2B Matemática (2cuatrimestre)

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MATEMÁTICA 2DO B – PROF: GOMEZ YESICA- SEGUNDO CUATRIMESTRE 
 
 
ÁNGULOS 
 Si los lados son semirrectas opuestas, el ángulo es llano. La amplitud del ángulo es igual a 180º. 
 
 
 Si los lados son perpendiculares, el ángulo es recto. La amplitud del ángulo es igual a 90º. 
 
 
 
 Un ángulo convexo menor que un recto, es agudo. La amplitud del ángulo es mayor que 0º y menor que 
90º. 
 
 
 Un ángulo convexo mayor que un recto, es obtuso. La amplitud del ángulo es mayor que 90º y menor 
que 180º. 
 
 
 
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 
Si ̂ = 35º y ̂ = 55º. ¿Cuánto mide ̂ +̂ ? β + α = 90º 
 Si dos ángulos suman 90º, es decir un recto, dichos ángulos son complementarios. 
̂ y ̂ son complementarios porque, ̂ +̂ = 90º, ̂ es el complemento de ̂ , ̂ es el complemento de ̂ 
Si ̂ = 75º y ̂ =105º. ¿Cuánto mide ̂ +̂ ? β + α = 180º 
 Si dos ángulos suman 180º, es decir un llano, dichos ángulos son suplementarios. 
 ̂ y ̂ son suplementarios porque, ̂ + ̂ = 180º, ̂ es el suplemento de ̂ , ̂ es el suplemento de ̂ . 
Ejemplo 
1) El suplemento de ̂ = 110º es ̂ =70º 
2) El complemento de ̂ = 55º12’ es ̂ = 34º48’ 
3) Resuelvan las ecuaciones y calculen las amplitudes de los ángulos dados, teniendo en cuenta el 
dibujo. 
 ̂ = 3.x 
 ̂ ̂ = 2.x + 80º 
 ̂ 
 
 
 
 
3x + 2x + 80º= 90º 
5x = 10º x = 2º 
̂ = 6º y ̂ = 84º 
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Ejercicios de aplicación 
1) El suplemento de ̂ = 40º30’ es ̂ = 139º30’ 
2) El complemento de ̂ = 20º30’ es ̂ = 69º30’ 
3) Resuelvan las ecuaciones y calculen las amplitudes de los ángulos dados, teniendo en cuenta el 
dibujo. 
a) ̂ = 3x – 50º b) ̂ = 2x 
 ̂ ̂ = 2x + 80º ̂ ̂ = 4x – 30º 
 ̂ ̂ 
 
 
 
 
ÁNGULOS CONSECUTIVOS Y ÁNGULOS ADYACENTES 
 
 ¿Qué tienen en común estos ángulos? 
 Un lado y el vértice 
 
 Dos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, son ángulos consecutivos. 
 ¿Qué tienen en común estos ángulos? 
 Un lado y el vértice (consecutivos) 
 ¿Qué ángulo forman entre los dos? 
 Un llano (suplementarios) 
 
 Los ángulos consecutivos y suplementarios, son ángulos adyacentes. 
 
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE 
 Los ángulos que tienen el vértice común y sus lados son semirrectas opuestas, son ángulos opuestos por 
el vértice. 
 ¿Qué ángulo forman ̂ + ̂ , ̂ + ̂ ? Un llano. 
 ¿Cómo son ̂ , ̂ ? Iguales 
 ¿Qué ángulo forman ̂ + ̂ , ̂ + ̂ ? Un llano 
 ¿Cómo son ̂ y ̂ ? Iguales 
 
 Los ángulos opuestos por el vértice son iguales, es decir tienen la misma amplitud. 
En resumen, dos ángulos se pueden clasificar según: 
3x- 50º + 2x + 80º= 180º 
5x = 150º x = 30º 
̂ = 40º y ̂ = 140º 
2x + 4x - 30º= 90º 
6x = 60º x = 20º 
̂ = 40º y ̂ = 50º 
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Ejemplo 
1) Plantear una ecuación, calcular el valor de x y escribir la medida de cada uno de los ángulos 
desconocidos. Expliquen la respuesta. 
a) ̂ = 4x – 30º 
 ̂ ̂ ̂ = x + 20º 
 
