INVESTIGACIÓN_OPERATIVA_PROGRAMACIÓN_LINEAL,_PROBLEMAS_RESUELTOS

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Autor:
Valencia Nuñez Edison Roberto
INVESTIGACIÓN
OPERATIVA
PROGRAMACIÓN LINEAL,
PROBLEMAS RESUELTOS CON
SOLUCIONES DETALLADAS.
Dr. Galo Naranjo López
RECTOR
Dra. Adriana Reinoso Núñez
VICERRECTORA ACADÉMICA
Ing. Jorge León Mantilla
VICERRECTOR ADMINISTRATIVO 
TÍTULO DE OBRA: INVESTIGACIÓN OPERATIVA. Programación lineal, problemas
ISBN: 978-9978-978-38-2
Autor:
Valencia Roberto
Diseño y diagramación: 
MEGAGRAF
Coautor:
Hidalgo Claudio
Impresión: 
MEGAGRAF-Ambato 
Primera Edición, 2018
Tiraje de 500 ejemplares
CONSEJO EDITORIAL UNIVERSITARIO
Adriana Reinoso Núñez 
PRESIDENTA
Av. Colombia 02-11 y Chile (Cdla. Ingahurco)
Teléfono: 593 (03) 2521-081 / 2822-960
Fax: 593 (03) 2521-084 
www.uta.edu.ec
Información editorial: editorial@uta.edu.ec
La edición de este libro se da de conformidad a los literales c) y e) del Art. 6.- Atribuciones, DEL REGLAMENTO 
PARA LA ELABORACIÓN Y PUBLICACIÓN DE OBRAS O DOCUMENTOS ACADÉMICOS Y/O CIENTÍFICOS; Y, 
PARA EL FUNCIONAMIENTO DEL CONSEJO EDITORIAL UNIVERSITARIO DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA DE 
AMBATO. Y en aplicación al numeral 1, del literal a) del Art. 71.- De las obras publicadas, DEL REGLAMENTO 
CARRERA Y ESCALAFÓN DEL PROFESOR E INVESTIGADOR DEL SISTEMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
resueltos con soluciones detalladas.
INVESTIGACIÓN
OPERATIVA
Programación lineal, problemas
resueltos con soluciones detalladas.
Docente de la Universidad Técnica de Ambato a nivel de grado 
y posgrado a tiempo completo, en la Facultad de Ingeniería en 
Sistemas Electrónica e Industrial, Facultad de Contabilidad y 
Auditoría y Facultad de Administración, desde marzo del 2010.
PhD(c). En Estadística, Universidad del Rosario – Argentina. 
Máster Universitario en Estadística Aplicada, Universidad de 
Granada – España. Magister en Matemáticas, Instituto Politécni-
co Nacional – México. Magister en Tecnología de la Información 
y Multimedia Educativa, Universidad Técnica de Ambato - 
Ecuador. 20 artículos publicados en bases de datos de alto 
impacto, varias ponencias nacionales e internacionales, 5 libros 
publicados, con revisores de pares externos y con registro 
ISBN, todo esto relacionados con el campo amplio y especifico 
del área de Matemáticas y Estadística.
Profesor de maestrías a nivel nacional, en módulos de Estadísti-
ca, Matemáticas, Producción Científica Investigación, Diseño 
Experimental, y Tecnologías de la información. Módulos 
impartidos a nivel de grado: Estadística Descriptiva, Estadística 
Inferencial, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Investigación 
Operativa, Algebra Lineal, Programación Lineal, Empleo de 
Ntics I (Ofimática), Empleo de Ntics II (web 2.0), Comercio 
Electrónico, Circuitos Eléctricos, Metrología.
Instructor de cursos nacionales dirigidos a docentes universitarios 
y del magisterio de Educación. Instructor de cursos virtuales 
internacionales. Docente - investigador en proyectos de investi-
gación, desempeñando como: Coordinador e investigador en 
varias áreas multidisciplinarias, investigación especifica: Proce-
samiento y análisis de datos, Minería de datos, Big Data y 
Machine Learning todo esto con software, R-Studio, Stata, 
Minitab, Sas y Spss. También ha desarrollado proyectos de 
vinculación con la colectividad.
Docente Coordinador, guía, tutor y calificador de proyectos de 
investigación a nivel de posgrado. Ha participado en la 
dirección y codirección de tesis de posgrado y grado.
Coordinador de la Comisión de Seguimiento a Graduados y 
Bolsa de Empleo en la Facultad de Contabilidad y Auditoría de 
la Universidad Técnica de Ambato desde marzo del 2012 con 
resolución FCAUD-CD-549-2012, hasta agosto del 2018.
LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN: ESTADÍSTICA MULTIVARIANTE Y 
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA.
EDISON ROBERTO
VALENCIA NUÑEZ
email:
edisonrvalencia@uta.edu.ec
cristalizacionrobert@gmail.com
profemaestriarv@gmail.com
Contacto: 0998266715
AMBATO - ECUADOR
Agosto del 2018
CARÁTULA Presentación 
I.O. 
Roberto Valencia Página 7
INVESTIGACIÓN 
OPERATIVA 
1 . INVESTIGACIÓN OPERATIVA 
2 . PROGRAMACIÓN LINEAL 
3 . MODELOS DE TRANSPORTE 
4 . MODELOS DE REDES 
5 . SOFTWARE DE APLICACIÓN 
 
ROBERTO VALENCIA NUÑEZ
CLAUDIO HIDALGO
AMBATO - ECUADOR
CARÁTULA Presentación 
I.O. 
Roberto Valencia Página 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La Investigación de Operaciones (IO) o Investigación 
Operativa es una rama de las matemáticas que usa modelos 
matemáticos y algoritmos como apoyo para mejorar la 
toma de decisiones y determinar la solución óptima. Se 
busca que las soluciones obtenidas sean más eficientes (en 
tiempo, recursos, beneficios, costos; entre otros) en 
comparación a aquellas decisiones adoptadas en forma 
intuitiva o sin el apoyo de una herramienta para la toma de 
decisiones. 
Los modelos de Investigación de Operaciones son 
frecuentemente usados para abordar una gran variedad de 
problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias 
sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones 
importantes beneficios y ahorros asociados a su 
utilización. 
 
INTRODUCCIÓN 
INTRODUCCIÓN 
CARÁTULA Presentación 
I.O. 
 
Roberto Valencia Página 10 
 
 
El propósito de aporte es ayudar al estudiante a 
comprender los problemas de programación lineal 
(optimización: maximizar ganancias y minimizar costos), 
modelos de transporte, y modelos de redes, utilizando 
problemas prácticos desarrollados paso a paso de una 
manera didáctica, para la compresión del lector, se ha 
dividido en cuatro partes; primera: una introducción a la 
investigación operativa, en donde se ve específicamente la 
manera práctica de la IO y los pasos que se siguen para la 
toma de decisiones. 
Segunda: programación lineal en donde se detalla de 
manera amplia todos los tipos de soluciones por el método 
gráfico y método simplex, lo que es maximizar ganancias 
y minimizar costos y además problemas de complemento 
utilizando el método dual. 
Tercera: modelos de transporte en donde se presentan 
problemas prácticos detallados con todos los tipos de 
soluciones, cuando la oferta es mayor que la demanda o 
viceversa y, además se aplica el método de los 
multiplicadores para llegar al costo óptimo. 
Cuarta: Modelo de redes en donde se hacen problemas 
prácticos; se numeran todas las actividades con sus 
respectivos tiempos, se realiza la red del proyecto y se 
calcula el tiempo más corto por medio de la ruta crítica. 
PREFACIO
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Indice 
 
Roberto Valencia Página 11 
 .................................................................................................................................15 CAPÍTULO I
1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA ....................................................................................... 16 
1.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 16 
1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA .......................................................... 17 
1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ..................................... 20 
1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS ......................................................................................... 23 
 ................................................................................................................................ 24 CAPÍTULO II
2. PROGRAMACIÓN LINEAL ............................................................................................ 25 
2.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 25 
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL............................ 25 
2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN LINEAL. ................. 26 
2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES ........................................................................26 
2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES.................................................. 29 
2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES ....................................... 31 
2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES ........................................... 33 
2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE INECUACIONES ................ 35 
2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN .................................................................................. 38 
2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN..................... 39 
2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MAXIMIZACIÓN) ........... 41 
2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MINIMIZACIÓN) ........... 47 
2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO .......................................... 50 
2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO ..................................................... 51 
2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA ................................................................. 52 
2.6.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE ACOTADA ........................................................... 63 
2.6.3. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA NO ACOTADA ........................................................... 65 
2.6.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE NO ACOTADA ..................................................... 68 
2.6.5. NINGUNA SOLUCIÓN .......................................................................................... 70 
2.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX ........................................... 74 
2.7.1. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MENOR IGUAL: “≤ “) . 76 
2.7.2. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MAYOR IGUAL: “≥ “) . 87 
2.7.3. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (IGUAL: “ = “) ..... 93 
2.8. MINIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX ................................................................. 96 
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Indice 
 
