Funciones - Conceptos y Análisis de Gráficas

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GUÍA Nº16: CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE FUNCIONES Y 
ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 
 
Elaborada por el Prof.: Guillermo Arraiz. 
 
 RELACIÓN BINARIA: 
 
Se llama relación binaria a toda ley que asigna valores entre dos conjuntos 
claramente definidos: Uno llamado “Conjuntos de Partida” y otro llamado 
“Conjunto de llegada”. Las relaciones binarias se pueden escribir, entre otras 
estructuras, en lo que se conoce como “Diagramas Sagitales”. 
Un ejemplo de ellos 
 
 
 
 
Donde: 
 
A: Conjunto de partida. 
B: Conjunto de llegada. 
R: Relación binaria (Ley de 
asociación o correspondencia). 
 FUNCIÓN: 
 
Se llama función a toda relación binaria especial que cumple con las siguientes 
condiciones: 
 
a. Existencia de Imagen: “Todo elemento del conjunto de partida debe 
tener al menos una imagen en el conjunto de llegada”. 
 
b. Unicidad de Imagen: “Todo elemento del conjunto de partida tiene una 
y solo una imagen en el conjunto de llegada”. 
 
 
Ejemplos: 
 
Dadas las siguientes relaciones Binarias diga cuál es una función: 
 
1. 
 
 
a. Cumple la existencia de imagen 
porque todos los elementos del 
conjunto de partida tienen imagen 
en el conjunto de llegada. 
 
b. Cumple la unicidad de imagen 
porque todos los elementos del 
conjunto de partida tienen una única 
imagen en el conjunto de llegada. 
 
2. 
 
 
a. No cumple la existencia de imagen 
porque no todos los elementos del 
conjunto de partida tienen imagen 
en el conjunto de llegada En este 
caso “a”. 
 
b. No cumple la unicidad de imagen 
porque no todos los elementos del 
conjunto de partida tienen una única 
imagen en el conjunto de llegada. En 
este caso “c”. 
 
Formalmente, una función se define de la siguiente manera: 
 
 
 
 
)(/: xfyBAf  
Donde: 
A: Conjunto de Partida 
B: Conjunto de Llegada. 
x: Variable independiente. 
y: Variable dependiente. 
f: Ley de asociación o 
 
correspondencia. 
 
 ELEMENTOS NECESARIOS PARA EL ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN: 
 
1. Dominio (Df): Corresponde a los elementos del conjunto de partida que 
tienen imagen en el conjunto de llegada. De manera gráfica representa la 
extensión de la curva a lo largo del eje “x” o eje de las abscisas (en color 
rojo en la gráfica). 
 
 
 
Entonces: ),(),[),[]0,(),(:  iihgeddaDf 
 
Notas: 
 
a. Nótese que si el punto es abierto ( ), se coloca un paréntesis y si es 
cerrado ( ), se coloca un corchete. 
 
b. En correspondencia con la definición dada, los puntos a considerar para 
determinar el dominio deben estar “SOLO” en el eje “x”. Y el recorrido 
para determinarlo se hará de izquierda a derecha. 
 
c. Siempre se cumple que: ADf  
 
 
2. Codominio (Cf): Corresponde a los elementos del conjunto de Llegada. 
 
BCf  
 
3. Rango (Rf): Corresponde a los elementos del conjunto de partida que 
tienen imagen en el conjunto de llegada. De manera gráfica representa la 
extensión de la curva a lo largo del eje “y” o eje de las ordenadas (en color 
azul en la gráfica). 
 
Por lo tanto: 
 
RCf  (El codominio siempre aparecerá en la parte superior de la gráfica, que 
en este caso está marcada en color rojo). 
 
),(],(}{:  nmkjRf 
 
Notas: 
 
a. En correspondencia con la definición dada, los puntos a considerar para 
determinar el dominio deben estar “SOLO” en el eje “y”. Y el recorrido 
para determinarlo se hará de abajo hacia arriba. 
b. Las rectas horizontales se denotan como puntos en el rango de la función. 
Este es el caso de la recta que está en el intervalo [e,g) en “x” y que en “y” 
se denota con {j}. 
 
