TOPOGRAFIA-II-Curso-Clase-1-2-3-4

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11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
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TOPOGRAFIA II 
JORGE E. URIBE SAAVEDRA 
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OBJETIVO 
 
 Complementar conocimientos de Topografía I. 
- Precisión 
 - Utilización de equipos mecánicos y digitales. 
 - Se trabajará con Estación total, teodolito y 
eclímetro (en ese orden de porcentaje de 
participación) 
 Presentar sus aplicaciones en proyectos viales, 
hidráulicos, urbanos, energéticos y mineros 
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Programa Topografía II 
1.- Resumen de conceptos Topografía I 
2.- Resumen de conceptos Topografía I -Medición 
de ángulos por reiteración 
3.- Topografía automatizada 
4.- Redes de apoyo en planimetría, pothenot 
5.- Precisión de Redes de nivelación- Mínimos 
Cuadrados 
6.- Medición de distancias y ángulos-Mínimos 
cuadrados 
7.- Aplicaciones – seminario examen parcial 
EXAMEN PARCIAL 
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Levantamiento topográfico 
 Etapas levantamiento topográfico 
 Recopilación de información , 
 Planificación del levantamiento 
 Trabajo de Campo 
 Trabajo de Gabinete 
 
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Levantamiento Topográfico 
1.-RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN 
Internet 
Reconocimiento(de ser posible) 
Gente del lugar 
Planos anteriores 
Información complementaria: 
 -Clima(temperatura, lluvias, sol, nieve) 
 -Transporte, Hospedaje, Alimentación, Campamento 
 -Personal 
 -Equipos 
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Levantamiento Topográfico 
 2.- Planificación del Levantamiento 
 - Precisión deseada- Equipo(costo) 
 - Tiempo disponible- Personal y 
equipos(costo) 
 - De acuerdo a condiciones de la zona : 
Acceso, condiciones meteorológicas, 
personal y equipo disponible en la zona, 
hospedaje, alimentación, campamento y 
envío de información etc. 
 
 
7 
Levantamiento Topográfico 
3.- Trabajo de campo 
-Revisar equipos antes de salir al campo 
-Croquis y registros de campo 
 - Validar los registros de campo 
 - Validar los objetivos diarios propuestos 
 4.- Trabajo de gabinete 
-Gabinete campamento 
-Gabinete oficina central 
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Levantamiento Topográfico 
REDES DE APOYO 
- Poligonación 
- Triangulación 
En función de: 
- Condiciones de zona a 
levantar( Dificultad, área) 
- Precisión 
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Poligonación cerrada 
1.- Ubicar vertices que 
permitan levantar la 
mayor parte de la zona. 
2.- Debe poder observarse 
los vertices vecinos 
3.- La poligonal no encierra 
necesariamente la zona 
de trabajo 
4.- De ser necesario evaluar 
la utilización de 
poligonales secundarias 
5.- Orientar la poligonal 
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Poligonación Cerrada-
continuación 
6.-Los errores angulares 
y lineales deben 
ajustarse a lo 
requerido por el 
proyectista. Error 
Relativo 
Etotal=Eang(rad)+Elin 
Erelativo=Etotal/perime
tro 
7.- Calculo de 
coordenadas 
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Poligonación-Resumen 
 Un levantamiento topográfico debe plasmar sobre 
un plano detalles planimetricos y 
altimetricos(ambos); complementado con un 
informe. 
 Los valores altimetricos de precisión se realizán 
con el nivel de ingeniero(cotas de los vertices o 
puntos topográficos) 
 La medición de distancias de los lados del 
poligono debe realizarse como minímo con cinta 
de acero.(resultado al que se le hara las 
correcciones respectivas). 
 
 
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Poligonación cerrada 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
Si tenemos detalles no observables 
desde la poligonal principal, podemos 
crear una poligonal secundaria 
E,F,G,C,D 
Control Angular E1 +F+G+C1+D 
Control de descomposición lineal 
E1 
C1 
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Poligonación cerrada 
Curvas de Nivel 
A 
-Croquis con los detalles del área 
 (hondonadas, canales, etc) 
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Poligonal abierta 
Poligonal utilizada para proyectos y obras de desarrollo 
longitudinal, 
Como: 
-Carreteras 
-Ferrocarriles 
-Canales 
Norte 
magnético 
A 
B 
C 
Zab 
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Poligonal abierta 
Se miden ; 
- Acimut 
-Ángulos( entre alineamientos, por deflexión, etc) 
-Distancias de alineamientos 
 