Roberto Valencia Página 12 
2.9. DEGENERACIÓN, SOLUCIONES NO ACOTADAS, SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLEX EN 
EL MÉTODO SIMPLEX. ............................................................................................... 106 
2.9.1. DEGENERACIÓN ................................................................................................ 107 
2.9.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS ............................................................................ 110 
2.9.3. SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES .................................................................. 111 
2.10. DUALIDAD ................................................................................................................. 115 
2.11. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD ........................................................................................ 127 
2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS ........................................................................................ 132 
2.12.1. RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO .............................................................. 132 
2.12.2. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MAXIMIZACIÓN) .................................. 140 
2.12.3. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MINIMIZACIÓN) ................................... 144 
2.12.4. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX DEGENERACIÓN .................................... 147 
2.12.5. PROBLEMAS DE DUALIDAD ............................................................................... 149 
 ............................................................................................................................. 153 CAPÍTULO III
3. MODELOS DE TRANSPORTE ...................................................................................... 154 
3.1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 154 
3.2. CARACTERÍSTICAS DE UN MODELO DE TRANSPORTE ............................................... 155 
3.3. MÉTODOS PARA CALCULAR EL COSTO INICIAL ......................................................... 157 
3.3.1. MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE ............................................................... 157 
3.3.2. MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO ......................................................................... 161 
3.3.3. MÉTODO DE VOGEL .......................................................................................... 163 
3.4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE DESBALANCEADO ..................................................... 167 
3.4.1. LA DEMANDA MAYOR QUE LA OFERTA ............................................................ 167 
3.4.2. LA OFERTA MAYOR QUE LA DEMANADA .......................................................... 170 
3.5. COSTO ÓPTIMO......................................................................................................... 172 
3.5.1. MÉTODO DEL BANQUILLO ................................................................................ 172 
3.5.2. MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES ............................................................... 173 
3.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EQUILIBRADOS PARA CALCULAR EL COSTO ÓPTIMO 174 
3.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DESBALANCEADOS .................................................... 192 
3.8. MODELOS DE ASIGNACIÓN ....................................................................................... 209 
3.8.1. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN, MINIMIZACIÓN................................................. 210 
3.8.2. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN MAXIMIZACIÓN ................................................. 217 
3.9. PROBLEMAS PROPUESTOS DE TRANSPORTE ............................................................ 223 
3.9.1. PROBLEMAS BALANCEADOS ............................................................................. 223 
3.9.2. PROBLEMAS DESBALANCEADOS ....................................................................... 231 
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Indice 
 
Roberto Valencia Página 13 
 
3.9.3. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN .......................................................................... 236 
 ............................................................................................................................. 241 CAPÍTULO IV
4. MODELOS DE REDES ................................................................................................. 242 
4.1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 242 
4.2. TERMINOLOGÍA DE REDES ........................................................................................ 243 
4.3. REDES PERT ((PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE - TÉCNICA DE 
EVALUACIÓN Y REVISIÓN DE PROGRAMAS).............................................................. 245 
4.3.1. REGLAS PARA CONSTRUIR UN DIAGRAMA PERT .............................................. 245 
4.3.2. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT ......................................................... 248 
4.4. REDES PERT - CÁLCULO DE TIEMPOS ........................................................................ 252 
4.5. MÉTODO CPM (CRITICAL PATH METHOD O MÉTODO DE LA RUTA CRÍTICA) ............ 254 
4.6. DIFERENCIAS ENTRE LOS MÉTODOS PERT Y CPM ..................................................... 256 
4.7. PROBLEMAS RESUELTOS DE REDES PERT-CPM ......................................................... 257 
4.8. PERT – COSTOS ......................................................................................................... 268 
4.9. PROBLEMAS PROPUESTOS PERT-CPM ...................................................................... 271 
 ................................................................................................................................. 282 APÉNDICE
5. APÉNDICE A ............................................................................................................... 283 
5.1. PROGRAMA QM FOR WINDOWS ...................................................................... 2835.2. RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ............................... 288 
5.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE ............................................... 292 
5.4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE REDES PERT-CPM ......................................... 295 
6. APÉNDICE B ............................................................................................................... 300 
6.1. PROGRAMA PHPSIMPLEX EN LA WEB............................................................... 300 
7. APÉNDICE C ............................................................................................................... 305 
7.1. PROGRAMA GEOGEBRA ................................................................................... 305 
 ........................................................................................................................... 315 BIBLIOGRAFÍA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Conceptualización 
 
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 .................................................................................................................................15CAPÍTULO I
1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA ...................................................................................... 16 
1.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 16 
1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA ......................................................... 17 
1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES .................................... 20 
1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS ........................................................................................ 23 
 
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Conceptualización 
 
Roberto Valencia Página 16 
 
CAPÍTULO I 
 
 
1. INVESTIGACIÓN OPERATIVA 
1.1. INTRODUCCIÓN 
1Cuando una persona se enfrenta por vez primera con el término Investigación de Operaciones, 
no suele ser conocedora de las características específicas de esta ciencia ni de su objeto de 
estudio. Además, la Investigación Operativa puede tener componentes muy diversos 
dependiendo de su área de aplicación concreta: Administración de Empresas, Ingeniería u otras. 
El objeto de estudio de la Investigación Operativa es la toma científica de decisiones mediante 
el empleo de técnicas cuantitativas. Es importante tener esta definición clara y, de esta forma, 
nos daremos cuenta de la amplitud de campo de la Investigación Operativa (IO). 
Con frecuencia se ha hecho demasiado hincapié en los modelos de Programación Lineal dentro 
de la Investigación Operativa, lo cual ha dificultado la distinción entre ambos términos. Lo 
cierto es que la Programación Lineal es sólo una parte de la Investigación Operativa aunque, sin 
duda, una de las más importantes. 
 
La Investigación Operativa es una ciencia multidisciplinaria que aparece en muchos campos del 
ámbito industrial, empresarial y de la administración pública. De hecho, con la aparición de la 
Programación Lineal en los años 1940, aparece el sentimiento de dar una cohesión o visión de 
conjunto a todas las técnicas anteriormente enunciadas. Esa visión cohesionada, junto con el 
concepto de sistema, permite la aparición de la Investigación de Operaciones como ciencia. 
 
Las subdivisiones en las que se establece la IO tienen los siguientes elementos en común: 
 Son necesarios amplios conocimientos de matemáticas, es decir, del manejo de muchas 
técnicas matemáticas, aunque con inmediata aplicación a la realidad. 
 Es necesario que, al final de cada problema definido, haya una decisión que tomar. 
 Es preciso definir un modelo que dé cauce a la toma de decisiones. 
 
En el estudio de la Investigación Operativa se puede hacer más énfasis en los aspectos teóricos 
de los modelos matemáticos o bien en los aspectos prácticos. Estudiar de forma exclusiva 
modelos matemáticos, aun siendo importante para la IO, no constituye el principal ejercicio de 
la misma, es necesario verificar la aplicabilidad de los resultados que se deriven de los modelos 
matemáticos. 
 
Por ello, en muchos casos, se hace énfasis en los aspectos prácticos de la IO estableciendo 
puentes con los diversos ámbitos de la gestión empresarial. En este sentido, y con objeto de 
tener una visión precisa para una introducción de las técnicas operativas, se recomienda la 
consulta de los capítulos introductorios de alguno de los manuales cuyos autores son: 
 
1 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf 
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Conceptualización 
 
Roberto Valencia Página 17 
 
 Anderson, D.R., Sweeney, D. J. y Williams, T.A. (2001) (Capítulos 1 y 7) referentes a 
la programación lineal. 
 Hillier, F.S. y Liebermann, G.J. (2001) (Capítulos 1,2 y 3) 
 Hillier, F.S., Hillier, M.S. y Liebermann, G.J. (2000) (Capítulos 1 y 2) referentes a la 
programación lineal. 
 
También a nivel introductorio se pueden visitar algunas de las siguientes páginas web: 
 http://www.informs.org/ Sociedad Americana de Investigación Operativa. 
 http://www.orie.cornell.edu/ Departamento de Investigación Operativa de la 
Universidad de Cornell en Nueva York. 
 http://www.worms.ms.unimelb.edu.au/ Información genérica de la Investigación 
Operativa. 
 
En este sentido, hay que destacar que las técnicas de Investigación Operativa tienen un auge 
inusitado en los Estados Unidos. Algunos de los motivos de este incremento son: 
a) razones históricas. 
b) la cultura empresarial americana. 
c) la dimensión del mercado americano. 
 
En Europa, cada vez se aplican más estas técnicas pero, con frecuencia, con un acento mucho 
más teórico. Entre los países europeos que más aplican las técnicas de la IO se pueden destacar 
los siguientes: Gran Bretaña, Holanda, Francia y Alemania. Con el fenómeno de la 
globalización económica, cada vez son más las empresas multinacionales que emplean técnicas 
de Investigación Operativa para la toma científica de decisiones. 
 
