
 r4C = (1 + 0.14) y2C
 r5A = (1 + 0.04) y5A
 r5B = (1 + 0.09) y4B
 r5C = (1 + 0.14) y3C
 y2A = x2A + g2A
 y2B = x2B + g2B
 y2C = x2C + g2C
 y3A = x3A + g3A
 y3B = x3B + g3B
 y3C = x3C + g3C
 y4A = x4A + g4A
 y4B = x4B + g4B
 y5A = x5A + g5A
 g2A + g2B + g2C ≤ r1A + r1B + r1C
 g3A + g3B + g3C ≤ r2A + r2B + r2C
 g4A + g4B + g4C ≤ r3A + r3B + r3C
 g5A + g5B + g5C ≤ r4A + r4B + r4C
Todas las variables son mayores o iguales a cero.
��
Modelos matemáticosUNIDAD 1
Problemas de transporte
En el problema de transporte se busca la forma en que cualquier bien debe ser distribuido, desde cual-
quier grupo de centros de suministro (orígenes) a cualquier grupo de centros de recepción (destinos), 
de manera que los costos totales de transporte sean mínimos.
Para que un problema pueda ser considerado problema de transporte, se debe cumplir con el 
supuesto de requerimientos y con el supuesto de costo.
El supuesto de requerimientos nos dice que cada origen tiene un suministro fijo de unidades y el 
suministro completo debe transportarse a los destinos. De manera análoga, cada destino tiene una 
demanda fija de unidades y debe satisfacerse de los orígenes.
Es decir:
i
m
i
j
n
js d
= =
∑ ∑=
1 1
Donde:
m: cantidad de orígenes
n: cantidad de destinos
si: cantidad de unidades que oferta el origen i, para i = 1, 2, …, m
dj: cantidad de unidades demandadas por el destino j, para j = 1, 2, …, n
En la práctica resulta lógico pensar que es raro encontrar que se cumpla este supuesto; pero, cuando 
esto ocurre, es posible reformular el problema con la introducción de un destino u origen ficticios, para 
que se haga cargo de la holgura, de manera que se ajuste al modelo del transporte.
Si la oferta es mayor que la demanda, s di
i
m
j
j
n
= =
∑ ∑>
1 1
, entonces se requerirá un punto de demanda 
artificial, de modo que: d s dn i
i
m
j
j
n
+
= =
= −∑ ∑1
1 1
.
De manera similar, si existe mayor demanda que oferta s di
i
m
j
j
n
= =
∑ ∑<
1 1
, se requerirá un punto de 
suministro artificial, de modo que: s d sm j
j
n
i
i
m
+
= =
= −∑ ∑1
1 1
.
Debido a que en realidad los puntos artificiales no existen, los costos de transporte entre este y 
los demás puntos del problemas tendrán valor cero.
Dado que se debe priorizar la distribución de producto entre entidades reales y teniendo en men-
te que se busca minimizar, el supuesto de costo considera que el costo de transportar unidades de un 
origen a un destino debe ser directamente proporcional al número de unidades transportadas. Este 
costo puede ser visto como el costo unitario multiplicado por el número de unidades transportadas.
Los parámetros del modelo de transporte son los datos que se tienen desde el inicio, que son: el 
costo de transporte unitario, la cantidad de producto ofertado por cada nodo origen y la cantidad de 
productos demandado por cada nodo de destino.
m: cantidad de orígenes
n: cantidad de destinos
si: cantidad de unidades que oferta el origen i, para i = 1, 2, …, m
dj: cantidad de unidades demandadas por el destino j, para j = 1, 2, …, n
cij: costo por transportar una unidad de producto desde el origen i hasta el destino j, para i = 1, 2, …, 
m; j = 1, 2, …, n
Para poder definir las variables del modelo se debe pensar en lo que se necesita obtener del modelo. 
En este problema lo que se quiere saber es la cantidad de producto a enviar de cada punto de origen 
a cada punto de destino. Es decir:
xij: cantidad de unidades a enviar del origen i al destino j, para i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.
❚
Alerta
El supuesto de 
requerimientos es 
importante para asegurar 
que existen soluciones 
factibles y para poder 
utilizar algoritmos sencillos 
para solucionar el problema 
de transporte.
