Equivalencia Lógica parte 2

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Universidad de Carabobo
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Cátedra Introducción a la Matemática
Equivalencia Lógica
Parte 2
Propiedades de la Equivalencia Lógica
Lcdo. Luis Orozco
Magíster en Matemática y Computación
Profesor Agregado FaCES UC
Coordinador (E) Cátedra Introducción a la Matemática
Propiedades de la Equivalencia Lógica
Sean las formas proposicionales P(p,q,r,…), Q(p,q,r,…) y R(p,q,r,…) :
1.- PROPIEDAD REFLEXIVA
Para toda forma proposicional P(p,q,r,…) se cumple que: P  P
2.- PROPIEDAD SIMÉTRICA
Si se cumple que P  Q entonces Q  P
Simbólicamente ( P  Q )  ( Q  P )
3.- PROPIEDAD TRANSITIVA
Si se cumple que P  Q y Q  R entonces P  R
Simbólicamente ( P  Q  Q  R ) P  R
Ahora vamos a comprobar cada una de las Propiedades de la Equivalencia Lógica
Propiedades de la Equivalencia Lógica
Sean las formas proposicionales P(p,q,r,…), Q(p,q,r,…) y R(p,q,r,…) :
1.- PROPIEDAD REFLEXIVA
Para toda forma proposicional P(p,q,r,…) se cumple que: P  P
Comprobación:
Dada la forma proposicional P(p,q)= 𝑝 ∨ 𝑞 , veamos si se cumple que P  P
𝒑 ∨ 𝒒 ↔ 𝒑 ∨ 𝒒
(p  q)  (p  q)
v v v v v v v
v v f v v v f
f v v v f v v
f f f v f f f
Como pudimos obtener una tautología, en el bicondicional, al desarrollar la tabla de verdad entre las dos formas
proposicionales dadas, podemos afirmar que la forma proposicional P es equivalente a la forma proposicional P. En
conclusión se cumple la Propiedad Reflexiva, P  P
Propiedades de la Equivalencia Lógica
Sean las formas proposicionales P(p,q,r,…), Q(p,q,r,…) y R(p,q,r,…) :
2.- PROPIEDAD SIMÉTRICA
Si se cumple que P  Q entonces Q  P
Simbólicamente ( P  Q )  ( Q  P )
Comprobación:
Dadas las formas proposicionales
P(p,q)= 𝑝 ∨ 𝑞
Q(p,q) = 𝑞 ∨ 𝑝
Veamos si se cumple que ( P  Q )  ( Q  P )
En este momento podemos comprobar, al menos, de dos formas distintas. Utilizaremos, una de
ellas, la más extensa. Vamos a comprobar que ambas equivalencias lógicas se cumplen y luego
evaluamos el condicional entre ambas equivalencias lógicas.
Propiedades de la Equivalencia Lógica
𝒑 ∨ 𝒒 ↔ 𝒒 ∨ 𝒑
Como pudimos obtener una tautología, en el bicondicional, al desarrollar la tabla de verdad entre
las dos formas proposicionales dadas, podemos afirmar que la forma proposicional P es
equivalente lógicamente a la forma proposicional Q. Por lo tanto P  Q
(p  q)  (q  p)
v v v v v v v
v v f v f v v
f v v v v v f
f f f v f f f
Propiedades de la Equivalencia Lógica
Ahora veamos si se cumple:
𝒒 ∨ 𝒑 ↔ 𝒑 ∨ 𝒒
Nuevamente pudimos obtener una tautología, en el bicondicional, al desarrollar la tabla de verdad
entre las dos formas proposicionales dadas, podemos afirmar que la forma proposicional Q es
equivalente lógicamente a la forma proposicional P. Por lo tanto Q  P
(q  p)  (p  q)
v v v v v v v
f v v v v v f
v v f v f v v
f f f v f f f
Propiedades de la Equivalencia Lógica
Ahora nos toca comprobar si se cumple:
( P  Q )  ( Q  P )
Luego de comprobar ambas Equivalencias Lógicas, y desarrollar el condicional entre ellas, podemos
concluir que se cumple que ( P  Q )  ( Q  P )
Se lee: Si la forma proposicional P es Equivalente Lógicamente a la forma proposicional Q, entonces
la forma proposicional Q es Equivalente Lógicamente a la forma proposicional P.
[(q  p)  (p  q)]
v v v v v v v
f v v v v v f
v v f v f v v
f f f v f f f
[(p  q)  (q  p)] 
v v v v v v v v
v v f v f v v v
f v v v v v f v
f f f v f f f v
Propiedades de la Equivalencia Lógica
Sean las formas proposicionales P(p,q,r,…), Q(p,q,r,…) y R(p,q,r,…) :
3.- PROPIEDAD TRANSITIVA
Si se cumple que P  Q y Q  R entonces P  R
Simbólicamente ( P  Q  Q  R ) P  R
Comprobación:
Dadas las formas proposicionales
P(p,q) = 𝑝 ∨ 𝑞
Q(p,q) = 𝑞 ∨ 𝑝
R(p,q) = ~(~𝑝 ∧∼ 𝑞)
Veamos si se cumple que ( P  Q  Q  R ) P  R
En este caso, ya hemos comprobado que se cumple que P  Q , debido a la comprobación en la
propiedad anterior, incluso no comprobaremos ni la conjunción ni el condicional. Por lo tanto
pasaremos a comprobar si se cumple Q  R
Propiedades de la Equivalencia Lógica
𝒒 ∨ 𝒑 ↔ [~ ~𝒑 ∧∼ 𝒒 ]
Como pudimos obtener una tautología, en el bicondicional, al desarrollar la tabla de verdad entre las
dos formas proposicionales dadas, podemos afirmar que la forma proposicional Q es equivalente
lógicamente a la forma proposicional R. Por lo tanto Q  R
Ahora nos falta determinar si se cumple que la forma proposicional P es equivalente lógicamente a
la forma proposicional R
(q  p)  [~ (~p ∧ ~q)]
v v v v v f f f
f v v v v f f v
v v f v v v f f
f f f v f v v v
Propiedades de la Equivalencia Lógica
𝒑 ∨ 𝒒 ↔ [~ ~𝒑 ∧∼ 𝒒 ]
Como pudimos obtener una tautología, en el bicondicional, al desarrollar la tabla de verdad entre las
dos formas proposicionales dadas, podemos afirmar que la forma proposicional P es equivalente
lógicamente a la forma proposicional R. Por lo tanto P  R
Podemos afirmar que como el antecedente es verdadero, es decir ( P  Q  Q  R ) y el consecuente
(P  R), también es verdadero, entonces se cumple la Propiedad Transitiva.
( P  Q  Q  R )  P  R
Antecedente Consecuente
(p  q)  [~ (~p ∧ ~q)]
v v v v v f f f
v v f v v f f v
f v v v v v f f
f f f v f v v v
Ejercicio 
Propuesto
Complete la siguiente tabla e indique 
cuales proposiciones son equivalentes 
lógicamente.
p q p  q p  q q  p (p  q)  (q  p)
“El éxito para contratar a las personas adecuadas es este; busca gente que quiera 
cambiar el mundo”
MARC BENLOFF