 
Ejercicios de aplicación 
1) Plantear una ecuación, calcular el valor de x y escribir la medida de cada uno de los ángulos 
desconocidos. Expliquen la respuesta. 
a) ̂ = 3x 
 ̂ ̂ ̂ = 2x + 20º 
 
 
b) ̂ = 3x 
 ̂ ̂ ̂ = 2x – 10º 
 ̂ ̂ = x + 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
4x – 30º + x + 20º= 180º por ady. 
5x = 190º x = 38º 
̂ = 122º y ̂ = 58º 
3x = 2x + 20º op. por el vértice. 
x = 20º 
̂ = 60º y ̂ = 60º 
3x + 2x -10º + x + 35º = 180º por suplementarios. 
6x = 155º x = 25º50’ 
̂ = 77º30’ ̂ = 41º40’ ̂ = 60º50’ 
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ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS RECTAS Y UNA TRANSVERSAL 
 
 
 Ángulos externos 
 
 
 Ángulos internos 
 
 Ángulos externos 
 
 
 
Dos rectas cortadas por una transversal determinan ocho ángulos que se clasifican en: 
 
Ángulos alternos 
 
Internos: son los pares de ángulos internos que están en distintos semiplanos respecto de la 
transversal y no son adyacentes. ( 3̂y 2̂ ,4̂y 1̂ ) 
 
Externos: son los pares de ángulos externos que están en distintos semiplanos respecto de la 
transversal y no son adyacentes. ( 7̂y 6̂ ,8̂y 5̂ ) 
 
Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales, 1=4 y 2=3 
Los ángulos alternos externos entre paralelas son iguales, 5=8 y 6=7 
 
Ángulos conjugados 
 
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Internos: son los pares de ángulos internos que están en el mismo semiplano respecto de la 
transversal. ( 4̂y 2̂ ,3̂y 1̂ ) 
 
Externos: son los pares de ángulos externos que están en el mismo semiplano respecto de la 
transversal. ( 8̂y 6̂ ,7̂y 5̂ ) 
 
Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementarios 1+3=180 2+4=180 
Los ángulos conjugados externos entre paralelas son suplementarios 5+7=180 6+8 =180 
 
Ángulos correspondientes 
 
Son los pares de ángulos que están en el mismo semiplano respecto de la transversal, pero uno es 
interno y el otro es externo. ( 3̂y 5̂ ,4̂y 6̂ ,8̂y 2̂ ,7̂y 1̂ ) 
Los ángulos correspondientes son iguales 1=7, 2=8, 6=4, 5=3. 
 
Ejercicios de aplicación A B 
 Marquen en el dibujo. Con diferentes colores. C 
 Un par de ángulos conjugados internos. 
 Un par de ángulos correspondientes. 
 Un par de ángulos alternos externos. 
 Ejemplo 
1) En la figura las rectas r y s son paralelas: el ángulo ̂ mide 32º calculamos las medidas de los demás 
ángulos. 3 
̂ = 148º por ser adyacentes a ̂ 2 1 
 2̂ = 32º por ser correspondientes de ̂ ̂ 
 3̂ =148º por ser correspondientes de ̂ ̂ 
 1̂ =148º por ser opuestos por el vértice de 3̂ 
 
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ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO 
  Vértices: son los puntos ĉ ,b̂ ,â 
 Lados: son los segmentos ab, bc, ac 
 Ángulos interiores: ĉ ,b̂ ,â 
 Ángulos exteriores:  ˆ,ˆ,ˆ 
 
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS 
 
Los triángulos se pueden clasificar de acuerdo con sus lados y con sus ángulos. 
De acuerdo con sus lados, un triángulo puede ser: 
 
 
De acuerdo con sus ángulos, un triangulo puede ser: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES 
 
 Observamos que los tres ángulos que marcamos forman un ángulo llano, es decir que la suma de 
los ángulos interiores del triángulo es igual a 180º. 
 