 
 
 
 
Controles: 
-Acimut trasladado , contrastado contra el medido en esa posición. 
-Coordenadas 
 
A 
B 
C 
D1 
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BIBLIOGRAFÍA 
 Topografía Técnicas Modernas- Jorge 
Mendoza 
 Topografía Automatizada- Jorge Mendoza 
 Topografía para ingenieros-Phillip Kissan 
 Técnicas modernas en Topografía- 
Bannister-Raymond-Baker 
 Topografía –Dante Alcántara 
 Topografía- Miguel Montes de Oca 
 
 
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Medición de ángulos 
Redes de apoyo 
I- Repetición 
Acumulamos medidas- promedio del total acumulado 
 1°medida) 50°30’10” 
 4° y última medida)202°00’48” 
 PROMEDIO= 50°30’12” 
II- Reiteración 
Diferentes inicios- promedio considerando todas las medidas 
Ejemplo: Inicios referenciales( 0° , 90°, 180°, 270°) 
Medidas: 0°00’10”-50°30’20”= 50°30’10” 
 90°00’12”- 140°30’25”= 50°30’13” 
 
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 Medicion de angulos 
horizontales:REITERACIÓN 
° Segmento= 360°/# de series 
° A mayor número de series mayor precisión 
Ejemplo 1: 360°/4 series= 90° 
 
SERIE INICIO REAL-campo 
1° 0|00’00” 00°00’40” 
2° 90°00’00” 90°00’50” 
3° 180°00’00” 180°02’10” 
4° 270°00’00” 270°04’30” 
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REITERACIÓN:ejemplo #2 
. est pv Lectura 
directa 
Lectura 
inversa 
Promedios 
parciales 
B 00°00’06” 180°00’19” 
C 173°06’06” 353°06’22” 173°06’02” 
B 90°00’22” 270°00’29” 
A C 263°06’34” 83°06’38” 173°06’10” 
B 180°00’39” 00°00’42” 
C 353°06’45” 173°06’42” 173°06’03” 
B 270°00’20” 90°00’16” 
C 83°06’22” 263°06’22” 173°06’04” 
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REITERACIÓN 
 Promedio Estación 
 P.E= 
173°06’02”+173°06’10”+173°06’03”+ 
173°06’04”/4 = 173°06’05” 
Nota.- Apartir de una estación se miden 
uno(01) o más ángulos. 
____________________________________ 
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Reiteración 
 Ofrece más precisión que el de repetición 
 Posee un error accidental ligeramente 
mayor que el de repetición 
 Se utiliza en triangulaciones y 
levantamientos geodesicos d 1° y 2° orden 
 La precisión de los teodolitos son menores 
o iguales a 1” 
 
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Topografía Automatizada 
 Levantamientos con Teodolito digital 
 Levantamiento con Estación Total 
 Estación Total es: 
 - Teodolito digital y 
 - Distanciometro 
 
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TEODOLITO ELECTRONICO 
 Teodolito digital 
 Medida en pantalla digital de cristal cuarzo 
 Limbos codificados y sensor electrónico 
para convertir valor analógico a digital 
 Sistemas de lectura: 
 - Incremental 
 - Absoluto 
 
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Teodolito electrónico 
 INCREMENTAL 
 - Diferencia entre dos alineamientos 
 - Limbos con Franjas transparentes y oscuras 
 - Poseen dos escalas, una más precisa 
 
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Teodolito Digital-Sistemas de lecturas 
 
ABSOLUTO 
-Limbo codificado con cero absoluto 
 °Estático 
 Fotosensor inmóvil y limbo gira con la alidada con micrometro 
 Para los minutos y segundos 
 °Dinámico 
 Dos fotosensores, uno origen de lectura y otro móvil con la 
 alidada 
 Franjas transparentes y oscuras 
 
 
 
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Distanciometro 
Base y prisma(reflector) o 
superficie reflectante de color claro(baja la precisión) 
Base junto con teodolito 
La onda se refleja en primer cuerpo en el camino 
En el recorrido no debe haber obstaculos (ramas, etc) 
 long.onda 
 
 
 
Distanciometro 
Prisma 
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 Distanciometro 
Correcciones en las mediciones debido a: 
-Temperatura 
- Húmedad 
- Presión 
-La medición varias ondas de diferente frecuencia 
- Dependiendo de la distancia se emitenondas para 10,000 
 1000, 100, 10 y decimales 
-Puede ser rayos 
 °infrarojos –hasta 8 km 
 °Láser-hasta 60 km 
 
