Fenómenos del transporte

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Fenómenos
Transportede
Aplicaciones con métodos numéricos
 
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
Autor: Dr. Luis Américo Carrasco Venegas
© Derecho de autor reservado 
 Empresa Editora Macro E.I.R.L.
© Derecho de edición, arte gráfico y diagramación reservados 
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Edición a cargo de:
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Primera edición: Mayo 2011 - 1000 ejemplares
Impreso en los Talleres Gráficos de 
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Lima - Perú 
ISBN Nº 978-612-304-010-9
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2011-06338
Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método de este libro sin 
previa autorización de la Empresa Editora Macro E.I.R.L.
( 
*
Dr. Luis Américo Carrasco Venegas
Luis Carrasco Venegas, es Ing. Químico (UNSCH), Magister en Ingeniería Química (UNI), Doctor en 
Ing. Ambiental (UNFV), Doctorado en Ing. Química, concluidos (UNMSM). Ha realizado estudios 
de especialización en Venezuela y Colombia. Ha trabajado en las industrias de alcohol, azúcar y de 
recubrimientos electrolíticos.
A la fecha cuenta con 24 años de experiencia como Docente Universitario e Investigador, especialmente 
en las áreas de termodinámica, fenómenos de transporte, modelamiento y simulación de procesos, 
ingeniería de procesos, gestión ambiental y química e ingeniería ambiental. Docente de Maestría y 
Doctorado en diversas universidades del país.
Ponente de eventos científicos. Ganador de Premios Nacionales de Fenómenos de Transferencia, Mejor 
Trabajo de Investigación, entre otras distinciones. Asesor Externo de CONCYTEC.
Ha publicado los siguientes libros: “Química Experimental” (05 ediciones), “Métodos Numéricos 
Aplicados a la Ingeniería” (04 ediciones), “Transferencia de Cantidad de Movimiento, Calor y Masa” (02 
ediciones) y actualmente se encuentra editando el libro: “Química General”. Ha desarrollado diversos 
trabajos de investigación en el área de ingeniería química e ingeniería ambiental. Asesor externo de 
consultoras ambientales.
Dedicatoria
A Dios.
A mi amada Familia.
Mi esposa, por todo su esfuerzo y dedicación 
diaria y en especial por haberme dado tres hijos 
maravillosos, Christian, Dayane y Jurai.
A mi alma mater la Universidad Nacional de San 
Cristóbal de Huamanga, por haber brindado mi 
formación profesional.
Especial agradecimiento a la Universidad Nacional 
del Callao, donde me desempeño como Docente 
Principal.
Agradecimiento
A mi ex - profesor y amigo Bernardo Enciso López, 
quien me indujo a la bonita aventura de aplicar la 
ciencia y la tecnología a la solución de los problemas 
de transferencia.
A Madeley Pérez Pereyra, estudiante de la Facultad 
de Ingeniería Química de la UNAC, por su gran 
empeño y dedicación desinteresada, en el desarrollo 
y conclusión del presente texto.
A John Riveros Cones y Gustavo Garay Vásquez, 
estudiantes de la Facultad de Ingeniería Química de 
la UNAC, por su apoyo en el desarrollo de algunos 
programas de los problemas planteados para la 
verificación de los resultados.
Al señor José Ramos Uzco, por todo el apoyo 
administrativo brindado.
A todas y cada una de las personas que de una u 
otra manera han contribuido con los objetivos 
propuestos al inicio del presente Proyecto.
Introducción
Fenómenos de transporte, es uno de los pilares fundamentales de diversos campos de la ingeniería, 
y en especial, para los ingenieros químicos, metalúrgicos, alimentarios, ambientalistas, etc.
Se estudia los mecanismos de transferencia de cantidad de movimiento, energía y materia en sus 
dos aspectos fundamentales: el transporte molecular o por gradiente de potencial respectivo y por 
convección, denominado también por flujo global.
En el caso del transporte por cantidad de movimiento el gradiente de potencial esta expresado en 
términos del gradiente de velocidad mientras que en el caso de transferencia de calor se expresa 
en términos de gradiente de temperatura, y finalmente en el caso de transferencia de materia, el 
gradiente del potencial es la diferencia de potencial químico, sin embargo, para casos prácticos se 
expresa en términos de la diferencia de concentraciones, fracciones molares o presiones parciales.
El estudio de estos mecanismos son de gran importancia puesto que los principios teóricos 
combinados con datos experimentales y algunos modelos empíricos, son considerados en el diseño 
de los diversos equipos de ingeniería.
El texto es el resultado de más de 24 años de experiencia académica y profesional en pre y post 
grado, así como en investigación.
Dentro de los aportes propios podemos mencionar los siguientes temas:
a) Tratamiento de los fluidos no newtonianos: normalmente este tema es tratado en muchos 
textos de manera tangencial; conciente de esta deficiencia, se ha desarrollado metodologías 
generales para obtener el perfil de velocidad en régimen estacionario y no estacionario de los 
diversos modelos de los fluidos no newtonianos.
b) Tratamiento de superficie de enfriamiento: En este caso se ha desarrollado metodologías para 
obtener los modelos de las diversas superficies de enfriamiento, conocido como aletas, y lo más 
importante un solución algebraica usando herramientas matemáticas sencillas.
c) Estudio de las reacciones químicas en el interior de un catalizador: en este tema se ha 
desarrollado una metodología general para obtener los perfiles de concentración y los factores 
de efectividad isotérmica y no isotérmica de reacciones sencillas y complejas para diversas 
geometrías del catalizador.
d) Finalmente, se ha desarrollado modelos de dispersión de contaminantes en cuerpos de agua, 
de procesos químicos y fotoquímicas de algunos componentes en la atmósfera y el diseño de un 
reactor de lecho fijo para la deshidrogenación del ciclohexanol.
Para el desarrollo de los problemas se ha utilizado el software Polymath que se puede obtener 
libremente a través de internet cuya característica principal es su fácil implementación, especialmente 
por docentes e investigadores con poca experiencia en programación.
Por otro lado, esta nueva edición, será de gran utilidad para Estudiantes de Pre y Post grado y 
Docentes que requieren desarrollar algunos modelos de los fenómenos físicos y químicos que se 
presentan en el campo de la ingeniería. Sin duda, se encontrarán errores y puntos débiles, por ello, 
agradecería a los lectores me hagan llegar sus sugerencias, así me permitan hacer de este libro, una 
herramienta de consulta, aún más útil.
Índice
Capítulo 1
TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ....................................................................13
1.1 Introducción ..............................................................................................................................13
1.2 Ley de viscosidad: Fluidos newtonianos y no newtonianos ......................................................14
1.3 Fluidos no newtonianos ............................................................................................................15
1.4 Algunos modelos de fluidos no newtonianos ...........................................................................16
1.5 Estimación del parámetro de transporte viscosidad .................................................................19
1.6 Enfoque deductivo del balance de cantidad de movimiento ....................................................34
1.7 Las ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos aplicados a transporte de cantidad
 de movimiento ..........................................................................................................................94
1.8 Un enfoque matemático de las ecuaciones de conservación ...................................................99
1.9 Aplicaciones de la ecuaciónde la conservación ........................................................................105
1.10 Resolución de la ecuación de blasius para capa límite ............................................................129
1.11 Balance macroscópico de cantidad de movimiento o balance de momento lineal ................145
1.12 Balance macroscópico de cantidad de movimiento en dos direcciones .................................149
1.13 Balance de momento lineal en un codo convergente .............................................................150
1.14 Balance macroscópico de cantidad de movimiento en un álabe fijo ......................................156
1.15 Balance de momento lineal aplicado a un álabe móvil ...........................................................157
1.16 Balance de momento lineal en un ensanchamiento brusco ...................................................159
1.17 Balance de momento lineal aplicado a un eyector .................................................................160
1.18 Descarga múltiple en un ducto común ....................................................................................163
1.19 Problemas propuestos ............................................................................................................167
Capítulo 2
TRANSFERENCIA DE CALOR ..........................................................................................................173
2.1 Introducción ..............................................................................................................................173
2.2 Mecanismos de transferencia de calor .....................................................................................173
2.3 Ley de Fourier de transferencia de calor ...................................................................................174
2.4 Conductividad térmica ..............................................................................................................175
2.5 Correlaciones para el cálculo de la conductividad térmica .......................................................175
2.6 Balance de energía en régimen estacionario, sin generación de energía ...............................181
2.7 Transferencia de calor en paredes compuestas ........................................................................193
2.8 Conducción de calor en una aleta de enfriamiento ..................................................................203
2.9 Transferencia de energía con generación, régimen estacionario ..............................................246
2.10 Ecuación de conservación de energía .....................................................................................260
2.11 Aplicaciones a los reactores químicos ....................................................................................281
2.12 Balance macroscópico de energía ...........................................................................................293
2.13 Balance de energía en un proceso adiabático .........................................................................300
2.14 Balance de energía en un proceso isotérmico ........................................................................304
2.15 Balance de energía mecánica ..................................................................................................305
2.16 Cálculo de las pérdidas de energía ..........................................................................................315
2.17 Flujo de fluidos compresibles ..................................................................................................322
2.18 Condiciones de velocidad máxima y relación crítica de presión .............................................328
2.19 Problemas propuestos ............................................................................................................330
Capítulo 3
TRANSFERENCIA DE MASA ...........................................................................................................339
3.1 Introducción ..............................................................................................................................339
3.2 Relación de concentraciones, velocidades y densidad de flujo de materia ..............................339
3.3 Mecanismos de transferencia de materia .................................................................................342
3.4 Ecuación general del transporte molecular...............................................................................343
3.5 Ley de Fick para la difusión molecular ......................................................................................344
3.6 Difusión molecular y convectiva ................................................................................................346
3.7 Difusión molecular en líquidos ..................................................................................................351
3.8 Coeficientes binarios de difusión de gases, a bajas presiones ..................................................351
3.9 Coeficientes de difusión de líquidos..........................................................................................356
3.10 Coeficientes de difusión en sistemas multicomponente .........................................................360
3.11 Difusión simultanea multicomponente de gases ....................................................................363
3.12 Difusión en sólidos porosos ....................................................................................................364
3.13 Coeficiente de difusión efectiva ..............................................................................................369
3.14 Enfoque deductivo de los modelos de transferencia de masa ................................................370
3.15 Difusión con reacción química ................................................................................................404
3.16 Fenómenos de transferencia de masa interfase - interfase en un catalizador ........................415
3.17 Ecuación de conservación de materia en sólidos ....................................................................421
3.18 Ecuación general de transferencia de masa ............................................................................423
3.19 Modelo cinético para la extracción de un componente distribuido en el interior de un
 medio poroso ..........................................................................................................................430
3.20 Reactor tubular con flujo laminar (método diferencial) ..........................................................433
3.21 Modelo matemático de un reactor isotérmico con difusión radial .........................................439
3.22 Reactor tubular no isotérmico con transferencia de calor constante y difusión radial ...........443
3.23 Reactor batch adiabático .........................................................................................................445
3.24 Distribución de concentración en un plato semicircular, en estado estacionario, 
 sin reacción química ................................................................................................................446
3.25 Perfil de velocidad y factor de efectividad isotérmico ............................................................462
3.26 Difusión en una región finita ...................................................................................................482
3.27 Difusión desde una capa de solución saturada .......................................................................484
3.28 Difusión en dos regiones inicialmente con diferentes concentraciones .................................485
3.29 Transferencia de masa en la dirección radial y angular ...........................................................486
3.30 Transferencia de masa con reacciónquímica de segundo orden en estado no estacionario
 en un catalizador esférico .......................................................................................................492
3.31 Difusión con reacción química en estado no estacionario en tres dimensiones en un 
 catalizador sólido ....................................................................................................................494
3.32 Balance de materia y energía en un reactor batch .................................................................495
3.33 Balance de materia y energía en un reactor tipo tanque con transferencia de calor constante ....496
3.34 Balance macroscópico de materia ..........................................................................................497
3.35 Problemas propuestos ............................................................................................................584
3.36 Anexos .....................................................................................................................................589
Anexo 1: Longitudes, áreas y volúmenes diferenciales en diversos sistemas de coordenadas ...589
Anexo 2: Sistema general de coordenadas...............................................................................592
Anexo 3: Valores promedio de funciones .................................................................................595
Anexo 4: Ejercicios sobre vectores ...........................................................................................597
Anexo 5: Regresión no lineal ....................................................................................................599
Anexo 6: Ecuaciones de conservación ......................................................................................602
13
1.1 INTRODUCCIÓN
El transporte de cantidad de movimiento es una de las áreas donde los ingenieros de diversas 
especialidades tratan temas comunes. Para el caso del Ingeniero Químico es de suma importancia 
el conocimiento de los regímenes de flujo, las ecuaciones de distribución de velocidad, el cálculo de 
caudal, sea para fluidos newtonianos o no newtonianos, los cuales son aplicados en diversos campos 
como transferencia de calor y diseño de reactores. El balance de cantidad de movimiento es estudiado 
a nivel microscópico y a nivel macroscópico. En el siguiente esquema, se muestra el desarrollo del perfil 
estacionario de velocidad de un fluido viscoso.
1
CAPÍTULO
Transferencia de 
cantidad de movimiento
y
y
y
y
x
x
x
x
V
V
V
t < 0
t = 0
t pequeño
t = ∞
(a)
(b)
(c)
(d)
(fluido inicialmente en reposo)
(lámina inferior en movimiento 
a una velocidad v)
(se desarrolla un perfil no 
estacionario)
(desarrollo del perfil de 
velocidad estacionario)
v
x
 (y,t) 
v
x
 (y) 
Figura 1.1 Etapas de desarrollo del perfil de velocidad de un fluido viscoso.
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
14
1.2 LEY DE VISCOSIDAD: FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS
Definición de viscosidad. Para definir adecuadamente la viscosidad de un fluido, veamos el esquema 
de la figura 1.1, en el cual un fluido viscoso se encuentra contenido entre dos placas planas y paralelas 
inicialmente en reposo, tal como se observa en (a); en el instante t = 0 la lámina inferior se pone en 
movimiento a una velocidad V, como se observa en (b). En un tiempo pequeño, en (c), se observa 
el desarrollo de un perfil no estacionario y cuando el tiempo es grande, en (d), se obtiene un perfil 
estacionario. Es preciso indicar de que el movimiento del fluido se debe únicamente a la acción de la 
fuerza aplicada lo cual le comunica la velocidad V. No hay diferencia de presiones ni otras contribuciones 
al flujo.
Cuando se alcanza el estado estacionario del movimiento se requiere aplicar una fuerza F para conservar 
el movimiento de la lámina inferior. Experimentalmente se ha determinado la relación entre la fuerza 
tangencial, F
t
 , el área A, la velocidad, V de la lámina inferior y la distancia de separación entre las placas, 
Y, la cual está dada por:
 µ (1.1)
Para que la constante de proporcionalidad se convierta en una igualdad, se introduce una constante del 
siguiente modo:
 (1.2)
En la ecuación (1.2), desde el punto de vista físico, m, representa la viscosidad del fluido, y desde el punto 
de vista matemático representa una constante de proporcionalidad de una función matemática.
Desde el punto de vista de los fenómenos de transporte, la viscosidad del fluido, se define como una 
medida de la deformación del fluido cuando se aplica una fuerza de corte tal como se observa en la 
figura 1.2.
Las relaciones entre estas fuerzas y la superficie donde se aplican, son:
 τ
xy
 = (1.3)
 P = (1.4)
τ
xy
 : recibe diversas denominaciones, tales como: esfuerzo de corte, esfuerzo cortante, flux de momento o 
densidad de flujo viscoso de transporte de cantidad de movimiento.
P : Presión.
Figura 1.2 Fuerzas aplicadas a un fluido.
 F
t
 : Fuerza tangencial o fuerza de corte.
 F
N
 : Fuerza normal.
A A
F
t
F
N
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
15
La ecuación (1.2) se puede volver a escribir en forma diferencial.
 τ
xy
 = – (1.5)
La ecuación (1.5), se conoce como la Ley de viscosidad de Newton, que es una magnitud tensorial, debido 
a que el movimiento de la lámina inferior en la dirección x, provoca una transmisión de cantidad de 
movimiento en la dirección y.
Los fluidos que obedecen la ecuación (1.5), se denominan fluidos newtonianos y las unidades de τ
xy 
, son 
las mismas que las de la presión.
¿CUÁLES SON LOS FLUIDOS NEWTONIANOS?
Los fluidos newtonianos son los fluidos sencillos o mezclas de ellos, donde existe una dependencia directa 
entre el esfuerzo de corte y el gradiente de velocidad. A su vez obedecen la ley de viscosidad de Newton.
1.3 FLUIDOS NO NEWTONIANOS
Los fluidos no newtonianos son aquellos fluidos tales como: polímeros, pastas, suspensiones, mezclas 
parcialmente miscibles.
En este caso, no existe una dependencia lineal entre τ
xy
 y .
La ciencia que estudia a los fluidos no newtonianos se denomina reología. En forma general, un fluido no 
newtoniano se puede expresar mediante la ecuación:
 τ
xy
 = – (1.6)
en la que η es un parámetro que es función de τ
xy
 o .
• Si η disminuye cuando aumenta – , el fluido se denomina pseudoplástico.
• Si η aumenta cuando aumenta – , el fluido se denomina dilatante.
• Si η es independiente de – , el fluido se denomina newtoniano.
Los fluidos no newtonianos pueden ser representados por modelos de dos, tres o más parámetros, tal 
como se observa en la figura 1.3.
 
