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Centro Educativo El Troncal

nayeli boneth

6/3/2024

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República Bolivariana de Venezuela
Universidad Nacional Abierta
Vicerrectorado Académico
Área de Educación – Mención Matemática

Matemáticas y
Ciencias
(Cod. 532)

Julio Mosquera

Caracas, 2008

Índice

Introducción ........................................................................................... i
Módulo I ................................................................................................ 7
Unidad 1 ........................................................................................... 8
Lección 1 ..................................................................................... 9
Unidad 2 ........................................................................................... 28
Lección 2 ..................................................................................... 29
Unidad 3 ........................................................................................... 35
Lección 3 ..................................................................................... 36
Lección 4 ..................................................................................... 42
Módulo II ............................................................................................... 48
Unidad 4 ........................................................................................... 49
Lección 5 ..................................................................................... 50
Lección 6 ..................................................................................... 57
Unidad 5 ........................................................................................... 66
Lección 7 ..................................................................................... 67
Lección 8 ..................................................................................... 71
Unidad 6 ........................................................................................... 75
Lección 9 ..................................................................................... 76
Lección 10 ................................................................................... 83
Unidad 7 ........................................................................................... 84
Lección 11 ................................................................................... 85
Lección 12 ................................................................................... 88

Introducción

El propósito de esta asignatura es estudiar aplicaciones de las matemáticas a
otras disciplinas, así como los usos de estas aplicaciones en la enseñanza de la
matemática. Es oportuno aclarar que éste no es un curso de aplicaciones de las
matemáticas para matemáticos, se trata de un curso para futuros profesores de
matemáticas. Por tanto, se le dará importancia a la discusión de asuntos
pedagógicos en torno al uso de las matemáticas para resolver problemas reales
en diversos campos.
Parte de la riqueza de las matemáticas se encuentra en el apoyo que le brinda a
otras disciplinas para su desarrollo. Hay ciencias como las físicas que son
impensables hoy en día sin las matemáticas, para las matemáticas son más que
una mera herramienta. Por otro lado, hay situaciones en las cuales sólo es
posible experimentar mediante el uso de las matemáticas. Tal es el caso del uso
de las matemáticas en la investigación de problemas sobre la dinámica de las
epidemias.
Consideramos que estudiar conceptos y procedimientos matemáticos en
contextos reales podría contribuir a que los estudiantes le den un significado
diferente al que promueve la clase tradicional de matemáticas. En especial
tenemos en mente al estudiante de III Etapa de Educación Básica y el de Media
Diversificada y Profesional, por ser estos los niveles donde laborará el egresado
de nuestro programa de Licenciatura en Educación mención Matemática. Las
aplicaciones pueden ser un medio para estimular la creatividad de los futuros
docentes, de tal manera que puedan darle un enfoque innovador a sus clases de
matemáticas. Así mismo es importante estudiar los problemas de enseñanza,
aprendizaje y evaluación de las matemáticas asociados al uso de aplicaciones de
la matemática.
El perfil del egresado de la Carrera de Educación Mención Matemática se
conforma a partir de habilidades, actitudes y conocimientos que aluden a la
acción docente en general. Esta unidad curricular permitirá, a los futuros
egresados, el desarrollo de los siguientes rasgos del conocer, del hacer y del ser:
Establecer interrelaciones significativas entre las diferentes ramas de las
matemáticas y otros ámbitos del saber humano.
El contenido del curso está organizado en dos módulos, siete unidades y doce
lecciones como se indica a continuación. Se estima que cada lección se realiza
en una semana.

Unidad 1 Lección 1
Unidad 2 Lección 2
Lección 3
Módulo I
Unidad 3
Lección 4
Lección 5 Unidad 4
Lección 6
Lección 7 Unidad 5
Lección 8
Lección 9 Unidad 6
Lección 10
Lección 11
Módulo II
Unidad 7
Lección 12
Para estudiar el contenidos de este curso el estudiante recibirá un paquete
instruccional compuesto por: a) El plan de curso y b) Texto UNA.
Universidad Nacional Abierta
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Módulo 1
Matemáticas y ciencias en la educación secundaria

Objetivo: Valorar las diferentes relaciones de las matemáticas con las ciencias
naturales y sociales en el contexto de la educación en matemáticas.

Unidad 1
Integración en el Área de Matemática y Ciencias

Objetivo: Describir las diferentes formas de integración de los contenidos de
matemáticas y otras disciplinas en la escuela.

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Lección 1

En esta lección estudiaremos diferentes formas de integración de los contenidos
de Matemáticas y Ciencias en la Tercera Etapa de Educación Básica y en la
Educación Media Diversificada y Profesional. El contenido de esta lección está
organizado en dos partes principales. En la primera parte discutiremos algunos
asuntos relacionados con la integración del currículo en general y con las ideas de
multidisciplinariedad, interdisciplinariedad y transdisciplinariedad. La segunda
parte está dedicada enteramente al problema concreto de la integración en el
Área de Matemáticas y Ciencias.
Integración y Currículo
El debate en torno a la integración del currículo no es nada nuevo. A principio de
los años de 1900, cuando aparecen las primeras propuestas sobre el uso del
método de proyectos en la enseñanza de las ciencias en la escuela en los Estados
Unidos, ya se debatía sobre la conveniencia de enseñar las asignaturas de
manera integrada en torno a un proyecto. En nuestro país, se introduce la
integración oficialmente en los programas de estudio a partir de la reforma
educativa que implantó, a mediados de los años 1980, la Educación Básica de
nueve grados. Recientemente, con la introducción del sistema educativo
bolivariano, se ha reanimado la discusión en torno a este tema.
No existe una única manera de integrar los contenidos estipulados en los
programas de estudio. En la sección siguiente estudiaremos diferentes niveles o
formas de integración. Tampoco existe una definición única de currículo
integrado. Veamos a continuación varias de estas definiciones. Dressel (1958)
nos habla del currículo integrado como una forma de comprender el mundo,
para él
En el currículo integrador, las experiencias de aprendizaje planificadas
no sólo proveen al estudiante de una visión unificada de conocimiento
sostenido comúnmente (por el aprendizaje de los modelos, sistemas y
estructuras de la cultura) sino también motiva y desarrolla el poder de
los estudiantes para percibir nuevas relaciones y entonces crear nuevos
modelos, sistemas y estructuras. (p. 3)(Traducción del autor)
Humphreys (en Humphreys, Post y Ellis, 1981) señala que
Un estudio integrado es aquel en el cual los niños exploran
ampliamente el conocimiento en varias asignaturas relacionado con
ciertos aspectos de su ambiente. (p. 11) (Traducción del autor)
Para Shoemaker (1989) un currículo integrado es aquel en que la educación
… es organizada de manera tal que atraviesa las líneas de las materias
(disciplinas), juntando varios aspectos del currículum en una asociación
significativa centrada en amplias áreas de estudio. Ésta ve el
aprendizaje y la enseñanza de una manera holística y refleja en mundo
real, el cual es interactivo. (p. 5) (Traducción del autor)
¿Qué elementos tienen en común estas definiciones?
Lake (2001) resalta que, en términos generales, las definiciones de currículo
integrado incluyen los elementos siguientes:
 Una combinación de asignaturas (disciplinas).
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 Un énfasis en proyectos.
 Fuentes de información que van más allá que los libros de texto.
 Relaciones entre conceptos.
 Unidades temáticas como principios organizadores.
 Horarios flexibles.
 Agrupamiento flexible de los estudiantes. (p. 2) (Traducción del
autor)
Actividad 1.1
a) Lea el Anexo A.
b) ¿Son estas concepciones del currículo coherentes con la actual propuesta
curricular para el Liceo Bolivariano?
c) ¿Cuáles de los elementos distinguidos por Lake (2000) se incorporan a la
propuesta curricular para el Liceo Bolivariano?
d) Identifique la concepción de currículo integrado propuesta en el documento
del Liceo Bolivariano.
Nota: Ver en el Anexo A un extracto del documento donde se trata lo
relacionado con la integración curricular. El documento completo puede ser
consultado en la dirección electrónica:
http://www.portaleducativo.edu.ve/documentos/liceo_bolivariano.pdf
Y el documento oficial de las Escuelas Robinsonianas lo encontrará en la
dirección:
http://www.portaleducativo.edu.ve/documentos/escuelas_tecnicas.pdf
Hemos visto que existen diferentes definiciones de currículo integrado, que entre
ellas tienen una serie de elementos comunes, y se le pidió que examinara si esas
concepciones eran coherentes con la propuesta curricular para el Liceo
Bolivariano y cuáles de esos elementos se incorporaban a dicha propuesta.
Pasaremos ahora a revisar diversas maneras de integrar los contenidos en la
enseñanza.
Niveles de integración
Como ya mencionamos anteriormente, hay varias maneras de integrar los
contenidos. Forgarty (1991) plantea el tema de la integración en términos de
niveles que van desde el modelo fragmentado hasta el modelo en red. A
continuación presentamos una tabla con cada uno de los modelos, donde se
incluyen una breve descripción, ventajas y desventajas de cada modelo.
Tabla 1. Diez niveles de integración del currículo
Modelo Descripción Ventajas Desventajas
Fragmentado

Disciplinas distintas
y separadas.
Punto de vista claro y
discreto de una
disciplina.
Las conexiones no
se hacen con
claridad para los
estudiantes; menos
transferencia de
conocimiento.
Conectado

Temas dentro de
una disciplina son
conectados.
Los conceptos clave son
conectados,
conduciendo a la
revisión,
reconceptualización y
asimilación de ideas
dentro de una disciplina.
Las disciplinas no
son relacionadas; la
atención del
contenido
permanece dentro
de la disciplina.
Matemáticas y Ciencias
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Tabla 1. (Cont.)
Modelo Descripción Ventajas Desventajas
Anidado