 En todo triángulo, a lados iguales se oponenángulos iguales. 
 Si ab = bc ent ac ˆˆ  Si cb ˆˆ  ent ac = ab 
 
 En un triángulo escaleno, los tres ángulos son distintos. 
 
 En un triángulo isósceles, dos ángulos son iguales. 
 
 En un triángulo equilátero, todos los ángulos son iguales. 
 
Ejemplo: 
1. Calculen el valor de cada uno de los ángulos interiores del triángulo. 
 a â = 3X + 15º 3X + 15º + 2X + 10º + X + 35º = 180º 
 b̂ = 2X + 10º 6X + 60º = 180º 
 b ĉ = X + 35º X = 20º 
 â = 75º ; b̂ = 50º ; ĉ = 55º 
 c 
Ejercicio: 
2. Calculen el valor de cada uno de los ángulos interiores del triángulo. 
 c â = 4X + 5º 4X + 5º = 2X + 35º 
 b̂ = 2X + 35º 2X = 30º 
 X = 15º 
a b â = 65º; b̂ = 65º ; ĉ = 180º - 65º.2= 50º 
 
 
 
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SUMA DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES 
 
 Observamos que los tres ángulos que marcamos forman un ángulo de 360º, es decir que la suma 
de los ángulos exteriores del triángulo es igual a 360º. 
 
PROPIEDAD DE LOS ÁNGULOS EXTERIORES 
 
Los ángulos adyacentes a los ángulos interiores de cualquier triángulo son los ángulos exteriores de 
ese triángulo. 
 
  ˆ,ˆ γ ̂ son ángulos exteriores de abc 
 
Ejemplo: 
1. Calculen el valor de los ángulos marcados en el siguiente triángulo. 
 
 ̂ = 148º ̂ = 180º - ̂ =180º - 148º = 32º 
 ̂ = 148º - 90º=58º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Observen el dibujo y respondan verdadero (v) o falso (f) 
a) El ángulo que esta señalado en rojo es el aôb ----- 
 b) Las rectas M y P son paralelas. ---------- 
c) fd

 y gd

 tienen el punto d en común- ------- 
d) El ángulo que está señalado en azul es el eôa. ----- 
e) Las rectas M y N son concurrentes. -------. 
f) Las rectas M, N y P son coplanares.----- 
g) Las rectas P y N son concurrentes ----- 
h) El oa está incluido en la recta M. ---- 
i) Los puntos b y e determinan una recta que es paralela a la recta N ---- 
2. Dibujen rectas que cumplan las siguientes condiciones. 
 
 a) R // S b) T  S c) U  R d) V // T 
 
2.1. Tengan en cuenta el dibujo anterior y escriban “Paralela”, “Perpendicular” u “oblicua” según corresponda. 
 
a) S________________ U b) V________________R 
c) T________________ U d) V________________S 
e) T________________R f) V________________U 
 
 
3. Dibujen la mediatriz de cada segmento. 
 
4. Calculen la 
longitud de ab . 
5. Resuelvan. 
 
 
 
 
M mediatriz de ab 
ad = 2x + 1 cm 
db = x + 4 cm 
a) Dibujen una recta S // a R que pase 
por el punto m 
b) Dibujen una recta T  R que pase 
por el punto n 
c) Dibujen una recta U  R que pase 
por el punto m. 
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6. Elijan un par de los siguientes ángulos de manera que sumadas sus amplitudes formen el ángulo pedido. ̂ = 
47º ̂ = 43º ̂ = 137º ̂ = 33º 
a) Un ángulo agudo: y b) Un ángulo recto: y 
 
c) Un ángulo obtuso: y d) Un ángulo cóncavo: y 
 
 
 
7. Observen estos dibujos y marquen en ellos cinco ángulos convexos con un color y cinco ángulos cóncavos con otro 
color 
 
. 
 