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
16
1.4 ALGUNOS MODELOS DE FLUIDOS NO NEWTONIANOS
a) Modelo de Bingham
 τ
yx
 = – μ
0
 ± τ
0
 si |τ
yx
| > τ
0
 
 = 0 , si |τ
yx
| < τ
0
 (1.7)
b) Modelo de Ostwald de Waele (Ley de Potencia)
 τ
yx
 = – m (1.8)
Si n = 1, se transforma en la Ley de viscosidad de Newton.
Pendiente en el 
origen = A/B
(a)
Figura 1.3 Modelos de fluidos no newtonianos
 (a) Modelos de dos parámetros
 (b) Modelos de dos parámetros
(b)
τ
yx
τ
yx
Bi
ng
ha
m
Os
tw
ald
 d
e W
ae
le 
ps
eu
do
pl
ás
tic
o
Os
tw
ald
 d
e W
ae
le 
di
lat
an
te
Re
in
er
 - P
hi
lip
po
ff,
 μ 0
 >
 μ ∞
Ell
is 
α >
 1
Ell
is α
 < 
1Ne
wt
on
ian
oE
yr
in
g
Ne
wt
on
ian
o
Pe
nd
ien
te
 μ
Pe
nd
ien
te
 μ
Pe
nd
ien
te
 1/
φ 0
Pendiente en el 
origen 1/φ
0
Pendiente μ
0
 
en el origen
Pe
nd
ien
te 
μ 0
Pe
nd
ien
te
 μ ∞
τ
0
τ
0
– τ
0
– – 
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
17
c) Modelo de Ellis
 – = (φ
0
 + φ
1
| τ
yx
 |α – 1) τ
yx
 (1.9)
Si α = 1, se transforma en la Ley de viscosidad de Newton.
Si φ
0
 = 0, se transforma en la Ley de potencia.
Si φ
1
 =0, se transforma en la Ley de viscosidad de Newton.
d) Modelo de Eyring
 τ
yx
 = –A arcsen h (1.10)
e) Modelo de Prandtl
 τ
xy
 = A sen–1 (1.11)
f ) Modelo de Williamson
 τ
xy
 = – μ
∞
 (1.12)
Por otro lado, podemos definir la viscosidad aparente para cualquier fluido, como
 μ
a
 = (1.13)
La ecuación (1.13) tiene diversas aplicaciones, principalmente en el cálculo de los valores límites de 
viscosidad.
PROBLEMA 1.1 
Dos planos paralelos se encuentran separados 2 pulg uno del otro. Un plano se mueve a una velocidad de 
10 pies/min y el otro se mueve en la dirección opuesta a 35 pies/min.
a) Calcular el esfuerzo cortante en cada plano. 
b) Calcular la velocidad a intervalos de 0,5 pulg de plano a plano.
RESOLUCIÓN:
El esquema es el siguiente:
 μ = 150 cp ≈ 0,1008 lb/pie.s u
1
 = = 0,16667 pies/s
 y = 2 pulg ≈ 0,1667 pies u
2
 = – = – 0,583 pies/s
u
1
 = 10 pies/min
u
2
 = 35 pies/min
y
x
2 pulg
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
18
Reemplazando en la ecuación (1.5):
a) τ = – 0,1008 = 
τ = 0,4536 = 0,014 
 
b) τ g
c
 = – μ 
0,014 x 3,2 = 
Luego u
2
 = – 1,25 pies/min 
similarmente: y = 1 pulg ≈ 0,0833 pies , u
2
 = – 12,5 pies/min
 y = 1,5 pulg ≈ 0,125 pies , u
2
 = – 22,75 pies/min
PROBLEMA 1.2
Se coloca una placa sobre la superficie de un lubricante de alta viscocidad (100 poises). El lubricante tiene 
0,1 pies de altura. Calcular la fuerza necesaria para desplazar la placa a una velocidad de 2 pies/s. La placa 
tiene 120 cm2 de superficie.
RESOLUCIÓN:
El esquema es el siguiente:
Aplicando la ecuación (1.5): τ
yx
 = 
 