Habilidades de
pensamiento,
sociales y
contenido son
tratados en un área
de contenido.
Presta atención a
varias áreas a la vez,
lleva a un aprendizaje
aumentado y
enriquecido.
Los estudiantes
podrían confundirse y
perder la visión de
los conceptos
principales de la
actividad o lección.
Secuenciado

Ideas similares son
enseñadas
concertadamente,
aunque las
asignaturas están
separadas.
Facilita la
transferencia del
aprendizaje a través
de las áreas de
contenido.
Requiere
colaboración
permanente y
flexibilidad, en la
medida que los
profesores tiene
menos libertad de
establecer la
secuencia del
currículo.
Compartido

Planificación y/o
enseñanza en
equipo que
envuelve dos
asignaturas se
centra en
conceptos,
habilidades y
actitudes
compartidas.
Comparte
experiencias
instruccionales; con
dos profesores en un
equipó es menos
difícil de colaborar.
Requiere de tiempo,
flexibilidad,
compromiso y
dedicación.
Entretejido

Enseñanza
temática, usando
un tema como una
base par ala
instrucción en
muchas disciplinas.
Motivante para los
estudiantes, les
ayuda a ver
conexiones entre
ideas.
Tiene que ser
cuidadosamente y
bien pensado
seleccionado para
que sea significativo,
con contenido
relevante y rigurosos.
Enhebrado

Habilidades de
pensamiento,
habilidades
sociales,
inteligencias
múltiples y
habilidades de
estudio son
“enhebradas” a lo
largo de las
disciplinas.
Los estudiantes
aprenden acerca de
cómo están
aprendiendo,
facilitando la
transferencia futura
de aprendizaje.
Las disciplinas se
mantienen
separadas.
Integrado

Prioridades que
solapan varias
disciplinas son
examinadas para
habilidades,
conceptos y
actitudes comunes.
Estimula a los
estudiantes a ver las
conexiones e
interrelaciones entre
disciplinas, los
estudiantes son
motivados en la
medida que ven estas
conexiones.
Requiere de equipos
interdepartamentales
con planificación y
tiempos de
enseñanza comunes.
Sumergido

El estudiante
integra viendo todo
el aprendizaje por
medio de la
perspectiva de una
área de interés.
La integración toma
lugar dentro del
estudiante.
Podría estrechar la
visión de los
estudiantes.

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Tabla 1. (Cont.)
Modelo Descripción Ventajas Desventajas
En red

El estudiante dirige
el proceso de
integración por
medio de la
selección de una
red de expertos y
recursos.
Proactivo, con un
estudiante estimulado
por nueva
información,
habilidades y
conceptos.
Los estudiantes
podrían extenderse
sin profundizar en el
estudio, los esfuerzos
podrían ser poco
efectivos.
Fuente: Forgarty, R. (1991). Traducción y adaptación de Julio Mosquera
Para mejorar la comprensión de los modelos de integración le presentamos a
continuación una serie de ejemplos que sirven para ilustrar cada uno de ellos. En
los ejemplos se incluyen contenidos de todas las disciplinas, porque la integración
no tiene porque limitarse sólo a las matemáticas y las ciencias naturales. Por
ejemplo, en la Unidad 7 del Curso Introductoria de la UNA se presentan ejemplos
de integración de las matemáticas con la literatura y el arte.
Tabla 2. Ejemplos de Cada Nivel de Integración
Modelo Ejemplo
Fragmentado Relación ocasional, intencional de tópicos de
matemáticas y ciencias dentro de intervalos de
tiempo distintos para cada asignatura.
Conectado Las conexiones entre conceptos son
identificados (por ejemplo, las fracciones son
relacionadas con los decimales).
Anidado Una unidad sobre la fotosíntesis se enfoca en
la búsqueda de consenso (habilidad social),
secuenciación (habilidad de pensamiento) y
vida de las plantas (habilidad de contenido).
Secuenciado Los estudiantes leen una obra literaria de un
cierto período en Castellano y Literatura y
estudian el mismo período en Historia
Universal o Historia de Venezuela.
Compartido La recolección de datos (ciencia) y la
elaboración de tablas y gráficos (matemáticas)
son introducidos juntos (podían ser enseñado
por un equipo de profesores).
Entretejido Un tópico (la oración) o tema conceptual
(conflicto) se trata en todas las áreas de
contenido.
Enhebrado La predicción es tratada en todas las
asignaturas—prediga el próximo evento en una
lectura, prediga el próximo número en una
sucesión y proyecto eventos actuales en
estudios sociales.

Matemáticasy Ciencias
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Tabla 2. (cont.)
Modelo Ejemplo
Integrado Habilidades de lectura, escritura, literatura y
verbal en un programa holístico basado en la
literatura.
Sumergido Un estudiante altamente motivado, interesado
en los insectos los colecciona, estudia acerca
de ellos, escribe un ensayo sobre los insectos y
los dibuja.
En red Un estudiante interesado en el estudio de los
pueblos originarios de América participa en un
viaje a alguna zona del país donde vivan
algunos de estos grupos, hace contacto con
antropólogos, arqueólogos, escritores, etc.
interesados en el tema.
Fuente: Lynne E. HOUTZ y Julie A. THOMAS (1997). Traducción y adaptación de
Julio Mosquera.
¿Cómo se concibe la integración en algunos documentos oficiales? En el Anexo A
puede leer la propuesta de integración del Ministerio de Poder popular para la
Educación para los liceos bolivarianos. Basándose en ese documento, el Centro
Nacional para el Mejoramiento de la Ciencia (CENAMEC) apunta que:
Con la integración de las áreas se busca una perspectiva que agrupe
los distintos enfoques del conocimiento científico y del conocimiento
cotidiano, en su afán por comprender la realidad. Superar la
fragmentación curricular, supone adoptar una perspectiva de
integración, asumiendo que la ciencia es un medio para comprender
los problemas de la sociedad, y nunca un fin en sí mismo. Las áreas
permiten la integración de disciplinas y de conocimientos, organizados
de acuerdo con unos principios de interdisciplinariedad,
transversalidad e interculturalidad, posibilitando que el estudiante se
prepare para los niveles superiores del proceso educativo, y para la
vinculación con la sociedad y el trabajo. (CENAMEC, s.f.)
Actividad 1.2
a) ¿Cuáles de los modelos de integración se usan actualmente en Venezuela?
De ejemplos.
b) ¿Cuántos niveles de integración describe Forgarty? Escriba una lista de
los modelos o niveles de integración sin ver el texto.
c) Haga una tabla como la tabla 1, copie los términos de la primera columna
de la izquierda y complete cada una de las casillas correspondientes a
cada modelo con sus propias palabras.