 
 
 
 
8. Resuelvan las siguientes operaciones en el sistema sexagesimal. 
 a) 145º 31’ 37” + 86º 52’ 28” = d) 55º 43’6”  3 = 
b) 182º 43’ 55” – 85º 53’ 59” = e) 45º 23’ 40”4 = 
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c) 67º - 39º 27’ 42” = f) 37º 48” 12 = 
 
9. Expresen las amplitudes de estos ángulos en grados, minutos y segundos. 
a) 2.880” b) 17.538” c) 456’ d) 1.058’ 
 
10. Completen la tabla. 
 
 
 
 a) 
 b) 
 c) 
 
 11. Tengan en cuenta las medidas de los ángulos, planteen el cálculo y resuélvanlo. 
 Si ̂ = 35º 14’, ̂ = 42º 30’ y ̂ = 110º 24’ 
a) La diferencia entre el doble de ̂ y el doble de ̂ . 
b) El triple de ̂ aumentado en 20º. 
c) La suma entre ̂ , ̂ y ̂ . 
d) La diferencia entre ̂ y el doble de ̂ . 
 
12. Relacionen con una flecha. 
 a) 3  50º 25’ 1) 20º 8’ 40” 
 b) 60º 26’3 2) 46º 
 c) 50º 12’ + 62º 13’ 3) 151º 15’ 
 d) 75º 2 4) 37º 30’ 
 e) 90º - 60º 30’ 5) 29º 30’ 
 f) 3  15º 20’ 6) 112º 25’ 
 
13. Recorran con flechas este laberinto a través de las casillas que indiquen ángulos del mismo valor. 
̂ ̂ ̂ + ̂ 2̂ - ̂ 2(̂ + ̂ ) 
20º 10’ 30º40’ 
30º 20’ 35” 10º 30’ 15” 
 80º 10’ 170º13’ 
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SALIDA LLEGADA 
45º 45” 18º 2 44º + 60” 180º 4 
2.700’ 45’ 46º 30’ – 1º 30” 46º - 1’ 44º + 3.600” 
3  15º 90º 2 90º - 45’ 180º - 90º 10.800’ 4 
45º 45’ 2 (22º 30’) 2.700” 54º 1’ – 9º 60” 20º 50’ + 24º 10’ 
1º + 44’ 46º - 60’ 5.400’ 2 360º 8 2  30º 
 
 
 
 
14. Unan con flecha los pares de ángulos con la propiedad que cumplen. 
 
1. ̂ = 30º y ̂ = 150º 
 
2. ̂ = ̂ = 45º a) ̂ y ̂ son suplementarios 
 
3. ̂ = ̂ = 90º 
 
4. ̂ = 30º y ̂ es el doble de ̂ b) ̂ y ̂ son complementarios 
 
5. ̂ = 45º y ̂ es el triple de ̂ 
 
15. Escriban en los recuadros las expresiones “a veces”, “siempre” o “nunca”, según corresponda en cada caso. 
 
 
 
 
 
 
 
1. Si dos ángulos son 
complementarios, son iguales. 
 
2. Si dos ángulos son iguales, son 
complementarios. 
 
3. Si dos ángulos son 
suplementarios, ambos son obtusos. 
 
6. Si un ángulo es obtuso, entonces 
su suplemento es agudo. 
 
7. El complemento de un ángulo 
agudo es también agudo. 
 
8. Si dos ángulos son 
complementarios, ambos son 
agudos. 
 
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16. Completa siempre que sea posible. 
 
̂ Complemento de̂ Suplemento de ̂ 
45º 
 27º 
 89º 
135º 
16º 20’ 
 62º 32’ 14” 
 150º 50’ 50” 
 
17. Traza con un color el complemento de ̂ y con otro color su suplemento. 
 
 
 
 ̂ 
 
 
18. Calculen el valor de los siguientes ángulos haciendo el dibujo correspondiente. 
a) Dos ángulos adyacentes y uno de ellos es el cuádruple del otro. 
b) Dos ángulos adyacentes y uno de ellos es 4º mayor que el otro. 
c) Dos ángulos opuestos por el vértice y complementarios. 
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19. Observen el gráfico y relacionen cada par de ángulos con su clasificación. 
 
a) ̂ y ̂ 1) adyacentes 
b) ̂ y ̂ 2) opuestos por el vértice 
c) ̂ y ̂ 3) complementarios 
d) ̂ y ̂ 4) consecutivos 
e) ̂ y ̂ 5) suplementarios 
 