 
 τ
yx
 = 
 τ
yx
 = 4,17 
Luego: 
F = τ
yx
 x A = 4,17 x 120 cm3 = = 0,5386 Lbf
F = ? 
V
x
 = 2 pies/s0,1 pies
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
19
PROBLEMA 1.3
Un eje de 8 cm de diámetro se desliza a 12 cm/s en un cojinete de 20 cm de longitud con una holgura 
de 0,08 mm. Determinar la viscosidad del fluido cuando se aplica una fuerza tangencial de 10 Kgf. La 
longitud del eje es 20 cm.
RESOLUCIÓN:
El esquema del problema es el siguiente:
Aplicando la ecuación (1.5): τ g
c
 = – μ , luego μ = – τ g
c
 
μ = = 13,01 poise
1.5 ESTIMACIÓN DEL PARÁMETRO DE TRANSPORTE VISCOSIDAD
i) GASES PUROS A BAJAS PRESIONES
a) Método teórico
 μ = 
 μ = (1.11)
 
Donde:
μ : viscosidad en micropoises 
M : masa molecular
T : temperatura absoluta (K)
σ : diámetro de colisión en Å
Ω : integral de colisión, adimensional
σ y Ω son funciones de las fuerzas intermoleculares y, por consiguiente, para su evaluación 
se requiere establecer hipótesis sobre la naturaleza de las mismas, que logicamente variarán 
según la naturaleza de las que las moléculas de los gases sean o no polares.
Gases no polares:
En este caso las fuerzas intermoleculares no dependen de la orientación de las moléculas. En estos 
gases se ha comprobado experimentalmente que para grandes distancias entre las moléculas 
dichas fuerzas son atractivas e inversamente proporcional a la distancia y que cuando las moléculas 
se aproximan a distancias muy pequeñas, de algunos Å, surgen fuerzas repulsivas entre ellas que 
varían mucho más rápidamente con la distancia.
y
8 cm
F = 10 kgf
0,08 mm
u = 12 cm/s
x
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
20
 
 Fig. 1.4 Energia potencial de las moleculas como de la distancia de separacion
La ecuación anterior se anula cuando r = σ y r = ∞
La función E
p
 derivada e igualada a cero, conduce a un valor r
m
 = , que sustituido en la propia 
función conduce a E
pmin
 = – ε.
Numerosos investigadores han determinado la integral de colisión Ω
μ
 en función de la ecuación 
de Lennard Jones.
 Ω
μ
 = (1.12)
 T* = : Temperatura adimensional
Aplicable en el intervalo 0.3 ≤ T* ≤ 100 con error medio de 0,064%.
Gases no polares:
Para moléculas polares debe utilizarse una función potencial E
p
 más adecuada que la de Lennard 
Jones. La ecuación de Stockmayer, debe aplicarse en los casos de gases no polares.
 Ω
μ
 (Stock mayer) = Ω
μ
 (Lennard Jonnes) + 0,2 (1.13)
Con δ = , donde: ε y σ parámetro.
 μ
P
, es el momento dipolar.
b) Método de los estados correspondientes
De la ecuación (1.11) se deduce la siguiente proporcionalidad entre la viscosiad y las variables que 
la afectan:
 μ µ (1.14)
rrmσ
r
E = 0
E
p
– ε
Ecuación de Lennard - Jonnes
E
p
 = 4ε 
r : Es la distancia entre 
 las moléculas
σ : Diámetro de colisión
E
p
 → 0 si r → ∞
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
21
El diámetro de colisión σ puede considerarse proporcional a la potencia 1/3 del volumen crítico 
de las moléculas, v
c
:
 σ µ Þ (1.15)
Siendo T
c
 y P
c
 la temperatura y presión crítica. Por tanto, de las dos proporcionalidades anteriores 
se deduce, para la viscosidad en las condiciones crítica:
 μ
c
 µ (1.16)
Ahora definimos la viscosidad reducida:
 μ
r
 = = = f (T
r 
) Þ = f (T
r 
) (1.17)
Gases no polares: (Ecuación de Thodos)
 = (1.18)
 μ: micropoises ; T
c
 : K ; P
c
 : atmósferas
Reichemberg sugirió la siguiente correlación:
 μ = (1.19)
Para la mayoría de los compuestos inorgánicos, está dado por:
 a* = (1.20)
 μ : micropoises ; T
c
 : K ; P
c
 : atmósferas 
Para compuestos orgánicos el parámetro a*, esta dado por:
 a* = (1.21)
n
i
 : el número de grupos atómicos del tipo 2
c
i
 : las contribuciones de cada grupo
Por ejemplo:
 : c
i
 = 9,04
 : c
i
 = 3,59 (anillo)
Gases polares: Se puede utilizar la ecuación (1.19) que implica errores menores del 4%.
CH
3
C
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
22
PROBLEMA 1.4
Mediante los métodos teóricos y de los estados correspondientes, estímese la viscosidad del SO
2
 a 40 °C 
y 1 atm. En tales condiciones la viscosidad experimental es μ = 135 μp.
Datos: T
c
 = 430,8 K ; P
c
 = 77,8 atm ; V
c
 = 122,0 cm3/mol
RESOLUCIÓN:
a) Método teórico: μ = 26,69 
Se sabe que: μ = 1,63 debyes ; σ = 4,04 Å ; = 347 K ; δ = 0,42
La temperatura adimensional: 
T* = = 0,902
Ω
μ
 (Lennard – Jones) = = 1,680
Como el SO
2
 es un gas polar:
Ω
μ
 (Stock Mayer) = 1,680 + = 1,719
Y sustituyendo valores: 
μ = 26,09 = 134,6 μp
Error = x 100 = – 0,3%
 
b) Método de los estados correspondientes: 
Usamos la ecuación de Reichemberg: 
 μ = 
 a* = = = 185,7
 μ = = 136,7
Comparando con el valor experimental: 
Error = x 100 = 1,25% 
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
23
ii) Mezclas gaseosas a pequeñas presiones
a) Método teórico:
La ecuación propuesta es:
 μ
m
 = (1.22)
 ф
ij
 = (1.23)
 
 ф
ij
 = (1.24)
 
Estas ecuaciones han sido comprobadas reiteradamente, salvo en los casos en que M
i
 >> M
j
 y 
μ
i
 >> μ
j
 , está ecuación normalmente conduce a errores inferiores 2 - 4 %.
b) Método de Brokaw para la estimación de ф
ij
 : 
 ф
ij
 = (1.25)
S
ij
 es igual a la unidad cuando i, j son apolares de lo contrario se calcula mediante la ecuación 
(1.30)
Donde A
ij
 es una función exclusiva de los pesos moleculares:
 A
i,j
 = (1.26)
Siendo: 
 m
ij
 = (1.27)
 M
ij
 = (1.28)Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
24
La ecuación anterior puede simplificarse: a:
Si 0,4 < < 1,33 , con un error < 1%.
 A
ij
 = (1.29)
 S
ij
 = S
ji
 = (1.30)
PROBLEMA 1.5
Estimese la viscosidad de una mezcla de la siguiente composición molar: SO
2
 (8%); O
2
 (13%); N
2
 (79%) 
que se encuentra a 1 atm y 20 °C.
RESOLUCIÓN:
Viscosidades de sustancias puras a 1 atm y 20 °C en micropoises:
SO
2
 = 125 ; O
2
 = 203 ; N
2
 = 175
Como se trata de una mezcla gaseosa a presión atmosférica, se usará el método de Wilke:
μ
m
 = ; ф
ij
 = 
SO
2
 : 1 ; O
2
 : 2 ; N
2
 : 3
 μ
m
 = = 172 μp
i j ф
ij
y
j
ф
ij 
y
j
1 1 1 1 1 0,08 0,08
1 2 2 0,616 0,562 0,13 0,073 0.591
1 3 2,286 0,714 0,555 0,79 0,438
2 1 0,5 1,623 1,827 0,08 0,146
2 2 1 1 1 0,13 0,130 1.071
2 3 1,143 1,160 1,007 0,79 0,795
3 1 0,437 1,400 1,778 0,08 0,142
3 2 0,875 0,862 0,992 0,13 0,129 1.061
3 3 1 1 1 0,79 0,79
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
25
iii) Gases puros a presiones elevadas
Sólo en determinadas regiones de presión y temperatura, la viscosidad de los gases es una función 
sensible de la presión. Habitualmente tales variaciones no son significativas a temperaturas reducidas 
muy elevadas o a presiones reducidas muy bajas.
 μ
c
 = 7.7 (1.31)
 μ
c
 : encentipoise ; T(K) ; P(atm) 
 
Gases no polares:
 (1.32)
μ – μ0 : Se denomina viscosidad residual
 ρ
r
 : Densidad reducida (0,1 ≤ ρ
r
 ≤ 3)
Gases polares:
 (μ – μ0) ρ
r
 ≤ 0,1) (1.33)
 (μ – μ0) = 0,0607(9,045ρ
r
 + 0,63)1,739 ; (0,1 ≤ ρ
r
 ≤ 0,9) (1.34)
 = 0,6439 – 0,1005ρ
r
 ; 0,9 ≤ ρ
r
 ≤ 2,2 (1.35)
 = 0,6439 – 0,1005ρ
r
 – 4,25 x 10–4 ( – 10,65)2 ; 2,2 ≤ ρ
r
 ≤ 2,6 (1.36)
 