1.2. CONCEPTO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA 
La Investigación Operativa es una disciplina moderna que utiliza modelos matemáticos, 
estadísticos y algoritmos para modelar y resolver problemas complejos, determina la solución 
óptima y mejora la toma de decisiones. Esta materia también recibe el nombre de 
Investigación de Operaciones, Investigación Operacional o Ciencias de la Administración. 
(Hillier & Lieberman, 2010). 
Actualmente la Investigación Operativa incluye gran cantidad de ramas como la Programación 
Lineal, Programación No Lineal, Programación Dinámica, Simulación, Teoría de Colas, 
Teoría de Inventarios, Teoría de Grafos, etc. 
2Aunque su nacimiento como ciencia se establece durante la Segunda Guerra Mundial y debe 
su nombre a las operaciones militares, los verdaderos orígenes de la Investigación 
Operativa se remontan mucho más atrás en el tiempo, hasta el siglo XVII (desde el punto de 
vista matemático). Incluso se puede considerar que el problema de hacer un uso óptimo de los 
recursos disponibles ha existido siempre y con el que la humanidad ha ido tratando a lo largo 
de su historia. Sin embargo el crecimiento de esta ciencia se debe, en su mayor parte, al rápido 
desarrollo de la informática, que ha posibilitado la resolución de problemas en la práctica y la 
 
2 http://www.phpsimplex.com/investigacion_operativa.htm 
http://www.phpsimplex.com/historia.htm
http://www.phpsimplex.com/historia.htm
http://www.phpsimplex.com/investigacion_operativa.htm
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Conceptualización 
 
Roberto Valencia Página 18 
 
obtención de soluciones que de otra forma conllevarían un enorme tiempo de cálculohaciéndolos inviables. 
Debido al gran éxito obtenido por la Investigación Operativa, según Taha (2011) en el campo 
militar, ésta se extendió a otros campos tales como la industria, física, administración, 
informática, ingeniería, economía, estadística y probabilidad, ecología, educación, servicio 
social (p. 850), siendo hoy en día utilizada prácticamente en todas las áreas imaginables donde 
se pretenda mejorar la eficiencia. 
3En la siguiente tabla se pueden observar algunos ejemplos de casos reales de uso de la 
Investigación Operativa por parte de diferentes organizaciones y las ganancias y/o ahorros 
conseguidos a raíz de ello. 
CASOS REALES DE USO DE LA INVESTIGACIÓN OPERATIVA 
 
Organización Aplicación Año Ahorros anuales 
Ministerio 
holandés de 
Infraestructura y 
Medio Ambiente 
(The Netherlands ) 
Desarrollo de la política 
nacional de administración 
del agua, incluyendo mezcla 
de nuevas instalaciones, 
procedimientos de 
operaciones y costes 
1985 $15 millones 
Electrobras/CEPA
L Brasil 
Asignación óptima de 
recursos hidráulicos y 
térmicos en el sistema 
nacional de generación de 
energía 
1986 $43 millones 
United Airlines 
Programación de turnos de 
trabajo en oficinas de reservas 
y aeropuertos para cumplir 
con las necesidades del 
cliente a un costo mínimo 
1986 $6 millones 
CITGO Petroleum 
Corp. 
Optimización de las 
operaciones de refinación y 
de la oferta, distribución y 
comercialización de 
productos 
1987 $70 millones 
Texaco, Inc. 
Optimización de la mezcla de 
ingredientes disponibles para 
que los combustibles 
obtenidos cumplieran con los 
requerimientos de ventas y 
calidad 
1989 $30 millones 
IBM Integración de una red 1990 $20 millones + 
 
3 http://www.phpsimplex.com/casos_reales.htm 
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Conceptualización 
 
Roberto Valencia Página 19 
 
Organización Aplicación Año Ahorros anuales 
nacional de inventario de 
recambios para mejorar el 
apoyo al servicio 
$250 millones en 
menor inventario 
American Airlines 
Diseño de un sistema de 
estructura de precios, 
sobreventas (exceso de 
reservas) y coordinación de 
vuelos para mejorar los 
beneficios 
1992 
$500 millones más 
de ingresos 
AT&T 
Desarrollo de un sistema 
informático en el diseño del 
centro de llamadas para guiar 
a los clientes del negocio 
1993 $750 millones 
Delta Airlines 
Maximización de ganancias a 
partir de la asignación de los 
tipos de aviones en 2.500 
vuelos nacionales en Estados 
Unidos 
1994 $100 millones 
Procter & Gamble 
Rediseño del sistema de 
producción y distribución 
norteamericano para reducir 
costos y mejorar la rapidez de 
llegada al mercado 
1997 $200 millones 
Hewlett-Packard 
Rediseño de tamaño y 
localización de inventarios de 
seguridad en la línea de 
producción de impresoras 
1998 
$280 millones de 
ingreso adicional 
Coca-Cola 
Enterprises (CCE) 
La implementación de un 
modelo de optimización de 
enrutamiento de vehículos 
2005 
El impacto incluye 
un ahorro anual de 
$45 millones. 
Canadian Pacific 
Railway 
Por medio de un modelo 
matemático que permitió 
manejar los horario de 
acuerdo con las necesidades 
del servicio de entrega de 
carga 
2007 Reducir sus costos 
en $285 millones. 
 FUENTE: http://www.phpsimplex.com/casos_reales.htm 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Conceptualización 
 
Roberto Valencia Página 20 
 
1.3. FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Definición del problema.- Descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se 
desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; 
determinar las restricciones del sistema. También hay que tener en cuenta las 
alternativas posibles de decisión y las restricciones para producir una solución 
adecuada. 
 
 
2. Construcción del modelo.- El investigador de operaciones debe decidir el 
modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que 
relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del 
sistema. Los parámetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a 
partir de datos pasados, o ser estimados por medio de algún método estadístico. 
Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o determinístico. El 
modelo puede ser matemático, de simulación o heurístico, dependiendo de la 
complejidad de los cálculos matemáticos que se requieran. 
 
La construcción del modelo matemático de manera general se puede resumir en cuatro 
pasos: 
 
2.1. Identificar las variables de decisión 
Un paso crucial en la construcción de un modelo matemático es determinar aquellos factores 
sobre los que el decidor tiene control, que normalmente se llaman variables de decisión del 
problema. Hay que distinguir entre lo que está a nuestro alcance cambiar (por ejemplo, la 
cantidad de artículos a producir de cada producto o el material a utilizar) de aquello que no 
podemos modificar (como el número de horas de trabajo disponibles o fechas límite a cumplir), 
que normalmente denominaremos parámetros. Según el tipo de problema, lo que a veces es una 
variable de decisión en otros casos puede ser un parámetro o viceversa. 
 
Para identificar las variables de decisión, puede ser útil hacerse las siguientes preguntas: ¿qué es 
lo que hay que decidir? o ¿sobre qué elementos tenemos control? o ¿cuál sería una respuesta 
válida para este caso? 
 
Definición del 
problema 
Construcción del 
modelo 
Solución del 
modelo 
Validación del 
modelo 
Implantación de 
la solución 
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Conceptualización 
 
Roberto Valencia Página 21 
 
2.2. Identificar la función objetivo 
El objetivo de la mayoría de los estudios de IO, y el de todos los modelos de optimización, es 
encontrar el modo de optimizar alguna medida respetando las restricciones existentes. Aunque 
una compañía quizás esté satisfecha con una mejora sustancial de la situación actual, 
normalmente el objetivo es buscar el valor óptimo para cierta función. 
A la hora de encontrar la función objetivo, la pregunta que podemos hacemos es ¿qué es lo que 
queremos conseguir? o si yo fuera el jefe de esta empresa, ¿qué me interesaría más? 
 
2.3. Identificar las restricciones 
En la búsqueda de la solución óptima, normalmente existen ciertas restricciones (prohibiciones, 
requisitos) que acorta nuestra decisión. Ejemplos de estas condiciones frecuentes son: los 
recursos disponibles (trabajadores, máquinas, material, etc.) son limitados; fechas límite 
impuestas por los contratos; obstáculos impuestos por la naturaleza del problema (por ejemplo: 
el flujo de entrada a un nodo debe ser igual al flujo de salida). 
 
2.4. Traducir los elementos anteriores a un modelo matemático 
Una vez identificados los elementos básicos hay que expresarlos matemáticamente. Siguiendo el 
orden de pensamiento de los autores Hiller & Liberman (2010) que explica que, se lo hará 
dependiendo de la naturaleza de las funciones matemáticas, el modelo será de un tipo u otro; por 
ejemplo, si todas ellas son lineales, el problema será de Programación Lineal; si existe más de 
una función objetivo, será de programación multicriterio. 
3. Solución del modelo.- Una vez que se tiene el modelo, se procede a resolver el 
problema aplicando las técnicas matemáticas del método gráfico o simplex, de esta 
manera llegamos a la solución óptima del problema. Debemos tener en cuenta que las 
soluciones que se obtienen en este punto del proceso, son matemáticos y debemos 
interpretarlas en el mundo real. Además, para la solución del modelo, se deben realizar 
análisis de sensibilidad, es decir, ver cómo se comporta el modelo a cambios en las 
especificaciones y parámetros del sistema. Esto se hace, debido a que los parámetros nonecesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas. 
 