- Error (ppm) partes por millon 
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Distanciometro 
Libreta eléctronica 
-01 prisma 
-03 prismas 
-09 prismas 
Libreta-colectora de datos, conectada a l teodolito electronico yo 
Distanciometro. 
Después del campo se conecta a una computadora, y procesarlos 
 con algún software predeterminado 
-Necesitamos un orden o croquis de trabajo. 
Algunas realizan correcciones y hasta cálculos de coordenadas 
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Estación total 
Teodolito digital y Distanciometro en un solo equipo, 
Adicionalmente tienen libreta electrónica y microprocesador 
Alta precisión y gran ahorro de tiempo, con los principios básicos 
Mide ángulos horizontales , ángulos verticales y distancias 
inclinadas; que se procesan 
Puede medir alturas de edificaciones , árboles y replanteos. 
Archivos de pc a Estación total 
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Estación Total 
Métodos Planimétricos 
Considerar 
Espalda.- Visual a punto , alineamiento con 
acimut conocido 
 
Frente .- Visual al punto que se le desea asignar 
coordenadas 
 
 
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Revisión de Conceptos de 
Topografía I 
Redes de Apoyo- Levantamiento topográfico 
- Poligonación 
- Triangulación 
Antes de la aparición y propagación en uso de la 
Estación Total(teodolito digital y distanciometro) 
 La triangulación era la solución para trabajar en 
terrenos de grandes obstáculos de trabajo 
(grandes desniveles, arbolados,etc). Ya que 
requiere de menor número de mediciones de 
distancias. 
 
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Triangulación-red de apoyo 
- Divide el terreno en triángulos con lados 
comunes. 
- Se miden los ángulos de los triángulos y 
un lado, que se utilizará como base de 
apoyo. 
 
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Triangulación-Clases 
1° Orden 
-Bases 1/1000000 
-Cierre de triangulos 1” 
-Cierre en longitud: 
Clase I: 1/100000 Plano de ciudades 
Clase II: 1/50000 Red básica 
Clase III: 1/25000 Todo lo demás 
 
2° Orden 
Clase I .-Bases: 1/1000000; C. triangulos: 1,5”; Cierre long: 1/20000 
Red regional y redes auxiliares 
Clase II.-Base:1/500000; C.triangulos:3”; Cierre long. 1/10000 
Red costera, ríos , obras de ingeniería 
 
3° Orden 
-Bases:1/250000; C.Triangulos: 5”; Cierre long.: 1/5000 
Mapas topográficos 
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Triangulación 
Cadena de triángulos 
Cadena de polígonos, triangulos dentro de los poligonos 
Cadena de cuadriláteros,Cuatro triangulos 
La de triangulos es la más sencilla y de menor precisión 
 
 
 
Coeficiente “R” 
MANEJAMOS LA PRECISIÓN RELATIVA DE LAS FIGURAS 
Cuanto menor es “R”, la figura tiene mayor precisión 
Ejm.- Triangulación de 3° orden R< 25 para una figura y R<125 entre 
Dos bases. 
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Triangulación-Coeficiente “R” 
C=(n’-s’ +1)+(n-2s+3) # de condiciones que debe cumplir la fig. 
n= # total de lados de la red, incluyendo las bases 
n’= # de lados observados en ambas direcciones,incluida la base 
s= # total de estaciones 
s’= # de estaciones de observación 
 
D= # de direcciones observadas 
δA; δB= dif. Log. De los senos, expresadas con seis cifras cifras deci- 
males correspondientes a la variación de 1” en los ángulos opuestos A y B de 
un triangulo, que son los ángulos que se oponen, respectivamente, al 
lado conocido y al que se trata de conocer. 
 