 (μ – μ0) = 90 ; ρ
r
 = 2,8 (1.37)
 (μ – μ0) = 250 ; ρ
r
 = 3 (1.38)
Donde μ y μ0 son las viscosidades en micropoises.
Los errores son siempre inferiores al 10%.
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
26
PROBLEMA 1.6
Estime la viscosidad de n-butano a 171 °C y las siguientes presiones: 6,8 atm; 34 atm y 68 atm.
Datos: Coeficientes de compresibilidad y viscosidad experimental del n-butano a 171 °C y diferentes 
presiones:
Condiciones críticas: T
c
 = 425,2 K ; P
c
 = 37,5 atm ; V
c
 = 255 cm3/mol
RESOLUCIÓN:
a) Método gráfico:
La viscosidad crítica, se calcula mediante: μ
r
 = 
 μ
c
 = = 239,6 μp
 
 μ = μ
c
 x μ
r
 = 239,6 μ
r
 
Presión 
(atm)
z μ (μ
p
)
1 1,00 112
6,8 0,93 113
34 0,54 134
68 0,29 405
Presión 
(atm)
Pr = T = μ
r
μ(μ
p
)
error 
(%)
6,8 0,181 1,044 0,45 108 – 4,4
34 0,907 1,044 0,70 168 25,4
68 1,813 1,044 2,20 527 30,1
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
27
0.4
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
Líquido
Región de 
dos fases
Punto 
crítico
Límite a baja densidad
Temperatura reducida T
r
 = T/T
c
Vi
sc
os
id
ad
 re
du
ci
da
 μ
r =
 μ
/μ
c
0.5
1
p
r
 = 0.2
2
3
5
10
25
p
r
 = 
Gas denso
0.5 0.6 0.8 1.0 2 3 4 5 6 8 10
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
28
b) Usando el método de Thodos:
Esta ecuación es aplicable en el rango: 0,1 ≤ ρ
r
 ≤ 3
 
La densidad reducida es: ρ
r
 = 
Sustituyendo valores se obtiene:
Pudiéndose observar que los errores disminuyen apreciablemente con éste método de estimación.
iv) Mezcla gaseosa a presiones elevadas
Dean y Stiel proponen la siguiente correlación para la estimación de las viscosidades de mezclas 
gaseosa a presiones elevadas.
 (1.39)
En la que μ
m
 y son las viscosidades de las mezclas (micropoises) a elevada y baja presión, 
respectivamente y ρ
rm
 = la densidad pseudoreducida de la mezcla.
 T
cm
 = (1.40) 
 Z
cm
 = (1.41)
 V
cm
 = (1.42)
 P
cm
 = (1.43)
Para mezclas gaseosas apolares, el error es menor al 10% la viscosidad reducida se obtiene de la Fig. 
Nro 1.5
Presión 
(atm)
ρ
r
μ(μ
p
)
error 
(%)
6,8 0,051 No es aplicable
34 0,441 147 + 9,8
68 1,642 457 + 13
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
29
PROBLEMA 1.7
Estime la viscosidad de una mezcla gaseosa de metano (40%) y propeno (60%) a 225 °C y 100 atm.
Condiciones críticas: 
Viscosidad de la mezcla gaseosa a 1 atm y 225 °C, μ = 142 μp, factores de comprensibiliad a 225 °C y 
100 atm: metano, 0,98; propano, 0,76.
RESOLUCIÓN:
Usamos la ecuación: 
 
 ( = 142 μp)
 T
cm
 = 0,4 x 190,6 + 0,6 x 369,8 = 298,12 K
 M
m
 = 0,4 x 16 + 0,6 x 44 = 32,80 ; V
cm
 = 0,4 x 99 + 0,6 x 203 = 161,40 
 Z
cm
 = 0,4 x 0,288 + 0,6 x 0,281 = 0,284 
 P
cm
 = 
 P
cm
 = = 43,01 atm
 V
metano
 = = 0,400 
 V
propano
 = = 0,310 
 V
m
 = 0,4 x 400 + 0,6 x 310 = 346,0 
 ρ
rm
 = = 0,466
Sustituyendo valores:
 
 μ
m
 = 177 μp
Tc (K) Pc (atm) Vc Zc
Metano 140,6 45,4 99,0 0,288
Propano 369,8 41,9 203,0 0,281
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
30
Parámetros σ y para diversas sustancias
Compuestos σ (Å) (K)
Ar Argón 3,542 93,30
He Helio 2,551 10,22
Kr Kriptón 2,655 178,9
Ne Neón 2,820 32,8
Xe Xenón 4,048 231,0
Aire Aire 3,711 78,6
BCl
3
Cloruro de boro 5,127 337,7
BF
3
Fluoruro de boro 4,198 186,3
B(OCH
3
)
3
Borato de metilo 5,503 396,7
Br
2
Bromo 4,296 507,9
CCl
4
Tetracloruro de carbono 5,947 322,7
CF
4
Tetrafluoruro de carbono 4,662 134,0
CHCl
3
Cloroformo 5,380 340,2
CH
2
Cl
2
Cloruro de metileno 4,898 356,3
CH
3
Br Bromuro de metileno 4,118 449,2
CH
3
Cl Cloruro de metilo 4,182 350,0
CH
3
OH Metanol 3,626 481,8
CH
4
Metano 3,758 148,6
CO Monóxido de carbono 3,690 91,7
COS Sulfuro de carbonilo 4,130 336,0
CO
2
Dióxido de carbono 3,491 195,2
CS
2
Disulfuro de carbono 4,483 467,0
C
2
H
2
Acetileno 4,033 231,8
C
2
H
4
Etileno 4,163 224,7
C
2
H
6
Etano 4,443 215,7
C
2
H
5
Cl Cloruro de etilo 4,898 300,0
C
2
H
5
OH Etanol 4,530 362,2
CH
3
OCH
3
Eter dimetílico 4,307 396,0
CH
2
CHCH
3
Propileno 4,678 298,9
CH
3
CCH Metil acetileno 4,761 251,8
C
3
H
6
Ciclopropano 4,807 248,9
C
3
H
8
Propano 5,118 237,1
TABLA 1.1
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
31
n-CH
3
H
7
OH Alcohol n-propílico 4,549 576,7
CH
3
COCH
3
Acetona 4,600 560,2
CH
3
COOCH
3
Acetato de metilo 4,936 469,8
n-CH
4
H
10
n-Butano 4,687 531,4
iso-CH
4
H
10
Isobutano 5,278 330,1
C
2
H
5
OC
2
H
5
Eter dietìlico 5,678 313,8
CH
3
COOC
2
H
5
Acetato de etilo 5,205 521,3
n-CH
5
H
12
n-Pentano 5,784 341,1
C(CH
3
)
4
2,2 Dimetilpropano 6,464 193,4
C
6
H
6
Benceno 5,349 412,3
C
6
H
12
Ciclohexano 6,182 297,1
n-C
6
H
14
n-Hexano 5,949 399,3
Cl
2
Cloro 4,217 316,0
F
2
Flúor 3,357 112,6
HBr Ácido bromhídrico 3,353 449,0
HCN Ácido cianhídrico 3,360 569,1
HCl Ácido clorhídrico 3,339 344,7
HF Ácido fluorhídrico 3,148 330,0
HI Ácido iodhídrico 4,211 288,7
H
2
Hidrógeno 2,827 59,7
H
2
O Agua 2,641 809,1
H
2
O
2
Peróxido de hidrógeno 4,196 289,3
H
2
S Ácido sulfhìdrico 3,623 301,1
Hg Mercurio 2,969 750,0
HgBr
2
Bromuro de mercurio 5,080 686,9
HgCl
2
Cloruro de mercurio 4,550 750,0
HgI
2
Ioduro de mercurio 5,625 695,6
I
2
Iodo 5,160 472,2
NH
3
Amoníaco 2,900 558,3
NO Oxido nitroso 3,492 116,7
N
2
Nitrógeno 3,798 71,4
N
2
O Oxido nítrico 3,828 232,4
O
2
Oxígeno 3,467 106,7
SO
2
Dióxido de azufre 4,112 335,4
SiF
4
Tetrafluoruro de silicio 4,880 171,9
SnBr
4
Bromuro estánnico 6,388 563,7
UF
6Hexafluoruro de uranio 5,967 236,8
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
32
Parámetros de la función potencial de Stockmayer
Compuestos μ
p
 (debyes) σ (Å) (K) δ
Agua 1.85 2.52 775 1.0
Amoniaco 1.47 3.15 358 0.4
Acido clorhídrico 1.08 3.36 328 0.34
Acido bromhídrico 0.80 3.41 417 0.14
Acido iodhídrico 0.42 4.13 313 0.029
Dióxido de azufre 1.63 4.04 347 0.42
Acido sulfhídrico 0.92 3.40 343 0.21
Cloruro de nitrosilo 1.83 3.53 690 0.4
Cloroformo 1.013 5.31 355 0.07
Cloruro de metileno 1.57 4.52 483 0.2
Cloruro de metilo 1.37 3.94 414 0.5
Bromuro de metilo 1.80 4.25 382 0.4
Cloruro de etilo 2.03 4.45 423 0.4
Metanol 1.70 3.69 417 0.5
Etanol 1.69 4.31 431 0.3
Alcohol n-propilico 1.69 4.71 495 0.2
Alcohol i-propílico 1.69 4.64 518 0.2
Éter dimetílico 1.30 4.21 432 0.19
Éter dietílico 1.15 5.49 362 0.08
Acetona 1.20 4.50 549 0.11
Acetato de metilo 1.72 5.04 418 0.2
Acetato de etilo 1.78 5.24 499 0.16
Nitrometano 2.15 4.16 290 2.3
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
33
Valores de las contribuciones de los grupo C, para la estimación del parámetro a*
Grupo Contribución C
i
Grupo Contribución C
i
CH
3
9.04 Br 12.83
CH
2
(no en anillo) 6.47 OH (alcoholes) 7.96
CH (no en anillo) 2.67 O (no en anillo) 3.59
CH
2
(no en anillo) – 1.53 CO (no en anillo) 12.02
CH
2
7.68 CHO (aldehidos) 14.02
CH (no en anillo) 5.53 COOH (ácidos) 18.65
C 1.78 COO (esteres) ó
 HCOO (formiatos) 13.41
CH 7.41 NH
2
9.71
C (en anillo) 5.24 NH (no en anillo) 3.68
CH
2
(en anillo) 6.91 N (en anillo) 4.97
CH (en anillo) 1.16 CN 18.13
C (en anillo) 0.23 S (en anillo) 8.86
CH (en anillo) 5.90 F 4.46
C (en anillo) 3.59 Cl 10.06
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
34
1.6 ENFOQUE DEDUCTIVO DEL BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
a) Flujo de fluidos en régimen laminar
Regímenes de flujo
Los regímenes de flujo se caracterizan de acuerdo al parámetro adimensional denominado número de 
Reynolds. Estos regímenes se denominan laminar, de transición y turbulento.
El número de Reynolds relaciona la fuerza de inercia del fluido y la fuerza de rozamiento, y se define 
como:
 Re = (1.44)
Re: número de Reynolds.
 : velocidad media del fluido.
d : diámetro del tubo, (si el flujo no es a través de un tubo de reacción circular, se calcula el diámetro 
equivalente, d
eq
).
m : viscosidad del fluido.
 d
eq
 = 4 x (1.45)
En la figura 1.6 se observa gráficamente los regímenes de flujo. Los perfiles de velocidad se observan 
en la figura 1.7.
El caso del flujo pistón, es un patrón de flujo ideal que se aplica en las ecuaciones de diseño de 
reactores debido a que Vz ≠ f(r) , por lo cual la resolución de los modelos cinéticos se hace mucho más 
sencilla. En este tipo de flujo la velocidad es constante respecto al radio.
El perfil de velocidad del flujo laminar puede ser obtenido mediante los balances de cantidad de 
movimiento y el uso de la Ley de viscosidad de Newton para el caso de fluidos newtonianos.
Los perfiles de velocidad del flujo turbulento y de transición se establecen mediante relaciones 
semiempíricas y empíricas.
 