 
4. La validación del modelo.- La validación de un modelo requiere que se determine si 
dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un método 
común para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del 
sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del sistema. Pero como 
no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema continúe replicando el 
comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar atentos de cambios posibles 
del sistema con el tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo. 
 
5. La Implantación De La Solución.- Consiste en traducir los resultados del modelo 
validado en instrucciones para el usuario o los ejecutivos responsables que serán los que 
tomen las decisiones.4 
 
4http://invdeop.wordpress.com/2011/04/07/fases-de-la-investigacion-de-operaciones/ 
http://invdeop.wordpress.com/2011/04/07/fases-de-la-investigacion-de-operaciones/
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Conceptualización 
 
Roberto Valencia Página 22 
 
 
 
 
 
 
La comunicación efectiva de los resultados de un estudio es esencial para el éxito del mismo. La 
utilidad del análisis será nula si las personas que toman las decisiones no aprecian totalmente su 
valor. Los decisores deben comprender completamente el enfoque del analista, las hipótesis y 
simplificaciones que se han hecho, y la lógica en la recomendación. Las presentaciones orales 
(utilizando transparencias, videos o software especializado) y los informes son formas 
tradicionales para la comunicación. 
 
 
APLICACIÓN 
Interpretar la solución. Aplicar la solución. 
SOLUCIÓN 
Resolver el problema matemático 
FORMULACIÓN 
Formular el problema real 
Supuestos y variables del 
problema 
Formular el modelo 
matematico 
CAPÍTULO I Investigación Operativa 
Problemas Propuestos 
 
Roberto Valencia Página 23 
 
1.4. PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
a) Defina ¿qué es la Investigación Operativa? 
b) ¿Cuáles son los elementos en común de la Investigación Operativa? 
c) ¿Cuáles son los motivos del auge de la Investigación Operativa? 
d) ¿En qué circunstancia y país nace la Investigación Operativa? 
e) ¿Qué ramas incluye la Investigación Operativa? 
f) Citar siete ejemplos de casos reales de la Investigación Operativa. 
g) ¿Cuáles son las fases de estudio de la Investigación Operativa? 
h) Describa la solución del modelo. 
i) Realizar un resumen del Capitulo1 en SmartArt. 
j) Realizar una presentación con ideas primarias, secundarias, terciarias en la herramienta 
de drive – presentaciones de Google 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Roberto Valencia Página 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II………. ............................................................................................................................................................................. 
2. PROGRAMACIÓN LINEAL ................................................................................................................................................................... 
2.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................................................... 
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL ......................................................................................... 
2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN LINEAL. ............................................................................. 2
2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES ............................................................................................................................................... 2
2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES ......................................................................................................................... 2 
2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES ............................................................................................................... 
2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES ................................................................................................................... 
2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE INECUACIONES ........................................................................................ 
2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN .............................................................................................................................................................. 3
2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN ............................................................................................ 3 
2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MAXIMIZACIÓN) ...................................................................................
2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (MINIMIZACIÓN).................................................................................... 4 
2.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO GRÁFICO .......................................................................................................... 
2.6. TIPOS DE SOLUCIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO ............................................................................................................................................ 
2.6.1. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA ACOTADA ........................................................................................................................................
2.6.2. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE ACOTADA ................................................................................................................................... 
2.6.3. SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA NO ACOTADA .................................................................................................................................. 
2.6.4. SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE NO ACOTADA ............................................................................................................................. 6 
2.6.5. NINGUNA SOLUCIÓN ................................................................................................................................................................. 
2.7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR EL MÉTODO SIMPLEX .......................................................................................................... 
2.7.1. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MENOR IGUAL: “≤ “) ................................................. 7 
2.7.2. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (MAYOR IGUAL: “≥ “) ................................................. 8 
2.7.3. MAXIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX CON SIGNO (IGUAL: “ = “) .............................................................. 
2.8. MINIMIZACIÓN POR EL MÉTODO SIMPLEX .................................................................................................................................... 9
2.9. DEGENERACIÓN, SOLUCIONES NO ACOTADAS, SOLUCIONES ÓPTIMAS MULTIPLEX EN EL MÉTODO SIMPLEX. .................................... 10 
2.9.1. DEGENERACIÓN ....................................................................................................................................................................... 10
2.9.2. SOLUCIONES NO ACOTADAS .................................................................................................................................................... 1
2.9.3. SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES .......................................................................................................................................... 1 
2.10. DUALIDAD .............................................................................................................................................................................................1 
2.11. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.................................................................................................................................................................... 12
2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS .................................................................................................................................................................... 1 
2.12.1. RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO ....................................................................................................................... 1 
2.12.2. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MAXIMIZACIÓN) .............................................................................................. 
2.12.3. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX (MINIMIZACIÓN) ............................................................................................... 1 
2.12.4. RESOLVER POR EL MÉTODO SIMPLEX DEGENERACIÓN ................................................................................................ 14 
2.12.5. PROBLEMAS DE DUALIDAD ...................................................................................................................................... 14 
 
 
 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 25 
 
 
CAPÍTULO II 
 
2. PROGRAMACIÓN LINEAL 
2.1. INTRODUCCIÓN 
5En cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman, tienen por objeto hacer el mejor 
uso posible (optimización) de sus recursos. Por recursos de una empresa entendemos la 
maquinaria que ésta posea, sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, y las materias 
primas de que disponga. Tales recursos pueden ser usados para fabricar productos 
(electrodomésticos, muebles, comida, ropa, etc.) o servicios (horarios de producción, planes de 
marketing y publicidad, decisiones financieras, etc.). La Programación Lineal (PL) es una 
técnica matemática diseñada para ayudar a los directivos en la planificación y toma de 
decisiones referentes a la asignación de los recursos. 
Como ejemplos de problemas donde la PL desarrolla un papel fundamental, podríamos citar 
según Dorfman, Samuelson, & Solow (1962) que: 
1. A partir de los recursos disponibles, determinar las unidades a producir de cada bien de 
forma que se maximice el beneficio de la empresa. 
2. Elegir materias primas en procesos de alimentación, para obtener mezclas con unas 
determinadas propiedades al mínimo coste. 
3. Determinar el sistema de distribución que minimice el coste total de transporte, desde 
diversos almacenes a varios puntos de distribución. 
 
Desarrollar un plan de producción que, satisfaciendo las demandas futuras de los productos de 
una empresa, minimice al mismo tiempo los costes totales de producción e inventario. 
 
2.2. CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL 
Para (Elvis, 2008) las técnicas de PL han sido ampliamente utilizadas en ámbitos tan diferentes 
como el militar, industrial, financiero, de marketing, e incluso agrícola. No obstante de tal 
diversidad de aplicaciones, todos los problemas de PL tienen cuatro propiedades comunes: 
1. Pretenden optimizar (maximizar o minimizar) alguna cantidad (función objetivo). Así, 
por ejemplo, el principal objetivo de un banquero sería maximizar beneficios, mientras 
que el principal objetivo de una empresa transportista podría ser minimizar los costes de 
los envíos. 
 
 
5 http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf 
http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Intro_IO.pdf
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 26 
 
2. Habrá que tener en cuenta las restricciones que limitan el grado en el que es posible 
modificar las variables que afectan a nuestra función objetivo. Así, a la hora de decidir 
cuántas unidades de cada bien se han de producir, deberemos considerar, entre otras, las 
limitaciones de personal y maquinaria de que disponemos. 
 
3. El problema debe presentar distintas alternativas posibles: si una compañía produce 
cuatro bienes diferentes, la dirección puede usar PL para determinar las cantidades de 
recursos que asigna a la producción de cada uno de ellos (podría optar por hacer una 
asignación ponderada, dedicar todos los recursos a la producción de un único bien 
abandonando la producción del resto, etc.). 
 
4. En PL, la función objetivo debe ser una función lineal, y las restricciones deben ser 
expresables como ecuaciones o inecuaciones lineales. 
 
2.3. CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA ENTRAR A LA PROGRAMACIÓN 
LINEAL. 
Antes de entrar al estudio de la PL, vamos a revisar las ecuaciones lineales, inecuaciones 
lineales con dos variables, y sistemas de inecuaciones con dos variables. 
 
