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Adaptación de asignaturas con contenidos de aplicaciones biomatemáticas al
EEES: Coordinación Interdisciplinar
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Adaptación de asignaturas con contenidos de aplicaciones biomatemáticas al EEES: 
Coordinación Interdisciplinar 
Ana M. Abril, Juan Navas, Irene de la Haza, Francisco J. Esteban 
 
Resumen 
La adaptación de asignaturas de las diferentes titulaciones universitarias al 
Espacio Europeo de Educación Superior (EEES) es una necesidad que hoy día deben de 
afrontar las universidades españolas. Por otro lado, recientemente se ha llevado a cabo 
la Evaluación institucional en la Titulación de Licenciado en Biología de la Universidad 
de Jaén dentro del Plan Andaluz de Calidad de las Universidades; entre sus puntos 
débiles, propuestos en el autoinforme, se detectó la falta de coordinación entre los 
programas de las asignaturas. Es por ello que esta Universidad, y en concreto nuestro 
grupo de investigación, se encuentra inmerso en la adaptación de ciertas asignaturas de 
la Titulación de Licenciado en Biología al EEES, principalmente aquellas que requieren 
una especial coordinación interdisciplinar. 
En el segundo ciclo de la Titulación de Licenciado en Biología se imparten 
diferentes materias en las que subyace una metodología y abordaje común: aplicaciones 
biomatemáticas. Dada la dificultad intrínseca del razonamiento abstracto matemático, el 
profesorado participante en la docencia de las mismas, junto a un grupo de estudiantes 
colaboradores, ha considerado oportuno plantear un Proyecto de Innovación Docente 
basado en la coordinación de las aplicaciones biomatemáticas en las áreas de 
conocimiento propias de dichas materias: Biología Animal y Vegetal, Biología Celular 
e Histología (Ingeniería Tisular), Bioquímica y Biología Molecular, Ecología y 
Genética. 
Así pues, hemos llevado a cabo la creación de un Grupo de Trabajo 
Interdisciplinar que ha coordinado los contenidos biomatemáticos afines de las 
asignaturas de estas áreas, desarrollando toda una serie de modelos biológicos en los 
que se ha apostado por la interdisciplinariedad como método para fomentar la 
coordinación de los programas de las asignaturas y su adaptación al EEES. 
 
Introducción 
La adaptación de asignaturas al EEES es una tarea a afrontar desde todas las 
Universidades españolas. En la Universidad de Jaén, nuestro grupo de investigación está 
 1
principalmente interesado en aquellas materias que requieren una especial coordinación 
por ser impartidas por diferentes profesores, de varios departamentos incluso situados 
en distintas Facultades. Apostando por un carácter interdisciplinar a través de un 
aprendizaje basado en problemas, este grupo de investigación intenta fomentar la 
flexibilidad, la interdisciplinariedad y la transversalidad de los currículos, características 
esencialesque propugna el EEES. 
La definición más simplista de la interdisciplinaridad podría resumirse como 
“interacción entre dos o más disciplinas”, pero este punto de vista es extremadamente 
naïf y podría llevarnos a error. Además de una interacción entre las disciplinas debe de 
existir intercomunicación y enriquecimiento recíproco entre ellas. En los actuales 
currículos oficiales de nuestro país, tras el listado de áreas de conocimiento, se incide en 
la necesidad de que los contenidos se deben de incorporar al proceso educativo en un 
enfoque globalizador para así permitir abordar los problemas, situaciones y 
acontecimientos dentro de un contexto y en su totalidad. 
Muchos autores a lo largo de las últimas décadas han planteado diferentes 
formas de aplicar la interdisciplinaridad para que ésta fuese más eficaz en el aula. 
Follari (1980) señaló dos modalidades básicas de interdisciplinaridad, una más enfocada 
a la conformación de un nuevo objeto teórico entre dos ciencias previas, y una segunda 
basada en aplicar a un mismo objeto práctico elementos teóricos de diferentes 
disciplinas; es esta segunda forma de ver la interdisciplinaridad la que muchos autores 
posteriores han apoyado y la que creemos puede ser la manera de hacer coincidir las 
diferentes disciplinas alrededor de un mismo contenido concreto y así ser más 
productiva en el aula. 
El alcance de la aplicación de la interdisciplinaridad es tal que algunos autores 
aseguran que ésta es uno de los medios para que todos accedan al saber global, y por 
tanto para que una sociedad sea libre (Arana, 2001). Es importante que los curriculos 
oficiales incluyan e insistan sobre la necesidad de la interdisciplinaridad, así como que 
la comunidad científica se plantee su significado concreto, definición o formas de 
desarrollarla. Pero para que la interdisciplinaridad y la globalización del curriculo sea 
un hecho, además y sobre todo se necesita que el profesorado esté dispuesto a llevarlo a 
cabo y plasmarlo en el aula. 