a. Flujo laminar
(líneas de corriente
paralelas)
Re < 2100
b. Flujo de transición
(líneas de corriente 
con ondulaciones)
2100 < Re < 3500
c. Flujo turbulento
(líneas de corriente 
en completo caos)
Re > 3500
Figura 1.6 Regímenes de flujo, con valores de Re obtenidos experimentalmente en la cuba 
 de Reynolds, para el caso del agua.
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
35
 
 
b) Flujo de una película descendente
Este tipo de flujo es aplicable cuando se realiza la concentración de soluciones que se descomponen 
cuando se hace la ebullición directa. La solución se hace deslizar a través de una superficie y se 
suministra calor en forma indirecta, generalmente con vapor, y se logra evaporar el agua de la solución, 
obteniendo un producto de mayor concentración, tal como se observa en el esquema de la figura 1.6.
En este esquema, la viscosidad puede considerarse variable, en otras aplicaciones donde no hay 
intercambio de calor, la viscosidad se considera constante.
 
El sistema de la película descendente es aplicable con las siguientes suposiciones:
a) Régimen laminar.
b) En la interfase sólido fluido, la velocidad del fluido es nula.
c) Las propiedades físicas del sistema permanencen constantes.
d) Los fenómenos de perturbación por “efectos finales” no se consideran.
Ahora aplicamos el balance de cantidad de movimiento en el esquema de la figura 1.7, previamente 
rebatimos parte del esquema y se presentan los detalles tal como se observa en la figura 1.9.
a. Flujo laminar b. Flujo de transición c. Flujo turbulento d. Flujo pistón
Figura 1.7 Representación esquemática de los patrones de flujo en tubo.
Superficie de
intercambio de
calor por donde
se desliza el 
fluido
Solución
diluida
Solución
concentrada Fuent
e de c
alor
VaporPelícula descendente
Figura 1.8 Esquema de un sistema de concentración por flujo de una película.
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
36
 
Para tener una mayor comprensión del sistema de estudio, al esquema anterior representamos en un 
sistema de tres coordenadas.
 
(*) El sistema de refrencia es arbitrario, por lo cual, el perfil de velocidad resultante estará 
en función de dicho sistema de referencia, sin embargo, el flujo volumétrico o caudal, es 
independiente de cualquier sistema de referencia.
Comenzamos aplicando un balance de cantidad de movimiento z, sobre una envoltura de espesor Δx 
limitada entre z = 0 y z = L y que se extiende hasta una distancia w en la dirección y.
El balance general de cantidad de movimiento está dado por:
 (1.46)
Figura 1.9 Esquema para el balance de cantidad de movimiento.
Salida de 
cantidad de 
movimiento 
por flujo 
covectivo 
o global
 en z = L
Salida de cantidad de 
movimiento por transporte 
viscoso o molecular
V
z
(x) 
τ
xz
(x) 
x
zΔx
L
δ
β
Entrada de cantidad 
de movimiento por 
flujo convectivo o 
global z = 0
Entrada de cantidad de 
movimiento por transporte 
viscoso o molecular
Figura 1.10 Esquema tridimensional de la película descendente.
Sistema de
referencia (*)
x
z
y
L
W
z
x
δ
Δx
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
37
La entrada y salida de cantidad de movimiento se debe a dos contribuciones: el convectivo o global, y 
el molecular o viscoso.
La generación de cantidad de movimiento se debe a las fuerzas superficiales o de presión, y las fuerzas 
volumétricas o corporales.
En esta primera parte del curso, presentamos dicho balance en régimen estacionario, por lo cual, el 
miembro derecho de la ecuación (1.46) es igual a cero.
Las fuerzas de presión no están presentes en este sistema, debido a que ambos extremos están 
abiertos a la atmósfera.
Reemplazando en la ecuación (1.46)
 (1.47)
Debido a que el flujo de masa es constante, el término correspondiente al transporte convectivo, 
también lo es, por lo cual, se elimina el balance de cantidad de movimiento, luego la ecuación (1.14) 
se reduce a:
 
Cambiando el signo, dividiendo por LwDx y haciendo de que Δx → 0.
 = ρg cosβ (1.48)
 = ρg cosβ (1.49)
La ecuación (1.49) es la ecuación diferencial que describe el flujo de un fluido de la película descendente. 
Integrando la ecuación (1.15):
 τ
xz
 = ρg cosβx + C’
1 
 (1.50)
La ecuación (1.16) representa la ecuación de distribución de la densidad de flujo cantidad de 
movimiento, es independiente del tipo de fluido (sea newtoniano o no newtoniano).
Considerando el flujo de un fluido newtoniano, introducimos la ecuación de la Ley de viscosidad de 
Newton en la ecuación (1.16), y obtenemos:
 V
z
 = –x2 + C
1
x + C
2
 (1.51)
Entrada de cantidad de 
movimiento por transporte 
molecular o viscoso.
LWτ
zx x
Salida de cantidad de 
movimiento por transporte 
molecular o viscoso.
LWτ
zx x + Δx
Entrada de cantidad de 
movimiento por transporte 
covectivo.
(WΔx V
z
)(ρV
z
)
 z = 0
Salida de cantidad de 
movimiento por transporte 
covectivo.
(WΔx V
z
)(ρV
z
)
 z = L
Generación de cantidad de movimiento por 
(fuerza gravitacional que actúa sobre el fluido).
(LWΔx)(ρcosβ)
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
38
La ecuación (1.17) representa la ecuación de distribución de velocidad.
En las ecuaciones (1.16) y (1.17) se determinan las constantes de integración, para lo cual usamos las 
condiciones de frontera siguientes:
 x = 0 , V
z
 = 0 (a) 
 x = δ , = 0 (V
z
 = V
z, máx
) (b) 
reemplazando la condición (a) en la ecuación (1.51):
 0 = – x 02 + C
1
(0) + C
2
 → C
2
 = 0
derivando la ecuación (1.51):
 = – + C
1
 
reemplazando en la condición (b)
 C
1
 = – x δ 
reemplazando C
1
 y C
2
 en la ecuación (1.51) y ordenando:
 V
a
 = (1.52)
la ecuación (1.52) se denomina ecuación de distribución de velocidad o ecuación de prefil de 
velocidad: de acuerdo a la ecuación (1.50)
 C'
1
 = – C
1
 x μ
reemplazando este valor en la ecuación (1.50)
 τ
xz
 = – ρgcosβδ (1.53)
la ecuación (1.53) se denomina ecuación de la distribución de esfuerzos o ecuación de distribución de 
la densidad de flujo viscoso de transporte de cantidad de movimiento.
La velocidad máxima se obtiene haciendo x = δ en (1.52), es decir:
 V
z,máx
 = (1.54)
el caudal o flujo volumétrico se obtiene mediante:
 Q = (1.55)
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
39
reemplazando (1.53) en (1.55):
 Q = 
 
 Q = (1.56)
Normalmente es posible conocer el flujo volumétrico de manera experimental, por lo cual, en la 
ecuación (1.56) es posible conocer el espesor de la película:
 (1.57)
La fuerza de rozamiento en la pared se calcula mediante
 (1.58)
 ó (1.59)
Si consideramos el eje de referencia en sentido opuesto al gráfico anterior, es decir, en dirección de la 
transimisión de la cantidad de movimiento por difusion molecular:
 x = 0 , (c)
 x = δ , V
z
 = 0 (d)
derivando la ecuación 1.51:
 = – + C
1 
 (1.60)
usando (c): C
1
 = 0 
usando (d): C
2
 = 
Sistema de
referencia
x
z
y
L
W
z
x
δ
Δx
Figura 1.11 Esquema tridimensional de la película con nuevos ejes de referencia, 
 en dirección a la transmisión de cantidad de movimiento.
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
40
lo cual permite obtener el perfil de velocidad:
 V
z
 = – + = (1.61)
Si bien la ecuación 1.26 es diferente a la ecuación (1.61) conocidos como el perfil de velocidad se puede 
demostrar que el caudal o flujo volumétrico es el mismo al margen del sistema de referencia tomado.
El caudal usando (1.61) se obtiene mediane:
 Q = (1.62)
el resultado de la ecuación (1.62) es idéntica a la ecuación (1.56)
c) Flujo de un fluido a través de un tubo de sección circular
Este tipo de flujo se presenta en diversas aplicaciones donde se requiere que el fluido tenga altos 
tiempos de residencia en el tubo, ya sea con la finalidad de propiciar una reacción química o transferir 
calor en forma adecuada.
a. Parte de un sistema de flujo laminar. b. Porción del sistema de estudio.
d. Esquematización del volumen 
 de control de espesor Δr.
c. Perfiles de velocidad y de esfuerzos.
Figura 1.12 Esquematización de un sistema de flujo para la aplicación del balance 
 de cantidad de movimiento.
Flujo
Flujo
L
L
Δr
R
r
r
z
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
41
Veamos el esquema siguiente (Figura 1.11) donde el tubo de longitud L, es una porción de todo un 
sistema de flujo.
 