20. Completen colocando una cruz según corresponda. Expliquen la respuesta. 
 
 Siempre A veces Nunca 
Los ángulos adyacentes son consecutivos. 
Los ángulos adyacentes son suplementarios. 
Los ángulos opuestos por el vértice son complementarios 
El complemento de un ánguloagudo es un ángulo 
obtuso 
 
Los ángulos consecutivos son complementarios 
Los ángulos opuestos por el vértice son suplementarios 
 
21. Calculen el valor de ̂ y ̂ en cada caso. Expliquen la repuesta. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
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22. Planteen una ecuación, calculen el valor de x y escriban la medida de cada uno de los ángulos desconocidos. 
Expliquen la respuesta. 
a) b) 
 ̂ = X + 45º ̂ = 2X + 25º 
 ̂ =2.X ̂ = X + 30º 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 ̂ = 7X – 20º 
 ̂ =2X + 40º ̂ = 3X + 40º 
 ̂ = 3X – 20º 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23. a) Dibujen la bisectriz de un ángulo de 135º. 
 b) Calculen el valor de cada ángulo. 
 1. 2. 
 ̂ =2X + 16º 30’ ̂ = X + 5º 
 ̂ = X + 27º ̂ = 2x – 20º 
 
 
 
 
24. Clasifiquen los siguientes pares de ángulos. 
 a) 3̂ y 6̂ …………………………………. 
 b) 3̂ y 7̂ ………………………………….. 
 c) 2̂ y 7̂ ………………………………….. 
 d) 8̂ y 4̂ ………………………………….. 
 e) 1̂ y 8̂ ………………………………….. 
 f) 1̂ y 7̂ …………………………………… 
 g) 4̂ y 6̂ …………………………………… 
 
25. Tengan en cuenta los datos y completen la tabla con el valor de todos los ángulos. 
 
 
 
 
 A // B 
 ̂ = 125º 20’ 
 
 
̂ 125º 20’ 
̂ 
̂ 
̂ 
̂ 
̂ 
̂ 
̂ 
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26. Calculen el valor de̂ y ̂ . Expliquen la respuesta. 
a) b) 
 
 A // B A // B 
 ̂ = 38º 35’ ̂ = 74º 15’ 
 
 
 
 
c) d) 
 
 A // B A // B 
 ̂ = 114º 53’ ̂ = 61º 20’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TRABAJO PRÁCTICO: TRIÁNGULOS 
 
1. Escriban verdadero (V) o falso (F), según corresponda. 
 a) Si un triángulo es equilátero, entonces es isósceles……………… 
 b) Si un triángulo es isósceles, entonces es equilátero…………….. 
 c) Si un triángulo es rectángulo, entonces es isósceles……………. 
 d) Si un triángulo es equilátero, entonces es acutángulo….……….. 
 e) Si un triángulo es acutángulo, entonces es equilátero………….. 
 f) Si un triángulo es isósceles, entonces es acutángulo………………. 
 g) Si un triángulo es obtusángulo, entonces es escaleno……………. 
2. Expliquen con cuál de las siguientes ternas de segmentos se puede construir un triángulo. Expliquen la respuesta. 
a) A= 18 cm. B=30 cm. C= 50 cm……………………………. b) M= 30 cm N= 40 cm P= 55 cm ……………………………….. 
c) R=30 cm S= 30 cm T= 60 cm …………………………… d) X= 3 cm Y= 4 cm Z= 5 cm ……………………………….. 
3. Clasifiquen cada triángulo de acuerdos con sus ángulos y sus lados. 
a) b) c) d) 
 
 
 
 
 ………………. ……………….. ………………….. ………………… 
4. Completen el siguiente cuadro. 
 