2.3.1. TIPOS DE ECUACIONES LINEALES 
Según (Murrias, 2002). La ecuación general de la recta es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, en donde vamos 
analizar específicamente la pendiente o inclinación de la recta (m), ya que en base a esto 
graficaremos las inecuaciones lineales con dos variables. Vamos, a analizar los cuatro casos de 
la inclinación de la recta que son: 
 
Caso 1.- La pendiente es positiva, y forma un ángulo agudo menor a 900 desde el origen con el 
eje positivo de la x. 
Ecuación general: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 
Dónde: 
y= Variable Dependiente 
x= Variable Independiente 
m= Es la pendiente de la recta 
ECUACIÓN DE LA 
RECTA 
Caso1: 
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 
Caso 2: 
𝒚 = −𝒎𝒙 + 𝒃 
Caso 3: 
𝒚 = ±𝒃 
Caso 4: 
𝒙 = ±𝒂 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 27 
 
b= Es el punto que corta a la recta en el eje y 
 
Ejemplos, graficar las siguientes ecuaciones: 
1. 𝑦 = 𝑥 + 2 
x y 
0 
1 
2 
3 
 
 
 
 
2. 𝒚 = 𝒙 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2.- La pendiente es negativa, y forma un ángulo agudo obtuso mayor a 900 desde el 
origen con el eje negativo de la x. 
Ecuación: 𝒚 = −𝒎𝒙 + 𝒃 
3. 𝒚 = −𝒙 + 𝟒 
X Y 
0 
1 
4 
3 
 
 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Recta que pasa por el origen: 
Pasa cortando por el origen en el 
punto (0,0) 
La pendiente es 1, el ángulo es 
450, b=0 
El ángulo de la pendiente positiva 
está en el intervalo de: 𝟎𝐨;𝟗𝟎𝟎 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 28 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
 
 
4. 𝒚 = −𝒙 
 
 
 
 
 
Caso 3.- La pendiente es cero, y forma un ángulo de cero grados, la recta es paralela al eje x. 
Ecuación: 𝒚 = 𝒃 
5. 𝒚 = 𝟑 
 
 
 
 
 
 
6. 𝒚 = −𝟐 
 
 
 
 
 
 
Caso 4.- La pendiente es infinita, porque el momento de calcular la pendiente con la fórmula 
de dos puntos: 𝒎 =
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
 tenemos una división para cero, eso dentro de límites es infinito (∞) 
y forma un ángulo de noventa grados con respecto al eje x, la recta es paralela al eje y. 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Recta que pasa por el 
origen: 
Pasa cortando por el 
origen en el punto (0,0) 
La pendiente es -1, el 
ángulo es 1350, b=0 
El ángulo de la pendiente 
negativa está en el 
intervalo de: 𝟗𝟎𝐨; 𝟏𝟖𝟎𝟎 
 
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2.5
3.0
3.5
4.0
x
y Nota: 
La pendiente es 
cero, y también el 
ángulo de 
inclinación es cero, 
por lo que la recta 
es paralela al eje x. 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 29 
 
Ecuación: 𝒙 = 𝒂 
7. 𝒙 = 𝟒 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. 𝒙 = −𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.2. INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES 
Según (Grossman S., 2008). Una inecuación lineal con dos incógnitas es cualquier desigualdad 
que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de las 
formassiguientes: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≥ 0; 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≤ 0 
En donde: a, b, c, pertenecen a los reales. La solución general está formada por el conjunto de 
todos los pares (𝑥1, 𝑦1) que verifican la inecuación. 
Como estudiamos en el tema anterior, la ecuación de la recta, cuando intercambiamos el signo 
de desigualdad por el signo igual, obtenemos una ecuación que viene a ser la frontera de la 
solución de la desigualdad. 
Para resolver estas inecuaciones, hay que representar gráficamente en el plano la recta dada por 
la correspondiente ecuación lineal y marcar una de las dos regiones en que dicha recta divide al 
plano. 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
𝒎 = ∞ 
á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 = 𝟗𝟎𝒐 
Recuerda: 
La pendiente es infinita, y el ángulo 
de inclinación es 90o, por lo que la 
recta es paralela al eje y. 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 30 
 
Ejemplo: (Vera, 2005).Si queremos resolver la inecuación: 4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0, representamos 
en primer lugar la recta: 4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0, en la que intercambiamos el signo de desigualdad 
por el signo igual. Para ello despejamos la variable y, y damos dos puntos que corten a los ejes 
x, y como se observa en la tabla siguiente: 
𝟒𝒚 + 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎, a toda la ecuación divido para (2) 
2𝑦 − 𝑥 − 4 = 0 
𝑦 =
−𝑥−4
2
 
 
X Y 
0 -2 
-4 0 
 
 
La recta divide al plano en dos partes, una de las cuales es la solución de la inecuación. Para 
saber que parte es la solución hay dos procedimientos: 
Método # 1.- Se despeja la variable (y), de la inecuación, teniendo cuidado de que si en una 
inecuación multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de 
sentido. 
En este caso tenemos que: 
𝑦 ≤
−𝑥 − 4
2
 
Observando la gráfica vemos que la recta divide al eje de ordenadas (y) en dos partes. La 
solución de la inecuación será aquella parte que está por debajo de la recta en el eje (y), es 
decir, la parte inferior, por lo que al despejar la ordenada, tenemos el sentido de desigualdad 
(≤), quiere decir que se pinta la solución por debajo de la recta, cuando tengamos el sentido de 
desigualdad (≥), la solución se pinta por encima de la recta con respecto del eje (y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
 
Recuerda: 
Se pinta el semiplano 
inferior, desde la recta que 
corta con el eje y, por lo que 
al despejar la inecuación el 
sentido es: ≤ 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 31 
 
Método # 2.- Se toma un punto cualquiera el más fácil, que será siempre el punto (0,0) que no 
pertenezca a la recta. Para que dicho punto sea solución, se tendrá que cumplir la desigualdad, 
por lo que sustituimos en la inecuación inicial el (0,0): 
4𝑦 + 2𝑥 + 8 ≤ 0  4(0) + 2(0) + 8 ≤ 0, es decir: 8 ≤ 0 
Como esta última desigualdad es evidentemente falsa, concluimos que el semiplano que 
contiene al (0,0) No es la solución, por lo que se pinta el semiplano inferior, como habíamos 
obtenido antes. 
Si al graficar otra inecuación por este segundo método, al reemplazar en la inecuación inicial el 
punto (0,0), la desigualdad es verdadera, se pinta el semiplano que contiene dicho punto, y esa 
es la solución. 
Cualquiera de los procedimientos es válido si se realiza correctamente. 
2.3.3. PASOS PARA GRAFICAR LAS INECUACIONES LINEALES 
 
Para graficar una inecuación lineal seguiremos los pasos expuestos por el autor Barsov (1972) 
que sugiere: 
1. Reemplazar el signo de desigualdad por el signo igual y dividir el plano cartesiano 
tomando como frontera la recta que representa la ecuación obtenida. 
2. Tomar puntos de prueba en cada región y verificar si satisfacen la desigualdad, por 
cualquiera de los dos métodos. 
3. Graficar la solución, teniendo en cuenta que si la desigualdad es ≥ o ≤ la frontera está 
incluida en la solución, en caso contrario la frontera no está incluida, y se grafica con 
líneas entrecortadas. 
 
9. Ejemplos: graficar la inecuación: 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟓 ≤ 𝟎 
 
2𝑥 − 3𝑦 + 5 ≤ 0 
−3𝑦 ≤ −2𝑥 − 5, a esta inecuación multiplicamos por (-1) 
3𝑦 ≥ 2𝑥 + 5 
𝑦 ≥
2𝑥 + 5
3
 
x y 
0 5/3 
-5/2 0 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Graficar: 𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 ≥ 𝟎 
𝑦 ≥
−5𝑥
4
 
x y 
0 0 
4 -5 
 
 
 
 
 
 
 
11. Graficar la inecuación: 𝒙 + 𝒚 + 𝟓 < 𝟎 
 
𝑥 + 𝑦 + 5 < 0 
 
𝑦 < −𝑥 − 5 
 
x y 
0 -5 
-5 0 
 
 
 
 
 
Recuerda: 
La frontera de la 
desigualdad pasa 
por el origen, el 
primer punto es 
(0,0), el otro se 
escoge cualquiera 
de preferencia 
entero. 
Recuerda: 
Se pinta el semiplano superior, desde la recta que corta con el eje 
y, por lo que al despejar la inecuación el sentido es: ≥ 
 
Nota: 
No te olvides que la inecuación inicial fue: ≤, y al multiplicar por 
(-1), cambia el sentido de desigualdad. 
 