 
R= ((D-C)/D ) Σ(δ²A+ δA.δB+δ²b) 
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Triangulación-Coeficiente “R 
Se requiere calcular el coeficiente de precisión del cuadrilátero ABCD 
para determinar el lado CD, partiendo de la base AB, habiendose 
observado todos los lados en sus dos direcciones opuestas. 
A B 
D C 
Lado 
comun 
Cadena Δ Ang. 
Opues 
tos 
(δ²A+ δA.δB+δ²b) R 
δA.;δB Σ 
AC ACB 
ACD 
60;43 
40;36 
9.8; 22.2 32 19 
AD ADB 
ACD 
90;53 
104;40 
2.4 ;5.2 7.6 5 
BC BAC 
BCD 
77;60 
89;47 
2.0 ;3.7 5.7 3 
BD BAD 
BCD 
53;37 
47;44 
15.2 ;12.8 28.0 17 
C=(6-4+1)+ 
(6-8+3)=4 
(D-C)/D=(10-
4)/10=0.6 
R= ((D-C)/D ) Σ(δ²A+ δA.δB+δ²b) 
La cadena de mas precisión, es la formada por los 
BAC y BCD 
Δs 
60 44 
40 
37 
36 
53 
47 
43 
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Compensación-Triangulación 
1° Condición angular 
 - Triangulo: 180° 
 - Poligono formado por varios triangulos: 
180° (n-2) 
 - Angulos alrededor de un punto: 360° 
2° Calculo de lados del triangulo, a partir de 
un lado –base(medido con la mayor 
precisión); por medio de la ley de senos 
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Cuadrilatero con 
diagonales 
A 
C D 
B 
4
1 2 4 
5 
6 
7 
8 
Ecuaciones de Condición 
1+2+3+4+5+6+7+8=360° 
1+8=4+5 ; 2+3=6+7 
Relacionamos lados y angulos 
Base 
AB/AD= sen 8/sen 3 
AB= DA sen 8/sen 3 
DC= DA sen 1/sen 6 BC= DA sen 8 sen 2/ sen3 sen5 
BC= DA sen1 sen 7/sen 6 sen 3 
Sen1 sen3 sen5 sen7 /sen2 sen4 sen6 sen8= 1 
(logsen1+logsen3+logsen5+logsen7)-(logsen2+logsen4+logsen6+logsen8) 
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Compensación-Triangulación 
 Se deben considerar variaciones que 
ayuden a satisfacer la ecuación 
 Log sen(1+v1) 
 Para las diferencias logaritmicas se 
considera log sen(1+v1)=log sen(1+dl1v1) 
 dl1v1+dl3v3+dl5v5+dl7v7-dl2v2-dl4v4-
dl6v6-
dl8v8=(logsen1+logsen3+logsen5+logsen7
-logsen2-logsen4-logsen6-logsen8= W 
 
40 
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Compensación-Triangulación 
 Las variaciones deben ser prioporcionales 
a las diferencias logaritmicas 
 v1/dl1= v3/dl3=v5/dl5=v7/dl7=K 
 v2/dl2= v4/dl4=v6/dl6=v8/dl8= -K 
 v1=K dl1 
 K dli2= W 
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Triangulación: cuadrilatero 
condiciones-resumen 
 
B 
A 
D 
C 
8 
7 
6 
5 
4 3 
2 
1 
1+2+3+4+5+6+7+8=360° COND.#1 
1+2=5+6 COND.#2 3+4=7+8COND.#3 
log sen1+log sen3+log sen5+log sen7-(log sen2 
+log sen4+log sen6+log sen8)=0 COND#4 
 
(1+v1)+(2+v2)+(3+v3)+(4+v4)+(5+v5)+ 
(6+v6)+(7+v7)+(8+v8)=360° .......I 
v1+v2+v3+v4+v5+v6+v7+v8=E1 
E1=360°-(1+2+3+4+5+6+7+8) 
 
(1+v1)+(2+v2)=(5+v5)+(6+v6) 
v1+v2-v5-v6=E2=5+6-(1+2) 
 
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v3+v4-v7-v8=E3=7+8-(3+4) 
log sen(1+v1)-log sen(2+v2)+log sen(3+v3)-... 
.....log sen(8+v8)=0 
log sen1+d1v1-log sen2-d2v2+.......... 
.......-logsen8-d8v8=0 
d1v1-d2v2+d3v3-.......-d8v8=E4=log sen2+ 
log sen4+log sen6+log sen8-(log sen1+ 
log sen3+log sen5+log sen7) 
 
 
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D1=(d1-d2)+(d3-d4)+(d5-d6)+(d7-d8) 
D2=(d1-d2)-(d5-d6) 
D3=(d3-d4)-(d7-d8) 
D4=(d1)²+(d2)²+.......+(d8) ² (di) ² –elemento al cuadrado 
 E4-(1/8 E1D1+1/4 E2D2+1/4 E3D3) 
K4= ----------------------------------------------- 
 D4-(1/8 (D1)² +1/4(D2)² +1/4(D3)²) 
 