Otro aspecto del currículo integrado tiene que ver con la organización del trabajo
del docente. Aquí también podemos identificar unos modelos o niveles que van
desde la situación en la que dos docentes enseñan el mismo tópico en clases
separadas hasta el diseño en equipo de unidades temáticas en el contexto de un
currículo totalmente integrado. La organización del trabajo del docente, su
condición laboral, no debe ser ignorado a la hora de diseñar un currículo
integrado.
Universidad Nacional Abierta
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Algunos autores usan las expresiones currículo integrado y currículo
interdisciplinario como sinónimos (Lake, 2000). Dada la importancia y el énfasis
que se pone en la interdisplinariedad en los documentos educativos oficiales
recientes, le dedicamos una sección aparte a este tema.
Multi, intra, inter y transdisciplinariedad
La discusión en torno a la interdisciplinariedad, y los otros términos arriba
mencionados no es nada nuevo. A finales del Siglo XVII, de Fontenelle, entonces
Secretario de la Academie des Sciences de Paris, hizo un llamado de atención
acerca de la necesidad de considerar la multidisciplinariedad. En 1967, el filosofo
francés Louis Althusser advertía sobre el carácter ideológico de la propuesta de la
interdisciplinariedad. También surgió la discusión en torno a esta idea, a
comienzos de los años de 1900 en los Estados Unidos en el contexto de la
propuesta de enseñanza mediante el método de proyecto.
Por otro lado tenemos que la discusión sobre la interdisciplinariedad, así como de
la multi, intra o trans en educación está llena de argumentos sustentados en la
mera opinión y las preferencias políticas más que en argumentados académicos.
Podríamos decir que en algunos casos rayan en la propaganda. Para algunos
autores la interdisciplinariedad es la panacea, la solución a todos los problemas
educativos.
Multidisciplinariedad. La organización actual de la escuela se basa en la
existencia de materias o asignaturas separadas que se corresponden en su
mayoría con diversas disciplinas académicas, por ejemplo: Matemática, Física,
Historia del Arte, Castellano y Literatura las cuales se corresponden con
disciplinas o campos académicos. En términos curriculares es precisamente a
esa organización que se refiere el término multidisiciplinariedad. Este enfoque es
criticado duramente por algunos educadores. Por ejemplo, Bernard (1976)
sostiene que éste lleva a que las matemáticas se reduzcan a una especie de
ghetto, el estudio de cada disciplina en si misma como científica y rigurosa.
Señala además que la multidisiciplinariedad es reforzada por las condiciones
objetivas de la división social del trabajo de las cuales la escuela sería reflejo e
instrumento, lo cual lleva a justificar la explotación de la fuerza de trabajo.
El Ministerio de Educación y Deporte (2004) elabora su crítica a la
multidisciplinariedad de la manera siguiente:
La escuela ha propiciado un tipo de saber enciclopédico, disciplinar y
memorístico, alejado tanto de la mentalidad de adolescentes y
jóvenes como de los problemas de la realidad. Este conocimiento
científico, basado en una perspectiva racionalista, se articula a través
de dos características básicas: la especialización y la abstracción. Este
conocimiento especializado es disciplinar, al delimitar una parcela de
la realidad y abstracto, al eliminar las relaciones que establecía con
otros aspectos de la misma.
De la Rua (2002) resume las críticas a la multidisciplinariedad en la enseñanza en
los siguientes puntos:
 El fin originario (comprensión del mundo, capacitación para la
vida) queda desdibujado.
 Inflexibilidad en la organización del tiempo, el espacio y los
recursos humanos.
 Favorecen la inhibición de la función pedagógica de los profesores
a causa de la desmembración en asignaturas.
 Limitan la autonomía y el poder de decisión de los profesores con
respecto al currículo.
Matemáticas y Ciencias
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 Generan jerarquización, desarticulación y rivalidad entre
disciplinas y asignaturas.
 A los alumnos no les es fácil captar las conexiones entre las
distintas disciplinas.
El mismo de la Rua reconoce el sesgo en estas críticas. Los proponentes de otros
enfoques tratan de simplificar el enfoque multidisciplinar y culparlo de todos los
males de la educación. Aunque seguramente que los críticos de este enfoque
fueron educados en escuelas donde se enseñaban las disciplinas por separado y
adquirieron en ellas la sólida formación que ostentan.
La multidisciplinariedad es atacada duramente por los defensores de los otros
enfoques que veremos a continuación.
Intradisciplinariedad. Se trata de correlaciones al interior de una misma
disciplina. Se ocupa de la correlación entre los diferentes sectores o ramas de las
matemáticas, por ejemplo: entre álgebra y geometría, aritmética y álgebra, etc.
Interdisciplinariedad. Rene (1976) distingue dos niveles de interdisciplinariedad:
(a) centrípeta y (b) centrífuga. En la primera se trata de ir de las otras
disciplinas a las matemáticas. Ilustramos ésta con un ejemplo tomado de Rene
(1976). A partir de la estadística descriptiva y de los sondeos como centro de
interés, hacer intervenir una serie de disciplinas. En Historia nos propondríamos
estudiar la historia de los sondeos y sus técnicas, su evolución, sus intereses; la
clase de Educación Física nos proveería de datos cuantitativos (como por
ejemplo: desempeño de los estudiantes en una carrera de 100 m planos); en
Lengua y Literatura se discutiría sobre la elaboración de informes, la redacción de
textos escritos, etc.; en Psicología se pueden aplicar ciertos tipos de encuestas y
estudiar su interpretación; etc. En esta perspectiva se incluyen todas las
reflexiones acerca del papel de la estadística en particulary de las matemáticas
en general y su función en la sociedad. Se incluyen consideraciones acerca de
los problemas sociales, políticos, económicos e ideológicos relacionados con el
uso de las matemáticas. Según Rene (1976), en este primer enfoque se produce
un desmontaje prometedor de las disciplinas, que induce un trastrocamiento de
los métodos, los contenidos y los programas. Lo anterior obliga a repensar la
escuela.
En la segunda, se trata de ir de las matemáticas a las otras disciplinas. En el
caso anterior el intercambio es incompleto porque todo gira en torno a las
matemáticas (Rene, 1976). Se trata en este caso de una interdisciplinariedad
más elaborada. Desde esta perspectiva se trata de la adopción de una visión de
las matemáticas como resolución de problemas. La situación problemática es
una situación de implicación total y se prolonga en una multitud de direcciones y
abre otras posibilidades de la personalidad del estudiante (Rene, 1976). La
resolución de problemas involucra varios modos de expresión: matemático,
música, artes plásticas y gráficas, escritura, poesía y otras. La heurística deviene
en la piedra angular de todas las actividades en la escuela (Rene, 1976).
Para otros autores, el término interdisciplinariedad no hace referencia a la
conjunción de varias disciplinas sino más bien a la interconexión de varios tipos
de metodologías, por ejemplo investigación básica, aplicada y de desarrollo
(Breznik y Močnik, 2005). Desde esta perspectiva la interdisciplinariedad se
refiere tipo de investigación.
Transdisciplinariedad. En las categorías anteriores se habló del movimiento
didáctico de las matemáticas a otras disciplinas y de estas a las matemáticas.
Para Rene (1976) el problema planteado de esta manera resulta artificial. Desde
estas perspectivas el punto de partida es ofrecido por una de las disciplinas y
tiene que ser reducido o simplificado para que pueda ser tratado entre los límites
Universidad Nacional Abierta
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de la escuela. Este proceso se puede representar de esta manera: una actividad
problemática, en el sentido de las matemáticas, motiva y exige el concurso de
otras disciplinas o bien suscita su aparición y se prolonga en ellas (Rene, 1976, p.
39). En este movimiento de ir y venir aparecen según el caso y la necesidad una
multiplicidad de modos de expresión, de sectores del saber y de la actividad. De
la idea de que en toda actividad en la que nos vemos involucrados puede devenir
en un lugar de intercambios y de interés, rico en todas las prolongaciones y de
todos los tipos de actividad; ocasión de investigación y de creación; centro de
motivaciones y de enriquecimientos multidimensionales (Rene, 1976). En un
juego de alternancia de la práctica y de la teoría, de la investigación, de la
expresión y se organiza una circulación entre todos los tipos y niveles de la
actividad (Rene, 1976). Esto es exactamente lo que Rene (1976) entiende por
transdisciplinariedad, la cual, en sentido estricto, supone que uno se coloca más
allá y por encima de la (multi) disciplinariedad (Rene, 1976, p. 39).
Ya no son más las matemáticas ni ninguna otra disciplina el centro de atención,
ni el punto de partida ni el punto de llegada sino que nos asiste en una
“excentración transdisciplinaria” hacia una situación, fenómeno, u objeto del
mundo en las múltiple facetas son correlativos de un poli-centrismo de las
disciplinas al servicio del conocimiento, de la acción y de la expresión (Rene,
1976). Tiene esta propuesta muchos elementos comunes con la Escuela Nueva
que surgió en los Estados Unidos a partir de los trabajos de John Dewey, también
conocida como enseñanza por proyectos.
Otros autores también han tratado el asunto de las relaciones entre las
disciplinas a diversos niveles y de las posibles formas de integración. En la tabla
siguiente mostramos varios ejemplos de ello.
Tabla 3. Diferentes clasificaciones de interdisciplinariedad
Autor Clasificación
Jean Piaget
(1979)
Multidisciplinariedad: La interacción no modifica ni enriquece las
disciplinas.
Interdisciplinariedad: Se producen intercambios recíprocos y
enriquecimientos mutuos.
Transdisciplinariedad: Sistema total que desdibuja las fronteras
disciplinares
Miguel Boisot
(1979)
Interdisciplinariedad lineal: Se utilizan leyes o categorías de una
ciencia para explicar los fenómenos de otra.
Interdisciplinariedad estructural: De la interacción de dos o más
disciplinas se estructura una nueva. Ejemplo Bio-medicina.
Interdisciplinariedad restrictiva: De acuerdo a los objetivos específicos
se acota el campo de aplicación de cada disciplina.
Interdisciplinariedad heterogénea: Se produce la suma de información
procedente de varias disciplinas.

Matemáticas y Ciencias
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Tabla 3. (Continuación)
Autor Clasificación
Cesare Scurati y
Damiano E.
(1977)
Pseudointerdisciplinariedad: Estructura de unión que se aplica para
trabajar con disciplinas muy diferentes entre sí.
Interdisciplinariedad auxiliar: En una disciplina se recurre al empleo de
metodologías de otra disciplina.
Interdisciplinariedad compuesta: Análisis en conjunto de todos los
aspectos de un fenómeno.
Interdisciplinariedad complementaria: Superposición de trabajo y
especialidades que coinciden en un mismo objeto de estudio.
Interdisciplinariedad unificadora: Auténtica integración que tiene como
resultado un nuevo marco teórico o metodológico.
George
Vaideanu
(1983)
Multidisciplinariedad: Simple yuxtaposición simultánea de disciplinas,
con mínima comunicación entre ellas.
Pluridisciplinariedad: Mejoramiento de las relaciones entre disciplinas
pero sin modificación de las bases teóricas de cada una.
Disciplinariedad cruzada: Una disciplina domina en su relación con
otras y subordina a ella sus contenidos y metodologías
Interdisciplinariedad: Implica la voluntad de colaborar en un marco
teórico más general donde existe un equilibrio en las relaciones entre
disciplinas.
Transdisciplinariedad: Nivel superior de coordinación donde
desaparecen los límites de las disciplinas.
Bohórquez
González A.
(1997)
Intradisciplina: Se establece entre especialidades de un área común
Mono disciplina: Trabajo al interior de una sola disciplina
Multidisciplinariedad: Yuxtaposición de diversas disciplinas, sin
articulación pensada. Se defienden metodologías generales pero cada
especialidad mantiene separada su área de estudio.
Interdisciplinariedad compuesta o normativa: Diversas disciplinas que
basan su relación en ciertas normas de desempeño.
Interdisciplinariedad suplementaria: Dos o más disciplinas que
participan en el mismo objeto y se retroalimentan pero no se fusionan.
Interdisciplinariedad isomórfica: Fecundación entre las disciplinas
participantes que les permite desarrollarse, en ocasiones puede llegar
a dar origen a una nueva disciplina
Interdisciplinariedad estructural: Cuando dos o más disciplinas
isomórficas interactúan, este tipo de relación puede formar nuevas
áreas, teorías o paradigmas.
Transdisciplinariedad: Su objetivo general es construir una teoría
general que recoja diversas disciplinas, rompiendo los límites y
barreras entre ellas.

