Clase_7

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CURSO: EL MÉTODO DE LOS 
ELEMENTOS FINITOS
TEMA VII: INTEGRACIÓN NUMÉRICA
DOCENTE: ING. JAN CARLOS PAMPA VARA
Integración numérica
La evaluación de una integral definida: 
en forma explícita es a veces muy difícil o prácticamente imposible. En tales casos puede hacerse
una aproximación numérica tal como las que se mencionan en esta sección.
Una posible forma de resolver el problema es aproximando, localmente, la función, f(x) , por otra,
g(x) , más simple de integrar.
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En la Regla de los Trapecios se aproxima f(x) con segmentos de recta y entonces:
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En la Regla de Simpson la aproximación local se hace interpolando con parábolas de 2°
grado. Considerando puntos con abscisas uniformemente espaciadas: 
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anterior
Integración numérica
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Integración numérica
Orientación de la integración de Gauss-Legendre al MEF
La regla de integración o cuadratura de Gauss-Legendre expresa el valor de dicha integral como suma de los
productos de los valores del integrando en una serie de puntos conocidos en el interior del intervalo por unos
coeficientes (pesos), es decir, cuadratura de orden q.
donde Wi es el peso correspondiente al punto de integraci´on i, y q el n´umero de dichos puntos. Es interesante
destacar que la cuadratura de Gauss-Legendre de orden n integra exactamente un polinomio de grado 2n−1 o
menor. Por otra parte, el error en el cálculo aproximado de una integral es de orden 0(h2n), donde k es la distancia
entre los puntos de integraci´on.
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Obsérvese que los puntos de integración están todos expresados en el
espacio normalizado −1 ≤ ξ ≤ 1, lo que resulta de gran utilidad para el
cálculo de las matrices del elemento referidas a las coordenadas
naturales. La popularidad de la cuadratura de Gauss-Legendre se debe a
que utiliza el mínimo número de puntos de integración para conseguir un
error determinado en el cálculo de la integral.
Integración numérica
Ejemplo de precisión:
Consideremos:
La integral exacta en el intervalo [-1,1]
- 1 punto de cuadratura
- 2 puntos de cuadratura
- 3 puntos de cuadratura
Se muestra que un polinomio
de orden 4 requiere 3 puntos de
integración como se esperaba
de la fórmula de q y 2q-1.
Integración numérica
Orientación de la integración de Gauss-Legendre al MEF
Integración numérica
Integración numérica
La integral de un término cualquiera g(ξ, η) de la matriz de rigidez K(e)ij sobre el dominio de coordenadas naturales de
un elemento cuadrilátero puede evaluarse por una cuadratura de Gauss-Legendre bidimensional como:
donde np y nq son el número de puntos de integraci´on seleccionados en cada una de las direcciones ξ y η; ξp y ηq son
las coordenadas naturales del punto de integración p, q y Wp, Wq los pesos correspondientes a cada dirección en
dicho punto. Las coordenadas y los pesos para cada direcci´on se deducen directamente de los dados en la Tabla para
el caso unidimensional.
Integración numérica
En la Figura se muestran algunas de las cuadraturas 
bidimensionales más usuales sobre elementos 
cuadriláteros.
Recordemos que una cuadratura de orden n en cada dirección natural
integra exactamente un polinomio de grado ≤ 2n−1 en la correspondiente
coordenada natural
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La cuadratura de Gauss para elementos triangulares se escribe como
donde np es el n´umero de puntos de integración; L1p, L2p, L3p y Wp son los valores de las coordenadas de área y 
del peso en el punto de integración p, respectivamente.
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En la Figura se muestran las coordenadas y los pesos
más utilizados en la practica; la “precisión” en dicha figura
es el polinomio de mayor grado que la formula integra
exactamente. La Figura es también de utilidad inmediata
para el calculo de integrales definidas en función de las
coordenadas naturales α y β haciendo uso de la relación
entre dichas coordenadas y las de área. Es importante
advertir que en dicha figura se han normalizado los pesos
Wp de manera que su suma sea 0.5 . Es también usual
que los pesos se tabulen de modo que sumen la unidad,
lo que obliga a afectar el sumatorio de la ec. Anterior del
coeficiente 1/2 para que el área del elemento se calcule
exactamente.
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Importancia del orden de integración
El numero de puntos de integración se selecciona de acuerdo con el grado de los polinomios que aparecen en las integrales del elemento. Si
el elemento es isoparamétrico dichas integrales contienen funciones racionales y la integración exacta no es posible. En este caso suele
escogerse una cuadratura que integre exactamente la matriz (o vector) de un elemento análogo rectangular o triangular de lados rectos en el
que, por ser el Jacobiano constante, las integrales solo contienen funciones polinómicas.
Está comprobado que en este ´ultimo caso basta con que la cuadratura seleccionada integre exactamente los términos de K(e)ij
correspondientes al polinomio completo contenido en las funciones de forma, pues, de hecho, dichos términos son los ´únicos que
contribuyen significativamente a la aproximación y convergencia de la solución.