 
Sumando cada uno de los términos
 
 + 2πrΔrLρg + 2πrΔrp
0
 – 2πrΔrp
L
 = 0 (1.63)
Los términos convectivos normalmente son iguales, por lo cual la diferencia se anula, luego, la 
ecuación anterior se divide por 2πrΔrL y luego se toma el límite:
Entrada de cantidad 
de movimiento por 
transporte molecular.
 x 2πrL
Salida de cantidad 
de movimiento por 
transporte molecular.
 x 2π(r + Δr)L
Entrada de cantidad 
de movimiento por 
transporte convectivo.
Salida de cantidad 
de movimiento por 
transporte convectivo.
Fuerza de presión 
a la entrada en la 
superficie anular.
Fuerza de presión a la 
salida en la superficie 
anular.
Fuerza gravitacional que actúa en la 
envoltura anular.
2πrΔrLρg
Entrada de cantidad de movimiento 
por transporte convectivo.
Entrada de cantidad
de movimiento por
transporte molecular.
Salida de cantidad
de movimiento por
transporte molecular.
Salida de cantidad de movimiento
por transporte convectivo.
Presión, P
0
Presión, P
L
L
r
Δr
z
Figura 1.13 Términos del balance de cantidad de movimiento 
 en un elemento diferencial de volumen.
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
42
Luego: 
 
 p
L
 = p
0
 + ρgL → p
L
 – ρgL = p
0
 
 
 (1.64)
La ecuación (1.64) representa la ecuación diferencial del flujo vertical hacia abajo en un tubo por 
efecto de la gravedad y la diferencia de presiones.
Integrando la ecuación (1.25)
 r τ
rz
 = 
 τ
rz
 = (1.65)
Si el fluido es newtoniano se tiene: τ
rz
 = – μ luego reemplazamos en (1.65)
 – μ = 
 V
z
 = – r2 + C
1
 Lnr + C
2
 (1.66)
Aplicando las condiciones de frontera:
 r = 0 , = 0 ó τ
rz
 = 0 (a)
 r = R , Vz = 0 (b)
Usando la condición (a), para que la solución sea acotada, C
1
 debe ser igual a cero, y también C’
1
 , 
luego
 V
z
 = r2 + C
2 
 (1.67)
Usando la condición (b): 
 C
2
 = R2 
– P
L
P
0
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
43
Luego, reemplazando en la ecuación (1.67)
 V
z
 = (1.68)
la ecuación (1.68) se denomina ecuación de distribución de velocidad.
Ahora podemos realizar los siguientes cálculos de los siguientes parámetros de flujo.
 a) Velocidad máxima
En la ecuación (1.68) hacemos r = 0, luego:
 V
z,máx
 = R2 (1.69)
b) Velocidad media
 (1.70)
c) Relación entre velocidad máxima y velocidad media
 = 2 (1.71)
d) Caudal o flujo volumétrico
 Q = x A = (1.72)
La ecuación (1.72) se denomina “La ecuación de Hagen-Poiseville”.
e) El componente z de la fuerza del fluido sobre la superficie mojada de la tubería, F
z
.
 F
z
 = = πR2 (P
0
 – P
L
) = πR2 (P
0
 – P
L
) + πR2 Lρg (1.73)
f) Esfuerzo máximo en la pared
 (1.74)
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
44
PROBLEMA 1.8
Repetir el cálculo del perfil de velocidad del flujo de un fluido newtoniano a través de un tubo de sección 
circular usando el método numérico de diferencias finitas, con los siguientes datos:
μ = 20 cp , L = 20 cm , ΔP = 0,02 , R = 1 cm , Δr = 0,1 cm
Solución: Partimos desde la ecuación de conservación de cantidad de movimiento para el flujo en un 
tubo talcomo se indica en la ecuación (1.64)
 (1)
Ley de viscosidad de Newton:
 τ
rz
 = – μ (2)
Reemplazando (2) en (1):
 
Derivando y simplificando:
 (3)
La ecuación (3) se usa para todo r ≠ 0
Cuando r = 0
Reemplazando en (3):
Luego:
 (4)
Derivando la ecuación (4)
 (5)
Haciendo i = 0 y simplificando:
 (6)
Discretizando la ecuación (3):
 (7)
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
45
Simplificando:
 (8)
Desarrollando la ecuación (8)
Para i = 1:
 (9)
Para i = 2:
 (10)
y así sucesivamente
para i = 9
 (11)
Con:
 V
–1
 = V
0
 (Velocidad máxima)
 V
10
 = 0 (Velocidad en la pared)
se resuelve simultaneamente las ecuaciones (6), (9), (10), las demás ecuaciones para i = 1, 2, 3, ... 8 y la 
ecuación (11)
Con los datos antes indicados, se obtiene el perfil de velocidad y el caudal, mediante el programa MODELO 
DE NEWTON_pol. En este problema vamos a desarrollar paso a paso el procedimiento numérico para 
calcular el caudal.
Del programa se obtuvo el siguiente perfil de velocidad:
Tabla Nro. 1.3 Resultado de la ejecución del programa MODELO DE NEWTON_pol.
r (cm)
Vz (r) 
(cm/s)
0
0,1
0,2 
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
134,75
132,3
127,4
120,05
110,5
98
83,3
66,15
46,55
31,10
0
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
46
Usando la tabla se calcula el caudal o flujo volumétrico 
 Q = (12)
Ya que no se dispone de una función explicita, si no de una función tabular la integral se obtiene mediante 
un método numérico, para lo cual se procede del siguiente modo:
Hacer: y = r.Vz(r) ; con esto obtenemos la siguiente tabla:
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
47
 
Tabla 4 Desarrollado de la tabla Nro. 1.3 para el calculo de la integral.
Como se dispone de 10 intervalos, se puede integrar con la regla de Simpson 1/3. Sin embargo se puede 
mejorar dicho cálculo usando la regla de Simpson 3/8 para los seis primeros intervalos y la regla de 
Simpson 1/3 para los cuatro últimos intervalos. Con esto se obtiene el valor de 
I = = 32,6667 cm3/s
Luego el caudal será
Q = 2πI = 205,2512 cm3/s
De la tabla 4 se observa que la velocidad máxima se da en r = 0 es decir 134.75 cm/s. La velocidad media 
se obtiene mediante
 = 65,333 cm/s
Asimismo se puede encontrar la fuerza de rozamiento en la pared dado por:
 Fz = –μ .2πRL (13)
La derivada deberá calcularse numéricamente, para lo cual se puede reescribir la tabla Nro. 1.5 tomando 
el Δr de 0.02 para obtener un menor número de puntos
 
Tabla 1.5 Simplificación de la tabla 1.4 para el cálculo de la derivada en el último punto (en la pared).
Δr (cm) r Vz (r)
0 Δr
1 Δr
2 Δr
3 Δr
4 Δr
5 Δr
6 Δr
7 Δr
8 Δr
9 Δr
10 Δr
0
13,25
25,48
36,015
44,2
49
49,98
46,305
37,24
22,05
0
Si
m
p
so
n 
3/
8
Si
m
p
so
n 
1/
3
i Δr V
0
1
2
3
4
5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
134,75
127,4
110,25
83,3
46,55
0
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
48
Nuestro interés consiste en calcular la derivada en el último punto es decir en i = 5, por lo cual usamos 
la fórmula de 5 puntos, cuya fórmula se encuentra en el texto de Métodos Numéricos Aplicados a la 
Ingeniería: Luis Carrasco Venegas 
 y’
5
 = (137y
5
 – 300y
4
 + 300y
3
 – 200y
2
 + 75y
1
 – 12y
0
)
 y’
5
 = (137 x 0 – 300 x 46,55 + 300 x 83,3 – 200 x 110,25 + 75 x 127,4 – 12 x 134,75)
 y’
5
 = – 416,5
Obsérvese que se ha redefinido los puntos: V
0
 , V
1
 , V
2
 , V
3
 , etc. Luego la fuerza de rozamiento:
 Fz = – 0,2 x (– 416,5) x 2π x 1 x 20
 Fz = 10470 g/cm.s2 
 
PROBLEMA 1.9
Un procedimiento alternativo para desarrollar el problema (1.8), consiste en resolver en forma simultánea 
la ecuación de balance de cantidad de movimiento y el modelo de viscosidad. Usando el modelo de 
viscosidad de un fluido newtoniano, presenta las ecuaciones respectivas y encuentre el perfil de velocidad 
correspondiente con los datos del problema 1.8.
 (1)
Ley de Viscosidad de Newton:
 τ
rz
 = – μ (2)
desarrollando el balance de cantidad de movimiento: 
 (3)
reemplazando (2) en (3):
 (4)
de la ecuación (3):
 (5)
Discretizando la ecuaciones (4):
 (6)
 (7)
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
49
 (8)
 (9) 
 