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Tabla 3. (Continuación)
Autor Clasificación
Borreo A.S
(1984)
Multidisciplinariedad: Relación entre disciplinas, en igualdad de
condiciones pero sin intenciones de cooperación explícitas.
Pluridisciplinariedad: Es igual que en la multidisciplinariedad pero la
relación no es igualitaria, existe una disciplina priorizada y por tanto
privilegiada.
Transdisciplinariedad: Es una relación en la que intervienen diversas
disciplinas, rompiendo los límites y barreras entre ellas.
Interdisciplinariedad compuesta: Relaciones entre disciplinas en
igualdad de condiciones, pero con normas explícitas de
comportamiento en relación con el objeto de estudio.
Interdisciplinariedad auxiliar:Relación entre disciplinas donde una
disciplina rectora es apoyada por el trabajo del resto.
Interdisciplinariedad suplementaria: Relación en que la disciplina
subordinada tiende a integrarse con la disciplina rectora.
Interdisciplinariedad isomórfica: Relación en igualdad de condiciones
entre disciplinas que generalmente genera un nuevo campo de
estudio.
Fuente: de la Rua (2000)
Presentarle la tabla anterior no busca intimidarle. Nuestra intención más bien es
llamar su atención sobre la complejidad del tema de la integración de los
contenidos en el currículo. Ser consciente de esta complejidad evitaría caer en
un tratamiento simplista y poco serio del asunto.
Actividad 1.3
1. Compare y contraste las definiciones de interdisciplinariedad propuestas por
los diversos autores incluidos en la Tabla 3.
2. Señale cuáles de las definiciones de interdisciplinariedad en la Tabla 3 son
excluyentes o complementarias.
3. Compare los distintos tipos de interdisciplinariead propuestos por Cesare
Scurati y Damiano E. (1977) con los niveles de interdisciplinariead identificados
por Rene (1976).
4. Considere todos los tipos de interdisciplinariedad distinguidos por los autores
en la Tabla 3, señale cuáles son complementarios, cuáles son equivalentes y
cuáles son excluyentes. ¿Considera usted necesario distinguir entre tantos
tipos de interdisciplinariead?
Una vez discutidos asuntos relacionados con diversos enfoques sobre la
integración del currículo y con las ideas de multi, intra, inter. Y
transdisciplinariedad, pasaremos ahora a considerar con ejemplos concretos el
tema de la integración en el Área de Ciencias y Matemáticas.
Integración en el Área de Ciencias y Matemática
Uno de los retos que enfrenta el profesor de Ciencias naturales y Matemática en
el Liceo Bolivariano es precisamente la integración de las diferentes disciplinas en
el contexto de un proyecto o de cualquier otra actividad en la escuela. En esta
sección ofrecemos una manera de acercarnos a este problema.
Una primera tarea es identificar los componentes de las ciencias naturales.
Según Aldridge (1993), los componentes de las ciencias naturales incluyen los
procesos usados y los resultados obtenidos como productos de esos procesos.
Matemáticas y Ciencias
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En la tabla siguiente se presenta una lista de esos procesos y productos que son
comunes a todas las ciencias naturales.

Procesos Productos
Observar
Clasificar
Medir
Interpretar datos
Inferir
Comunicar
Elaborar hipótesis
Desarrollar modelos y
teorías
Términos
Resultados
Conceptos
Principios
Leyes empíricas
Teorías
Aplicaciones
Esta lista no agota todos los procesos y productos. Por ejemplo a estos últimos
podemos agregar los instrumentos y las herramientas de la ciencia.
Una segunda tarea, tomando en consideración la propuesta de Área de Ciencias
Naturales y Matemática para el Liceo Bolivariano, es la de distinguir aquellos
procesos y productos que son comunes a todas las ciencias naturales. La
identificación de estos procesos y productos comunes serviría de ayuda para la
organización de la actividad pedagógica en la escuela.
Como señala Aldridge (1993), los productos de las ciencias naturales con
frecuencia son identificados con un campo o disciplina en particular. Entonces,
para que un producto dado sea considerado como un componente básico de
todas las ciencias naturales es necesario que transcienda una asignatura o
disciplina particular. Nos interesa identificar aquellos componentes
fundamentales en las áreas de física, química, biología y ciencias de la tierra,
siguiendo la propuesta de Aldridge (1993), incluimos además las ciencias del
espacio.
Términos básicos comunes a todas las ciencias naturales. ¿Qué son los
términos? Términos son los nombres de las entidades, objetos, eventos
específicos, períodos específicos de tiempo, categorías de clasificación,
organismos o partes de un organismo (Aldridge, 1993). Dado su carácter
específico, los términos son prácticamente únicos para cada ciencia y hay muy
pocos que son comunes a todas las ciencias. Los términos son usados
básicamente como herramientas de comunicación y los aprendemos en la medida
que los necesitamos para estudiar ciencias o comunicarnos (Aldridge, 1993, p.
25).
Resultados básicos comunes a todas las ciencias naturales. Los resultados
básicos comunes a todas las ciencias naturales son usualmente definiciones
operacionales, medidas u observaciones las cuales pueden ser replicadas
(Aldridge, 1993, p. 25). No se busca que estos resultados sean memorizados
intencionalmente. Se espera que a través del uso inteligente de estos resultados
los estudiantes lleguen a recordar muchos de ellos cuando los necesiten. Nos
interesa que los profesores comprendan los conceptos subyacentes a cada
resultado y que sepan donde buscar esos resultados.
Conceptos básicos comunes a todas las ciencias naturales. ¿Qué es un concepto
básico en ciencias naturales? Para los efectos de esta propuesta asumiremos la
definición siguiente, un concepto científico es:
Un fenómeno natural que ocurre regularmente, una propiedad o
característica de la materia la cual es observable o detectable en
muchos contextos diferentes, y la cual es representada por una
palabra o palabras y frecuentemente con símbolos matemáticos.
Universidad Nacional Abierta
20
La mayoría de los conceptos de la ciencia son derivados de otros
(por ejemplo, la rapidez es derivada de los conceptos de distancia y
tiempo). Cuando un concepto científico derivado es expresado en
la forma de una ecuación, ésta es su definición matemática, no una
relación natural (por ejemplo, densidad de masa). (Aldridge, 1993,
p. 27)
A diferencia de los términos, hay muchos conceptos básicos de las ciencias
naturales que transcienden los limites de las disciplinas particulares. Muchos de
estos conceptos básicos provienen de la física y de la química. Estas dos
disciplinas son fundamentales para comprender las ciencias de la vida, y estas
tres son a su vez fundamentales par ala comprensión de las ciencias de la Tierra
y del espacio (Aldridge, 1993).
Leyes empíricas básicas comunes a todas las ciencias naturales. Podemos
identificar un conjunto de leyes empíricas comunes a todas las ciencias naturales.
Consideraremos como leyes empíricas a:
Una generalización de una relación que ha sido establecida entres
dos o más conceptos por medio de la observación o la medición,
pero que no se apoya en ninguna teoría o modelo para su
expresión o comprensión (por ejemplo, la presión de un gas como
una función del volumen, manteniendo la temperatura y el número
de moles constantes). (Aldridge, 1993, p. 29)
Es el fenómeno, la conducta o el proceso observado que caracteriza el aspecto
empírico de la ley. Explicar la ley es precisamente el papel de las teorías. Por
ejemplo, durante la interacción de dos cuerpos se tiene que el producto m.a,
para uno de los cuerpos tiene la misma magnitud que el producto m.a para el
otro cuerpo. Esa es precisamente una ley empírica y es la tarea de las teorías
explicarla (Aldridge, 1993).
Teorías y modelos comunes a todas las ciencias naturales.
Las teorías son usadas para explicar hechos, fenómenos, observaciones y leyes
empíricas. Las teorías por lo general incorporan varios conceptos que han sido
cuantificados y que están representados simbólicamente. Estas teorías son con
frecuencia matemáticas. Para una mejor comprensión de las teorías el
estudiante necesita tener experiencias con los procesos por medio de los cuales
teorías anteriores fueron creadas, las hipótesis derivadas de estas teorías ya
probadas y la evolución de tales teorías en el tiempo. Es muy importante
enfatizar que las teorías son tentativas, y que aún las más recientes, están
meramente en una etapa de proceso continuo. También es importante hacer que
los estudiantes comprendan que las teorías, a diferencia de los hechos,observaciones y leyes empíricas (las cuales resumen datos, medidas u
observaciones), son construcciones creativas las cuales no necesariamente se
corresponden unívocamente con la realidad. Diversas teorías alternativas
podrían explicar el mismo conjunto de fenómenos. Decimos que las teorías son
elaboraciones de los seres humanos y no son necesariamente un reflejo de la
realidad (Aldridge, 1993).
En el Anexo B, al final de esta lección, presentamos una lista completa de
términos, leyes empíricas, teorías y modelos comunes a todas las ciencias. Estos
resultados básicos los presentamos agrupados en tres grupos. Esta agrupación
no se corresponde con un grupo de grados o de nivel de escolaridad determinado
del sistema educativo venezolano. Esa agrupación indica el nivel de complejidad
y de abstracción de dichos resultados.
Matemáticas y Ciencias
21
Referencias
Aldridge, B. G. (1993). Basic components of the natural sciences. En The
National Science Teachers Association. The content core, Vol. 1. (pp. 25-
40). Washington : El Autor.
De la Rua, C. M. (2000). Interdisciplinariedad en el currículo de las Ciencias
sociales. Disponible en:
http://teleformacion.cujae.edu.cu/proyecto_pedagogico/BVP/materiales/Te
ma3/Art07/index.htm
Forgarty, R. (1991). The Mindful School: How to Integrate the Curricula.
Palatine, IL: Skylight.
Fundación Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia
(CENAMEC, s.f.). La ciencia en el Liceo. Disponible en:
http://www.cenamec.org.ve/html/programas/p2/p203.htm.
Houtz, L. E. y Thomas, J. A. (1997). Interdisciplinary math and science: A
hands-on consideration of integrated reform. Disponible en:
http://www.ed.psu.edu/CI/journals/96pap24.htm.
Ministerio de Educación y Deporte (2004). Liceo Bolivariano. Adolescencia y
juventud para el desarrollo endógeno y soberano . Caracas: El Autor.
Rene, B. (1976). Vers une transdisciplinarité. Cahiers Pedagogiques, No. 147,
pp. 13-16. En C. Castonguay y R. Pallascio (1978). Vers un apprentissage
par projects (pp. 34-42). Quebec: Telé-Université.