K3= ¼ (E3-K4D3) ; K2=¼(E2-K4D2);K1=1/8(E1-K4D1) 
 
v1=K1+K2+d1K4 v5=K1-K2+d5K4 
v2=KI+K2-d2K4 v6=K1-K2-d6K4 
v3=K1+K3+d3K4 v7=K1-K3+d7K4 
v4=K1+K3-d4k4 v8=K1-K3-d8K4 
 
 
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 Ejemplo númerico 
Angulos medidos d d2 logaritmos senos 
(1) 46°18’50” 2.00(*) 4.00 9.859219 
(2) 53°26’10” 1.57 2.46 9.904820 
(3) 42°11’30” 2.32 5.38 9.827118 
(4) 38° 3’40” 2.70 7.29 9.789935 
(5) 58°19’10” 1.30 1.69 9.929924 
(6) 41°25’40” 2.40 5.76 9.820646 
(7) 34°43’00” 3.07 9.42 9.753862 
(8) 45°41’30” 2.07 4.28 9.854665 
 360°00’30” D4=40.28 39.370123 39.370066 
 E1=-30 E4= 39.370066-39.370123=-57 x (10)-6 
(*)d1=log sen46°18’50”-log sen46°18’51”=2.0 x(10)-6 
log sen46°18’50”= -01407808586 +10=9.859219 
E2=46°18’50”+53°26’10”-(58°19’10”+41°25’40”)=-10 
E2= -10 ;E3=+20 
45 
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d1-d2=2.00-1.57=+0.43 
d3-d4=2.32-2.70=-0.38d5-d6=1.30-2.40=-1.10 d1-d2 =+0.43 d3-d4=-0.38 
d7-d8=3.07-2.07=+1.00 -(d5-d6)=+1.10 -(d7-d8)=-1.00 
 --------- --------- ----------- 
 D1=-0.05 D2=+1.53 D3=-1.38 
(D1)²=0.0025 1/8(D1)²= 0.0003 1/8 E1D1=+0.187 
(D2)²= 2.3409 ¼(D2)² = 0.5852 ¼ E2D2= -3.825 
(D3)²=1.9044 ¼(D3)² = 0.4761 ¼ E3D3= -6.900 
 --------- ---------- 
 1.0616 -10.538 
 -57-(-10.538) +20-1.185x 1.38 
K4= -------------------= -1.185 ; K3= ---------------------=+4.59 
 40.28-1.062 4 
 -10+1.185x1.53 -30-1.185x0.05 
K2= -------------------- =-2.047; K1=---------------------=-3.757 
 4 8 
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v1=-5.80-2.00x 1.18=-8.16”=-8”; v5=-1.71-1.30x1.18= -3.24”=-3” 
v2=-5.80+1.57x1.18=-3.95”=-4”; v6=-1.71+2.40x1.18=+1.12”=1” 
v3=+0.83-2.32x1.18=-1.91”=-2; v7=-8.35-3.07 x1.18=-11.97”=-12” 
v4=+0.83+2.70x1.18=+4.02”= 4”; v8=-8.35+2.07x1.18=-5.91”=-6” 
Se redondeo a 1” 
Angulos compensados y su comprobación 
(1) 46°18’42” 9.859203 46°18’42”+ 58°19’07”+ 
(2) 53°26’06” 9.904814 53°26’06” 41°25’41” 
(3) 42°11’28” 9.827113 ------------ ------------- 
(4) 38°03’44” 9.789946 99°44’48” 99°44’48” 
(5) 58°19’07” 9.929920 
(6) 41°25’41” 9.820648 42°11’28”+ 34°33’48” 
(7) 34°33’48” 9.753825 38°03’44” 45°41’24” 
(8) 45°41’24” 9.854653 ------------- ------------ 
----------------- ------------ ------------ 80°15’12” 80°15’12” 
 360° 00’00” 39.370061 39.370061 
47 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
47 
Compensación de cuadrilatero 
con diagonales:ejemplo – pag1 
D 
C 
B 
A 
1 2 
3 
4 
5 
6 
7 8 1 24°22’10.75” 
 2 58°54’34.92” 
 3 68°46’57.32” 
 4 22°53’44.60” 
 5 29°24’00” 
 6 74°37’10.08” 
 7 53°03’23.6” 
 8 27°57’33.75” 
Suma 359°59’35” 
Error angular 25” 
 