 (10)
 (11)
 (12)
 (13)
 (14)
 (15)
 (16)
Condiciones de frontera
 si r = 0 , τ
rz
 = 0 (a)
 r = R , V
z
 = 0 (b)
 
discretizando la ecuación (5)
 (17)
 i = 1 V
1
 – V
0
 = – Δr (18)
 i = 2 V
2
 – V
1
 = – Δr (19)
 i = 3 V
3
 – V
2
 = – Δr (20)
 
 i = 4 V
4
 – V
3
 = – Δr (21)
 i = 5 V
5
 – V
4
 = – Δr (22)
 i = 6 V
6
 – V
5
 = – Δr (23)
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
50
 i = 7 V
7
 – V
6
 = – Δr (24)
 i = 8 V
8
 – V
7
 = – Δr (25)
 i = 9 V
9
 – V
8
 = – Δr (26)
 i = 10 V
10
 – V
9
 = – Δr (27)
Se resuelve en forma simultánea las ecuaciones del (7), (16) y del (18) al (27) y se obtienen los mismos valores 
que reporta el problema (1.8). El programa se encuentra en el archivo MODELO DE NEWTON_2.pol.
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
51
PROBLEMA 1.10 
Deducir una fórmula análoga a la ecuación de Hagen-Poiseville dada por la ecuación (1.32) para el modelo 
de Ostwald de Waele, dada por:
 τ
rz
 = (1.75)
RESOLUCIÓN:
Previamente se modifica la ecuación respectiva.
 τ
rz
 = 
de acuerdo a la ecuación (1.65), con C’
1
 = 0 (solución acotada en el campo real)
 τ
rz
 = (1.76)
reemplazando el modelo de Ostwald
 (1.77)
integrando: V
z
 = (1.78)
Usando la condición de frontera: r = R , V
z
 = 0 , luego:
 C
2
 = (1.79)
La ecuación (1.78), se transforma en:
 V
z
 = (1.80)
la ecuación (1.80) representa la ecuación del perfil de velocidad, con lo cual se puede obtener el flujo 
volumétrico o caudal, es decir:
 Q = (1.81)
 Q = (1.82)
simplificando se tiene:
 Q = π (1.83)
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
52
PROBLEMA 1.11
Obtenga el perfil de velocidad de un fluido que obedece la ley de la viscosidad de Ostwald de Waele 
siguiendo el procedimiento del problema 1.9. Prepare el programa en Polymath y compruebe que el 
modelo reproduce los mismos valores que la del fluido newtoniano en el caso límite de m = μ y n = 1.
RESOLUCIÓN:
Ecuación de balance de cantidad de movimiento
 (1)
Modelo de viscosidad:
 τ
rz
 = (2)
 
desarrollando la ecuación en (1):
 (3)
reemplazando (2) en (3):
 (4)
de la ecuación (2)
 (5)
discretizando la ecuación (4)
 
 (6)
de la ecuación (5):
 (7)
 (8)
con las condiciones de frontera
 τ
0
 = 0
 V
10
 = 0
El programa denominado MODELO DE OSTWALD.POL muestra los resultados de su ejecución y cuando 
n= 1 y m = µ, se obtiene los mismos resultados de los problemas 1.8 y 1.9.
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
53
Figura 1.14 Perfil de velocidad del fluido que obedece al modelo de Ostwald de Waele.
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
54
PROBLEMA 1.12
Repetir el problema 1.10, utilizando el modelo de Ellis, dado por:
RESOLUCIÓN:
La ecuación de distribución de esfuerzos, de acuerdo a la ecuación (1.65), conC’
1
 = 0, está dada por:
 τ
rz
 = (1.84)
Reemplazando en el modelo Ellis: 
 (1.85)
Integrando:
 V
z
 = (1.86) 
usando la condición de frontera: r = R , v
z
 = 0
 C
2
 = (1.87)
Por lo que la ecuación de distribución de velocidad es:
 V
z
 = (1.88)
la ecuación (1.88) representa la ecuación del perfil de velocidad nuevamente para calcular el caudal, 
usamos la ecuación
 Q = (1.89)
con lo cual, el caudal está dado por:
 Q = 2π (1.90)
 
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
55
PROBLEMA 1.13
Obtenga el perfil de velocidad de un fluido que obedece la ley de viscosidad de Ellis, siguiendo el 
procedimiento del problema 1.9. Prepare el programa en Polymath y compruebe que el modelo cumple 
en el caso límite cuando α = 1 ; φ = 0 ; φ
0
 = 5.
Solución:
De la ecuación de balance de cantidad de movimiento:
 (1)
Del modelo de viscosidad
 (2)
desarrollando la ecuación (2):
 τ
rz
 = (3)
reemplazando (3) en (1):
 (4)
discretizando (4)
 (5)
 (6)
 i = 1; (7)
 i = 2; (8)
 .
 .
 .
 i = 10; (9)
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
56
discretizando a ecuación (2):
 (10)
 (11)
 i = 1: (12)
 i = 2: (13)
 i = 3: (14)
y así sucesivamente
 i = 10: (15)
con las condiciones y datos siguientes
α = 1 , φ
0
 = 5 , φ
1
 = 0 , τ
0
 = 0 , V
10
 = 0 , Δr = 0,1 cm , 
r = 1 cm , P
0
 – P
L
 = 1960 g/cm.seg2 , L = 20 cm
Al ejecutar el programa: MODELO DE ELLIS.pol, los resultados obtenidos son los siguientes:
 
Tabla 1.6 Resultados de la ejecución del programa Modelo Ellis.pol.
Δr V τ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
134,75
132,3
127,4
120,05
110,25
98
83,3
66,15
46,55
24,5
0
0
4,9
9,8
14,7
19,6
24,5
29,4
34,3
39,2
44,1
49
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
57
Figura 1.15 Perfil de velocidad de un fluido que obedece la ley de viscosidad de Ellis.
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
58
PROBLEMA 1.14
Obtenga el perfil de velocidad de un fluido que obedece la ley de Viscosidad de Reiner- Philippoff, 
siguiendo el procedimiento del problema 1.9. Prepare el programa en Polymath y compruebe que el 
modelo se cumple en el caso límite cuando μ
0
 = 0,2 ; τ
s
 = 0,073 ; μ
∞
 = 0,2.
Solución:
del balance de cantidad de movimiento
 (1)
del modelo de viscosidad:
 (2)
desarrollando la ecuación (2):
 (3)
reemplazando (3) en (1):
 (4) 
discretizando la ecuación (4):
 (5)
 (6)
 i = 1: (7)
 i = 2: (8)
 i = 10: (9)
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
59
discretizando la ecuación (2):
 (10)
 (11)
 (12)
 i = 1: (13)
 i = 2: (14)
y así sucesivamente
 i = 10: (15)
Datos para la ejecución del programa
 R = 1 P
0
 – P
L
 = 1960
 Δr = 0,1 L = 20
 μ
0
 = 0,2 μ
∞
 = 0,2
 τ
s
 = 0,073
Los resulltados se encuentran en el programa MODELO DE REINER-PHILIPOFF.pol cuyos valores son los 
siguientes: 
 
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
60
Tabla 1.7: Resultado de la ejecución del programa MODELO DE REINER-PHILIPOFF.pol 
Δr V τ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
134,75
132,3
127,4
120,05
110,25
98
83,3
66,15
46,55
24,5
0
0
4,9
9,8
14,7
19,6
24,5
29,4
34,3
39,2
44,1
49
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
61
El caudal se calcula mediante: Q = 
luego integramos numericamente los datos de la tabla Nro 1.8, para mayor exactitud utilizamos Simpson 
3/8 y Simpson 1/3.
Q = 2π 
 donde: = 22,667
Por tanto: Q = 205,2512 cm3/s
Siendo además la velocidad media: = 65,333 cm/s
por último calculamos la fuerza de rozamiento en la pared: 
Donde solo nos interesa la derivada en el último punto: R = 1 cm; para lo cual = – 257,25
 \ F
r
 = – 0,2 x – 257,25 x 2π x 1 x 20 = 6465,413 g/cm.s2
 
PROBLEMA 1.15
Obtenga el perfil de velocidad y los esfuerzos usando el MODELO DE EYRING, siguiendo el procedimiento 
del problema 1.9 y desarrollando su problema en polymath.
Solución: 
Del balance de cantidad de movimiento:
 (1)
Del modelo de Eyring:
 τ
rz
 = (2)
reemplazando (2) en (1):
 (3)
de la ecuación (2)
 (4)
 (5)
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
62
Por tanto: 
 (6)
Primeramente discretizamos la ecuación (1):
 (7)
ordenando:
 (8)
desarrollando para cada i:
 (9)
 (10)
 (11)
 (12)
 (13)
 (14)
 (15)
 (16)
 (17)
 (18)
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
63
ahora discretizamos la ecuación (6):
 (19)
 (20)
ordenando: 
desarrollando para cada i:
 i = 1 V
1
 – V
0
 + B.Δr.senh = 0 (21)
 i = 2 V
2
 – V
1
 + B.Δr.senh = 0 (22)
 i = 3 V
3
 – V
2
 + B.Δr.senh = 0 (23)
 i = 4 V
4
 – V
3
 + B.Δr.senh = 0 (24)
 i = 5 V
5
 – V
4
 + B.Δr.senh = 0 (25)
 i = 6 V
6
 – V
5
 + B.Δr.senh = 0 (26)
 i = 7 V
7
 – V
6
 + B.Δr.senh = 0 (27)
 i = 8 V
8
 – V
7
 + B.Δr.senh = 0 (28)
 i = 9 V
9
 – V
8
 + B.Δr.senh = 0 (29)
 i = 10 V
10
 – V
9
 + B.Δr.senh = 0 (30)
resolviendo el sistema de 20 ecuaciones no lineales con los siguientes datos:
 A = 40 , B = 200 , L = 20 cm
 r = 1 cm Þ Δr = 0,1 cm
 μ = A/B = 0,2 g/cm.s
 ΔP = 1960 
con las condiciones de frontera 
 CF1: r = 0 , τ
0
 = 0
 CF2: r = 1 cm , V
10
 = 0
 
el resultado de la ejecución se muestra
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
64
 
Tabla 1.8: Resultado de la ejecución del programa MODELO DE EYRING.pol
El modelo de Eyring tiende asintoticamente a la ley de viscosidad de Newton para valores altos de 
A y B, especificamente para A = 200,000 y B = 1000,000, cuya relación de A/B = 0.2, corresponde a 
la viscosidad de un fluido Newtoniano.
El programa de calculo se denomina MODELO DE EYRING.pol
Δr V τ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
154,33
151,87
146,92
139,41
129,21
116,18
100,12
80,79
57,90
31,10
0
0
4,9
9,8
14,7
19,6
24,5
29,4
34,3
39,2
44,1
49
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
65
PROBLEMA 1.16
Obtenga el perfil de velocidad y esfuerzos usando el modelo de HEISCHEL-BULKLEY para el flujo a través 
de un tubo capilar, cuyo modelo esta dado por
 τ
xy
 = τ
00
 – m
Solución:
Balance de cantidad de movimiento:
 (1) 
desarrollando la ecuación (1)
 (2)
usando el modelo 
 τ
rz
 = τ
0
 – m (3)
reemplazando (3) en (2):
 (4)
De la ecuación (3):
 (5)
discretizando las ecuaciones (4) y (5)
 (6)
 (7)
 