22
Anexo A
Liceo Bolivariano*
3.3. Integración de áreas del conocimiento
La formación de un (a) nuevo (a) republicano (a) bolivariano(a) requiere la
incorporación de un nuevo tipo de contenido curricular, particularmente referido
al desarrollo de competencias y valores que reclaman el desempeño productivo y
el desempeño ciudadano. Las nue vas competencias (capacidad de trabajar en
equipo, de resolver problemas, de experimentar, de interactuar con el diferente,
entre otras) y los valores propios de la formación ciudadana (solidaridad,
tolerancia, respeto a los derechos humanos) no se enseñan necesariamente a
través de contenidos de una disciplina sino a través de modalidades transversales
que exigen también una modificación profunda en la organización curricular y en
las modalidades de trabajo de los (as) profesores (as). (Tedesco y López, 2002).
La dimensión cultural ha de tener un mayor significado en la formación de
adolescentes y jóvenes. Esta dimensión no pasa sólo por los aspectos cognitivos,
sino por una articulación entre lo cognitivo, lo emocional, lo estético y lo social,
que involucra no sólo a los (as) estudiantes sino también a los (as)
profesores(as). Así mismo, la transformación del concepto de democracia, de lo
representativo a lo participativo y protagónico implica nuevos temas y
contenidos.
La escuela ha propiciado un tipo de saber enciclopédico, disciplinar y
memorístico, alejado tanto de la mentalidad de adolescentes y jóvenes como de
los problemas de la realidad. Este conocimiento científico, basado en una
perspectiva racionalista, se articula a través de dos características básicas: la
especialización y la abstracción. Este conocimiento especializado es disciplinar, al
delimitar una parcela de la realidad y abstracto, al eliminar las relaciones que
establecía con otros aspectos de la misma.
La concepción dogmática y absolutista de la ciencia propugnó el paradigma de la
simplicidad, caracterizado por la compartimentación del conocimiento científico
en multitud de disciplinas y de campos del saber haciendo irreconciliable el
conocimiento científico-técnico con el campo de las ciencias sociales y las
humanidades. El enfoque simplificador parte de una concepción sesgada y
diferenciadora que asigna estructuras conceptuales propias a cada disciplina y,
por tanto, formas específicas de resolución de los problemas que le atañen. Una
de las respuestas proviene del denominado paradigma de la complejidad que
revisa y actualiza la visión sistémica del mundo a través de la formulación del
principio de complejidad frente al de simplicidad para aportar una nueva
perspectiva indagadora de la realidad: la complementariedad frente a las
antinomias y dicotomías, y la apuesta por una concepción interdisciplinaria,
transdisciplinaria o metadisciplinaria, en contradicción con otra disciplinar y
selectiva de cada una de las ciencias.
El enfoque conceptual o disciplinar, propone una definición parcelada de los
conceptos básicos de cada ciencia, el enfoque interdisciplinar, por áreas,
propugna la integración de disciplinas sintetizando los conceptos más
característicos de las ciencias. Con la integración de áreas se busca una
perspectiva integrada que aglutine los distintos enfoques del conocimiento
científico y del conocimiento cotidiano en su afán por comprender la realidad.
Superar la fragmentación curricular supone adoptar una perspectiva de
integración, asumiendo que la ciencia es un medio para comprender los

* Tomado Ministerio de Educación y Deportes (2004). Liceo Bolivariano: Adolescencia y juventud
para el desarrollo endógeno y soberano. Caracas: El Autor. Disponible en:
http://www.portaleducativo.edu.ve/documentos/liceo_bolivariano.pdf
Matemáticas y Ciencias
23
problemas de la sociedad y nunca un fin en sí mismo y, por otra, que los objetos
de estudios no tienen porqué ser los problemas científicos sino los problemas de
la sociedad (Travé, G.). Las áreas permiten la integración de disciplinas y
saberes, organizadas de acuerdo con unos principios de interdisciplinariedad,
transversalidad e interculturalidad, posibilitando que el (la) educando (a) se
prepare para los niveles superiores del proceso educativo y para su vinculación
con la sociedad y el trabajo.
Se hace imperativo ir de unas estructuras curriculares fragmentadas y
homogéneas hacia otras más unificadas y heterogéneas. Es necesario disminuir
tanto número de asignaturas como de docentes a los cuales se enfrenta
semanalmente el/la adolescente y el/la joven. Pero también hay necesidad de
disminuir el número de adolescentes y jóvenes que semanalmente debe atender
el docente. Es decir, adolescentes y jóvenes atendidos por menos docentes, y
docentes que atienden menos adolescentes y jóvenes. Esto conduciría a
posibilitar una mayor relación, integración, comunicación e identidad entre el
docente y los adolescentes y jóvenes, para el fortalecimiento del proceso
formativo. En esta misma dirección se impone superar los horarios mosaicos o
disgregados como mecanismo que ayude a minimizar la fragmentación de la
administración del currículo.
El currículo por disciplina privilegia el estudio de los problemas que interesan a la
ciencia, en cambio, el currículo integrado por área, sin desconocer a la disciplina,
privilegia el análisis de los problemas de la sociedad a partir de las diversas
aportaciones del conocimiento. El currículo integrado por áreas favorece las
opciones didácticas que posibilitan la aproximación del (la) adolescente y joven a
un pensamiento crítico, al objeto de poder intervenir en la realidad social.
En el Liceo Bolivariano las áreas del conocimiento se integran a través de un
proyecto educativo-productivo de manera que las disciplinas apoyen y le den
explicación desdesu especialidad a todas las acciones planteadas en los mismos.
Por ejemplo, el área de sociales con sus categorías tiempo y espacio se relaciona
con el área de ciencias para realizar diagnósticos y con el área de lenguaje,
cultura y comunicación ayude a entender los saberes locales, sus diferentes
expresiones humanas manifestadas en las tradiciones y costumbres y con la
educación en y para el trabajo liberador que impulsa el aprender-haciendo,
descubriendo las potencialidades de la comunidad en función del desarrollo
sustentable.
En este sentido, es fundamental considerar el conocimiento como una forma de
organizar, relacionar y contextualizar la información, ya que esta última
constituye parcelas de saberes dispersos, cuestión que ha caracterizado nuestro
sistema educativo.
Se hará énfasis en desarrollar en los y las adolescentes y jóvenes una aptitud
para plantear y analizar problemas y principios organizadores que les permita
vincular los saberes con la realidad.
El currículo del Liceo Bolivariano se organiza en cinco áreas que integran las
distintas asignaturas y contenidos necesarios para la formación del y la
adolescente y joven que requiere nuestro país:
a) Matemática y ciencias naturales. Está integrada por matemática, física,
química y ciencias de la tierra, las cuales obedecen a leyes y procesos específicos
que se dan independientemente del ser humano y que le permiten transformar la
realidad fortaleciendo la calidad de vida.
b) Ciencias sociales, ciudadanía e identidad. Integrada por geografía, historia,
ciudadanía e identidad. Esta área considera el comportamiento social del ser
Universidad Nacional Abierta
24
humano en el devenir histórico en tiempo y espacio determinado para entenderse
como sujeto de transformación.
c) Lengua, cultura, comunicación e idiomas. Integrada por castellano, literatura,
inglés, idiomas propios, cultura y comunicación. Esta área concibe la lengua oral
y escrita como expresión cultural que integra lo científico y lo humanístico
reconociendo la diversidad multiétnica y pluricultural a diferentes escalas,
haciendo énfasis en la comprensión y producción de la comunicación humana.
d) Educación física, deporte, ambiente y recreación. Es un área que aparece
como necesidad para fortalecer el desarrollo físico-mental del ser humano en
armonía con su entorno para garantizar calidad de vida individual y colectiva y
para las generaciones futuras.
e) Educación en y para el trabajo liberador para el desarrollo endógeno soberano.
Educación y trabajo como síntesis del proceso de formación que se expresa en lo
organizativo y productivo y se concreta en la comunidad para alcanzar el modelo
de desarrollo endógeno.

(Ministerio de Educación y Deportes, 2004, pp. 52-56)

25
Anexo B
Anteriormente señalamos que la ciencias naturales estaban constituidas por
procesos y productos de la aplicación de esos procesos. Distinguimos de manera
particular cinco productos de las ciencias naturales. Dado el carácter de
integración que se postula para la enseñanza de las ciencias naturales y
matemática en el Liceo Bolivariano, nos interesa identificar aquellos resultados
que son comunes a todas las ciencias naturales. A continuación presentamos
una lista de estos resultados tomada de Aldridge (1993). Esta no es una lista de
conceptos, términos, leyes, teorías para que sean aprendidas de memoria por los
estudiantes y los profesores. Nuestra intención es que esta lista de resultados
comunes a todas las ciencias le sirva de referencia al profesor tanto para su
estudio de las ciencias como para su enseñanza.
Términos básicos comunes a todas las ciencias naturales
Múltiplos asociados con los prefijos nano, micro,
mili, kilo, mega, giga
Nombres de las unidades de tiempo, masa,
longitud, área y volumen
Nombres de unidades derivadas SI para la
fuerza, carga eléctrica, presión, campo
magnético, trabajo, energía y potencia
Resultados básicos comunes a todas las ciencias naturales
Grupo 1
La velocidad de la luz en el
vacío
Valor el cero absoluto en la
escala de temperatura Celsius
La densidad del agua líquida
Punto de ebullición del agua (2
cifras significativas)

Punto de congelación del agua (2
cifras significativas)
Velocidad del sonido en el aire (2
cifras significativas)
Velocidad del sonido en el agua (2
cifras significativas)
Definiciones de minuto, día,
hora y año
Nombres de ácidos y bases
comunes
Nombres de elementos
comunes que son aislantes
eléctricos
Nombres de elementos
comunes que conducen la
electricidad
Grupo 2
Longitud de onda en
manómetros de colores visibles
de luz (2 cifras significativas)
Rango aproximado de longitud
de onda en nanómetros de
radiación ultravioleta e
infrarrojo (2 cifras
significativas)
Índice de refracción para el
vidrio y para el agua (2 cifras
significativas)
Componentes de moléculas
simples, biatómica de gases
comunes y componentes
comunes, en términos de
números de átomos y masa
molecular
Valor numérico de 1 mol
Volumen de 1 mol de gas en STP
Números atómicos y masas
atómicas en gramos por mol de
unos pocos elementos: oxigeno,
nitrógeno, carbón e hidrógeno
Dimensiones aproximadas de
moléculas inorgánicas
Componentes de átomos e
isótopos comunes en términos de
protones y neutrones en el núcleo
y electrones que rodena el núcleo
Valor de calorías en joules
Capacidad de calor del agua
Calor latente de
vaporización del agua
Calor latente de fusión del
agua
Valor de la aceleración
debida a la gravedad en la
Tierra (2 cifras
significativas)
Presión atmosférica sobre la
Tierra (2 cifras
significativas)
Radio aproximado de la
Tierra, la Luna y el Sol
Grupo 3
Definición de un electrón-voltio
en Joules
Definición de estructuras de
cristal simple, centrada en una
cara y centrada en el cuerpo
“Permittivity” y permeabilidad
del espacio libre
Vida-promedio del carbono 14
Las cargas de iones de elementos
libres comunes, en unidades de
carga en un electrón
Valor de la constante de Planck
La constante, k, en la ley de
Coulomb de fuerza para cargas
eléctricas
Valor de la constante, G, en la ley
de gravitación universal
Valor de la constante de gas
ideal, R
Radio aproximado de un
átomo y de un núcleo
atómico
Constante de Bolzano
Masa de, y carga sobre, el
electrón, protón y neutrón
Valor de equivalencia masa-
energía

Universidad Nacional Abierta
26
Conceptos básicos comunes a todas las ciencias naturales
Grupo 1
Escalar (un número y una
unidad)
Precisión (y cifras
significativas)
Exactitud (y calibración
contra un estándar)
Exponente
Potencias de diez y orden de
magnitud
Continuidad y discontinuidad
Longitud, área, volumen,
masa, carga eléctrica y
tiempo
Área de superficie
Densidad de masa
Tasa de cambio del tiempo
con distancia (rapidez)
Tasa de cambio del tiempo
con rapidez (aceleración)

Tasa de cambio del tiempo en
general
Velocidad (rapidez y dirección)
Fuerza
Presión
Ebullición
Trabajo
Energía
Potencia
Energía cinética (translacional
y rotacional)
Energía potencia
(gravitacional, eléctrica y
nuclear)
Pulso
Onda (mocromática)
Longitud de onda
Amplitud
Superposición de ondas
Difracción
Interferencia
Espectro
Reflexión
Refracción
Dispersión
Período
Movimiento periódico
Movimiento armónico simple
Equilibrio térmico
Temperatura
Calor
Energía térmica
Punto de congelación
Punto de ebullición
Conductividad
Concentración
Mezcla
Homogéneo
Elemento
Compuesto
Solvente y soluto
Ácido
Base
Cristal
Gas
Grupo 2
Vector (un número, una
unidad u una dirección)
Potencia
Átomo
Volumen molar
Molécula
Número atómico
Mol
Masa atómica
Nucleo
Cpacidad calórica
Isotermal
Catálisis
Coloide
Corriente (masa, cambio o
volumen por unidad de
tiempo)
Tasa de cambio de distancia
(contornos y gradientes)
Evolución
Centrípeta
Gravedad
Invarianza
Longitud de onda
Momento (lineal y angular)
Osmosis
pH
RadioactividadResonancia
Campo eléctrico
Onda transversal
Onda electromagnética
Intensidad
Grupo 3
Desplazamiento (distancia y
dirección)
Intensidad
Vector aceleración
Velocidad de onda
Polarización de ondas
Coherencia (temporal y
espacial)
Ion
Densidad de carga
Torque
Dipolo eléctrico
Adiabático
Energia interna
Entalpía
Entropía
Concepto general de densidad
como función de distribución
Calor latente de fusión
Calor latente de vaporización
Energía potencial química
(como caso especial de la
eléctrica)
Energía potencial elástica (como
caso especial de la eléctrica)
Fisión
Fusión
Vida-media
Isótopo
Fotón
Plasma
Simultaneidad
Relatividad

Leyes empíricas básicas comunes a todas las ciencias naturales
Grupo 1
Ley de Pascal
Ley de Boyle
Ley de Charle
Ley de Guy-Lussac
Ley de la reflexión especular
Ley de la conservación de la
energía
Evolución (patrones observados
de cambio en el tiempo)

Matemáticas y Ciencias
27
Grupo 2
Ley de los factores limitantes
Fotosíntesis (como un proceso)
Ley de Graham
Leyes de proporciones definidas
y múltiples
Tres leyes del movimiento de
Newton
Variación observada de la
resistencia con cambios lineales
de dimensión
Ley del cuadrado inverso
Ley de Ampere
Ley de Coulomb
Ley de Faraday
Ley de Gauss
Ley de la refracción de Snell
El efecto Doppler
Variación observada de la masa
con cambios lineales de
dimensión
Variación observada de la
superficie con cambios lineales
de dimensión
Grupo 3
El principio de Le Chatelier
La ley de Hess
Ley de Dalton de la presión
parcial
Ley de la gravitación universal
Ley de conservación del
momento
Variación observada del calor a
través de una superficie con
cambio lineal de dimensión
Ley del desplazamiento de Wien
Cuarta ley del poder de la
radiación
Efecto fotoeléctrico
Teorías y modelos comunes a todas las ciencias naturales
Grupo 1
Teoría de onda de la luz (cuando la luz se comporta como onda)
Grupo 2
Teoría de los lazos químicos (desde las primeras
teorías de los átomos y moléculas como
resultado de las leyes de proporciones definidas y
múltiples hasta teorías asociadas con varios tipos
de enlaces químicos)
Teoría de las leyes de escala (área de superficie,
volumen y masa)
Teoría atómica (de la secuencia modelos de
Thomson, Rutherford y Bohr)
Grupo 3
Teoría electromagnética (como síntesis de las
leyes empíricas de Ampere, Faraday y Gauss, con
nueva predicción sobre la velocidad de ondas,
con conexión con la luz y confirmada por Hertz)
Teoría de las leyes de escala periodicidad,
transferencia de calor a través de superficies y
resistencia)
Teoría cinético-molecular (como explicación para
las relaciones de temperatura y energía cinética
de las moléculas)
Teoría de partícula (fotón) de la luz (cuando la
luz se comporta como partícula)
Teoría cuántica (atómica y nuclear, incluyendo
orbitales, números cuánticos)
La Tabla Periódica moderna (desde la teoría,
incluyendo el principio de exclusión de Pauli)
La teoría moderna de los sólidos (incluyendo
elementos del estado físico sólido que se aplica a
cristales, metales y semiconductores)
Cosmología y teorías de la evolución
(explicaciones de cambio evolucionario general)

Unidad 2
Aplicaciones de las matemáticas en la escuela

Objetivo: Discutir diversas tendencias o maneras de usar las aplicaciones de
las matemáticas en la enseñanza.

Matemáticas y Ciencias
29
Lección 2

La preocupación por introducir en la enseñanza de las matemáticas aplicaciones
de estas en la resolución de problemas reales no es tan nueva como puede
parecer. Por ejemplo, en los Programas Provisionales de Educación Secundaria
de 1955, se resalta el “valor instrumental de las Matemáticas” y se señala que:

(…) las Matemáticas tienen un extraordinario valor como
instrumento de investigación en casi todas las ciencias aplicadas.
Los nuevos programas destacan este otro aspecto, señalando en
diversas partes aplicaciones a la Física, a la Química, etc. (p. 17)

Introducir aplicaciones de las matemáticas a situaciones reales, o pseudo-reales,
es más fácil decirlo que hacerlo. Reconociendo esta situación nos proponemos en
esta lección ofrecerle diversos enfoques en el uso de las aplicaciones de las
matemáticas en su enseñanza. No pretendemos ser exhaustivos. Esperamos
cubrir al menos las propuestas más comunes o relevantes.