Este orden de integración recibe el nombre de cuadratura mínima para mantener la convergencia. Vemos como de nuevo una integración
“inexacta” de la matriz de rigidez conduce a resultados correctos.
En la practica la cuadratura mínima es la más recomendable ya que, obviamente, es la más económica en numero de operaciones. Es
interesante constatar como, en ocasiones, la integración mínima proporciona incluso mejores resultados debido a la mayor flexibilidad que
confiere al elemento, que cancela en parte los errores por exceso de rigidez inherentes a la discretización y al campo de desplazamiento
supuesto.
En la Figura 4.22 se muestran las cuadraturas de integración exacta y mínima para los elementos rectangulares y triangulares de lados
rectos más usuales. Algunos autores asocian el nombre de cuadratura mínima a aquella que garantiza que el elemento puede reproducir en
el límite un estado de deformación constante. Esto implica que la cuadratura escogida debe poder evaluar correctamente el área (o el
volumen) del elemento, lo que en coordenadas naturales representa calcular exactamente
Eugenio Oñate
Integración numérica
De acuerdo con todo lo anterior, la expresión de la matriz de rigidez de un elemento cuadrangular isoparamétrico 
evaluada por interaciona numérica seria
Para un elemento triangular se deduce de
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Ventajas de la cuadratura de Gauss
Los puntos de la cuadratura de Gauss-Legendre
tienen la interesante propiedad de aproximar con
un orden mayor las tensiones (y deformaciones)
que en cualquier otro punto del elemento. Por
consiguiente, las deformaciones y las tensiones
deben siempre evaluarse en los puntos de Gauss,
y a partir de los valores allí obtenidos proceder, si
se desea, a la extrapolación a los nodos. Por ello
dichos puntos son óptimos para el calculo de
tensiones y deformaciones
Integración numérica
La transcendencia de esta coincidencia queda
reflejada en el ejemplo del análisis de una viga en
voladizo con elementos rectangulares serendípitos de
8 nodos.
Puede apreciarse en dicha figura que la variación del
esfuerzo cortante dentro de cada elemento es
parabólica y por lo tanto incorrecta. Por otra parte, los
valores del cortante obtenidos en las secciones
correspondientes a los puntos de la cuadratura
mínima/ ´optima 2 × 2 coinciden con los exactos y una
simple interpolación lineal de dichos valores a los
nodos proporciona la distribución exacta.
Se puede encontrar una distribución de tensión
mejorada mediante la siguiente propiedad de la
cuadratura de Gauss: un polinomio de grado n y un
polinomio de grado n−1, obtenidos por ajuste por
mínimoscuadrados del primero, toman los mismos
valores en los puntos de la cuadratura de Gauss de
orden n. Por lo tanto, podemos obtener una
aproximación de las tensiones y deformaciones de
un orden superior al calcularlas en los puntos de
Gauss. Esta importante propiedad se aclara con los
siguientes dos ejemplos.
Integración numérica
Integración numérica
Integración numérica
Conclusiones 
- Si la distribución exacta del campo de deformación ε (o tensión σ) es un polinomio de grado n y la solución de
elementos finitos aproximada es un polinomio de grado n−1, el cálculo de σ (o ε) en los puntos de la cuadratura
de Gauss de n-ésimo orden da los valores exactos.
- La evaluación de σ o ε en los puntos de cuadratura de Gauss elegidos para la integración de K(e) produce una
solución de un orden de aproximación mayor que en cualquier otro punto dentro del elemento.
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Integración numérica en 3 dimensiones
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Las tensiones en un nodo se pueden calcular directamente a partir de los desplazamientos nodales como
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donde B(ξi, ηi, ζi) denota la matriz de deformación evaluada en el nodo i. La ecuación anterior da tensiones nodales que son
discontinuas entre los elementos adyacentes. Esta es una consecuencia de la formulación de elementos finitos donde solo
se requiere continuidad para los desplazamientos. La discontinuidad de la tensión se reduce a medida que se refina la
malla. Los valores de tensión en un solo nodo se pueden obtener a través del promedio de nodos o utilizando las técnicas
de suavizado que se describen a continuación. Las tensiones nodales obtenidas a través de la ecuación anterior no son tan
precisas como las obtenidas al extrapolar a los nodos las tensiones calculadas en los puntos de Gauss, que son los puntos
de muestreo de tensión óptimos dentro de un elemento.
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Suavizado global de tensiones
Las tensiones en los puntos de Gauss se pueden utilizar para definir un procedimiento de extrapolación
global que proporcione directamente un campo de tensión nodal continuo. Sean σ las tensiones en los
puntos de Gauss y σs el campo de tensiones suavizado buscado (Figura 9.14) definido dentro de cada
elemento como
Integración numérica
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