 (8)
 o (9)
se resuelve simultaneamente (7) y (9) con τ
00
 = 0 y V
10
 = 0 
Se verifica que cuando τ
00
 = 0 y n = 1, el modelo tiende a Newtoniano
El programa denominado MODELO DE HEISCHEL-BULKLEY1.pol muestra los resultados de la corrida.
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
66
El problema 1.16 también puede ser resuelto del siguiente modo:
Derivando (3):
 (10)
Reemplazando (10) en (2):
 (11)
Ahora se puede discretizar la ecuación (8)
 (12)
 (13) 
 
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
67
la ecuación (13) se discretiza desde i = 1 hasta 9 cuando r = 0; previamente se aplica el límitecorrespondiente
 (14)
reemplazamos (14) en (11) para obtener:
 (15)
 (16)
se resuelve simultaneamente la ecuación (13) y la ecuación (16), el resultado se encuentra en el programa 
MODELO DE HEISCHEL-BULKLEY2 . pol 
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
68
PROBLEMA 1.17
Obtenga el perfil de velocidad y esfuerzos usando el MODELO DE BINGHAM dado por:
 τ
xy
 = μ
0
 ± τ
0
 ; si |τ
xy
| > τ
0
 = |τ
xy
| < τ
0
cuando discurre a través de una pared plana tal como se observa en la figura utilizando los datos:
μ
0
 = 0,2 g/cm.s , τ
0
 = 6,0 , ρ
0
 = 800 Kg/m3 , g = 9,8 m/s2 , δ = 0,002
Solución: 
Modelo de Bingham
 , si τ
xz
 > τ
0
 = 0 , si |τ
xz
| ≤ τ
0 
 , si τ
xz
 < (–τ
0
)
Balance de cantidad de movimiento
 = ρg
 τ
xz
 = 0 , si x = 0
ahora escribimos el problema usando la sintaxis del software Polymath
 = if 
 = ρg ; μ
0
 = 0,2 ; τ
0
 = 6 ; g = 9,8 ; δ = 0,002 ; ρ = 800
Se asume un valor de V
z
 en x = 0 y se ejecuta el programa hasta que V
z
 se aproxime a cero cuando 
x = δ = 0,002 (velocidad en la pared). Luego de ejecutar el programa en forma reiterativa, el valor que 
satisface la condición señalada en los resultados se muestran en el programa MODELO DE BINGHAM.pol
(τ
xz
 > τ
0
) then else
(if(τ
xz
 < (–τ
0
)) then((τ
0
 – τ
xz
) else(if abs(τ
xz
 <= τ
0
) then(0) else(0)))
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
69
Fig. 1.16 Perfil de velocidad de un fluido que obedece el modelo de Bingham 
 cuando discurre a través de una pared.
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
70
A continuación se muestra los perfiles de velocidad de los modelos no newtonianos anteriormente 
expuestos para el flujo en un tubo:
Fig. 1.17 Perfiles de velocidad de diversos modelos de viscosidad.
PROBLEMA 1.18
Repita el problema 1.17 considerando que el fluido de Bingham se desplaza a través de un tubo, considere 
los siguientes datos:
τ
0
 = 6 ; μ
0
 = 0,4 ; dp = 1920 ; L = 10 ; R = 0,1 , τ
rz(0)
 = 0
SOLUCIÓN:
Siguiendo el procedimiento del problema 1.17
 = if(τ
rz
 > τ
0
) then((τ
0
 – τ
rz
)/μ
0
) else(if(τ
rz
 < (–τ
0
))) then((τ
0
 – τ
rz
)/μ
0
)
 else((if abs(τ
rz
) < τ
rz
) then(0) else(0))
 = if(r = 0) then(τ
rz
 = 0) else 
El desarrollo del programa se encuentra en el archivo MODELO DE BINGHAM EN UN TUBO.pol. Se asume 
el valor de V
z(0)
, velocidad en el centro del tubo y se ejecuta hasta que r = R, la velocidad tiende a cero.
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
71
FIg 1.18 Perfil de velocidad de fluido que obedece a la viscosidad de Bingham 
 cuando fluye a través de un tubo
PROBLEMA 1.19
Un separador electrostático de polvo consiste en dos láminas de cargas opuestas entre las cuales fluyen 
gases conteniendo polvo. Se desea establecer un criterio de longitud mínimo de separador en función de 
la carga de la partícula e, la intensidad del campo eléctrico e, la diferencia de presiones (P
0
 – P
L
), la masa 
de la partícula m, y la viscosidad del gas m. Es decir, ¿para qué longitud L, habrá alcanzado la partícula más 
pequeña de masa m, la lámina inferior exactamente antes de que pueda ser arrastrada fuera del canal?
Supóngase que el flujo es laminar entre las dos placas, de forma que la ecuación:
describa la distribución de velocidad de la partícula en la dirección z, es la misma que la del fluido en esa 
dirección. Admítase finalmente que la resistencia de Stokes sobre la esfera, como la fuerza de gravedad 
que actúa sobre la partícula que es acelerada en la dirección x, puede despreciarse.
Figura 1.19 Esquema del precipitador electrostático.
x = +B
x = –B
x
z
L
2B
P
L
P
0
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
72
RESOLUCIÓN:
Fuerza del campo eléctrico: F = ε x e (1)
Fuerza de la Ley de Newton: F = m. a (2)
Igualando (1) y (2): ε x e = m.a (3)
 a = (4)
reemplazando (4) en (3): 
 ε x e = m (5)
integrando: 
 (6) 
 
 = + C
1
 , t = 0 , = 0 → C
1
 = 0 
 
 r = + C
2
 , t = 0 , r = 0 → C
2
 = 0 
 r = (7)
Por otro lado: 
 V
z
 = → dL = V
z
dt (8)
reemplazando (8) en (7); con r = B – x
 B – z = t = (9)
 dt = – (10)
 V
z
 = (11)
 
Finalmente (10) y (11) en (8): 
 dL = – (12)
Integrando
 (13)
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
73
 
 
 
 L2 = 
 L
min
 = (14)
PROBLEMA 1.20
Determinar el flujo másico en el medidor de flujo capilar de la figura. El fluido que circula por el tubo 
capilar es agua, y como fluido manométrico se utiliza tetracloruro de carbono.
RESOLUCIÓN:
Previamente se calcula la diferencia de presiones:
P
A
 = P
1
P
1
 = P
2
 – ρ
a
gh
2
P
2
 = P
3
 – ρ
a
gH
P
3
 = P
4
P
4
 = P
5
 + ρ
t
gH
P
5
 = P
6
 + ρ
a
gh
2
P
6
 = P
7
 + ρ
a
gh
1
P
7
 = P
B
P
A
 – P
B
 = gH(ρ
t
 – ρ
a
) + ρ
a
gLsenθ (1)
Figura 1.20 Esquema del flujo en el tubo capilar inclinado 
 provisto de un manómetro digital.
ρ
a
 = densidad
 del agua
ρ
t
 = densidad
 del CCl
4
r
L
A
B
θ
1
6 F
7
2 5C
3 4 E
H
h
2
h
1
 = Lsenθ
D
z
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
74
La diferencia de presiones también puede ser calculada del siguiente modo:
De acuerdo a la figura 1.14, P
D
= P
E
 P
A
 + ρ
a
gh
2
 + ρ
a
gH = ρ
t
gH + ρ
a
gh
2
 + ρ
a
gh
1
 + P
B
 P
A
 – P
B
 = gH(ρ
t
 – ρ
a
) + ρ
a
gLsenθ (2)
Ahora preparamos el balance de cantidad de movimiento.
Balance cantidad de movimiento. Seguimos el mismo procedimiento empleado en el flujo a través de 
un tubo de sección circular, es decir:
 (3)
Los términos convectivos son constantes por lo que su diferencia es igual a cero. Reordenando la ecuación 
anterior:
 
 (4)
reemplazando (2) en (4):
 (5)
 (6)
 (7)
 (8)
usando la otra condición de frontera: r = R , V
z 
= 0
 (9)
Luego, el caudal está dado por: Q = (10)
reemplazando (9) en (10) e integrando tenemos:
 Q = (11)
 
Luego el flujo de masa puede ser calculado mediante:
 m = ρ
a
 x Q = (12)
g
t 
: peso específico del tetracloruro de carbono.
g
a 
: peso específico del agua.
Transferencia de cantidad de movimiento CAP. 1
75
PROBLEMA 1.21
Consideremos el flujo de un fluido viscoso por el espacio anular comprendido entre dos cilindros 
coaxiales. Suponiendo que se conocen todas las propiedades físicas del fluido fluyente y el fluido 
manométrico y además la geometría del sistema, tales como los radios y la longitud, y además la 
lectura manométrica, H. 
Determine:
a) El perfil de velocidad.
b) El flujo volumétrico.
c) Suponiendo que todo el fluido que pasa a través del espacio anular fluye a través del tubo de radio kR 
y teniendo en consideración que la relación de velocidades en el tubo V
t 
, donde el flujo es tipo pistón 
y la velocidad media en el espacio anular, es:
 , encuentre el valor de k.
RESOLUCIÓN:
De acuerdo a la ecuación (1.64), el balance de cantidad de movimiento está dado por:
 (1)
Integrando esta ecuación:
 (2)
Condiciones de frontera: 
 r = R , V
z 
= 0 (a) 
 r = kR , V
z 
= 0 (b)
Reemplazando las condiciones (a) y (b) en la ecuación (2) se obtiene C
1
 y C
2 
:
 C
1
 = (3)
 C
2
 = (4)
Figura 1.21 Esquema del sistema de flujo.
flujo
L
R
H
kR
Fenómenos de Transporte - Aplicaciones con métodos numéricos
76
Reemplazando (3) y (4) en la ecuación (2) se obtiene:
 (5) 
La ecuación (5) representa la ecuación del perfil de velocidad 
reemplazando (5) en (6): 
 Q = (6)
 Q = (7)
Haciendo un balance de presiones, de acuerdo al problema (1.15),