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��
Visto a manera de una red, se tiene:
s1
c11
cmn
Puntos de
suministro
(oferta)
Puntos de
demanda
s2
sm
d1
d2
dn
1
2
m
1
2
n
 Figura 1.�
O visto a manera de tabla de transporte:
 tabla 1.10
Costo por unidad distribuida 
Destino 
1 2 … n Recursos 
Origen 1 c11 c12 … c1n s1 
Origen 2 c21
 
c22 … c2n s2 
Origen … …. … … …. … 
Origen m cm1 cm2 … cmn sm 
Demanda d1 d2 …. dn 
Función objetivo:
El objetivo de este problema es determinar la forma de transportarunidades del producto de los pun-
tos orígenes a los puntos destino, minimizando los costos de transporte; por tanto, supongamos que 
tenemos tres puntos de origen y dos puntos de destino, la función objetivo quedaría:
Minimizar z = c11x11 + c12x12 + c21x21 + c31x31 + c32x32
De manera resumida:
Minimizar z c xij ij
ji
=
==
∑∑
1
2
1
3
Y en general:
Minimizar z c xij ij
j
n
i
m
=
==
∑∑
11
Restricciones:
Las restricciones que se tienen son de dos tipos: las relacionadas con los puntos de suministro y las de 
los puntos de destino, las cuales están totalmente ligadas al supuesto de requerimientos.
 1. Las relacionadas con los puntos de suministro indican que la cantidad de producto que se envíe 
de un punto de suministro debe ser igual a la cantidad de producto que se tenga en el punto de 
suministro.
��
Modelos matemáticosUNIDAD 1
Es decir, para el punto de suministro (origen) 1, se tiene que:
 (Lo que se envíe del punto origen 1 a punto destino 1) + (lo que se envíe de punto origen 1 a punto 
destino 2) = (cantidad de producto en punto origen 1).
Con variables y parámetros se tiene:
x11 + x12 = s1
Para punto de suministro 2:
x21 + x22 = s2
Y para punto de suministro 3:
x31 + x32 = s3
Resumiendo:
x sij
j
n
i
=
∑ =
1
 para todo i = 1, …, m.
 2. Las restricciones relacionadas con los puntos de demanda indican que la cantidad de producto 
que se envíe a un punto de demanda debe ser igual a la cantidad de producto que demanda.
Es decir, para el punto de demanda 1, se tiene que:
 (Lo que se envíe del punto origen 1 a punto demanda 1) + (lo que se envíe de punto origen 2 a 
punto demanda 1) + (lo que se envíe de punto origen 3 a punto demanda 1) = (cantidad de pro-
ducto que demanda 1).
Con variables y parámetros se tiene:
x11 + x21 + x31 = d1
Para punto de demanda 2:
x12 + x22 + x32 = d2
Resumiendo:
x dij
i
m
j
=
∑ =
1
 para todo j = 1, …, n
Por último, la cantidad de producto que se envíe debe ser mayor o igual a cero (no tiene sentido 
que estas variables tomen valor negativo).
xij ≥ 0 para i = 1, …, m; j = 1, …, n
Por tanto, el modelo matemático completo resulta.
 Minimizar z c xij ij
j
n
i
m
=
==
∑∑
11
 x sij
j
n
i
=
∑ =
1
 para todo i = 1, …, m
 x dij
i
m
j
=
∑ =
1
 para todo j = 1, …, n
 xij ≥ 0 para i = 1, …, m; j = 1, …, n
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��
De acuerdo con el planteamiento, en este problema tenemos tres orígenes y dos destinos, el supuesto del 
costo se cumple al establecerse que el costo es por unidad de producto. Así, al evaluar el supuesto 
de requerimientos nos damos cuenta que:
 Ofertas (20 + 10 + 25 unidades) = 55 unidades de producto.
 Demandas (30 + 30 unidades) = 60 unidades de producto.
En este caso, el supuesto no se cumple, pues Demandas > Ofertas; por tanto, se requiere un punto de 
oferta ficticio con cinco unidades, que en el contexto del problema será producto que los almacenes 
no podrán cumplir.
 tabla 1.1� Costos de transportación
SLP Guanajuato Oferta
Monterrey $4.20 $5.10 20
Toluca $4.50 $4.80 10
Guadalajara $4.70 $4.50 25
Artificial $0.00 $0.00 5
Demanda 30 30
Por tanto, se definen las variables:
 x11 = cantidad de productos a enviar de almacén en Monterrey a cliente en SLP
 x12 = cantidad de productos a enviar de almacén en Monterrey a cliente en Guanajuato
 x21 = cantidad de productos a enviar de almacén en Toluca a cliente en SLP
 x22 = cantidad de productos a enviar de almacén en Toluca a cliente en Guanajuato
 x31 = cantidad de productos a enviar de almacén en Guadalajara a cliente en SLP
 x32 = cantidad de productos a enviar de almacén en Guadalajara a cliente en Guanajuato
 x41 = cantidad de productos a enviar de almacén ficticio a cliente en SLP
 x42 = cantidad de productos a enviar de almacén ficticio a cliente en Guanajuato
Función objetivo:
En este problema se busca minimizar el costo de transporte, dado a que se conoce el costo de trans-
portar una unidad de cada almacén a cada cliente, la función objetivo resulta:
Minimizar z = 4.2x11 + 5.1x12 + 4.5x21 + 4.8x22 + 4.7x31 + 4.5x32
Solución
Problema resuelto
Se desean enviar productos a dos clientes en San Luis Potosí (SLP) y Guanajuato desde tres almacenes 
diferentes, ubicados en Monterrey, Toluca y Guadalajara. Los costos de transporte unitarios se muestran 
en la tabla 1.11, así como las unidades con que cuenta cada almacén y las unidades que necesita cada 
cliente, estos dos últimos en miles de productos. Determinar el modelo de transporte que represente 
esta situación.