 
4. Clasificación: Una función puede clasificarse de 4 formas: 
 
4.1. Función Inyectiva: Una función será clasificada de esta forma cuando 
para cada elemento “distinto” del conjunto de partida se tengan 
elementos “distintos” en el conjunto de llegada. Formalmente la 
inyectividad de una función se expresa como: 
 
)()( 2121 xfxfxx  
 
4.2. Función Sobreyectiva: Una función se considerará Sobreyectiva 
cuando el codominio de la función sea igual al rango de la función. 
Formalmente la sobreyectividad de una función se expresa como: 
RfCf  
 
4.3. Función Biyectiva: Una función se considerará Biyectiva cuando sea 
Inyectiva y Sobreyectiva simultáneamente. 
 
4.4. Función Simple: Una función se considerará Simple cuando no sea ni 
Inyectiva, ni Sobreyectiva, ni Biyectiva. 
 
 Ahora clasificaremos a la gráfica de la función que estamos estudiando: 
 
 
 
 
 
4.1 Función Inyectiva: Si observamos la gráfica, para distintos puntos x1, x2 y x3, 
pertenecientes al conjunto de partida, existe un mismo valor en el conjunto de 
llegada f(x1). Por lo que no se cumple que: 
 
)()( 2121 xfxfxx  
 
En otras palabras, si trazamos una recta horizontal sobre la función nos damos 
cuenta que ésta la corta más de una vez, por lo tanto: La función no es 
Inyectiva. 
 
4.2 Función Sobreyectiva: Cuando calculamos el rango este nos resultó: 
),(],(}{:  nmkjRf y el codominio: R. Por lo que: RfCf  , Lo que permite 
concluir que: La función no es Sobreyectiva. 
 
 
4.3 Función Biyectiva: La función en estudio no es ni Inyectiva ni Sobreyectiva, 
por lo tanto, La función no es Biyectiva. 
 
4.4 Función Simple: la función en estudio no es ni Inyectiva, ni Sobreyectiva, ni 
Biyectiva. Lo que permite concluir que: La función se clasifica como Simple. 
 
 
5. Crecimiento y Decrecimiento: 
 
 
5.1. Función Creciente: 
 
 
 
 
 
 
Una función es creciente si y solo sí: 
 
)()( 2121 xfxfxx  
 
5.2. Función Decreciente: 
 
 
 
 
 
Una función es creciente si y solo sí: 
 
)()( 2121 xfxfxx  
 
Ahora determinaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento en la 
gráfica de la función que estamos estudiando: 
 
 
Crece (En azul): ),(]0,(),(),(  iddcba 
Decrece (En Rojo): ),( cb 
Constante (En verde): ),[),[ ihge  (líneas verticales) 
 
Nótese que para determinar todos estos intervalos se usa solo el eje “x”. 
 
 
6. Signo de la función: 
 
6.1. Zona Positiva: Se denota con las relaciones de orden 0)( xf y 
0)( xf . Y en la gráfica se tomará “lo que está por encima del eje x”. 
 
6.2. Zona Negativa: Se denota con las relaciones de orden 0)( xf y 
0)( xf . Y en la gráfica se tomará “lo que está por debajo del eje x”. 
 
Ahora determinaremos la zona positiva y negativa en la gráfica de la función que 
estamos estudiando: 
 
 
Zona Positiva: Marcada en la gráfica así (+): 
 
),(),(]0,(0)(  iihdxf 
),(),[]0,(0)(  iihdxf 
 
Zona Negativa: Marcada en la gráfica así (-): 
 
),(),(),(0)( gedbbaxf  
),[),(0)( gedaxf  
 
 
Consideraciones a tener en cuenta: 
 
 Cuando se tienen las relaciones de orden  y  , no se toman en cuenta los 
cortes con el eje “x” (ver elemento de análisis nº 7, en el siguiente ítem). 
Por lo que, quedan abiertos y se denotan con paréntesis (). 
 Cuando se tienen las relaciones de orden y  , se deben tomar en cuenta 
los cortes con el eje “x” (ver elemento de análisis nº 7, en el siguiente 
ítem). Por lo que, quedan cerrados y se denotan con corchetes []. 
 
7. Cortes con los ejes: 
 
 De la gráfica: 
 
a. Con “x” (Raíces): {b, e, h} 
b. Con “y” (Ordenada en el origen): {m} 
 
Consideraciones a tener en cuenta: 
 
 Solo se tomarán los puntos que estén cerrados ( ), los abiertos ( ) no 
se toman en cuenta. 
 La ordenada en el origen (o corte con “y”), debe ser UNA O NINGUNA. 
No deben existir más de un corte con y en la gráfica. 
 