Está claro que existen limitaciones y dificultades y que éstas vienen ya impresas 
en el currículo oficial puesto que éste tiende a presentar el conocimiento dividido en 
compartimentos disciplinares estancos, además de las dificultades propias de los 
comportamientos de los especialistas académicos, muchos de los cuales pueden ver el 
hecho de la interdisciplinaridad como una intromisión en su campo de conocimiento y 
de aceptarla, suele ser a partir de un saber centrado en la disciplina que ellos dominan 
(nada más lejano de la idea que nos ocupa). 
En la Universidad de Jaén, se imparte la titulación de Licenciado en Biología en 
cuatro cursos académicos. A lo largo de los tres primeros (aunque fundamentalmente en 
tercero) se imparten diferentes asignaturas que, aunque presentan contenidos muy 
distintos, y a su vez necesarios, para la formación integral de un/a Biólogo/a, en ellas 
 2
subyace una metodología y abordaje común: las aplicaciones biomatemáticas; por otro 
lado, en esta misma licenciatura, en el último año, se cursa la asignatura troncal 
Modelos Matemáticos en Biología. Hasta ahora, todas las asignaturas de los primeros 
cursos se abordaban por separado sin prácticamente ninguna relación entre el 
profesorado que las desarrollaba, ni por supuesto existía relación con la asignatura de 
cuarto. Pero la realidad es que a lo largo de los primeros cursos de la titulación se 
muestran al alumnado diferentes aplicaciones matemáticas en cada una de las 
asignaturas que pueden utilizarse en la asignatura de Modelos Matemáticos en Biología 
del último curso de la licenciatura de manera que se debieran de integrar los 
conocimientos adquiridos por el alumnado a lo largo de los tres cursos anteriores. 
De esta manera, y dada la base común, así como la dificultad intrínseca del 
razonamiento abstracto matemático, el profesorado que participa en la docencia de las 
asignaturas con contenidos en aplicaciones biomatemáticas (Bioquímica y Biología 
Molecular, Biología Celular e Histología Aplicada, Genética Aplicada, Genética de 
Poblaciones, Geobotánica, Gestión de Pesca Continental y Caza, y Parasitología 
Animal, Metodología de Evaluación de Ecosistemas, Pastos y Forrajes y Modelos 
Matemáticos en Biología) ha considerado oportuno el planteamiento de un Proyecto de 
Innovación Docente basado en la coordinación de las aplicaciones matemáticas en los 
campos de conocimiento propios de dichas materias. 
Todo este proyecto está apoyado por el hecho de que en el Informe de 
Autoevaluación de la Titulación de Licenciado en Biología de la Universidad de Jaén 
(http://www.ujaen.es/centros/facexp/titulaciones/evaluacion%20biol.htm) el Comité de 
Evaluación Interno, y dentro del criterio de evaluación de Planificación de la 
Enseñanza, ha detectado una falta de coordinación entre los programas de las 
asignaturas, especialmente en el caso de asignaturas afines de cursos diferentes. A 
continuación se reproduce literalmente parte del subcriterio correspondiente al 
Programa de Formación, y se remarcan los puntos referentes a la falta de coordinación 
en el informe: 
2.2.4 No existen procedimientos escritos para coordinar los programas de las 
asignaturas. En todos los casos, sin embargo, los profesores implicados en una misma 
asignatura coordinan la programación, por lo que no se detectan discrepancias entre 
programas de la misma asignatura para diferentes grupos. De hecho, hay un solo 
programa publicado para cada asignatura. En cuanto a la coordinación de asignaturas 
diferentes, sólo llega al aprobado, según los profesores, en el caso de asignaturas del 
mismo curso (evidencia nº 19), pero suspende según el mismo sector en el caso de 
asignaturas afines de cursos diferentes. También los alumnos dan algo más de un 2 
sobre 5 a este aspecto (evidencia nº 17). Desde el curso 2004-05 existe la figura de 
Tutor de Titulación, dentro de cuyas competencias (Artículo 13 de la Normativa del 
Gabinete de Orientación Universitaria de la UJA), está el estudio de los programas de 
las asignaturas ofertadas y la bibliografía, con vistas a armonizarlos. Sin embargo, 
sería deseable un protocolo más detallado, que incluyera una coordinación 
interdepartamental, con reuniones y actas. 