Recuerda: 
La inecuación no tiene igual, en 
consecuencia, la recta que es la 
frontera no es solución, y la 
línea va entrecortada. 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 33 
 
Recuerda: 
Los valores en x mayores que 
dos, y menores o iguales que 
cuatro son: 2.1, 3,4 
Intervalo: (2; 4 
12. Graficar: 𝒚 ≥ 𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Graficar: 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟒 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.4. SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS VARIABLES 
Se llama sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas al conjunto formado por n de 
estas inecuaciones, es decir: 
{
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 < 0
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 ≥ 0
…… . .
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛𝑦 + 𝑐𝑛 ≤ 0
 
Los signos de desigualdad, pueden ser: ≤; ≥; >; < 
Obtener la solución de un sistema de este tipo supone obtener el semiplano solución de cada 
una de las inecuaciones que lo forman y averiguar la intersección de todos ellos. 
Recuerda: 
Los valores en (y) mayores 
o iguales que dos son: 
2,3,4,5,… 
Intervalo: 2;∞) 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 34 
 
La solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas es siempre un conjunto 
convexo. 
Se llama conjunto convexo a una región del plano tal; que para dos puntos cualesquiera de la 
misma, el segmento que los une está íntegramente contenido en dicha región. Como casos 
particulares, un conjunto convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un 
segmento, a un punto o al conjunto vacío. 
Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la intersección de 
ellos, vértices. Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a la solución del sistema de 
inecuaciones se denominan puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto 
respecto a cada lado o vértice según se incluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o no 
acotado, según su área sea o no finita. 
 
 
 
 
 
 
14. Graficar el siguiente sistema de inecuaciones: 
 
{
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3 (𝟏)
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0 (𝟐)
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0 (𝟑)
 
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3 
3𝑦 ≥ −3 − 2𝑥 
𝑦 ≥ −
2𝑥
3
− 1 
 
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0 
−𝑦 ≤ 9 − 2𝑥 ∗ (−1) 
𝑦 ≥ 2𝑥 − 9 
 
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0 
−5𝑦 ≥ 5 − 2𝑥 ∗ (−1) 
5𝑦 ≤ 2𝑥 − 5 
𝑦 ≤
2𝑥
5
− 1 
Pasos para graficar el sistema de inecuaciones: 
 Paso # 1.- Se numera las restricciones 
 Paso # 2.- Se despeja la variable y de cada 
inecuación. 
 Paso # 3.- Se realiza la tabla de valores con dos 
puntos, cuando x= 0; cuando y= 0; además cuando la 
recta pasa por el origen se toma cualquier valor. 
 Paso # 4.- Se grafica cada una de las inecuaciones 
dependiendo del sentido de desigualdad(≤;≥), 
obtenida en el paso # 2. 
 Paso # 5.- Se pinta la intersección de todas las 
inecuaciones. Dicha región pintada es la solución del 
sistema. De no intersecarse una de ellas entonces el 
sistema no tiene solución. 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 35 
 
Tabla de valores 
x y 
0 -1 
-3/2 0 
 
Tabla de valores 
x y 
0 -9 
9/2 0 
 
Tabla de valores 
x Y 
0 -1 
5/2 0 
/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.5. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE 
INECUACIONES 
Para comprobar la zona sombreada o la intersección de todas las inecuaciones, escogemos un 
punto cualquiera que esté dentro de la zona pintada, y remplazamos en cada una de las 
inecuaciones, dicho punto debe satisfacer todas las inecuaciones. Ejemplo del ejercicio # 14. 
{
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3 
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0 
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0 
 
Observamos la solución de la gráfica pintada y seleccionamos el P (2,-1). 
Reemplazamos el punto P (2,-1) en el sistema de inecuaciones iniciales. 
 
 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 36 
 
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 
2𝑥 + 3𝑦 ≥ −3 
2(2) + 3(−1) ≥ −3 
4 − 3 ≥ 0 
1 ≥ −3 
Verdadero 
2𝑥 − 𝑦 − 9 ≤ 0 
2(2) − (−1) − 9 ≤ 0 
4 + 1 − 9 ≤ 0 
−4 ≤ 0 
Verdadero 
2𝑥 − 5𝑦 − 5 ≥ 0 
2(2) − 5(−1) − 5 ≥ 0 
4 + 5 − 5 ≥ 0 
4 ≥ 0 
Verdadero 
 
15. Graficar el siguiente sistema de inecuaciones: 
{
𝑥 ≥ 0 (𝟏) 
𝑦 ≥ 0 (𝟐)
𝑦 + 𝑥 − 2 ≤ 0 (𝟑)
 
 
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 
𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ 0 
𝑦 + 𝑥 − 2 ≤ 0 
𝑦 ≤ −𝑥 + 2 
Interpretación de la recta 
 
La recta es paralela al eje y 
𝒙 = 𝟎 
Solución: 𝟎;+∞) 
Interpretación de la recta 
 
La recta es paralela al eje x 
𝒚 = 𝟎 
Solución: 𝟎;+∞) 
Tabla de valores 
x y 
0 2 
2 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recuerda: 
Las inecuaciones 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; quiere 
decir que la solución es el primer cuadrante, 
y todo dependerá de las otras inecuaciones. 
 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 37 
 
 
16. Graficar el siguiente sistema de inecuaciones: 
{
𝑥 + 𝑦 > 1 (𝟏)
3𝑥 − 5 ≤ 𝑦 (𝟐)
𝑦 < 2𝑥 (𝟑)
 
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 
𝑥 + 𝑦 > 1 
𝑦 > −𝑥 + 1 
3𝑥 − 5 ≤ 𝑦 
𝑦 ≥ 3𝑥 − 5 
𝑦 < 2𝑥 
Recta que pasa por el origen 
Tabla de valores 
x y 
0 1 
1 0 
 
Tabla de valores 
x y 
0 -5 
5/3 0 
 
Tabla de valores 
x Y 
0 0 
1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Graficar el siguiente sistema de inecuaciones: 
{
1 ≤ 𝑦 ≤ 4 (𝟏)
2 ≤ 𝑥 ≤ 4 (𝟐)
𝑦 ≥ 𝑥 (𝟑)
 
 Recuerda: 
Las inecuaciones número 
uno y tres, las rectas son 
entrecortadas porque no 
contiene el signo igual. 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 38 
 
Inecuación # 1 Inecuación # 2 Inecuación # 3 
1 ≤ 𝑦 ≤ 4 2 ≤ 𝑥 ≤ 4 𝑦 ≥ 𝑥 
Recta que pasa por el 
origen 
Interpretación de la 
recta 
La recta es paralela al 
eje x 
𝒚 = 𝟏 ; 𝒚 = 𝟒 
Solución: 𝟏; 𝟒 
Interpretación de la 
recta 
La recta es paralela al 
eje y 
𝒙 = 𝟐; 𝒙 = 𝟒 
Solución: 𝟐; 𝟒 
Tabla de valores 
x Y 
0 0 
2 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 
 
Optimización.- Para tener significado, esto debería escribirse en una expresión matemática que 
contenga una o más variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se formula, 
en términos generales, es ¿qué valores deberían tener estas variables para que la expresión 
matemática tenga el mayor valor numérico posible (maximización) o el menor valor numérico 
posible (minimización)?. A este proceso general de maximización o minimización se lo 
denomina optimización. 
La optimización, también denominada programación matemática, sirve para encontrar la 
respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor 
producción o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia, 
estos problemas implican utilizar de la manera más eficiente los recursos, tales como dinero, 
tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Conocimientos previos 
 
Roberto Valencia Página 39 
 
Los problemas de optimización generalmente se clasifican en lineales y no lineales, según las 
relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables. Existe una serie de paquetes 
de software para resolver problemas de optimización. Por ejemplo, QM for windows o 
WinQSB, resuelven modelos de programas lineales6. 
2.4.1. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 
1. Definición de variables: Como primer paso para modelar ordenadamente un problema 
de optimización, debemos distinguir qué variables son aquellas sobre las que vamos a 
tomar decisiones en el problema, siendo cuidadosos y definidas en forma concreta. 
Estas variables por lo general las podemos identificar en la pregunta del problema y 
generalmente se designan con letras sub-indizadas. Cada variable debe presentar una 
cantidad que corresponda a una misma unidad de medida (utilidad, horas, artículos, 
precios, entre otros). 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … 𝑥𝑛= Variables del problema. 
2. Determinación de la función objetiva: Es la ecuación matemática que representa el 
objeto planteado, la misma que se expresa mediante una función lineal de la 
combinación de las variables discretas en la pregunta del problema; la que puede 
generar un mayor cuando se trata de maximizar beneficios y en un menor valor cuando 
se trata de minimizar costos. 
 
𝑍(max 𝑜 min ) = 𝑐1𝑥1 + 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3 + ⋯+ 𝑐𝑛𝑥𝑛 
En donde: 
𝑧(max 𝑜 min ) =Función Objetiva del problema (F.O.) 
𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐𝑛 = Coeficientes unitarios que acompañan a las variables en la F.O. 
(beneficios, costos, precios, entre otros) 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥𝑛= Variables del problema, donde se quiere llegar. 
 
3. Planteamiento de las restricciones: Representan las condiciones y/o recursos a las que 
está expuesto el problema y se muestran por medio de desigualdad de tipo lineal, ya 
sean estas: físicas, económicas, técnicas, entre otras. 
 