48 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
48 
Compensacion de cuadrilatero 
con diagonales:ejemplo pag2 
E3= 360°-359°59’35”=25” 
C3= 25”/8= 3.125” 
E2= angs 7+6- angs 2+3=127° 40’33.68”-127°41’32.24”=58.56” 
C2=58.46/4=14.64” 
E1=angs1+8-angs4+5=52°19’44.5”-52°17’44.60”=1’59.9” 
C1=120”/4=30” 
dl =(log sen del ang. Corregido más un segundo)- 
(log sen del ang. Corregido); en el ejemplo 
Tenemos dl=log sen 24°21’44.875”-log sen 24°21’43.875”=0.46 
K=sumatoria log/sumatoria dl alcuad=84.39/0.82 
 
49 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
49 
Comprobación con E2 y E1 
Ang 7+6-ang 2+3= 127°40’58”-127°41’15”= E2’= 17 C2’=17/4=4.25” 
ang1+8-ang 4+5=52°18’44”-52°19’03”=E1’=19” C1’= 19/4=4.75 
 
50 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
50 
Compensación de cuadrilatero 
con diagonales:ejmplo pag 3 
Ang C1/C2 C3 Ang. corregi logsen 
1 -30” 3.125 24°21’43.875” 9.6154 
2 -14.64 3.125 58°54’23.405” 9.9326 
3 -14.64 3.125 68°46’45.805” 9.9695 
4 +30 3.125 22°54’17.725” 9.5901 
5 +30 3.125 29°24’33.125” 9.6911 
6 +14.64 3.125 74°37’27.845” 9.9842 
7 +14.64 3.125 53°03’41.365” 9.9027 
8 -30 3.125 27°57’6.875” 9.6709 
360°00’0.02” 0.0008
4 
51 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
51 
continuación 
dl dl2 C4(“) Corregido 
0.46 0.21 -47 24°20’56.875” 
0.13 0.02 +13 58°54’36.405” 
0.08 0.01 -08 68°46’37.805” 
0.50 0.25 +51 22°55’8.725” 
0.38 0.14 -39 29°23’54.125” 
0.05 0.0 +05 74°37’32.845” 
0.16 0.03 -16 53°03’25.365” 
0.4 0.16 +41 27°57’47.875” 
 0.82 
52 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
52 
CONTINUACION 
C1/C2(“) Ang.correg logsen dl dl2 
+4.75 24°21’01.625” 4.6 
-4.25 58°54’32.155” 1.3 
-4.25 68°46’33.55” 0.8 
-4.75 22°55’3.975” 5 
-4.75 29°23’44.375” 3.7 
+4.25 74°37’37.095” 1.7 
+4.25 53°03’29.615” 1.6 
+4.75 27°57’52.625” 3.9 
0 360°00’0.01” .000027 82.84 
53 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
53 
continuación 
Ang 7+6-ang4+5= 52°18’53”-52°18’54” E2”= 1” 
54 
Nivelación de alta precisión 
1.-Nivelación Topográfica 
2.-Nivelación Geodésica 
Nivelación Topográfica de alta precisión 
Ep= 0.004 distancia ruta en kilometros 
- Niveles de gran precisión y gran sensibilidad 
- Comprobar y corregir el equipo diariamente 
Proteger equipos del sol 
Puntos sobre planchas 
 
 
 
55 
Errores en Nivelación 
Topográfica 
Ec=Error por Curvatura Terrestre=0.078 K² 
K en Kilometros 
Ec,r= 0.068 K² 
Er= -0.010 K² 
Ec,r=Error Curvatura T. y Refracción Atmosférica 
56 
Nivelación topográfica de alta 
precisión 
-Visuales máximas de 80 metros 
- Distancias iguales vista atrás y vista 
adelante, medidas con estadía 
-Lecturas con los tres hilos horizontales 
y aprox de 0.25 mm 
- Trabajar con dos miras 
- No operar con viento o aire muy 
caliente 
 
57 
Nivelación de alta precisión 
Método de los tres hilos 
Hilo superior 
Hilo reticular 
Hilo inferior 
p V.Atras V.Ade COTA D(m) 
A h.s 1,765 
h.c 1,655 
h.i 1.545 
P= 1,655 
 
 
109.910 108.255 50,0 
1 1,800 
1,723 
1,644 
P=1,722 
108,188 55,00 
54,00 
58 
Redes de nivelación 
 