8. Imágenes y Pre imágenes: 
 
Imágenes: Se denotan con f(x) y para 
ubicarlas se hace desde el eje “x” hacia 
el eje “y”. 
 
De la gráfica: 
f (a): No existe (Punto abierto) 
f(b): 0 
f(c): k 
f(d): No existe (Punto abierto) 
f(0): m (Corte con “y”) 
f(e): 0 (Cerrado – corte con “x”) 
f(g): No existe (Punto abierto) 
f(h): 0 (Cerrado – corte con “x”) 
f(i): No existe (Punto abierto) 
Pre imágenes: Se denotan con f-1(x) 
y para ubicarlasse hace desde el eje 
“y” hacia el eje “x”. 
 
De la gráfica: 
 
f-1(j): (e, g) (Es un intervalo – Recta 
horizontal) 
f-1(k): c (el punto “a” no se toma por 
ser abierto) 
f-1(o): {b, e, h} (Cortes con “x”) 
f-1(m): o (Cerrado – corte con “y”) 
f-1(n): (h, i) (Es un intervalo – Recta 
horizontal) 
 
 
EJERCICIO RESUELTO: 
 
Realice el análisis completo de la siguiente gráfica: 
 
 
Solución: 
 
1. ),(),0[),(}{:  hhdcbDf 
 
2. RCf  
 
3. }{],[: qpmRf  
 
4. Clasificación: 
 
4.1 Función Inyectiva: Si observamos la gráfica, para distintos puntos 
pertenecientes al conjunto de partida, existe un mismo valor en el conjunto 
de llegada. Por lo que no se cumple que: 
 
)()( 2121 xfxfxx  
 
 
 
En otras palabras, si trazamos una recta horizontal sobre la función nos 
damos cuenta que ésta la corta más de una vez, por lo tanto: La función no 
es Inyectiva. 
 
4.2 Función Sobreyectiva: Cuando calculamos el rango este nos resultó: 
}{],[: qpmRf  y el codominio: R. Por lo que: RfCf  , Lo que permite 
concluir que: La función no es Sobreyectiva. 
 
4.3 Función Biyectiva: La función en estudio no es ni Inyectiva ni 
Sobreyectiva, por lo tanto, La función no es Biyectiva. 
 
4.4 Función Simple: la función en estudio no es ni Inyectiva, ni 
Sobreyectiva, ni Biyectiva. Lo que permite concluir que: La función se 
clasifica como Simple. 
 
5. Crecimiento y Decrecimiento: 
 
Crece: ),(),0( hge  
Decrece: ],(),(),( jhgedc  
Constante: ),( j (línea vertical) 
 
6. Signo de la función: 
 
Zona Positiva: 
 
),(),(),0[),(0)(  jiggrcxf 
),(],0(],(0)(  jircxf 
 
Zona Negativa: 
 
],(),(}{0)( jidrbxf  
],[),[}{0)( jidrbxf  
 
7. Cortes con los ejes: 
 
a. Con “x” (Raíces): {r, g, i} 
b. Con “y” (Ordenada en el origen): {n} 
 
 
 
 
8. Imágenes y Pre imágenes: 
 
Imágenes: 
 
f (a): No existe (Punto abierto) 
f(b): m (Punto cerrado) 
f(c): No existe (Punto abierto) 
f(d): No existe (Punto abierto) 
f(0): n (Corte con “y”) 
f(e): p 
f(g): 0 (Corte con “x”) 
f(h): No existe (Punto abierto) 
f(i): 0 (Corte con “x”) 
f(j): m (Punto cerrado) 
Pre imágenes: 
 
f-1(k): No existe (Punto abierto) 
f-1(m): {b, j} (Puntos cerrados) 
f-1(0):{r, g, i}(Puntos cerrados – cortes 
con “x”) 
f-1(n): o (Corte con “y”) 
f-1(p): e (el punto “h” no se toma por 
ser abierto) 
f-1(q): (j, + ∞) (Es un intervalo – Recta 
horizontal) 
 
 
Ejercicios Propuestos: 
 
Realice el análisis completo de las siguientes gráficas. 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.