𝐴11𝑥1 + 𝐴12𝑥2 + 𝐴13𝑥3 + … + 𝐴1𝑛𝑥𝑛 𝑇1 𝐵1 
𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 𝐴23𝑥3 + … + 𝐴2𝑛𝑥𝑛 𝑇2 𝐵2 
𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + … + 𝐴3𝑛𝑥𝑛 𝑇3 𝐵3 
: : : : : : : 
𝐴𝑚1𝑥1 + 𝐴𝑚2𝑥2 + 𝐴𝑚3𝑥3 + … + 𝐴𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑇𝑛 𝐵𝑛 
 
6 http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640s/spanishd.htm#rop 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
 
 
Roberto Valencia Página 40 
 
En donde: 
 
𝐴𝑖𝑗= Coeficiente que acompaña a las variables en las restricciones. 
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥𝑛= Variables de decisión del problema 
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇𝑛= Signo de restricción del problema (≥, ≤, =) 
𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, 𝐵𝑛= Disponibilidad del problema 
Para la asignación de los signos, con respecto a la disponibilidad, no pueden tener una 
desigualdad estricta con los signos ≥ o ≤, deben ser con los signos ≥, ≤ o =. Con frecuencia las 
restricciones suelen ir con signo ≤ cuando se trata de maximización y con el signo ≥ cuando se 
trata de minimización; además no es una regla general, se pueden identificar los signos de las 
restricciones mediante la terminología en los enunciados tales como: 
 Para ≥: “mayor igual a”, “al menos”, “por lo menos”, “como mínimo”, “un mínimo 
de”, otros similares. 
 Para ≤: “menor igual a”, “a lo mucho”, “cuando mucho”, “como máximo”, “no más 
de”, otros similares. 
 Para =: “igual a”, “únicamente”, “un total de”, otros similares. 
 
Para el planteamiento de las restricciones se puede hacer uso de una tabla (opcional) facilitará 
la identificación de los recursos, donde las variables de las restriccionesdeben estar siempre en 
las mismas unidades; dicho de otra forma más simple, si un recurso está dado por horas, los 
espacios correspondientes a las variables tendrán que estar en horas, y por ende la 
disponibilidad también deberá estar en horas, caso contrario se tendrá que realizar la conversión 
de unidades. 
RECURSOS VARIABLES DISPONIBILIDAD 
Mano de 
obra (horas) 
𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 
Horas 
horas horas horas horas 
 
4. Condiciones de no negatividad: Son restricciones adicionales que nos indican que las 
soluciones obtenidas deben ser siempre positivas, es decir, mayores o igual a cero. 
𝑥𝑛 ≥ 0 
5. Condiciones de optimización: Es la utilización de algún método para la resolución del 
problema, el mismo que nos ayudará a interpretar la solución, pueden ser: 
 
 Método gráfico. 
 Método simplex primal. 
 Método simplex dual. 
 Modelo de transporte. 
 
Conocimientos previos 
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Roberto Valencia Página 41 
 
2.4.2. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 
(MAXIMIZACIÓN) 
18. Una fábrica produce dos tipos de camisas A y B; las camisas de tipo A requieren 2.5 
minutos para corte y 5 minutos para confección; las de tipo B, requieren 4 minutos para 
corte y 4 minutos para confección. Se necesita 1 hora y 40 minutos para corte y 2 horas 
para confección, siendo el beneficio de 2.5 dólares por cada camisa tipo A y 3 dólares 
por camisa de tipo B. ¿Cuántas camisas de cada tipo debe producirse para obtener su 
máximo beneficio? 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Camisas tipo A 
𝑥2 = Camisas tipo B 
2.- Función objetiva: 𝑍(max ) = 2.5𝑥1 + 3𝑥2 
3.-Restricciones: 
1 ℎ𝑜𝑟𝑎 40 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 100 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 120 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
 
 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥2 
Corte (min) 2.5 4 100 
Confección (min) 5 4 120 
 
{
2.5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 100 (𝟏) 
5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 120 (𝟐)
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
19. Una fábrica produce dos tipos de productos A y B; el primero requiere la utilización de 
7kg de materia prima, 2 horas/hombre de mano de obra, y 4,5 horas/máquina de 
utilización de maquinaria. El segundo requiere 3kg de materia prima, 3 horas/hombre de 
mano de obra y 4 horas máquina de utilización de maquinaria. La empresa cuenta para 
la fabricación de productos con los siguientes recursos: 21kg de materia prima, 12 
horas/hombre de mano de obra y 18 horas/máquina. ¿Cuál es la combinación óptima de 
producción que maximice el beneficio, suponiendo que la fábrica estima ganar $15 por 
cada unidad de producto A y $ 11 por cada unidad del producto B? 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Producto A 
𝑥2 = Producto B 
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 15𝑥1 + 11𝑥2 
3.-Restricciones: 
 
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Roberto Valencia Página 42 
 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥2 
Materia prima 7 kg 3 kg 21 kg 
Mano de obra 2h/H 3h/H 12 h/H 
Utilización maquinaria 4,5 h/m 4h/m 18 h/m 
Beneficio $15 $11 
{
7𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 21 (𝟏)
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12 (𝟐)
4,5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 18 (𝟑)
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
20. Para la fabricación de dos productos, se utilizan dos tipos de materiales M1 y M2 para 
la fabricación de dichos productos, P1 y P2. La disponibilidad de los materiales M1 y 
M2 es de 135 y 120 toneladas, en su orden. El producto P1 contiene el 30% de M1 y 
40% de M2; mientras que el producto P2 contiene el 70% de M1 y 60% de M2. Las 
utilidades unitarias de los productos P1 y P2 son $3 y $5, respectivamente. La demanda 
del producto P1 está entre 25 y 130 unidades y la de P2 entre 35 y 150 unidades 
¿Cuántos productos de cada uno se debe fabricar para maximizar sus utilidades? 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Productos P1 
𝑥2 = Productos P2 
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 3𝑥1 + 5𝑥2 
3.-Restricciones: 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥2 
Material 1 (Tn) 0,30 0,70 135 
Material 2 (Tn) 0,40 0,60 120 
 
{
 
 
0,30𝑥1 + 0,70𝑥2 ≤ 135 (𝟏)
0,40𝑥1 + 0,60𝑥2 ≤ 120 (𝟐)
25𝑥1 ≤ 130 (𝟑)
35𝑥2 ≤ 150 (𝟒)
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
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Roberto Valencia Página 43 
 
21. Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de 
aluminio. Para fabricar 100 m de cable de tipo A, se necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de 
titanio y 1 kg de aluminio, y se obtiene de él un beneficio de $ 1500. Para fabricar 100 
m de cable de tipo B, se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio, y 
se obtiene un beneficio de $ 1000. Calcular cuántos metros de cable hay que fabricar, de 
cada tipo; para que el beneficio sea máximo. ¿Cuál es ese beneficio? 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Metros de cable tipo A 
𝑥2 = Metros de cable tipo B 
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 1500𝑥1 + 1000𝑥2 
3.-Restricciones: 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥2 
Cobre (Kg) 10 15 195 
Titanio (Kg) 2 1 20 
Aluminio (Kg) 1 1 14 
Beneficio ($) 1500 1000 
 
{
10𝑥1 + 15𝑥2 ≤ 195 ÷ 5
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 14 
 = {
2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 39 (𝟏)
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 120 (𝟐)
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 14 (𝟑)
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
22. Un fabricante de muebles produce dos tipos de mesas: clásicas y modernas. Cada mesa 
del modelo clásico requiere 4 horas de lijado y 3 horas de barnizado, y deja un beneficio 
de 200 dólares. No deben fabricarse más de 9 de estas mesas. Cada mesa moderna 
necesita 3 horas de lijado y 4 horas de barnizado, y su beneficio es de 100 dólares. Se 
dispone de 48 horas para lijado y de 60 horas para barnizado. ¿Cuántas mesas de cada 
tipo se han de fabricar para que sus beneficios sean máximos? 
 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Número de mesas clásicas 
𝑥2 = Número de mesas modernas 
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 200𝑥1 + 100𝑥2 
3.-Restricciones: 
 
Conocimientos previos 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
 
 
Roberto Valencia Página 44 
 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥2 
Lijado 4 3 48 
Barnizado 3 4 60 
Beneficio ($) 200 100 
 
{
𝑥1 ≤ 9 (𝟏)
4𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 48 (𝟐)
3𝑥1+4𝑥2 ≤ 60 (𝟑)
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
23. Un mayorista desea comprar dos tipos de televisores TV1 y TV2, los de tipo TV1 
cuestan 300 dólares y los de tipo TV2 500 dólares la unidad. Dispone de 7000 dólares 
para realizar las compras, y en su almacén, únicamente dispone de espacio para 20 
televisores. En la venta de cada televisor gana el 30% del precio de la compra. ¿Cuántos 
televisores de cada tipo han de comprar para maximizar su beneficio? 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = TV1 
𝑥2 = TV2 
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 300(30%)𝑥1 + 500(30%)𝑥2 
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 90𝑥1 + 150𝑥2 
3.-Restricciones: 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥2 
Capital ($) 300 500 7000 
Espacio 1 1 20 
 