 tabla 1.11 Costos de transportación
SLP Guanajuato Oferta
Monterrey $4.2 $5.0 20
Toluca $4.5 $4.8 10
Guadalajara $4.7 $4.5 25
Demanda 30 30
Alerta
El valor de x4j corresponderá 
a la cantidad de demanda 
no satisfecha del cliente j.
��
Modelos matemáticosUNIDAD 1
1.5  Modelando con variables enteras
Las variables enteras ofrecen características que permiten modelar ciertas situaciones de forma intuiti-
va. Algunas de estas situaciones se explican a continuación.
Modelando costos fijos
Supongamos que se desea modelar la función de costo g(x) = f + vx, la cual tiene la siguiente forma.
120
100
80
60
f
W
x
g(x)
40
20
0
0 2 4 6 8 10 12
 Figura 1.�
❚
Restricciones:
1. Para los puntos de oferta resultan:
 Almacén en Monterrey: x11 + x12 = 20
 Almacén en Toluca: x21 + x22 = 10
 Almacén en Guadalajara: x31 + x32 = 25
 Almacén ficticio: x41 + x42 = 5
2. Para los puntos de demanda son:
 Cliente en SLP: x11 + x21 + x31 + x41 = 30
 Cliente en Guanajuato: x12 + x22 + x32 + x42 = 30
3. Para la naturaleza de las variables:
 xij ≥ 0 para i = 1, …, 4; j = 1, …, 2
Modelo matemático:
Minimizar z = 4.2x11 + 5.1x12 + 4.5x21 + 4.8x22 + 4.7x31 + 4.5x32
Sujeto a:
 x11 + x12 = 20
 x21 + x22 = 10
 x31 + x32 = 25
 x41 + x42 = 5
 x11 + x21 + x31 + x41 = 30
 x12 + x22 + x32 + x42 = 30
 xij ≥ 0 para i = 1, …, 4; j = 1, …, 2
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��
Tal que:
g x
x
f vx x
( ) =
=
+ >



0 0
0
si
si
Este tipo de funciones de costo pueden observarse en, por ejemplo, el costo por pago de sueldos 
a personal, donde x representará el pago por horas extra. Si un empleado labora en cierto periodo, a 
éste se le tiene que pagar un sueldo fijo (f ), pero si labora horas extra, el costo se incrementa de-
pendiendo de la cantidad de horas extra que se utilicen. Ello hasta cierto tiempo extra máximo (W ). 
Pero, si el empleado no labora en dicho periodo, no se incurre en gasto por pago de sueldo para ese 
empleado.
Para modelar esta función de costo, es necesario introducir una variable binaria y, de modo que:
y
x
x
=
>
=



1 0
0 0
si
si
La función objetivo se transforma en:
fy + vx
Y se deberá añadir la restricción:
 x ≤ Wy
 y ∈ {0, 1}
 0 ≤ x ≤ W
Modelando dos alternativas, modelando dos disyunciones
Supongamos que existen dos restricciones mutuamente excluyentes. Es decir, x satisface:
 a1x ≤ b1, o bien, a
2x ≤ b2, es decir,
 a11x11 + a12x12 + … + a1nxn ≤ b1, o bien,
 a21x21 + a22x22 + … + a2nxn ≤ b2
Para poder modelar esta situación de dos alternativas entre las cuales decidir es necesario introducir 
una variable binaria para cada restricción y1, y2 ∈ {0, 1}
Y definir una constante M, que es un número muy grande.
M ≥ max{a1x - b1; a
2x - b2}
Las restricciones alternativas deben de modificarse de la siguiente manera:
 a1x - b1 ≤ M(1 - y1 )
 a2x - b2 ≤ M(1 - y2 )
Y agregar:
 y1 + y2 = 1
 y1, y2 ∈ {0, 1}
De modo que si y1 = 1, y2 = 0 y la segunda restricción resulta a
2x ≤ M + b2, dado que M es un núme-
ro muy grande, esta restricción queda libre. Por tanto, la única restricción que deberá cumplirse es: 
a1x ≤ b1.
Modelando k alternativas
Supongamos que se desea minimizar una función satisfaciendo al menos k restricciones, de un conjun-
to de restricciones r1(x) ≤ 0 i = 1, …, n, 1 ≤ k ≤ n - 1.
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Modelos matemáticosUNIDAD 1
De manera análoga al modelado de dos alternativas, es necesario agregar n variables binarias y 
modificar el conjunto