CONDICIONALES ASOCIADOS

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Prof. José Boada Página 1 
 
CONDICIONALES ASOCIADOS 
 
 De un condicional cualquiera, por ejemplo P→Q, al cual denominamos directo, podemos 
obtener tres condicionales más, a los cuales llamamos condicionales asociados. Estos surgen al negar 
y/o conmutar las formas proposicionales que enlaza el condicional dado. 
 Si negamos ambas formas proposicionales, obtenemos el condicional contrario (∼P→∼Q), si los 
conmutamos tenemos el condicional recíproco (Q→P), al conmutar y negar conseguimos el 
condicional contra-recíproco (∼Q→∼P). 
 NOTA: cuando queremos obtener el condicional contrario, se niegan las formas 
proposicionales, NO el condicional. 
 Ejemplo: Sea P :{p∨[q→(p∧∼r)]} y Q :[r↔(p∨∼q)]. Determine los condicionales asociados a 
Q→P. 
 
Directo (es el condicional dado) Q→P 
[r↔(p∨∼q)] → {p∨[q→(p∧∼r)]} 
Contrario ∼Q→∼P 
∼ [r↔(p∨∼q)] → ∼ {p∨[q→(p∧∼r)]} 
Recíproco P →Q 
{p∨[q→(p∧∼r)]} → [r↔(p∨∼q)] 
Contra-recíproco ∼P→∼Q 
∼ {p∨[q→(p∧∼r)]} → ∼[r↔(p∨∼q)] 
 
 Estos condicionales son equivalentes dos a dos, el directo es equivalente al contra-reciproco, y 
el contrario equivalente al recíproco, es decir si el condicional directo es verdadero el contra-recíproco 
tambien es verdadero. De la misma manera si el contrario es falso el recíproco es falso. 
 Es importante saber que los cuatro condicionales pueden ser verdaderos, dos verdaderos y dos 
falsos, pero los cuatro NO pueden ser FALSOS. (¿Por qué?). 
 Después de plantear los condicionales asociados, procedemos a determinar su valor de verdad 
partiendo de la información suministrada sobre las variables proposicionales, (la v.p. toma el valor de 
verdad de la expresión asociada). 
 
 Determine el valor de verdad de los condicionales planteados anteriormente si: 
p: 
5
3
3
2
2
1
=+ 
q: t∨∼t 
r: q→p 
 Los valores de verdad son V(p)= F, V(q)= V y V(r)=F. Por lo tanto, sustituyendo estos valores 
en las formas proposicionales P y Q 
 
P: {p∨[q→(p∧∼r)} 
 {F∨[V→(F∧V)]} 
 {F∨[V→F]} 
 F∨F 
 F 
 
 
 
 
Q: [r↔(p∨∼q)] 
 [F↔(F∨F)] 
 F↔F 
 V 
 
 
 
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Eso significa que la forma proposicional P es falsa y la forma proposicional Q es verdadera. Por tanto: 
 
Directo Recíproco 
Q→P P →Q 
V→F F→V 
 F V 
 
Los condicionales directo y contra-recíproco son falsos y el contrario y el recíproco son verdaderos. 
 
 
IMPLICACIÓN LOGICA 
 
 Sean P y Q dos eventos cualquiera, diremos que P implica lógicamente a Q, si el hecho de 
ocurrir P asegura sin lugar a dudas la ocurrencia de Q. Otra forma de decirlo, es que cada vez que 
sucede P, podemos asegurar que Q ocurre también. 
 Para comprobar la implicación lógica entre formas proposicionales, las enlazamos con un 
condicional y verificamos si el condicional resultante es tautológico, en caso de serlo, P implica 
lógicamente a Q. 
 NOTA: Para la verificación podemos utilizar cualquiera de los tres métodos vistos con anterioridad) 
 
 
 
 
Ejercicios: 
 
Dadas las formas proposicionales ( )[ ] ( )[ ]T q s p R p q s: ~ : ~ ~∨ → ∧ ↔ y . Determina los 
condicionales asociados a T → R y su valor de verdad si 
p: q → F 
q:(x+y)2= x2 + y2 
s: ~ q ↔ ~ q 
 
Dados P: ( )[ ] ( )[ ]{ }qprrqp ∨−−∧−↔∨−→ y Q: ( )[ ]rqp ∧∨ . Determine los condicionales 
asociados a P→Q y sus valores de verdad sabiendo que 
p: 3x+5=11 si x = 2 
q: t ∧∼t 
r: p → q 
 
Dadas las formas proposicionales P: ( )[ ]qrp −∨→−− y Q: ( ) ( )[ ]{ }rqpqp →∧−∧∨− . Determine si 
P implica a Q