Capítulo 6 - Sistemas de Ecuaciones Lineales

Vista previa del material en texto

108 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
 
 
4.1. Definición: En un cuerpo K1, se llama sistema de m ecuaciones 
lineales con n incógnitas, a un conjunto de ecuaciones de la forma: 
 








=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa





332211
33333232131
22323222121
11313212111
 (I) 
 
Donde todos los aij y bi pertenecen al cuerpo K. 
 
1 Un cuerpo ó campo, es un conjunto K con dos operaciones binarias, usualmente 
llamadas suma “+” y producto “." La suma es asociativa, conmutativa y su elemento 
neutro es 0, además para cada elemento existe un inverso. El producto es asociati-
vo, conmutativo, su elemento neutro es 1 y todo elemento distinto de cero tiene 
inverso, además el producto se distribuye respecto de la suma. 
 109 
El sistema es lineal porque ninguna de las n incógnitas está elevada a una 
potencia superior a uno. 
Se han colocado dos subíndices a los coeficientes de cada una de las in-
cógnitas para que quede perfectamente localizado. El primer subíndice 
“i”, remite a la ecuación a la que pertenece, mientras que el segundo sub-
índice, “j” refiere a la incógnita de la cual es coeficiente. 
Además este doble subíndice será de gran utilidad, más adelante, para la 
construcción de ciertas matrices que se usarán en el análisis y en la reso-
lución de los sistemas de ecuaciones lineales. 
 
4.1.1. Sistemas lineales homogéneos 
Definición: Una ecuación lineal con n incógnitas es homogénea si su 
término independiente es igual a cero. 
Ejemplo: 
 
2x1– 3x2+ x3+…+ xn= 0 
 
Definición: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es 
homogéneo si las m ecuaciones son homogéneas. 
 








=++++
=++++
=++++
=++++
0
0
0
0
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa





 
 
Este sistema se llama Sistema Homogéneo asociado al Sistema no 
Homogéneo dado en (I). 
 
 
4.1.2. Otras formas de expresión de los sistemas de ecuaciones li-
neales 
 
 
4.1.2.1. Expresión Vectorial 
 110 
Con los coeficientes de la incógnita x1 se puede construir un vector co-
lumna2: 
















1
31
21
11
ma
a
a
a

 
 
Lo mismo se puede hacer con los coeficientes de cada una de las incóg-
nitas y con los términos independientes. 
Entonces, el sistema dado en (I) puede expresarse como sigue: 
 
















=
















++
















+
















+
















m
n
mn
n
n
n
mmm b
b
b
b
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a



3
2
1
3
2
1
3
3
33
23
13
2
2
32
22
12
1
1
31
21
11
.... (II) 
 
Esa es la forma vectorial del sistema de m ecuaciones lineales con n in-
cógnitas. 
Si el sistema tiene solución, quiere decir que existen escalares x1, x2, ..., xn 
que satisfacen la igualdad (II). 
Esto significa que el vector de los términos independientes es combina-
ción lineal de los vectores de los coeficientes. 
Que un elemento sea combinación lineal de otros, significa que es el 
resultado de la suma de producto entre pares de elementos de determi-
nados conjuntos, en este caso particular: matrices y escalares, multiplica-
dos entre sí. 
Continuando con sistemas de ecuaciones lineales: 
 
2 Se llama vector columna a una matriz de dimensión m x 1. 
 111 
















mb
b
b
b

3
2
1
 es combinación lineal de los vectores: 
















1
31
21
11
ma
a
a
a

, 
































mn
n
n
n
m a
a
a
a
a
a
a
a



3
2
1
2
32
22
12
,, 
 
 
4.1.2.2. Expresión Matricial 
Otra forma de expresar un sistema de ecuaciones lineales es por medio 
de matrices. 
A partir de un sistema dado, como por ejemplo (I), se pueden construir 
tres matrices. 
Una de ellas es una matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son 
los coeficientes de las incógnitas. 
 
A = 
















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
 
 
 
A es una matriz de orden mn y se 
llama Matriz de los Coeficientes 
 
La segunda es una matriz columna cuyos elementos son las n incógnitas. 
 
 X = 
















nx
x
x
x

3
2
1
 
 
 
X es de orden n1 y se llama Ma-
triz de las Incógnitas. 
 
 
Finalmente, la tercera matriz es también una matriz columna cuyos ele-
mentos son los términos independientes. 
 
 112 
 
 B=
















mb
b
b
b

3
2
1
 
 
 
B es una matriz de orden m1 y se llama 
Matriz de los Términos Independientes o 
Matriz Constante. 
 
Como A es de orden mn y X es de orden n1, el producto A.X es po-
sible y da como resultado una matriz de orden m1. Entonces, el sistema 
de ecuaciones lineales se puede escribir de la siguiente manera: 
 
A.X = B que se llama Forma Matricial o Forma Compacta 
del Sistema. 
 
 
 
X 
 
 
 A 
 
nx
x
x
x

3
2
1
 
 
 
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
 
 
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxab
xaxaxaxab
xaxaxaxab
xaxaxaxab
m
++++=
++++=
++++=
++++=





33211
33332321313
23232221212
13132121111
2
 
 
 
Nota: Además, a partir del sistema dado, se puede construir una cuarta 
matriz que se llama Matriz Ampliada y que se simboliza con A’. 
La matriz ampliada A’ es una matriz de orden m(n+1), y sus columnas 
son las columnas de A más la columna de los términos independientes. 
 
 
 113 
A’=
















mmnmmm
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa





321
33333231
22232221
11131211
 
 
 
Como ya se dijo, esta matriz será de utilidad cuando se realice el análisis y 
clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales. 
 
4.2. Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales 
 
Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar los valores 
de las n incógnitas que satisfacen simultáneamente cada una de las m 
ecuaciones del mismo. 
 
4.2.1. Definición: Una n–upla de escalares ( )n ,,,, 321  es una 
solución de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas si satis-
face cada una de las m ecuaciones del mismo. Se la llama solución parti-
cular del sistema. 
Se verá más adelante que un sistema de ecuaciones lineales puede tener 
una, infinitas, o ninguna solución. 
Si el sistema tiene solución, se llama conjunto solución ó solución ge-
neral, al conjunto de soluciones del sistema. 
En el caso de los sistemas homogéneos claramente se observa que tie-
nen, siempre, al menos una solución que es la n–upla (0, 0, ..., 0). Esta 
solución se llama solución trivial del sistema homogéneo. 
 
 
4.2.2. Sistemas equivalentes 
Definición: Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y 
sólo si tienen el mismo conjunto solución. 
 114 
A continuación, se darán algunos teoremas que serán de fundamental 
importancia a la hora de justificar los distintos métodos de resolución de 
los sistemas de ecuaciones lineales. 
 
Teorema: Si se agrega (o se quita) a un sistema de ecuaciones lineales 
una ecuación que sea combinación lineal de las demás, se obtiene un 
sistema equivalente al dado. 
 
Demostración: 
Sea un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. 








=+++
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa





2211
33232131
22222121
11212111
 (I) 
 
Sea la siguiente, una combinación linealde las m ecuaciones del sistema 
dado en (I): 
 
( ) ( )
( ) mmnmnmmm
nnnn
bbbxaxaxa
xaxaxaxaxaxa


+++=+++
+++++++++


22112211
2222121212121111
 
 
Operando y agrupando nuevamente se obtiene: 
 
( ) ( )
( ) mmnmnmnn
mmmm
bbbxaaa
xaaaxaaa


+++=++++
+++++++++


22112211
2222212111212111
 
 



d
m
i
iin
c
m
i
ini
c
m
ii
c
m
i
ii bxaxaxa
n






=





++





+






==== 11
2
11
21
1
1
21
 
 
dxcxcxc nn =+++ 2211 
 
 115 
Se construye ahora un nuevo sistema incluyendo esta nueva ecuación. 
 
 








=+++
=+++
=+++
=+++
dxcxcxc
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nn
mnmnmm
nn
nn





2211
2211
22222121
11212111
 (II) 
 
Sea ( )n ,,,, 321  una solución del sistema (I). Entonces verifica 
cada una de sus ecuaciones. ¿Verificará también la última ecuación del 
sistema (II)? 
 
Para responder a ello, se calcula: 
n
m
i
ini
m
i
ii
m
i
iInn aaaccc  





++





+





=+++ 
=== 1
2
1
21
1
12211 .......
 
( ) +++++= 12111212111 (.... aaaa mm 
++++++ nnmm aaaa 221122222 (...)... 
nmnma  ).... ++ 
( ) +++++= 121212121111 (...  aaaa nn
+++++++ 22112222 (...)...  mmmnn aaaa
)... nmna ++ 
 
= mmbbb  +++ ...2211 
= d 
Entonces la n-upla ( )n ,,, 21  verifica también la última ecuación 
del sistema (II), por lo tanto también es solución de este sistema. 
La demostración de que toda solución del sistema (II) es también solu-
ción del sistema (I) es evidente, ya que si una n–upla verifica todas las 
 116 
ecuaciones del sistema (II), verifica también todas las ecuaciones del 
sistema (I). Quedando demostrado, de esta manera, el teorema. 
 
Teorema: En un cuerpo K infinito, un sistema de ecuaciones lineales 
AX = B no tiene solución, tiene solución única, o tiene un número infi-
nito de soluciones. 
Demostración: 
Se demostrará únicamente que si el sistema tiene más de una solución 
entonces tiene infinitas soluciones. 
Sean X1 y X2 dos soluciones distintas del sistema, entonces se verifica 
que: AX1 = B y AX2 = B. 
Se plantea una combinación lineal de ambas soluciones, y se probará que 
esa combinación lineal también es solución del sistema AX = B. 
Sea, entonces, la combinación lineal (1+)X1 – X2 
 A. ((1+)X1 – X2) = A.X1 +  A.X1 –  A.X2 
= 

0
)( BBB −+  0 es la Matriz nula. 
= B 
 (1+)X1 – X2 también es solución del sistema. 
 
Como la igualdad se verifica para cualquier valor de , el sistema tiene 
entonces infinitas soluciones. 
 
4.2.3. Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales 
El siguiente teorema es de suma importancia porque permite hacer el 
análisis de un sistema cualquiera de ecuaciones lineales. 
 
Teorema de Rouché – Frobenius: Un sistema de m ecuaciones lineales 
con n incógnitas tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de los 
coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada. 
A.X = B tiene solución  h(A) = h(A’) 
 
En algunos textos, este teorema se enuncia como sigue: 
 117 
“La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuacio-
nes lineales con n incógnitas tenga solución, es que el rango de la matriz 
ampliada A’ sea igual al rango de la matriz A” 
Demostración: 
En primer lugar se demostrará que si el sistema tiene solución, entonces 
el rango de A es igual al rango de A’. 
Sea un Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas dado en forma 
vectorial: 
 
















=
















++
















+
















m
n
mn
n
n
n
mm b
b
b
b
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a



3
2
1
3
2
1
2
2
32
22
12
1
1
31
21
11
... 
Si el sistema tiene solución, el vector 
















nb
b
b
b

3
2
1
 es combinación lineal de los 
vectores 
















1
31
21
11
ma
a
a
a

 , 
















2
32
22
12
ma
a
a
a

 , ..., 
















mn
n
n
n
a
a
a
a

3
2
1
 
 
En consecuencia el número de columnas linealmente independientes3 de 
A’ es igual al número de columnas linealmente independientes de A. 
Por lo tanto, ambas matrices tienen el mismo rango, es decir 
 
3 Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede 
ser escrito con una combinación lineal de los restantes. 
 118 
h(A) = h(A’) 
 
Se demostrará ahora la proposición recíproca: “Si h(A) = h(A’), entonces 
el sistema A.X = B tiene solución”. 
h(A) = h(A’)  A.X = B tiene solución 
 
Si ambas matrices tienen el mismo rango, tienen el mismo número de 
columnas linealmente independientes. 
Entonces el conjunto formado por todas las columnas de A’ es lineal-
mente dependiente y por lo tanto la columna de los bi que es la que no 
figura en A, se puede expresar como combinación lineal de las columnas 
de A. Es decir que existen escalares n ,, 21 , tales que: 
















++
















+
















=
















mn
n
n
n
n
mmm a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b



3
2
1
2
32
22
12
2
1
31
21
11
13
2
1
 
 
Entonces la n-upla ( n ,, 21 ) constituye una solución del sistema. 
 
 Si h(A) = h(A’) el sistema tiene solución. (Se dice que es compatible) 
 
 
 Sistemas de Ecuaciones Lineales 
 
 
 Tiene solución No tiene solución 
 Sistema compatible Sistema incompatible 
 
 
Una única Infinitas 
Solución: Soluciones: 
Compatible Compatible 
Determinado Indeterminado 
 119 
 
Ejemplos: 
Sean los sistemas 
 a) 





=+
=+
=+
062
03
1
31
31
21
xx
xx
xx
 
 
b) 





=−−
=+
=+
06
0255
35
31
21
21
xx
xx
xx
 
Para cada sistema se calculará el rango de la matriz A y el rango de la 
matriz ampliada A’, usando el método de Gauss–Jordan estudiado en el 
capítulo de Matrices. 
A fin de simplificar los cálculos, en cada caso se escribirán ambas matri-
ces en un solo esquema. 
 
a) 1 1 0 1 
 1 0 3 0 
 2 0 6 0 
 1 1 0 1 
 0 -1 3 -1 
 0 -2 6 -2 
 1 1 0 1 
 0 1 -3 1 
 0 -2 6 -2 
 1 0 3 0 
 0 1 -3 1 
h(A)=2 0 0 0 0 h(A’)=2 
 Sistema compati- 
 ble. 
 Tiene solución. 
 
 
 
 
 120 
 b) 1 5 0 3 
 5 25 0 0 
 -1 0 -6 0 
 1 5 0 3 
 0 0 0 -15 
 0 5 -6 3 
 1 5 0 3 
 0 0 0 -15 
 0 1 -6/5 3/5 
 1 0 6 0 
 0 0 0 -15 
h(A)=2 0 1 -6/5 3/5 h(A’)=3 
 Sistema incompatible. 
No tiene solución. 
 
 
Se ha visto cómo determinar si un sistema tiene solución o no, es decir, 
si es compatible o incompatible. 
Ahora se tratará de determinar si un sistema compatible es determinado 
o indeterminado, o sea, si tiene una o infinitas soluciones. 
 
Volviendo sobre la segunda parte de la demostración del Teorema de 
Rouché-Frobenius, se observa que pueden presentarse dos casos: 
1º) h(A) = h (A’) = n 
Tanto A como A’ tienen n columnas linealmente independientes. 
Por lo tanto la expresión de 
















mb
b
b
b

3
2
 como combinación lineal de las co-
lumnas de A es única. Es decir que existe una única n-upla 
( )n ,,,, 321  tal que: 
 121 
















mb
b
b
b

3
2
 = 
















++















+
















+
















mn
n
n
n
n
mmm a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a



3
2
1
3
33
23
13
3
2
32
22
12
2
1
31
21
11
1  
El sistema tiene una única solución. Por lo tanto, es Compatible Deter-
minado. 
 
2º) h(A) = h(A’) = r < n 
Tanto A como A’ tienen sólo r columnas linealmente independientes. 
La expresión vectorial del sistema es: 
 
















=
















++
















+
















m
n
mn
n
n
n
mm b
b
b
b
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a



3
2
1
3
2
1
2
2
32
22
21
1
1
31
21
11
 
 
Si se supone que las columnas linealmente independientes son las r pri-
meras y se pasan todos los demás términos al 2º miembro, se obtiene: 
n
mn
n
n
n
r
rm
r
r
r
m
r
mr
r
r
r
mm
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
b
b
b
b
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
















−−
















−
















=
















++
















+
















+
+
+
+
+

3
2
1
1
1,
1,3
1,2
1,1
3
2
1
3
2
1
2
2
32
22
12
1
1
31
21
11
...... 
 
 122 
















−−−
−−−
−−−
−−−
=
++
++
++
++
nmnrrmm
nnrr
nnrr
nnrr
xaxab
xaxab
xaxab
xaxab





11,
311,33
211,22
111,11
 (I) 
 
Si se dan valores arbitrarios a xr+1 , xr+2 , ...., xn el segundo miembro re-
presentará en cada caso un vector distinto. Para cada uno de esos vecto-
res habrá una única r-upla de valores ( )rxxxx ,...,,, 321 que verificará la 
igualdad. Entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Por lo tanto es 
Compatible Indeterminado. 
 
En resumen: 
• Para analizar un sistema de ecuaciones lineales, se calculan el rango 
de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada. 
• Si h(A)  h(A’) entonces A.X = B es Incompatible y no tiene solu-
ción. 
• Si h(A) = h(A’) = n (nº de incógnitas), el sistema es Compatible De-
terminado y tiene una única solución. 
• Si h(A) = h(A’) < n, el sistema es Compatible Indeterminado y tiene 
infinitas soluciones. 
 
En el ejemplo a) dado en la página 119 el sistema es Compatible Inde-
terminado. Ya que h(A) = h(A’) = 2 pero el número de incógnitas ( n) es 
3, o sea que h(A) = h(A’) = 2 < n = 3. 
 
 
4.2.4. Clasificación de Sistemas Lineales Homogéneos 
Sea un Sistema Homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas. 
 
 123 








=++++
=++++
=++++
=++++
0
0
0
0
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa





 
 
Para este sistema, la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada serán, 
respectivamente: 
 
A=
















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
 A’=
















0
0
0
0
321
3333231
2232221
1131211
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





 
 
Como A’ tiene una columna formada íntegramente por ceros (vector 
nulo), sus vectores columna serán linealmente dependientes4. 
En consecuencia, en un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, la 
matriz ampliada A’ tendrá siempre el mismo número de vectores colum-
na linealmente independientes que la matriz A de los coeficientes. 
O sea que en un sistema homogéneo siempre será: h(A) = h(A’). 
 
Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son siempre 
compatibles, es decir, siempre tienen solución. 
 
Si h(A) = h(A’) = n , el sistema homogéneo es Compatible Determinado 
y tiene una única solución que es la llamada solu-
ción trivial (0, 0, 0, …, 0). 
Si h(A) = h(A’) < n , el sistema homogéneo es Compatible Indetermina-
do y tiene infinitas soluciones. 
 
 
4 Propiedad: Todo conjunto finito de vectores que tenga como elemento al vector 
nulo es linealmente dependiente. 
 124 
4.2.5. Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 
Resolver un sistema de ecuaciones lineales es calcular los conjuntos de 
valores de las incógnitas que satisfagan simultáneamente todas las ecua-
ciones del sistema. Cada uno de esos conjuntos de valores de las incógni-
tas recibe el nombre de solución particular. 
Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones linea-
les, los cuales se explicarán a continuación, al tiempo que se darán distin-
tos ejemplos de su aplicación. 
 
4.2.5.1. Método de Eliminación de Gauss 
El método consiste en obtener un sistema de ecuaciones equivalente al 
dado, pero escalonado. 
Para ello, se elimina la 1º incógnita de todas las ecuaciones salvo de la 
primera. Luego, se elimina la 2º incógnita de todas las ecuaciones, salvo 
de la primera y segunda. Después se elimina la 3º incógnita de todas las 
ecuaciones salvo la primera, segunda y tercera y así sucesivamente. 
En caso de que fuera conveniente se pueden intercambiar dos ecuacio-
nes ya que esta operación no incide sobre el conjunto solución y el sis-
tema obtenido sigue siendo equivalente al dado. 
 
Ejemplos: 
 a) Dado el sistema: 





=−−
=+−
−=++
2563
23
952
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
Se elimina x1 de la 2º y 3º ecuación. 





=−−
=−−
−=++
521612
1123
952
32
32
321
xx
xx
xxx
 
 
Se elimina a continuación x2 de la 3º ecuación 





=−
=−−
−=++
88
1123
952
3
32
321
x
xx
xxx
 
 125 
Queda así un sistema equivalente al dado cuya solución se obtiene 
como sigue: 
De la 3º ecuación se obtiene 88 3 =− x de donde resulta: x3 = −1 
Se toma la 2º ecuación: −3x2 −2x3 = 11 
Se reemplaza x3, por −1: −3x2 −2(-1) = 11 
 −3x2 + 2 = 11 
 −3x2 = 9 
 x2 = −3 
Finalmente, se toma la 1º ecuación: x1 + 2x2 + 5x3 = −9 
Se reemplazan x2 y x3 por −3 y −1: x1 + 2(-3)+ 5(-1) = −9 
 x1 −6 − 5 = −9 
 x1 = 2 
 
La solución es única y es la terna (2, −3, −1). 
El sistema es Compatible Determinado y su conjunto solución es: 
( ) 1,3,2 −−=S 
 
Regla Práctica 
En forma práctica, el sistema se puede resolver por este método traba-
jando simultáneamente con la matriz de los coeficientes del sistema y la 
matriz ampliada. Para el ejemplo anterior, se construye la matriz de los 
coeficientes y se le agrega (separándola mediante una línea) la columna 
de los términos independientes. De esta manera ambas matrices quedan 
superpuestas. 
 









−
−−
−
25
2
9
1
3
5
63
11
21
  









−
−
−
−
−
52
11
9
16
2
5
120
30
21
  
 
 126 
  









−
−
−−
8
11
9
8
2
5
00
30
21
 donde en primer lugar se puede obser-
var que h(A) = h(A’) = 3 y que, por lo tanto, el sistema es Compatible 
Determinado (tiene una única solución) y en segundo lugar que, a partir 
de allí, se puede escribir el sistema equivalente: 





=−
=−−
−=++
88
1123
952
3
32
321
x
xx
xxx
 
Luego se procede, a partir de la tercera ecuación, a obtener el valor de x3 
y continuar de manera idéntica a la explicada anteriormente. 
 
 
b) Resolver 





=−+
=+−
=−+
544
12
2
zyx
zyx
zyx
 
 










−
−
−
5
1
2
4
1
1
4
1
1
1
2
1
  










−
−
−
−
3
3
2
3
3
1
3
3
1
0
0
1
  
 










−
−
−
0
3
2
0
3
1
0
3
1
0
0
1
  h(A)=2 y h(A’)= 2 
 
O sea h(A) = h(A’) < n, por lo tanto el sistema es Compatible Inde-
terminado, tiene infinitas soluciones. 
La forma del sistema equivalente es:→ 
 
 
 x + y – z = 2 
 – 3y + 3z = –3 
 
 x + y – z = 2 
 y – z = 1 
 
 
 
Dividiendo la 2º 
ecuación por (-3) 
 127 
Entonces se puede tomar cualquiera de las incógnitas “y” ó “z” como 
parámetro independiente. Por ejemplo si se toma z como parámetro 
independiente y se la pasa al 2º miembro, el sistema queda: 
 



+=
+=+
zy
zyx
1
2
 
Reemplazando la segunda ecuación en la 1º, resulta: x+(1+z) = 2+z 
de dónde se obtiene x = 1 
Cómo se dijo, el sistema tiene solución, pero sus soluciones son infini-
tas. El conjunto solución o solución general, se expresa entonces de 
la siguiente manera: 
S = ( ) zyxzyx +== 11/,, 
 
Se pueden calcular soluciones particulares del sistema, dándole distin-
tos valores a z. 
 
( )
( )
( )



=
=
=
1,-1,-2 obtiene se 2- z Para
0 1, 1, obtiene se 0 z Para
 2,1 1, obtiene se 1 z Para
Algunas soluciones particulares. 
Un trabajo similar al realizado, se debe efectuar de haber considerado a la 
incógnita “y” como parámetro independiente. 
 
c) Analizar y resolver, de ser posible, el siguiente sistema: 
 





−=+−
=−+
=+−
1422
12
22
zyx
zyx
zyx
 
 










−
−
−
−
1
1
2
4
1
2
2
1
1
2
2
1











−
−−
−
5
3
2
0
5
2
0
3
1
0
0
1
 h(A)=2 y h(A’)=3 
h(A)  h(A’) 
 
 128 
El sistema es Incompatible y por lo tanto no tiene solución, es decir, 
no existe ninguna terna de números reales que verifique simultánea-
mente las tres ecuaciones del sistema dado. 
 
 
4.2.5.2. Método de Gauss-Jordan 
Este método permite analizar el sistema (de acuerdo al teorema de Ro-
ché-Frobenius), y también resolverlo en el caso de que sea compatible. 
Esencialmente, mediante operaciones elementales entre filas en la 
matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales, se trata de formar el 
máximo número de vectores canónicos linealmente independientes. Con 
ellos se determina el rango de la matriz del sistema y, también, el rango 
de la matriz ampliada. 
 
Ejemplos 
a) Sea el sistema 
 







=++−
=−+
=−+
=+−
12
2
322
2
zyx
zyx
zyx
zyx
 
 
La matriz asociada al sistema es: 
 














−
−
−
− 1
2
3
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
 
 
Se procede prácticamente como se hizo para el análisis del rango de 
una matriz, construyendo: 
 
 
 1 -1 1 2 Se elige en la matriz un elemento igual a 1. 
 129 
 2 1 -2 3 Si no hubiese ninguno, se toma cualquier 
elemento no nulo, y se divide por él toda 
su fila para hacerlo 1. Este será el pivote. 
 1 1 -1 2 
 -1 2 1 1 
 1 -1 1 2 Se hacen cero los demás elementos de la 
columna del pivote. Así se obtiene el 1º 
vector canónico (columna). 
Se elige un nuevo pivote que no pertenez-
ca ni a la fila ni a la columna del anterior. 
 0 3 -4 -1 
 0 2 -2 0 
 0 1 2 3 
 1 0 3 5 Se hacen cero los demás elementos de la 
columna del pivote. Así se obtiene el 2º 
vector canónico (columna). 
Se elige un nuevo pivote que no pertenez-
ca ni a la fila ni a la columna del anterior. 
 0 0 -10 -10 
 0 0 -6 -6 
 0 1 2 3 
 1 0 3 5 
Se divide por (-10) la fila del pivote elegi-
do. 
 0 0 1 1 
 0 0 -6 -6 
 0 1 2 3 
 1 0 0 2 Se hacen cero los demás elementos de la 
columna del pivote. Así se obtiene el 3º 
vector canónico (columna). 
 
 0 0 1 1 
 0 0 0 0 
 0 1 0 1 
 1 0 0 2 Se intercambian la 4º y 2º fila. 
 0 1 0 1 
 0 0 1 1 
 0 0 0 0 
 h(A)=3 h(A’)=3 
 
h(A) = h(A’)= n (nº de incógnitas). El sistema es Compatible De-
terminado y tiene una única solución. 
El sistema equivalente es 





=
=
=
1
1
2
z
y
x
 .Por lo tanto la única solución es 
la terna (2, 1, 1) y el conjunto solución: 
( ) 1,1,2=S 
 
 
 130 
b) Analizar y resolver, de ser posible, el sistema 





=+++
=++
=++
2265
12
023
wzyx
zyx
wyx
 
 
 
 3 2 0 1 0 
 1 2 1 0 1 
 5 6 2 1 2 
 0 -4 -3 1 -3 
 1 2 1 0 1 
 0 -4 -3 1 -3 
 0 0 0 0 0 
 1 2 1 0 1 
 h(A)= 2 0 -4 -3 1 -3 h(A’)=2 
 
h(A) = h(A’) = 2 < 4 (nº de incógnitas). 
El sistema es Compatible Indeterminado. 
 
El sistema equivalente es 



−=+−−
=++
334
12
wzy
zyx
 
 
Para hallar la solución general se pasan al 2º miembro, dos de las 
incógnitas (por ejemplo: z, w) y se obtiene: 



−+−=−
−=+
wzy
zyx
334
12
 
De la 2º ecuación resulta: 
4
33 wz
y
+−
= 
Al llevar este valor de y a la 1º ecuación, se obtiene: 
z
wz
x −=




 +−
+ 1
4
33
2  zwzx 22332 −=+−+  
 wzx −+−= 12  
2
1 wz
x
−+−
= 
El conjunto solución ó solución general es: 
Como ya no se puede 
elegir otro pivote. 
 131 
( )





 +−
=
−+−
==
4
33
^
2
1
/,,,
wz
y
wz
xwzyxS 
Dos soluciones particulares son: 
▪ z=0 ; w = 0 





− 0,0,
4
3
,
2
1
 
▪ z=1 ; w = -1 





−− 1,1,
4
1
,
2
1
 
 
c) Analizar y resolver, de ser posible, el sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 1 1 -3 -1 
 2 1 -2 1 
 1 1 1 3 
 1 2 -3 1 
 1 1 -3 -1 
 0 -1 4 3 
 0 0 4 4 
 0 1 0 2 
 1 0 -3 -3 
 0 0 4 5 
 0 0 4 4 Se divide esta fila por 4 
 0 1 0 2 
 1 0 -3 -3 
 0 0 4 5 
 0 0 1 1 
 0 1 0 2 
 1 0 0 0 
 0 0 0 1 
 0 0 1 1 
 0 1 0 2 
 x + y - 3z = -1 
2x + y - 2z = 1 
 x + y + z = 3 
 x + 2y - 3z = 1 
 
 
 
 132 
 1 0 0 0 
 0 0 0 1 
 0 0 1 0 
 h(A)=3 0 1 0 0 h(A’)=4 
 
 
 
Como h(A)  h(A’) , el sistema es Incompatible y no tiene solución. 
 
 
4.2.5.3. Método de la Matriz Inversa 
Sea A.X=B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. 








=+++
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa





2211
33232131
22222121
11212111
 
 
Se analiza el sistema, resultando h(A) = h(A’) = r (r  m y r n). 
Entonces se puede construir un sistema equivalente al dado C.X = D 
donde C es una matriz no singular (su determinante es distinto de cero), 
cuadrada de orden r, extraída de A. 
















=
rrrrr
r
r
r
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
C





321
3333231
2232221
1131211
 
Las matrices X y D serán, entonces: 
 133 
















=
rb
b
b
b
X

3
2
1
 
















=


























−
−
−
−
=




+=
+=
+=
+=
rn
rj
jrjr
n
rj
jj
n
rj
jj
n
rj
jj
d
d
d
d
xab
xab
xab
xab
D


3
2
1
1
1
33
1
22
1
11
 
DXC =  DCXCC = −− 11 
 DCX = −1 
Puesto que los sistemas son equivalentes, las soluciones obtenidas me-
diante esta última expresión son también las soluciones del sistema origi-
nal. 
Ejemplos: 
a) Analizar y resolver el siguiente sistema por el método de la Matriz 
Inversa 







=+−−
=−−+
=+−−
=+++
233
0
1
2
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
 
Analizado el sistema, resulta h(A) = h(A’) = 3, por lo tanto el sistema 
es Compatible Indeterminado y tiene infinitas soluciones. 
Se construye el sistema equivalente al dado, de manera tal que la ma-
triz C de los coeficientes sea no singular y de orden 3. 





=−+
−=−−
−=++
4321
4321
4321
1
2
xxxx
xxxx
xxxx
 
 134 










−
−−=
111
111
111
C 










=
3
2
1
x
x
x
X 










−
−
=
4
4
4
1
2
x
x
x
D 
 4=C , por lo tanto C es matriz no singular. 










−
−=









−
−
==−
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
0
0
0
4
202
220
022
C
adjC
C 
 
42 x− 
 D 
41 x− 
 C-1 
4x 
 
2
1 
2
1 0 42
3 x− 
 0 -
2
1 
2
1 42
1 x+−
 
 
 
2
1 0 -
2
1 
41 x− 
 
 
 
El conjunto solución es: 
( ) 43421242
3
14321 1;;/,,, xxxxxxxxxxS −=+−=−== 
El conjunto solución también puede expresarse como sigue: 




























−
+














−
−
=














=
0
1
1
1
1
1
. 2
1
2
3
4
3
2
1

x
x
x
x
S 
 135 
b) Resolver el sistema 





−=+
=−−
=++
123
2
12
21
321
321
xx
xxx
xxx
 
Analizado el sistema resulta h(A) = h(A’) = 3. Entonces, el sistema 
es Compatible Determinado. 
En este caso no hace falta construir un sistema equivalente por lo 
que se calcula directamente X = A-1.B 










−−=
023
111
112
A  










−−
−−=−
2
1
6
1
6
5
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
1
0
A 










−=










−











−−
−−== −
1
2
1
1
2
10
2
1
6
1
6
5
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
1 BAX 
 
El conjunto solución es ( ) 1,2,1−=S 
 
4.2.5.4. Regla de Cramer 
Sea A.X=B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. 








=+++
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa





2211
33232131
22222121
11212111
 
 
Se analiza el sistema, resultando h(A) = h(A’) = r (r  m y r n). 
 136 
Entonces, se puede construir un sistema C.X = D, equivalente al dado, 
donde C es una matriz no singular (su determinante es distinto de cero), 
cuadrada de orden r, extraída de A. 
















=
rrrrr
r
r
r
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
C





321
3333231
2232221
1131211
 
Las matrices X y D serán, entonces: 
















=
rb
b
b
b
X

3
2
1
 
















=


























−
−
−
−
=




+=
+=
+=
+=
rn
rj
jrjr
n
rj
jj
n
rj
jj
n
rj
jj
d
d
d
d
xab
xab
xab
xab
D


3
2
1
1
1
33
1
22
1
11
 
Sea ahora C( k ) una matriz en la que se ha reemplazado la k-ésima colum-
na de C por los elementos de D. 
 
















=
+−
+−
+−
+−
rrkrrkrrr
rkk
rkk
rkk
k
aadaaa
aadaaa
aadaaa
aadaaa
C





1,1,21
31,331,33231
21,221,22221
11,111,11211
)(
 
 
Calculando el determinante de )(kC por el desarrollo según los elementos 
de la k-ésima columna, se tiene: 
 137 

=
=
r
h
hkh
k AdC
1
)( . donde hkA es el adjunto del elemento que en la ma-
triz C ocupa la h-ésima fila y la k-ésima columna. 
Entonces si DCX = −1 será D
C
adjC
X = 
C
DadjC
X

= 
Pero 
hkkh AAadjC ==
'  
C
DA
X
hk 
= 
C
dA
X
r
h
hkh
=

=
1
'
C
Ad
r
h
hkh
=

=
1
 
C
C
X
k )(det
= 
C
C
X
k )(det
= 
 
 
























=














C
C
C
C
C
C
x
x
x
r
r
)(
)2(
)1(
2
1
det
det
det


 
 
 138 
• Dado un sistema de n ecuaciones con n incógnitas A. X = B, en don-
de la matriz A de los coeficientes es cuadrada y no singular (su deter-
minante distinto de cero), entonces el sistema se puede resolver usan-
do la Regla de Cramer. 
• El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo por el determinante 
del sistema, el determinante que resulta de reemplazar la columna de 
los coeficientes de la incógnita que se calcula, por los términos inde-
pendientes. 
 
Ejemplos: 
a) Resolver por el método de Cramer: 





−=++
−=+
=−+
22
23
02
zyx
zy
zyx
 
 
Analizado el sistema resulta h(A) = h(A’) = 2. 
Se construye, entonces, el sistema equivalente: 



−−=
=+
zy
zyx
32
2
 en 
donde la matriz de los coeficientes es 





=
10
11
C , 1=C , la matriz 
de las incógnitas es 





=
y
x
X y la matriz de los términos indepen-
dientes es 





−−
=
z
z
D
32
2
. 






−−
=
132
12
)1(
z
z
C  25)32(2det
)1( +=−−−= zzzC 






−−
=
z
z
C
320
21
)2(  zC 32det )2( −−= 
25
1
25
+=
+
= z
z
x z
z
y 32
1
32
−−=
−−
= 
( ) zyzxzyxS 3225/,, −−=+== 
 139 
b) Resolver por Cramer, el sistema: 





−=+
=−−
=++
123
2
12
21
321
321
xx
xxx
xxx
 
Analizado el sistema resulta h(A) = h(A’) = 3. Entonces el sistema 
es Compatible Determinado. 
En este caso no hace falta construir un sistema equivalente. 










−−=
023
111
112
A  6=A 










−
−−=
021
112
111
)1(A  6det )1( =A 










−
−=
013
121
112
)2(A  12det )2( −=A 










−
−=
123
211
112
)3(A  6det )3( =A 
 
1
6
6
1 ==x 2
6
12
2 −=
−
=x 1
6
6
3 ==x 
 
( ) 1,2,1−=S