A 
B 
C 
D 
E 
24 Km 
6.879 
19 Km 
+3.282 
45 Km 
+6.312 
27 Km 
-1.569 
18 Km 
+5.373 
41 Km 
-2.676 
21 Km 
-8.145 
Ec=0.063 
Ec=0.096 
Ec=0.12 
Aproximaciones sucesivas 
-Iniciar con el circuito de 
mayor error y seguir de 
acuerdo al tamaño de error 
 
59 
itine lado K /% I Desn ICorr IDesCo IIDesn IVDesn 
B BC 19/17 +3.282 +0.02 +3.302 +3.302 +3.293 
C CD 45/40 +6.312 +0.05 +6.362 +6.362 +6.342 
D DE 21/19 -8.145 +0.02 -8.125 -8.105 -8.111 
E EB 27/24 -1.569 +0.03 -1.539 -1.520 -1.524 
B total 112/100 -0.12 +0.12 0.0 +0.039 0.0 
A AE 18/22 -5.373 -0.016 -5.389 -5.379 
E ED 21/26 +8.125 -0.020 +8.105 +8.110 
D DA 41/52 -2.676 -0.040 -2.716 -2.711 
A total 80/100 +0.076 -0.076 0.0 0.0 
E EA 18/26 +5.389 -0.013 +5.376 +5.379 
A AB 24/35 -6.879 -0.017 -6.896 -6.902 
B BE 27/39 +1.539 -0.019 +1.520 +1.523 
E total 69/100 +0.049 -0.049 0.0 0.0 
60 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
60 
Ajuste por Minimos cuadrados 
Introducción 
Al evaluar comportamientos en ingeniería; 
debemos buscar la función que nos permita 
bosquejar en un gran porcentaje su 
comportamiento. 
Un método para el caso de funciones lineales 
es el de Mínimos Cuadrados 
Vamoas a buscar y= f(x) que puede ser 
lineal,exponencial o logaritmica 
61 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
61 
Mínimos Cuadrados 
 
 Normalmente se realiza una evaluación de 
los pares extraidos como valores de campo 
 La evaluación considera la consistencia de 
estos datos, como generadora( coeficiente) 
 Como paso previo debe realizarse una 
extracción de aquellos valores puntuales que 
perturban un probable comportamiento. Esta 
separación debe ser como máximo el 30% 
 La función encontrada nos permitirá realizar 
evaluaciones en diferentes condiciones . 
 
 
62 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
62 
Minimos cuadrados-ejemplo 
 X 2 3.0 4.0 5.0 6.0 
 Y 1 2.2 2.9 4.0 5.1 
Función y= ax+b 
63 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
63 
Minimos cuadrados 
 Las diferencias son debido a todos lor 
errores que se suceden en el momento de 
la medición. Estan distribuidos a cada lado 
de la recta, pero definenla tendencia lineal 
e1 
e2 
•L a tendencia será e1+e2+e3+e4+e5+ .....+ei=casi 0 
•Ó e1+e2+e3+e4+..........+ei= mínimo 
64 
11/04/2012TOPOGRAFIA II 
64 
Minimos cuadrados 
 
 y1= ax1+b+e1 
 y2=ax2+b+e2 
 y3= ax3+b+e3 
 E total= e1²+e2²+e3²+.......+ei²= Mínimo 
 dE/da=0 
 dE/db=0 
65 
 Red de nivelación-Mínimos cuadrados 
A 
C 
D 
E 
24 Km 
6.879 
19 Km 
+3.282 
45 Km 
+6.312 
27 Km 
-1.569 
18 Km 
+5.373 
41 Km 
-2.676 
21 Km 
-8.145 
Ec=0.063 
Ec=0.096 
Ec=0.12 Condiciones: 
f1:Vab+Vbe+Vea-0.063=0 
f2:Vda-Vea-Vde-0.096=0 
f3:Vbc+Vcd+Vde-Vbe-0.12=0 
 
 
B 
 F= Vab²+Vbe²+Vea²+Vda²+Vde²+Vbc²+Vcd²=Mín. 
Ec.Lagrange: U=F-2λ1f1-2λ2f2-2λ3f3 
F mínimo δU/δVab=0 2Vab-2λ1(1)=0 Vab=λ1 
δU/δVbe=0 2Vbe-2λ1(1) -2λ3(-1) Vbe= λ1-λ3 
 
