Clase_9

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CURSO: EL MÉTODO DE LOS 
ELEMENTOS FINITOS
TEMA IX: ELEMENTOS VIGA - TIMOSHENKO
DOCENTE: ING. JAN CARLOS PAMPA VARA
Elementos Viga
Elementos Viga
Elementos Viga
- Se utilizan cuando los elementos continuos (bidimensionales, tridimensionales) requieren una gran cantidad de elementos
para lograr un buen desempeño, o cuando se requiere una mayor precisión de alguna respuesta estructural particular del
elemento.
- La formulación de los elementos finitos estructurales se deriva de las ecuaciones gobernantes clásicas de la mecánica
estructural.
- La formulación de elementos estructurales es más compleja que de los elementos continuos.
- Orden de ecuaciones diferenciales es mayor al de los elementos continuos (ej. Plate delgado: 4to orden), se requieren
funciones de orden especiales.
Elementos Viga
Elementos Viga
Elementos Viga
Rotación de flexión
Rotación de corte
𝜃
Elementos Viga
Teoría de Vigas de 
Bernoulli
Teoría de Vigas de 
Timoshenko
Tipos de Vigas Estructurales
𝜃
Elementos Viga
Elementos Viga
Equilibrio traslacional
Elementos Viga
Equilibrio rotacional
Elementos Viga
Condiciones de borde
Elementos Viga
Viga de Timoshenko:
- Formulación más general que la de la viga de Bernulli. Permite considerar deformaciones por 
corte y por lo tanto, es aplicable al análisis de vigas cortas.
- Introducción a la teoría de placas gruesas.
- Rotación del plano inicialmente inicialmente perpendicular al eje de la viga.
- La deformación por corte (variable adicional) está relacionada a la fuerza cortante a través de la 
siguiente relación constitutiva.
Elementos Viga
Elementos Viga
Dos ecuaciones de equilibrio Dos ecuaciones constitutivas
Elementos Viga
De Forma Fuerte a Forma Débil
Rotacional Traslacional
Elementos Viga
Condiciones de borde
Elementos Viga
Rotacional Traslacional
Condiciones de borde de Neumann
Características de las funciones de peso y prueba
- La primera derivada debe existir
- Funciones de forma estándar
- Espacio Sobolev de H1 de primer orden
- Continuidad C0
Elementos Viga
Elementos Viga
- Formulación FEM: 2do orden, relativamente sencillo. Se puede usar las mismas funciones de forma estándar con
continuidad C0 utilizadas en elementos continuos.
- Formulación de Galerkin.
Elementos Viga
Se pueden usar funciones de forma distintas para el campo de desplazamientos y para el campo de rotaciones.
Elementos Viga
Usando la discretización:
Elementos Viga
Elementos Viga
Forma Matricial:
Elementos Viga
Forma Matricial:
Elementos Viga
- Teóricamente, la viga de Timoshenko es superior a la viga Euler-Bernoulli debido a que se puede utilizar para
modelar vigas esbeltas y cortas.
- De lo anterior, tendríamos una situación ideal en la que cualquier viga podría ser modelada con un solo tipo de
elementos (Timoshenko), que además tiene la ventaja de utilizar funciones de forma C0.
- Sin embargo, existe el bloque de corte: un fenómeno matemático que se presenta cuando se modela vigas
esbeltas sometidas a flexión.
- Respuesta rígida: La contribución de las deformaciones por corte a la energía disipada no disminuye al aumentar la
esbeltez de la viga (problema numérico).
Elementos Viga
Integración completa, con los puntos de integración necesarios:
Elementos Viga
Caso
L infinito L cero
Elementos Viga
Integración incompleta, con 1 puntos de integración localizado
L infinito L cero
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Desplazamiento y giros
Curvaturas
Deformación por corte
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Forma Débil en trabajo virtual
Elementos Viga
Integración 2 puntos de integración.
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Elementos Viga
Elementos Viga
Elementos Viga
Elementos Viga
Integración completa: