Derivadas

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MATEMÁTICAS CCSS 2º DE BACHILLERATO Derivadas 
 
 
 
Función Constante: 
 
La derivada de una función constante es siempre igual a 0. 
 
y= f(x) = 4 sol: y´ = 0 
y= f(x) = -1500 sol: y´ = 0 
y= f(x) = 0 sol: y´ = 0 
 
 
Función Potencial: 
 
y = f n (x) → y´=n·f(x)n-1· f ´(x) 
 
y = x sol: y´ = 1 
y = 4x7 sol: y´ = 28x6·1 = 28x6 
y = x3 sol: y´ = 3x2 · 1 = 3x2 
y = (2x + 1)3 sol: y´ = 3(2x + 1)2 · 2 = 6(2x + 1)2 · 
y = (3x2 − 4x)5 sol: y´ = 5(3x2 − 4x)4 · (6x − 4) 
 
 
Concepto de derivada: 
 
 y= x → y´=1 
 
sol: y´=lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 = lim
ℎ→0
(𝑥+ℎ)−𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ
= [
0
0
] y´=1 
 
 y = 4x2 → y´=8x 
 
sol: y´=lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 = lim
ℎ→0
4(𝑥+ℎ)2−4𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
4𝑥2+4ℎ2+8𝑥ℎ−4𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
4ℎ2+8𝑥ℎ
ℎ
= [
0
0
] lim
ℎ→0
ℎ(4ℎ+8𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
(4ℎ + 8𝑥)= 8x 
 
 
 
Función Irracional: 
 
y = √f(x)
n
 → y´=
𝑓´(𝑥)
𝑛 √𝑓𝑛−1(𝑥)
𝑛 
 
y = √x sol: y´= 
1
2√x
 
y = √x2
3
 sol: y´= 
2x
3 √(x2)2
3 = 
2x
3 √x4
3 
y = √(x3 − 2)4
5
 sol: y´= 
4(x3−2)
3
·(3x2−0)
5 √((x3−2)4)4
5 = 
4(x3−2)
3
·(3x2)
5 √(x3−2)16
5 = 
12x2
5 √x3−2
5 
 
 
Puedes realizar también las derivadas transformando la función irracional en potencial 
 
y = √(𝐱𝟑 − 𝟐)𝟒
𝟓
→ y = (𝐱𝟑 − 𝟐)
𝟒
𝟓 
 
y´= 
𝟒
𝟓
(𝐱𝟑 − 𝟐)
𝟒
𝟓
−𝟏 · (𝟑𝐱𝟐) = 
𝟒
𝟓
(𝐱𝟑 − 𝟐)
−𝟏
𝟓 · (𝟑𝐱𝟐) = 
𝟏𝟐𝐱𝟐
𝟓 √𝐱𝟑−𝟐
𝟓 
 
 
 
 
MATEMÁTICAS CCSS 2º DE BACHILLERATO Derivadas 
 
 
Concepto de derivada: 
 
 y= √𝑥 → y´= 
1
2√𝑥
 = 
1
2√𝑥
∙
√𝑥
√𝑥
=
√𝑥
2𝑥
 
 
sol: y´=lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 = lim
ℎ→0
√𝑥+ℎ−√𝑥
ℎ
= [
0
0
] 
 lim
ℎ→0
(√𝑥+ℎ−√𝑥)
ℎ
∙
(√𝑥+ℎ+√𝑥)
(√𝑥+ℎ+√𝑥)
= lim
ℎ→0
(𝑥+ℎ)−(𝑥)
ℎ∙(√𝑥+ℎ+√𝑥)
= lim
ℎ→0
ℎ
ℎ∙(√𝑥+ℎ+√𝑥)
= [
0
0
] 
 lim
ℎ→0
1
(√𝑥+ℎ+√𝑥)
= 
1
√𝑥+√𝑥
=
1
2√𝑥
∙
√𝑥
√𝑥
=
√𝑥
2𝑥
 
 
Función Exponencial: 
 
y=af(x) → y´= af(x)·Lna·f ´(x) 
 
y = 𝐞𝐱 sol: y´= 𝐞𝐱 · 𝐥𝐧𝐞 · 𝟏 = 𝐞𝐱 
y = 𝟑𝐱 sol: y´= 𝟑𝐱 · 𝐥𝐧𝟑 · 𝟏 = 𝟑𝐱 · 𝐥𝐧𝟑 
y = 𝟓𝐱
𝟑−𝟐𝐱 sol: y´= 𝟓𝐱
𝟑−𝟐𝐱 · (𝐥𝐧𝟓) · (𝟑𝐱𝟐 − 𝟐) 
y = 𝐞𝟓𝐱
𝟑−𝟕 sol: y´ = 𝐞𝟓𝐱
𝟑−𝟕 · (𝐥𝐧𝐞) · (𝟏𝟓𝐱𝟐 − 𝟎) = 𝐞𝟓𝐱
𝟑−𝟕·(𝟏𝟓𝐱𝟐) 
 
 
 
Función Logarítmica: 
 
y = loga f(x) → y´= 
𝑓´(𝑥)
𝑓(𝑥)·𝐿𝑛𝑎
 
 
y = lnx = log𝑒 𝑥 Sol: y´= 
1
𝑥·𝑙𝑛𝑒
=
1
𝑥
 
 
y = ln(3𝑥2 − 6) = log𝑒(3𝑥
2 − 6) Sol: y´= 
6𝑥−0
(3𝑥2−6)·𝑙𝑛𝑒
=
6𝑥
3𝑥2−6
 
 
y = log3(5𝑥
4 − 2) Sol: y´= 
20𝑥3−0
(5𝑥4−2)·𝑙𝑛3
=
20𝑥3
(5𝑥4−2)·𝑙𝑛3
 
 
y = log7(7𝑥
3 − 5𝑥) Sol: y´= 
21𝑥2−5
(7𝑥3−5𝑥)·𝑙𝑛7
 
 
y = log5(3𝑥
2 − 8𝑥)6 Sol: y´ = 
6(3𝑥2−8𝑥)
5
·(6𝑥−8)
(3𝑥2−8𝑥)6·𝑙𝑛5
=
36𝑥−48
(3𝑥2−8𝑥)·𝑙𝑛5
 
 
 
Operaciones con derivadas 
 
 Producto: [f(x)·g(x)] = f ’(x)·g(x)+f(x)·g’(x) 
y = 3𝑥
3+2 · (3𝑥4 − 5𝑥2) Sol: y´ = 3𝑥
3+2 · (3𝑥2) · (𝑙𝑛3) · (3𝑥4 − 5𝑥2) + 3𝑥
3+2 · (12𝑥3 − 10𝑥) 
y = log3(𝑥
2 − 3) · (√2𝑥
3
) Sol: y´ = 
2𝑥
(𝑥2−3)·𝑙𝑛3
· ( √2𝑥
3
) + log3(𝑥
2 − 3) ·
2
3 √(2𝑥)2
3 
y = log3(𝑥
3 − 2𝑥) · 32𝑥−1 Sol: y´ = (
3𝑥2−2
(𝑥3−2𝑥)·𝑙𝑛3
) · 32𝑥−1 + log3(𝑥
3 − 2𝑥) · (32𝑥−1 · 2 · 𝑙𝑛3) 
 
MATEMÁTICAS CCSS 2º DE BACHILLERATO Derivadas 
 
 
Concepto de derivada: 
 
 y= 𝑥2 ∙ (𝑥 − 1) → y´= 2x∙ (𝑥 − 1) + 1 ∙ 𝑥2 = 2𝑥2 − 2𝑥 + 𝑥2 = 3𝑥2 − 2𝑥 
 
sol: y´=lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 = lim
ℎ→0
(𝑥+ℎ)2∙(𝑥+ℎ−1)− 𝑥2∙(𝑥−1)
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑥2+ℎ2+2𝑥ℎ)(𝑥+ℎ−1)−(𝑥3−𝑥2)
ℎ
=
 lim
ℎ→0
𝑥3+𝑥ℎ2+2𝑥2ℎ+𝑥2ℎ+ℎ3+2𝑥ℎ2−𝑥2−ℎ2−2𝑥ℎ−𝑥3+𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
3𝑥ℎ2+3𝑥2ℎ+ℎ3−ℎ2−2𝑥ℎ
ℎ
= [
0
0
] 
lim
ℎ→0
ℎ(3𝑥ℎ + 3𝑥2 + ℎ2 − ℎ − 2𝑥)
ℎ
= 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 
 
 Cociente: [
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
]=
𝑓´(𝑥)·𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)·𝑔´(𝑥)
𝑔2(𝑥)
 
y = 
53𝑥
(3𝑥2+4)
 Sol: y´ = 
(53𝑥·3·𝑙𝑛5)·(3𝑥2+4)−(6𝑥)·53𝑥
(3𝑥2+4)2
 
y = 
ln(𝑥3−7𝑥)
(𝑥5−2)
 Sol: y´ = 
3𝑥2−7
(𝑥3−7𝑥)
 · (𝑥5−2)− (5𝑥4)·ln(𝑥3−7𝑥)
(𝑥5−2)2
 
y = 
32𝑥−1
log3(𝑥
3−2𝑥)·
 Sol: y´ = 
(32𝑥−1·2·𝑙𝑛3)·(log3(𝑥
3−2𝑥)−(
3𝑥2−2
(𝑥3−2𝑥)·𝑙𝑛3
)·32𝑥−1 )
(log3(𝑥
3−2𝑥)·)2
 
 
 
Concepto de derivada: 
 
 y= 
𝑥2
𝑥−1
 → y´= 
2𝑥∙(𝑥−1)−1∙(𝑥2)
(𝑥−1)2
=
2𝑥2−2𝑥−𝑥2
(𝑥−1)2
=
𝒙𝟐−𝟐𝒙
(𝒙−𝟏)𝟐
 
 
sol: y´=lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 = lim
ℎ→0
(𝑥+ℎ)2
(𝑥+ℎ−1)
−
𝑥2
𝑥−1
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥2+ℎ2+2𝑥ℎ
(𝑥+ℎ−1)
−
𝑥2
𝑥−1
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑥2+ℎ2+2𝑥ℎ)(𝑥−1)−𝑥2(𝑥+ℎ−1)
(𝑥+ℎ−1)(𝑥−1)
ℎ
=
 lim
ℎ→0
𝑥3+𝑥ℎ2+2𝑥2ℎ−𝑥2−ℎ2−2𝑥ℎ−𝑥3−𝑥2ℎ+𝑥2
(𝑥+ℎ−1)(𝑥−1)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥ℎ2+𝑥2ℎ−ℎ2−2𝑥ℎ
(𝑥+ℎ−1)(𝑥−1)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥ℎ2+𝑥2ℎ−ℎ2−2𝑥ℎ
ℎ(𝑥+ℎ−1)(𝑥−1)
= [
0
0
] 
 lim
ℎ→0
ℎ(𝑥ℎ+𝑥2−ℎ−2𝑥)
ℎ(𝑥+ℎ−1)(𝑥−1)
= lim
ℎ→0
(𝑥ℎ+𝑥2−ℎ−2𝑥)
(𝑥+ℎ−1)(𝑥−1)
= 
𝒙𝟐−𝟐𝒙
(𝒙−𝟏)𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICAS CCSS 2º DE BACHILLERATO Derivadas 
 
 
 
Ejercicios 
 
 
1.   xxy 354 43  Sol: y´= 𝟒(𝟒𝐱𝟑 − 𝟓)𝟑 · (𝟏𝟐𝐱𝟐) + 𝟑 
 
2. )63( 23 xxxy  Sol: y´= 
𝟏
𝟑 √𝒙𝟐
𝟑 · (𝟑𝒙
𝟐 + 𝟔𝒙) + √𝒙
𝟑
· (𝟔𝒙 + 𝟔) 
 
3. 
x
x
y
23 2 
 Sol: y´= 
𝟏
𝟐√
𝟑𝒙𝟐+𝟐
𝒙
·
𝟔𝒙·𝒙−𝟏·(𝟑𝒙𝟐+𝟐)
𝒙𝟐
 
 
4.  33 2ln xxy  Sol: y´= 𝟏
(𝒙𝟑−𝟐𝒙)
𝟑
·𝑳𝒏𝒆
· 𝟑(𝒙𝟑 − 𝟐𝒙)𝟐 · (𝟑𝒙𝟐 − 𝟐) 
 
5.  432 2ln xxy  Sol: y´= 2(𝒍𝒏 (𝒙𝟑 − 𝟐𝒙)𝟒) · 𝟒(𝒙
𝟑−𝟐𝒙)
𝟑
·(𝟑𝒙𝟐−𝟐)
(𝒙𝟑−𝟐𝒙)
𝟒
·𝑳𝒏𝒆
 
 
6. xxxy ln6 33 




  Sol: y´= (𝟏𝟖𝒙𝟐 +
𝟑𝒙𝟐
𝟐√𝒙𝟑
)·(lnx) + (𝟔𝒙𝟑 + √𝒙𝟑) ·
𝟏
𝒙
 
 
7.   xxxy ln25 43  Sol: y´= 𝟒(𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 + 𝟐)𝟑 · (𝟑𝒙𝟐 − 𝟓) · (𝒍𝒏𝒙) + (𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 + 𝟐)𝟒 · 𝟏
𝒙
 
 
8. Sol: 𝒚´ = 𝟑(𝟒𝒙𝟑 − √𝒙)
𝟐
· (𝟏𝟐𝒙𝟐 −
𝟏
𝟐√𝒙
) · (𝒍𝒏𝒙𝟒) + (𝟒𝒙𝟑 − √𝒙)
𝟑
·
𝟒𝒙𝟑
𝒙𝟒
 
 
9.  3ln3  xy Sol: y´= 𝟑(𝐥𝐧(𝐱 − 𝟑))𝟐 · 𝟏
𝐱−𝟑
 
 
10. 
1
23 2



x
xx
y Sol: y´= 
(𝟔𝒙−𝟐)(𝒙+𝟏)−𝟏(𝟑𝒙𝟐−𝟐𝒙)
(𝒙+𝟏)𝟐
 
 
11.  xxy x 2ln2 312   Sol: y´= (𝟐𝒙𝟐−𝟏 · 𝟐𝒙 · 𝒍𝒏𝟐) · (𝒍𝒏(𝒙𝟑 − 𝟐𝒙)) + 𝟐𝒙𝟐−𝟏 · (𝟑𝒙
𝟐−𝟐)
𝒙𝟑−𝟐𝒙
 
 
12. 
2
2
23
ln 




 

x
x
y Sol: 𝒚´ = 
𝟏
(
𝟑𝒙+𝟐
𝒙𝟐
)
𝟐
·(𝒍𝒏𝒆)
· 𝟐 (
𝟑𝒙+𝟐
𝒙𝟐
) ·
𝟑·𝒙𝟐−𝟐𝒙·(𝟑𝒙+𝟐)
(𝒙𝟐)
𝟐 
 
13. xxey 24
2  Sol: 𝒚´ = 𝒆𝟒𝒙
𝟐+𝟐𝒙 · (𝟖𝒙 + 𝟐) · (𝒍𝒏𝒆) 
 
14. 
1
1
2
2



x
x
e
e
y Sol: 𝒚´ = 
(𝒆𝟐𝒙·𝟐·𝒍𝒏𝒆)·(𝒆𝟐𝒙−𝟏)−(𝒆𝟐𝒙·𝟐·𝒍𝒏𝒆)·(𝒆𝟐𝒙+𝟏)
(𝒆𝟐𝒙−𝟏)
𝟐 
 
15.   )1ln(53 2  xxxy Sol: 𝐲´ = (𝟔𝐱 + 𝟓) · (𝐥𝐧 (𝐱 − 𝟏)) + (𝟑𝐱𝟐 + 𝟓𝐱) · 𝟏
𝐱−𝟏
 
 
 
16. 4 3 23 xxy  Sol: 𝐲´ =
𝟗𝐱𝟐+𝟐
𝟒 √(𝟑𝐱𝟑+𝟐𝐱)
𝟑𝟒
 
 
17. 
43 2
2
xx
y

 Sol: 𝐲´ = 
𝟎·(𝐱𝟑+𝟐𝐱𝟒)−𝟐·(𝟑𝐱𝟐+𝟖𝐱𝟑)
(𝐱𝟑+𝟐𝐱𝟒)
𝟐 = 
−𝟐(𝟑𝐱𝟐+𝟖𝐱𝟑)
(𝐱𝟑+𝟐𝐱𝟒)
𝟐 
 
  433 ln4 xxxy 
MATEMÁTICAS CCSS 2º DE BACHILLERATO Derivadas 
 
 
 
 
 
18.  534 23  xxy Sol: 𝐲´ = 𝟏𝟐𝐱𝟑 · (𝐱𝟑 + 𝟐)𝟓 + 𝟓(𝐱𝟑 + 𝟐)𝟒 · (𝟑𝒙𝟐) · 𝟑𝐱𝟒 
 
19. )5ln(
2
7 xxy  Sol: 𝐲´ = 𝟕𝐥𝐧(𝐱
𝟐−𝟓𝐱) ·
(𝟐𝐱−𝟓)
(𝐱𝟐−𝟓𝐱)·(𝐥𝐧𝐞)
· (𝐥𝐧𝟕) 
 
20. 
3
34



x
x
y Sol: 𝐲´ =
𝟒·(𝐱−𝟑)−𝟏·(𝟒𝐱+𝟑)
(𝐱−𝟑)𝟐
=
−𝟔
(𝐱−𝟑)𝟐
 
 
21.    12ln34  xxySol: 𝐲´ = (𝟒𝐱𝟑) · (𝐥𝐧(𝟐𝐱 + 𝟏)) + (𝐱𝟒 + 𝟑) · 𝟐
(𝟐𝐱+𝟏)
 
 
22. 
5
4
3 

x
y Sol: y´= 
𝟎·√𝐱𝟑+𝟓−𝟒·
𝟑𝐱𝟐
𝟐√𝐱𝟑+𝟓
(√𝐱𝟑+𝟓)
𝟐 =
−𝟔𝐱𝟐
√(𝐱𝟑+𝟓)
𝟑
 
 
23. 
x
x
y
2
12 
 Sol: 𝐲´ = 
(𝟐𝐱·𝟏·(𝐥𝐧𝟐))·𝟐𝐱−(𝟐𝐱·𝟏·(𝐥𝐧𝟐))·(𝟐𝐱+𝟏)
(𝟐𝐱)𝟐
 
 
24. 
xe
y
3
2
 Sol: 𝐲´ = 
𝟎·𝐞𝟑𝐱−(𝐞𝟑𝐱·𝟑·𝐥𝐧𝐞)·𝟐
(𝐞𝟑𝐱)
𝟐 =
−𝟔𝐞𝟑𝐱
(𝐞𝟑𝐱)
𝟐 =
−𝟔
𝐞𝟑𝐱
 
 
25. 
1
2
ln



x
x
y Sol: 𝐲´ = 
𝟏·(𝒙−𝟏)−𝟏·(𝒙+𝟐)
(𝒙−𝟏)𝟐
𝟐√
𝒙+𝟐
𝒙−𝟏
√
𝒙+𝟐
𝒙−𝟏
·𝒍𝒏𝒆
=
−𝟑
(𝒙−𝟏)𝟐
𝟐·(
𝒙+𝟐
𝒙−𝟏
)
= 
−𝟑
𝟐(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟐)
=
−𝟑
𝟐𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟒
 
 
26.  433 32log  xxy Sol: y´= 
𝟒(𝐱𝟑−𝟐𝐱−𝟑)
𝟑
·(𝟑𝐱𝟐−𝟐)
(𝐱𝟑−𝟐𝐱−𝟑)
𝟒
·(𝐥𝐧𝟑)
=
𝟏𝟐𝐱𝟐−𝟖
(𝐱𝟑−𝟐𝐱−𝟑)·(𝐥𝐧𝟑)
 
 
 
27. 6223
2
  xey x Sol: y´= (e3x
2−2 · (6x)) · (√x2 − 6) + (
2x
2√x2−6
) · (e3x
2−2) 
 
28. y= (log3(3𝑥
3 − 2𝑥 − 1)4)5 Sol: y´= 5(log3(3𝑥
3 − 2𝑥 − 1)4)4 ·
4(3𝑥3−2𝑥−1)
3
·(9𝑥2−2)
(3𝑥3−2𝑥−1)4·(𝑙𝑛3)