{
300𝑥1 + 500𝑥2 ≤ 7000 ÷ 100 
𝑥1 + 𝑥2 = 20 
 = {
3𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 70 (𝟏)
𝑥1 + 𝑥2 = 20 (𝟐)
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
24. Los estudiantes en la universidad deben tomar por lo menos 3 cursos de humanidades y 
2 de ciencias. El número máximo permitido de cursos de ciencias es de 5. El número 
total de créditos en ciencias y humanidades no debe exceder de 80. Los puntos de 
calidad para cada curso se asignan de la manera usual: el número de horas crédito por 4 
para una calificación de A, por 3 para una calificación de B y por 2 para una 
calificación de C. Cierto estudiante espera obtener B en todos sus cursos de ciencias. 
Conocimientos previos 
CAPÍTULO IIProgramación Lineal 
 
 
Roberto Valencia Página 45 
 
Espera obtener C en la mitad de sus cursos de humanidades, B en la cuarta parte de 
ellos y A en el resto. Bajo esas hipótesis, ¿Cuántos cursos de cada clase debe tomar para 
obtener el máximo número posible de horas? 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Curso de ciencias 
𝑥2 = Curso de Humanidades 
2.- Función objetiva: 
Calificación: A= 4 
 B= 3 
 C= 2 
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 3𝑥1 + (
2
2
+
3
4
+
4
4
)𝑥2 
𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 3𝑥1 + 2,75𝑥2 
3.-Restricciones: 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥2 
Créditos 5 4 80 
 
{
 
 
𝑥2 ≥ 3 (𝟏)
𝑥2 ≤ 12 (𝟐)
𝑥1 ≥ 4 (𝟑)
5𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 80 (𝟒)
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
25. La empresa lechera Milk, no puede recibir más de 100000 litros de leche al día, debido 
a las limitaciones impuestas por el congestionamiento de recepción. Las políticas de la 
administración requieren el uso de al menos 10000 litros de leche diarios para la 
fabricación de queso, y el resto para ser empleado en manteca o leche embotellada, 
según lo permita el equipo. El beneficio de un litro según como se emplee es como 
sigue: 
Manteca $ 0.02 
Leche $ 0.10 
Queso $ 0.30 
 
El equipo para fabricar manteca puede procesar hasta 60000 litros de leche por día y el 
de fabricar queso hasta 30000 litros de leche diarios. Plantear el problema. 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Litros de leche para manteca 
Conocimientos previos 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Problemas de optimización 
 
Roberto Valencia Página 46 
 
𝑥2 = Litros de leche para leche 
𝑥3 = Litros de leche para queso 
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 0.02𝑥1 + 0.10𝑥2 + 0.03𝑥3 
3.-Restricciones: 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥1 𝑥3 
Total 1 1 1 100000 
Manteca 1 60000 
Leche 1 10000 
Queso 1 30000 
 
{
 
 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 ≤ 100000 (𝟏)
𝑥1 ≤ 60000 (𝟐)
𝑥2 ≤ 10000 (𝟑)
𝑥3 ≤ 3000 (𝟒)
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0 
26. Un agricultor posee un terreno de 100 hectáreas, ahí quiere producir papas y arveja, por 
su experiencia él calcula que una hectárea puede producir 20 qq si solo siembra papas o 
25 qq si solo se cultiva arveja. Los recursos con que cuenta, además del terreno, son 
8000 unidades monetarias; la hectárea de papas requiere un capital de 1000 unidades 
monetarias y la de arveja requiere 1200 unidades monetarias, las necesidades de agua de 
riego son de 800 m
3
 y 700 m
3
 por hectárea de papas y arveja. La disponibilidad de agua 
en ese sector es de 5800 m
3
. Si los precios de venta son de 18 unidades monetarias por 
qq de papas y 16 por qq de arveja. ¿Cuánto se debe producir de cada producto para 
maximizar la ganancia? 
 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Quintales de papas 
𝑥2 = Quintales de arveja 
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑎𝑥) = 18𝑥1 + 16𝑥2 
3.-Restricciones: 
{
 
 
 
 
1
20
𝑥1 +
1
25
𝑥2 ≤ 100 
1000
20
𝑥1 +
1200
25
𝑥2 ≤ 8000 
800
20
𝑥1 +
700
25
𝑥2 ≥ 5800 
 = {
1
20
𝑥1 +
1
25
𝑥2 ≤ 100 (1) 
25𝑥1 + 24𝑥2 ≤ 4000 (2)
10𝑥1 + 7𝑥2 ≥ 1450 (3)
 
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Problemas de optimización 
 
Roberto Valencia Página 47 
 
2.4.3. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 
(MINIMIZACIÓN) 
 
27. Una empresa fabricante de automóviles produce dos modelos, A y B. Tiene dos 
factorías, F1 y F2. En F1 se producen diariamente 6 coches tipo A y 4 tipos B, con un 
coste de $ 32 000 diarios. F1 no funciona más de 50 días. En F2 se producen 4 de A y 4 
de B, con un coste de $ 24 000 diarios. Para abastecer el mercado, se han de poner a la 
venta al menos 360 coches de tipo A y al menos 300 de tipo B. ¿Cuántos días debe 
funcionar cada factoría para que el coste sea mínimo?, y ¿Cuál es ese costo? 
 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Número de días que debe funcionar F1. 
𝑥2 = Número de días que debe funcionar F2. 
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 32000𝑥1 + 24000𝑥2 
3.-Restricciones: 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥2 
Modelo A 6 4 360 
Modelo B 4 4 300 
Costo ($) 32000 24000 
 
{
0 ≤ 𝑥 ≤ 50 
6𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 360 ÷ 2
4𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 300 ÷ 4
 = {
0 ≤ 𝑥 ≤ 50 (𝟏)
3𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 180 (𝟐)
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 75 (𝟑)
 
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
28. Un expendio de carnes de la ciudad acostumbra preparar la carne para albondigón con 
una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res 
contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra; la 
carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta 60 centavos por libra. 
¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de albondigón, 
si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%? 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Número de libras de carne molida de res empleadas en cada libra de albondigón. 
𝑥2 = Número de libras de carne molida de cerdo empleadas en cada libra de albondigón. 
2.- Función objetivo: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 80𝑥1 + 60𝑥2 
3.-Restricciones: 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥2 
Grasa (res, cerdo) 0.20 0.32 0.25 
Carne (res, cerdo) 1 1 1 
Costo ($) 80 60 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Problemas de optimización 
 
Roberto Valencia Página 48 
 
{
0.20𝑥1 + 0.32𝑥2 ≤ 0.25 ∗ 100 
𝑥1 + 𝑥2 = 1 
 = {
20𝑥1 + 32𝑥2 ≤ 25 (𝟏) 
𝑥1 + 𝑥2 = 1 (𝟐)
 
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
29. Se desea realizar una mezcla con dos sustancias, A y B, que ha de contener como 
mínimo 10 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias las venden dos proveedores 
en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal, que los contenidos de B y de A 
están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de A. El lote del segundo proveedor es tal 
que los contenidos de A y de B están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de B. El 
primer proveedor vende cada lote a $10 y el segundo al doble. Ambos proveedores nos 
venden lotes enteros o fracciones de ellos. ¿Qué número de lotes hemos de comprar 
para que el coste sea mínimo? 
 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Lotes del primer proveedor. 
𝑥2 = Lotes del primer proveedor. 
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 10𝑥1 + 20𝑥2 
3.-Restricciones: 
RECURSOS 
VARIABLES 
DISPONIBILIDAD 
𝑥1 𝑥2 
Sustancia A 1 4 10 
Sustancia B 4 1 10 
Costo ($) 10 20 
 
{
𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 10 (𝟏) 
4𝑥1 + 𝑥2 ≥ 10 (𝟐)
 
4.- No negación: 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 
 
30. Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y 
novedades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 760 pesetas, y 
el de cada novedad 370. Se desea un coste total que no supere las 94500 pesetas. Por 
otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean, al menos, la mitad que las 
novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100 
unidades. Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo, ¿de cuántas unidades 
de cada tipo ha de constar el pedido? ¿Cuál es entonces el coste del pedido? 
1.- Definición de variables: 
𝑥1 = Número de películas de estreno. 
𝑥2 = Número de películas de novedades. 
2.- Función objetiva: 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 𝑥1 + 𝑥2 
3.-Restricciones: 
 
CAPÍTULO II Programación Lineal 
Problemas de optimización 
 
Roberto Valencia Página 49 
 
{
760𝑋1 + 370𝑋2 ≤ 94500 ÷ 10
𝑋1 ≥ 
𝑋2
2
 
𝑋2 + 
𝑋1
2
≥ 100 
 = {
76𝑋1 + 37𝑋2