ÁNGULOS INTERIORES CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS Y 
ÁNGULOS 
45º 45º 
60º 60º 
 50º 35º 
43º 56’ 68º 2’ 
 90º 34º 28’ 40” 
 
5. Calculen el valor de cada uno de los ángulos interiores de los siguientes triángulos. 
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a) b) 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
6. Calcular el valor de los ángulos marcados en los siguientes triángulos. 
a) b) c) d) 
 
 
 
 
7. Hallen el valor de cada uno de los ángulos marcados en los siguientes triángulos. 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
d) e) f) 
 
 
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8. Resuelvan justificando el procedimiento. 
a) Calculen los ángulos a, b, c y d. b) Calculen el valor de a, b, y c. c) Calculen el valor de m, n y c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. De los tres triángulos dados en cada caso dos son congruentes. Digan cuáles son congruentes y enuncien a qué criterio 
corresponden. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.a) Construyan el triángulo abc, sabiendo que ab= 3,5 cm; b= 65º; a= 70º, y el triángulo mnp, teniendo como datos 
m= 70º; mp= 4,5 cm y p= 45º. 
 b) Comparen los dos triángulos y averigüen si son iguales o no. Justifiquen la respuesta. 
11. Con los siguientes datos, construí el triángulo abc: 
 a) ab= 2 cm, ac= 3 cm, bac= 55º 
R // S 
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 b) ac= 4 cm, bac= 60º, acb= 40º 
 c) ab= 4 cm, bc= 5 cm, ac= 6 cm 
12. a) Dibuja un triángulo escaleno acutángulo y traza las bisectrices de sus ángulos interiores. 
 b) Si tus trazados son correctos, las bisectrices se cortan en un mismo punto. ¿Ese punto es exterior o interior al 
triángulo? 
 c) Repetí a) y b) para un triángulo escaleno rectángulo y para otro escaleno obtusángulo. ¿Qué conclusiones podes 
obtener? 
13. a) Dibuja un triángulo escaleno acutángulo, uno escaleno rectángulo y otro escaleno obtusángulo. En cada uno traza 
las mediatrices de sus tres lados. 
 b) Si tus trazados son correctos, en cada triángulo las tres mediatrices se cortan en un mismo punto. 
Analiza, en cada caso, si el punto de intersección de las mediatrices es interior o exterior al triángulo o si pertenece a los 
lados del mismo. 
14. a) Tracen en el siguiente triángulo b) Tracen en el siguiente triángulo c) Tracen en el siguiente triángulo 
 las bisectrices de los tres ángulos. las mediatrices de los tres lados. las medianas de los tres lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Tracen en el siguiente triángulo equilátero: 16. Tracen las alturas del triángulo equilátero. 
a) la bisectriz de o ¿Cómo son las alturas del 
b) la mediatriz del lado op. triángulo abc? 
c) la mediana del lado oq. 
¿ Qué particularidad tienen la semirrecta, 
 la recta, y el segmento que trazaron? 
 
17. El triángulo abc es isósceles, ab = bc. Tracen la altura del lado ac, la mediana del lado ac y la bisectriz del ángulo b. 
b 
MATEMÁTICA 2DO B – PROF: GOMEZ YESICA- SEGUNDO CUATRIMESTRE 
 
 
 a) ¿Qué particularidad observan? 
 b) ¿Cómo son los triángulos rectángulos determinados por la altura? 
 c) ¿Cómo son los segmentos determinados sobre la base del triángulo? 
 d) ¿ Cómo son los ángulos determinados en el ángulo opuesto de la base? a c 
 
18. Escriban verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 
 a) Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercero también lo es………………………………………. 
 b) Si dos triángulos tienen los tres ángulos iguales, son iguales…………………………………………………… 
 c) Si dos triángulos son equiláteros, los lados de uno de ellos son iguales a los del otro…………………. 
 d) Si dos triángulos son equiláteros, sus ángulos soniguales……………………………………………………….. 
 e) Si dos triángulos tienen dos lados iguales, el tercero también lo es…………………………………………... 
 f) Si dos triángulos isósceles tienen la misma base, son iguales…………………………………………………..... 
 
19. En el triángulo abc es rectángulo en b. Calculen: 
 a) El ángulo c si a=39º b) El ángulo a si c=53º20’ 
 
20. Determinen los ángulos̂ y ̂ de los siguientes triángulos rectángulos. 
 a) b) 
 
 
 
21. En los siguientes triángulos, am es la altura correspondiente al lado bc. Calculen los ángulos ̂ y ̂ . 
 a) b)