66 
Red de nivelación-Mínimos cuadrados 
Ec.Lagrange: U=F-2λ1f1-2λ2f2-2λ3f3 F mín 
δU/δVab=0 2Vab- 2λ1(1)=0 Vab=λ1 
δU/δVbe=0 2Vbe-2λ1(1)-2λ3(-1) =0 Vbe= λ1-λ3 
δU/δVea=0 2Vea-2λ1(1)-2λ2(-1) =0 Vea=λ1-λ2 
δU/δVda=0 2Vda-2λ2(1) =0 Vda= λ2 
δU/δVde=0 2Vde-2λ2(-1) -2λ3(1)=0 Vde= λ3-λ2 
δU/δVbc=0 2Vbc-2λ3(1) =0 Vbc= λ3 
δU/δVcd=0 2Vcd-2λ3(1) =0 Vcd= λ3 
f1:Vab+Vbe+Vea-0.063= λ1+ λ1-λ3 + λ1-λ2 =3 λ1 -λ2 -λ3-0.063 =0 
f2:Vda-Vea-Vde-0.096= λ2-(λ1-λ2 )-(λ3-λ2)=3 λ2- λ1- λ3-0.096=0 
f3:Vbc+Vcd+Vde-Vbe-0.12=λ3+ λ3+(λ3-λ2)-(λ1-λ3 )= 
4 λ3- λ2- λ1-0.12=0 
 
 
F= Vab²+Vbe²+Vea²+Vda²+Vde²+Vbc²+Vcd²=Mín 
67 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
67 
Mínimos Cuadrados angular 
 Caso. Ángulos internos de un triangulo 
 2 v1+v2+v3=180°-(A+B+C) 
1 3 f1=v1+v2+v3-E=0 
F=v1²+v2²+v3²=Mínimo 
Ecuación de Lagrange : U=F-21f1 
Como f1=0 U=F 
“F”mínimo: δU/δv1=0 2v1-2 1(1)=0 v1= 1 
δU/δv2=0 2v2- 2 1(1)=0 v2= 1 y v3= 1 
F1= 1 + 1 + 1 –E=0 1=E/3 
 v1=v2=v3=E/3 
68 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
68 
Mínimos cuadrados 
Compensación con datos de 
diferente precisión 
f1=v1+v2+v3-E=0 
F= P1v1²+ P2v2²+ P3v3²=Mínimo 
Lagrange: U=F-2λ1f1 
Dado que f1=0 U=F 
“F” mínimo : δU/δv1= δU/δv2= δU/δv3=0 
δU/δv1=0 2P1v1- 2λ1(1)=0 v1=λ1/P1 
δU/δv2=0 2P1v2- 2λ1(1)=0 v1=λ1/P2 
δU/δv3=0 2P1v3- 2λ1(1)=0 v1=λ1/P3 
F1=λ1/P1+λ1/P2+ λ1/P3 
 
 
 
 
69 
Mínimos cuadrados Nivelación-diferente precisión 
No olvidar que la 
distancia recorrida es 
inversamente 
proporcional a la 
precisión o peso del 
recorrido. 
A 
C 
D 
E 
24 Km 
6.879 
19 Km 
+3.282 
45 Km 
+6.312 
27 Km 
-1.569 
18 Km 
+5.373 
41 Km 
-2.676 
21 Km 
-8.145 
Ec=0.063 
Ec=0.096 
Ec=0.12 
B 
Condiciones: 
f1:Vab+Vbe+Vea-0.063=0 
f2:Vda-Vea-Vde-0.096=0 
f3:Vbc+Vcd+Vde-Vbe-0.12=0 
 F= PabVab²+PbeVbe²+PeaVea²+PdaVda²+PdeVde²+PbcVbc²+PcdVcd²=Mín. 
F= 1/24Vab²+1/27Vbe²+1/18Vea²+1/41Vda²+1/21Vde²+1/19Vbc²+1/45Vcd²=Mín 
Mínimos cuadrados Nivelación-
diferente precisión 
 
11/04/2012 TOPOGRAFIA II 
70 
Ec.Lagrange: U=F-2λ1f1-2λ2f2-2λ3f3 
U=1/24Vab²+1/27Vbe²+1/18Vea²+1/41Vda²+1/21Vde²+1/19Vbc²
+1/45Vcd²-2λ1f1-2λ2f2-2λ3f3 
δU/δVab=0 1/12Vab- 2λ1(1)=0 Vab=24λ1