La manera más sencilla de introducir de alguna manera aplicaciones de las
matemáticas en su enseñanza es mediante la proposición de problemas en
contexto real, semi-real o ficticio. Esta tendencia predomina en los libros
escolares de Matemática en nuestro país. Por ejemplo, en un libro de Octavo
Grado se propone el problema siguiente:

Un envase tiene forma cúbica y contiene un volumen igual a 125
cm3. Con la finalidad de diminuir costos, la empresa desea reducir
el taño del envase restando n unidades (con n < 5) a la arista del
cubo original. ¡Qué fórmula permite conocer el volumen del nuevo
envase? (Suárez Bracho y Durán Cepeda, 2002, p. 163)

Más adelante, en una unidad dedicada a la probabilidad y la estadística proponen
este problema:

Midiendo el tamaño de un grupo de insectos, un entomólogo
obtuvo los siguientes datos:

Longitud (mm) Número de insectos
0 – 2 8
2 – 4 12
4 – 6 21
6 – 8 24
8 - 10 22

Determina la clase modal y los valores aproximados de la mediana
y la media aritmética. (Suárez Bracho y Durán Cepeda, 2002, p.
207)

En otros libros las aplicaciones son introducidas de manera más limitada, sólo en
aquellos temas en que es prácticamente imposible evitarlas. Tal es el caso de los
temas de estadística. Un ejemplo de este tipo de tratamiento de las aplicaciones
es el libro de Brett C. (2006) para el Segundo Año de EMDP. Los únicos
problemas planteados en el contexto de situaciones reales aparecen al final del
libro en los tres últimos capítulos dedicados a la teoría combinatoria, las
Universidad Nacional Abierta
30
probabilidades y la estadística. Como ya dijimos, es prácticamente imposible
enseñar estos temas sin recurrir a las aplicaciones. Veamos uno de los
problemas propuesto por Brett C. (2003),

Para determinar la cantidad de calcio en un grupo de ciudadanos,
se ha tomado la muestra de sangre a 25 de ellos, habiéndose
obtenido los siguientes resultados: 9,7; 9,3; 10,1; 9,2; 9,1; 9,3;
9,4; 8,7; 8,8; 8,7; 9,2; 8,3; 10,1; 9,5; 9,6; 9,7; 9,2; 9,3; 8,8;
9,5; 9,8; 9,1; 9,2; 9,6; 8,4.

Calcular el rango, la varianza y la desviación típica. (p. 340)

Actividad 2.1.
1. Resuelva los tres problemas presentados en los párrafos anteriores.
2. ¿Considera usted que estos problemas son reales o ficticios? Explique.
3. ¿Encuentra usted que estos problemas sean interesantes o retadores?
Explique

Al tipo de enfoque presentado hasta ahora lo consideraremos como el primer
nivel en el uso de aplicaciones en la enseñanza de las matemáticas. Este
enfoque es sumamente limitado y en general se recurre a problemas poco
retadores y ficticios. Dentro de este enfoque el contenido matemático es
introducido primero de manera “abstracta”, en especial las técnicas de cálculo y
de manipulación algebraica, y los problemas de aplicaciones son presentados al
final de cada tema.

Un segundo enfoque es el uso de las aplicaciones como motivación para
introducir un tema. Este enfoque es muy popular entre autores de libros
escolares de matemáticas. Por ejemplo, todas las unidades en el libro de Suárez
Bracho y Durán Cepeda (2002) comienzan con una fotografía, una breve
descripción de una situación problemática y un conjunto de preguntas o
problemas relacionados con esa situación. La información ofrecida en esa
primera página de cada unidad es muy breve y busca motivar a los estudiantes.
Una vez hecha esa introducción, lo autores pasan a presentar el contenido de la
unidad sin mayoresreferencias a las aplicaciones. Veamos a continuación un
ejemplo tomado de dicho libro.

La Unidad 15, titulada “División de polinomios y fracciones racionales”, tiene en
la página inicial una foto de una sabana, con una laguna en el centro. En la
columna de la derecha aparece un escrito titulado “El planeta en que vivimos”
con el texto siguiente:

La Tierra, nuestro planeta, está envuelta por una capa de gases que
forman el aire. El más importante de estos gases para la vida es el
oxígeno (21%), pero el más abundante es el nitrógeno (78%).
Si imaginamos la superficie terrestre dividida en 25 partes iguales, 18
de esas partes están ocupadas por los mares y los océanos y las otras
7 partes serían de tierra firme. De las 7 partes de tierra firme 3 son
útiles para el ganado o para el cultivo y 4 no son útiles ni para el
ganado ni para el cultivo. (Suárez Bracho y Durán Cepeda, 2002, p.
181)

En la parte inferior de esta misma página, bajo el título “Calcula y responde”, se
proponen unas preguntas y problemas. Estos son los siguientes:

Matemáticas y Ciencias
31
 ¿Qué fracción de la superficie terrestre está ocupada por los
océanos y los mares? ¿Y por la tierra firme?
 Suma la parte de la superficie terrestre que es útil y la que no es
útil. ¿Qué representa la fracción que has obtenido?
 La superficie total de la Tierra es de 510 100 000 km2. ¿Qué
superficie ocupan los océanos y mares aproximadamente?
 ¿Cuántos kilómetros cuadrados ocupa la parte que no es útil ni
para el ganado ni para el cultivo? ¿Y la parte que es útil para el
ganado o el cultivo? (Suárez Bracho y Durán Cepeda, 2002, p.
181)

Con estas termina la página de presentación. Como dijimos anteriormente, de
allí se pasa a la presentación del contenido d ela unidad donde se hace poca o
ninguna referencia a las aplicaciones.

Actividad 2.2

1. Verifique los datos dados por Suárez Bracho y Durán Cepeda (2002) en la
introducción al tema. Son estos ciertos o ficticios.
2. ¿Qué relación tiene esta situación problemática con el tema matemático
tratado en la unidad?
3. ¿Cree usted que esta situación “real” es adecuada para la introducción del
tema de División de polinomios y fracciones racionales? Explique.
4. En caso de que su respuesta a la pregunta anterior sea negativa escoja usted
una situación problemática adecuada par ala introducción de este tema.

En este segundo enfoque se hace un uso muy limitado de las aplicaciones, sólo
juegan un papel de motivación y no forman parte integral de la enseñanza del
tema. Los estudiantes podrían formarse la idea que las aplicaciones son una
cuestión accesoria y no forman una parte importante de las matemáticas. Con
todas sus limitaciones, este enfoque lo consideramos como un segundo paso en
la introducción de las aplicaciones en la clase de matemáticas.

Un tercer enfoque es el de presentar un aplicación desde el comienzo como punto
de partida para estudiar un tópico de matemáticas en particular. Este enfoque es
característico, aunque no exclusivo, de la llamada matemática “realista”
desarrollada por la escuela holandesa de didáctica de las matemáticas, en
particular bajo la influencia de Hans Freudenthal. Uno de los primero libros
escolares, para la educación secundaria, en adoptar este enfoque fue el de los
italianos Castelnovo, Gori Giorgi y Valenti (1986). Incluso estos libros tiene el
subtítulo: “La matemática en la realidad”. Todas las partes principales de este
libro comienzan con una introducción extensa, de entre tres y cinco páginas, a
cada tema combinando historia y aplicaciones. La presentación del contenido
casi siempre comienza con aplicaciones reales, las cuales forman una parte
integral de la enseñanza de dicho tema. Describiremos a continuación la parte
dedicada al tema de la función exponencial y logarítmica. En la introducción al
tema, Castelnuovo y otros (1986) comienzan resaltando el significado del
adjetivo “exponencial”, lo cual significa que la ley depende del “exponente”.
Luego entran a narrar el desarrollo histórico de ambas funciones, o leyes, en
especial su relación con las progresiones. Es oportuno señalar que estos autores
rechazan, en la práctica, el enfoque eurocéntrico en la historia de las
matemáticas. En su relato incluyen a los griegos, chinos, árabes, etc. sin
exagerar las contribuciones de una nacionalidad o grupo étnico en particular.
Retomemos nuestro tema principal. Luego, comienzan la enseñanza del
contenido con una sección titulada “La ley exponencial en la naturaleza”. En esta
Universidad Nacional Abierta
32
sección se introducen fenómenos naturales diversos (la reproducción por división,
la fisión y el decaimiento radioactivo) donde aparece dicha ley. La segunda
sección se titula “El logaritmo en la naturaleza”. En ambas secciones se inicia la
enseñanza del tema correspondiente en el contexto de unas aplicaciones de éste
a problemas reales. También introducen en esta parte el uso de calculadoras.
Un problema que tratan Castelnuovo y otros (1986) es el del decaimiento del
carbono 14 (C14) y su uso para determinar la edad de un fósil. Veamos una parte
del texto de estos autores.

Todo organismo viviente contiene una cantidad de C14, la cual
permanece constante mientras que el organismo vive, porque el
carbono presente en el cuerpo se renueva constantemente. A penas el
organismo muere, se detiene el recambio y se inicia el decaimiento del
C14, que disminuye cada 6 000 años. Si un organismo contiene
mientras está vivo 1mg de C14, después del momento de la muerte la
masa M de C14 comienza a disminuir con el paso del tiempo según la
ley
M = (1/2)
t

Esta ley nos permite resolver el problema de la previsión y de la
determinación de la edad.
A) Problema de la previsión
Si un organismo muere hoy y queremos saber cuánto C14 contendrá
dentro de 18 000 años. Nótese que dado el tiempo t (18 000 años, es
3 veces el tiempo de decaimiento) se puede determinar la masa M, la
cual está dada por
M = (1/2)
3
= 0,125 mg
B) Problema de determinación de la edad
Si se tiene un organismo, el cual contiene cuando está vivo contiene
1mg de C14; en cuyo fósil se encuentra una masa de igual a
M = 0,0625 mg
Se desea saber cuándo murió el organismo.
Conocemos el valor de masa M y se desea determinar el tiempo t
transcurrido. Para resolver este problema se deberá expresar la masa
M en la forma de una potencia de base ½, o sea se deberá determinar
el exponente t de modo que resulte
(1/2)
t
= 0,0625
En este caso particular resulta fácil hallar el resultado, dado que
resulta
(1/2)
4
= 0,0625
Se tiene que t = 4, entonces han transcurrido 4 tiempos de
decaimiento, este es 24 000 años. Hemos así determinado la edad del
fósil.
La ley establecida
M = (1/2)
t

Puede ser considerada desde dos puntos de vista.
A) Previsión: dado el tiempo t se desea hallar la masa M.
Matemáticas y Ciencias
33
B) Determinación de la edad: dada la masa M se desea hallar el
tiempo transcurrido t.
Es muy fácil distinguir los dos casos, siguiendo una convención de uso:
se indica con x la variable que se conoce y con y la variable que se
desea hallar, de este modo la ley
M = (1/2)
t

Se escribirá
y = (1/2)
x , cuando t = x es dado y se desea hallar M = y.
x = (1/2)
y , cuando M = x es dado y se busca t = y.
Se nota ahora una diferencia entre las dos formulas escritas de esta
forma: en la primera es fácil calcular y, cuando e dada a x; en la
segunda, por el contrario, no conocemos un método para calcular el
valor de y a partir de la x.
Se puede describir este segundo problema, decimos que se debe
expresar la masa x en la forma de una potencia de con base ½, este
es, se debe determinar el exponente y que asignado a la base ½ en
modo de la potencia (1/2)
Y
de cómo resultado x.
Esta larga oración escrita arriba se sintetiza en el término logaritmo.
Esta “extraña” palabra, introducidaa finales de 1500 por el
matemático ingles John Napier (conocido con el nombre latinizado de
Nepero o Neper), viene del griego logos-arytmòs y significa “número
de proporción”, como ya dijimos en la introducción histórica (pag.
205).
Así, en lugar de decir “y es el exponente que asignado a la base ½ en
modo de potencia da como resultado x”, se dice “y es el logaritmo de
base ½ del número x”. Y, en lugar de escribir
x = (1/2)
y

Se escribe
Y = log
1/2
x,
Lo cual se lee, “y es igual el logaritmo de base ½ de x”
(…)
[continúa la exposición]
(traducción libre de Julio Mosquera) (Castelnuovo y otros, 1986, pp.
213-215)

Para más información sobre el carbono 14 y su uso para estimar la edad de la
Tierra puedes visitar la página web educativa venezolana:

http://www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/cienciasTierra/Tema19.html.

Allí encontrarás un artículo muy interesante sobre le tiempo geológico. En el sitio
web Red Escolar Nacional encontrará mucha más información que le puede servir
de fuente de situaciones problemáticas reales.

Resaltamos que en el caso anterior se tiene que la aplicación es presentada como
parte integral de la enseñanza del tema de la función exponencial. Este tercer
enfoque se diferencia pues de los dos primeros en los cuales las aplicaciones
Universidad Nacional Abierta
34
aparecen generalmente al final, en forma de ejercicios, y de manera limitada, y
como motivación para introducir el tema respectivamente.

Actividad 2.3

1. Escoja un libro escolar cualquiera de Matemática para la educación secundaria
(Tercera Etapa de Ecuación Básica y Ecuación Media Diversificad y
Profesional). Revise dicho libro e identifique cuál de los enfoques anteriores
se adopta en ese libro.
2. Elija un tema cualquiera de Matemática de Primer Año de Educación Media
Diversificada y Profesional y haga una lista de posibles campos, o situaciones
problemáticas, en los que se aplique ese tema. ¿Cuál de esos temas
escogería para introducir el tema escogido? Explique.

Otros autores propone el enfoque de la investigación en la enseñanza de las
matemática, por ejemplo Skovsmose (2001). Este enfoque es similar al tercero
de los antes expuestos. En el curso de Didáctica de la Geometría,
específicamente en las unidades 3 y 4, usted tuvo la oportunidad de estudiar
algunas aplicaciones del álgebra y de la trigonometría respectivamente. Allí
introdujimos las ideas de Skovsmose (2001) sobre el enfoque de la
“investigación” en la enseñanza de las matemáticas. Le invitamos a que lea otra
vez esas unidades para refrescar las ideas presentadas en ellas.

En esta lección estudiamos tres enfoques o maneras de introducir las aplicaciones
en la enseñanza de las matemáticas. El primer enfoque se caracteriza por la
proposición de problemas de aplicación, la mayoría de las veces limitados y de
contextos ficticios, después de terminada la presentación del contenido. En el
segundo enfoque las aplicaciones son introducidas al principio de cada tema con
fines de motivar a los estudiantes, pero estas no forman una parte integral de la
enseñanza del contenido. Por último, en el tercer enfoque, las aplicaciones
juegan un papel integral en la enseñanza del contenido, son más que algo
accesorio o con fines de motivación. Este último enfoque resulta ser muy
exigente para el profesor, sin embargo, al final de este curso esperamos que
usted esté mejor preparado o preparada para asumirlo y maneje información
sobre fuentes documentales que le pueden ser de ayuda para su adopción y
puesta en practica en el aula.

Referencias

Brett C., E. (2006). Actividades de Matemática II Cs. C.D. Caracas: El Autor.

Castelnuovo, E., Gori Giorgi, C. y Valenti, D. (1986). La scienza. La matematica
nella realidad 3. Scandicci, Italia: La Nuova Italia.

Suárez Bracho, E. y Durán Cepeda, D. (2002). Matemática 8. Caracas:
Santillana.

Unidad 3
Ciclo de aplicación de las matemáticas

Objetivo: Explicar el ciclo de la aplicación de las matemáticas.

36
Lección 3

Esta Unidad está dividida en dos lecciones. En esta primera lección estudiaremos
algunos ejemplos de cómo se modela matemáticamente una situación
determinada. Los ejemplos en cuestión fueron escogidos por su sencillez y sólo
pretendemos que le sirvan para comprender el proceso de modelaje. En la
siguiente lección entraremos a considerar diversas maneras de caracterizar el
ciclo de la aplicación de las matemáticas o ciclo de modelaje.

Como señalamos arriba, recurrimos a dos ejemplos sencillos para ilustrar el
proceso de modelaje matemático. El primer ejemplo lo tomamos de la
agricultura. Supongamos que estamos interesados en sembrar tomates en un
huerto familiar. Contamos para tal fin con un terreno plano de la forma y
dimensiones como se indica en la Figura 3.1.

Figura 3.1

En primera instancia, tenemos que el dibujo en la Figura 3.1 es un modelo de la
realidad, porque no tenemos el terreno frente a nosotros sino una representación
geométrica (matemática) del mismo. Nuestra situación de partida ya es una
representación matemática de la realidad, un modelo de nuestro terreno. A
partir de esta situación plantearemos una solución al problema propuesto.

Producto de la experiencia y la investigación sobre la siembra de tomates se ha
logrado establecer un conjunto de datos que nos permiten sembrar dichas
plantas de manera que mejore su producción. En la Tabla 3.1 se muestran esos
datos. Esta información es válida sólo para el caso específico de los tomates.

Hasta ahora tenemos dos tipos de información: a) las magnitudes y la forma del
terreno y b) un conjunto de datos sobre la siembra de plantas de tomate. La
información del primer tipo podríamos llamarla parámetros, porque estos se
mantienen fijos para el caso particular del terreno considerado. Mientras que la
información del segundo tipo son constantes, porque estas se mantienen fijas
para el caso de las plantas de tomate independientemente de las magnitudes y
forma del terreno donde se sembren.

5 m
4 m
6 m
5,5 m
Matemáticas y Ciencias
37
Como veremos en lecciones siguientes, la identificación de las constantes y los
parámetros en una situación determinada es muy importante para la
construcción de un modelo matemático.

Distancia entre plantas: 50 cm.
Distancia entre líneas: 100 cm.
Profundidad de Siembra: 1,5 cm
Número de semillas por gramo: 400
Metros de surco sugeridos para una familia
de 4 o 5 personas: 15 m
Tiempo para cosechar: 80 a 100 días
Fuente: Adaptado de Huerta y jardinero. Semillas y siembra (2006)
Tabla 3.1

Considerando toda la información dada anteriormente, realice la Actividad 3.1.

Actividad 3.1
1. ¿Es posible sembrar en el terreno dado el número de plantas de tomate
suficiente para proveer a 20 personas?
2. ¿Cuál es el número máximo de personas que se podrían beneficiar
aprovechando eficientemente el terreno dado?
3. Dibuje tres maneras diferentes en las que se podrían sembrar las plantas de
tomate en el terreno dado.
4. Invente una pregunta o problema sobre la situación planteada.

Revisemos aquello que hemos hecho hasta ahora. Partimos de una situación real
representada geométricamente y de un conjunto de datos dados previamente
conocidos sobre la situación de nuestro interés. Distinguimos ente constantes y
parámetros, paso muy importante en el proceso de aplicación de las
matemáticas. Una vez comprendida la situación y las preguntas propuestas
procedimos a responder estas últimas.

La situación considerada anteriormente es, en cierta forma, estática. En ella no
tenemos cosas en movimiento o procesos. A continuación estudiaremos un caso
donde nos encontramos con magnitudes variables. Este ejemplo es tomado de
Edwards y Mason (1989).

Primero describiremos la situación problemática. ¿Cuántos carros pasan a través