PUNTO DÉBIL 
 3
2.2.4 No existen procedimientos escritos para coordinar los programas de las 
asignaturas. 
ACCIÓN DE MEJORA 
2.2.4 Creación de una Comisión que evalúe la coordinación de los programas de las 
asignaturas. 
 
Por todo lo anteriormente expuesto, en este trabajo se plantearon como objetivos 
la creación de un grupo de trabajo interdisciplinar que desarrollara y coordinara los 
contenidos afines de asignaturas que incluían aplicaciones Biomatemáticas. Además se 
propuso incluir dichos contenidos en la plataforma web de la Universidad de Jaén, de 
modo que quedasen a disposición de profesorado y estudiantes de las diferentes 
asignaturas implicadas. 
 
Metodología 
El proyecto se ha centrado en el desarrollo de contenidos comunes de aplicación 
entre la asignatura Modelos Matemáticos en Biología y cada una de las demás 
asignaturas participantes que forman parte de los tres primeros cursos de la Titulación 
de Licenciado en Biología de la Universidad de Jaén. 
A continuación se muestran los modelos matemáticos básicos desarrollados a lo 
largo de este Proyecto de Innovación, relacionados con las Áreas de conocimiento o 
asignaturas implicadas. 
 Dimensión Fractal: Histología Aplicada; Biología Celular; Bioquímica y 
Biología Molecular; Pastos y Forrajes. 
 Modelos Matriciales: 
• Cadenas de Markov: Biología Celular; Bioquímica y Biología Molecular; 
Genética Aplicada; Genética de Poblaciones. 
• Matrices de Leslie: Gestión de Pesca Continental y Caza; Ecología de 
Poblaciones; Genética de Poblaciones; Metodología de Evaluación de 
Ecosistemas. 
 4
• Otros sistemas matriciales: Metodología de Evaluación de Ecosistemas; 
Geobotánica; Pastos y Forrajes. 
 Dinámica de Sistemas: Biología Celular; Bioquímica y BiologíaMolecular; 
Histología Aplicada; Genética de Poblaciones; Ecología de Poblaciones; 
Manejo de Fauna; Metodología de Evaluación de Ecosistemas; Parasitología 
Animal. 
Los ejemplos concretos que se han utilizado para desarrollar los modelos 
(detallados en el apartado de Resultados) se han seleccionado a lo largo de diferentes 
reuniones periódicas del grupo de trabajo formado por profesores y estudiantes sobre la 
base de los previamente utilizados de modo particular en cada una de las materias. Se ha 
planteado la oportunidad de desarrollo de todos ellos y se seleccionaron sólo aquellos 
que aportaban carácter y coherencia interdisciplinar; se ha tenido en cuenta 
especialmente la opinión de los estudiantes que ya habían cursado las asignaturas objeto 
de coordinación. 
Una vez seleccionados los ejemplos pertinentes, el profesorado responsable de 
cada asignatura sobre la que se iban a aplicar, ha planteado el enunciado del problema y 
su posible resolución desde la perspectiva propia de su materia. Posteriormente el 
profesorado de la asignatura de Modelos Matemáticos en Biología ha realizado un 
abordaje desde el punto de vista matemático con el objetivo de extraer del mismo los 
parámetros de aplicación biológica y de obtención de implicaciones teóricas del modelo. 
Los programas más utilizados para el desarrollo de los ejemplos han sido 
Vensim®, Populus® y Mathemática®. 
Por último, se hizo una nueva puesta en común y se redactó la versión definitiva 
del enunciado y su posible resolución interdisciplinar e integradora. Todo el trabajo 
realizado ha generado un manual que se encuentra disponible en papel y en versión 
digital y que ha sido puesto a disposición de todo el profesorado que ha participado en 
la experiencia. Además, se ha confeccionado una página web (disponible en la dirección 
http://biosystems.ujaen.es/biomath/) donde el alumnado de la Universidad de Jaén 
tienen acceso a todo el material adecuadamente clasificado. 
 
Resultados 
Desde el punto de vista didáctico el diseño y puesta en marcha de este Proyecto de 
Innovación ha supuesto el desarrollo de metodologías docentes innovadoras en la 
Universidad de Jaén. 
 5
En primer lugar, el profesorado dispuesto a participar en esta experiencia ha 
dejado clara su implicación en la mejora del proceso de enseñanza-aprendizaje en la 
universidad aportando un carácter interdisciplinar al proyecto; esta disposición a la 
integración de conocimientos no es obvia, ya que como se comentó en la introducción, 
pocos son todavía los profesionales de la educación dispuestos a parecer vulnerables 
ante el alumnado por el hecho de disminuir la territorialidad de cada disciplina. De más 
está decir que esta vulnerabilidad no es más que un falso supuesto, ya que el rol de 
experto sigue estando bien asentado por su papel de profesional que prepara los 
objetivos de aprendizaje, los materiales, la orientación al alumnado, la evaluación, etc. 
En segundo lugar, el hecho de dejar accesibles a través de internet los diferentes 
modelos matemáticos para que todo aquel docente que lo desee pueda utilizarlos hace 
de éste un proyecto que intenta llegar a una gran mayoría de profesionales, no sólo de la 
Universidad de Jaén, sino de cualquier parte del mundo. Por último, el alumnado que 
este curso académico 2005/2006 ha estudiado Modelos Matemáticos en Biología, se ha 
encontrado con una asignatura con un carácter eminentemente práctica, basada en 
ejemplos extraídos de la vida real en su contexto biológico y en correspondencia con los 
presentados en gran parte de las asignaturas de los años anteriores. Con frecuencia los 
profesores de la asignatura de Modelos Matemáticos en Biología han sido acompañados 
en el desarrollo de las clases de algún profesor participante en el Proyecto de 
Innovación quien ha aportado un punto de vista más cercano a la Biología y 
complementario al análisis matemático del problema en estudio. 
Desde el punto de vista de desarrollo de modelos matemáticos para biología los 
resultados son evidentes. Se han recopilado una gran cantidad y variedad de modelos 
discretos y continuos correspondientes a cada uno de los temas del programa y que 
aparecen diseminados en el resto de las materias que han participado en la experiencia. 
Para mayor organización, los modelos matemáticos analizados se han agrupado 
por grandes Áreas de conocimiento: 
Modelos matemáticos en Biología Experimental: 
• Actividad de un ionóforo 
• Sinapsis espontánea 
• Modelo neuronal de Fitzhugh-Nagumo 
• Modelo Wright-Fisher de la deriva genética 
• Herencia autonómica 
• Cinética enzimática de Michaelis-Menten 
• Dimensión fractal de células de astrocitoma 
Modelos matemáticos en Biología Animal, Biología Vegetal y Ecología: 
• Tablas de vida de Thar 
 6
• Evolución de una cohorte 
• Crecimiento vegetal estructurado 
• Dinámica de claros y sucesión forestal 
• Dinámica presa-depredador 
• Dinámica parásito-hospedador 
• Ecología de una reserva natural 
• Dimensión fractal en Ecología de Paisajes 
Modelos Matemáticos en Biomedicina: 
• Evasión Glioma-Inmune 
• Ingeniería tisular de cartílago 
• Interacción osteocitos-osteoblastos en remodelación ósea 
• Dinámica Glucosa-Insulina 
• Infección vial 
• Acumulación de plomo en tejidos 
• Dimensión fractal en Alzheimer 
• Dimensión fractal en Esclerosis Múltiple 
 
En los últimos años han sido numerosos los modelos matemáticos propuestos 
para estudiar la evolución de determinados sistemas. Entendemos como sistema a un 
conjunto de elementos junto con las leyes que lo gobiernan. Si el sistema evoluciona 
con el tiempo, recibe el nombre de sistema dinámico. Básicamente, un modelo 
matemático es un conjunto de ecuaciones que representan e interpretan el 
comportamiento de un sistema dinámico. A principios de los años setenta el ingeniero y 
matemático del Instituto Tecnológico de Massachusset Jay Forrester propuso una nueva 
metodología para analizar los Sistemas Dinámicos basada en conceptos mecánicos tales 
como niveles, fujos y mecanismos de retroalimentación. Con ayuda de sus 
colaboradores diseñaron un programa de ordenador, conocido con el nombre de Stella, 
que facilita la confección y análisis de los modelos. Con esta técnica los aspectos 
puramente matemáticos pasan a un segundo plano, y por tanto, la clave está en detectar 
las variables que intervienen en el modelo así como la manera en la que éstas se 
relacionan. Finalmente, con todo ello, se elabora un diagrama conocido con el nombre 
de diagrama causal o de Forrester que se puede visualizar con Vensim (programa 
similar a Stella) y que se distribuye de forma gratuita en http://www.vensim.com 
 7
Muchos de los modelos abordados han sido extraídos y adaptados de diferentes 
fuentes bibliográficas, algunos otros, como por ejemplo el modelo Evasión Glioma-
Inmune, han sido totalmente generados por algunos miembros del grupo de 
investigación. Este último modelo se detalla a continuación, resumido y adaptado de 
Navas y otros, 2005. 
Como ya se ha mencionado, existen diferentes modelos que pueden explicar la 
evolución de determinados sistemas, y el modelo Evasión Glioma-Inmune intenta 
explicar la evolución de células cancerosas. Estos modelos en concreto han crecido en 
diversidad y dificultad dependiendo del tejido donde esté localizado el tumor y la etapa 
de crecimiento en que se encuentra. Sin embargo, en una primera fase su volumen, o el 
número de células cancerosas, puede modelarse haciendo uso de los modelos más 
elementales de crecimiento de poblaciones, como son el modelo logístico o el de 
Gompertz. En los modelos elementales de crecimiento tumoral sólo se tiene en cuenta la 
población de células tumorales. Sin embargo, se pueden construir modelos más realistas 
introduciendo la respuesta del sistema inmune a las células cancerosas, llevada a cabo 
por células asesinas de diversos tipos, como son los linfocitos T citotóxicos y 
macrófagos asociados a los tumores. Esta nueva poblaciónde células inmunes realizan 
un efecto depredador sobre las células tumorales. Son muchos los modelos que 
describen la evolución de estas dos poblaciones, gran parte de ellos basados en el 
modelo clásico presa - depredador o de Lotka - Volterrra. 
En un modelo elemental para estudiar la evolución de las dos poblaciones de 
células (tumorales e inmunes), se supone, en primer lugar, que el número de células 
inmunes es constante. Además, en ausencia de células inmunes la población de células 
tumorales se desarrolla según un modelo que tiene en cuenta la tasa de crecimiento y la 
capacidad de carga del sistema. Cuando entra en juego la población de células inmunes, 
se produce la depredación y el ritmo de crecimiento del tumor disminuye según una 
expresión matemática. El modelo también considera la intensidad con que las células 
inmunes eliminarán a las células tumorales. 
Pero este modelo presenta el inconveniente de suponer que el número de células 
inmune es constante; son muy variadas las hipótesis que se establecen sobre el ritmo de 
crecimiento de la población de células inmunes, dando lugar a distintas ecuaciones 
diferenciales; en el modelo que aquí se presenta se ha utilizado una ecuación diferencial 
(Ortega, 1999) que tiene en cuenta la velocidad de creación de células citolíticas por el 
sistema inmune, el coeficiente de eliminación de dichas células así como el coeficiente 
de depredación que gobierna la acción del tumor sobre las células inmunes. Por último 
el modelo Evasión Glioma-Inmune también ha tenido en cuenta el retardo de la 
respuesta del sistema inmunológico ante la aparición de células tumorales. 
Este y todos los demás modelos matemáticos se encuentran accesibles en la 
página web http://biosystems.ujaen.es/biomath/; en caso de estar interesado/a, puede 
solicitar la contraseña mandando un e-mail a festeban@ujaen.es. 
 8
 
Conclusiones 
En primer lugar, a nivel de la Universidad, creemos que el diseño y puesta en 
marcha del Proyecto de Innovación que aquí se presenta ha sido muy positivo, 
principalmente por hacer realidad una propuesta de mejora emanada del proceso de 
Evaluación institucional que ha llevado a cabo el Comité de Evaluación Interno, 
enmarcada dentro del criterio de evaluación de Planificación de la Enseñanza. Con este 
proyecto se ha llevado a cabo la coordinación entre programas de asignaturas afines de 
cursos diferentes impartidas por profesorado diferente, de distintos Departamentos, e 
incluso Facultades. 
En segundo lugar, se aporta un enfoque integrador a nivel de Titulación por 
hacer de una asignatura de cuarto curso, como es Modelos Matemáticos en Biología, el 
aglutinante perfecto que puede hacer que las aplicaciones matemáticas vistas en cursos 
anteriores resulten en algo cohesionando. 
Con respecto al profesorado, se ha conseguido su implicación personal en 
proyectos para la mejora de los procesos de enseñanza-aprendizaje, apostando por la 
interdisciplinariedad y comenzando así la adaptación de algunas asignaturas 
universitarias al Espacio Europeo de Educación Superior. 
Por último, en lo que respecta a los materiales, se ha conseguido unificar la 
nomenclatura, utilizar los mismos conceptos, y usar una misma metodología de estudio 
basada en la Dinámica de Sistemas, lo cual nos ha permitido ofrecer a nuestro alumnado 
una visión más global de las materias impartidas por el profesorado implicado en este 
Proyecto de Innovación. 
 
Bibliografía 
Arana, J. Seminario impartido en Palencia el 5 de abril de 2001. 
http://www.unav.es/gep/PosibleInterdiscip.html 
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