Capítulo 5 - Determinantes

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81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 5 
 
 
DETERMINANTES 
 
Para poder comprender mejor la definición de determinanates, veamos 
en primer lugar algunos conceptos previos necesarios. 
 
3.1. Permutaciones 
3.1.1. Definición: Dados n números naturales 1, 2, 3, ..., n se llama 
permutación simple a cualquier ordenación de esos n números. 
Dos permutaciones cualesquiera tienen los mismos elementos y difieren 
solamente en el orden de colocación de éstos. 
Para n =4 la permutación se simboliza: 
 





=
3124
4321
S 
Otra permutación diferente de 4 elementos, puede ser: 
 





=
2143
4321
T 
La permutación 





=
4321
4321
E que presenta los números en el or-
den natural se llama permutación idéntica o fundamental. 
 82 
¿Cuántas permutaciones pueden obtenerse con n elementos? 
m – c a s i l l a s 
C1 C2 C3 C4 . . . Cn 
n 
elecciones 
n – 1 
elecciones 
n – 2 
elecciones 
n – 3 
elecciones 
. . . n – (n – 1) 
elecciones 
 
Cada casilla representa una posición en la permutación. Cuando se trata 
de llenar la primera casilla son posibles n elecciones, ya que tenemos n 
elementos. Elegido un elemento para llenar la primera casilla, para ocu-
par la segunda podrán hacerse (n – 1) elecciones diferentes. Es decir que 
habrá n(n – 1) elecciones posibles para las dos primeras casillas. Siguien-
do de esta manera, para las tres primeras casillas habrá: n (n – 1) (n – 2) 
elecciones posibles de los n elementos. Finalmente restará una elección 
solamente para llenar la última casilla. 
Luego el número de permutaciones de n elementos, que suele simboli-
zarse como Pn, resultará. 
Pn = n (n – 1) (n – 2) . . . 3 . 2. 1 
Pn = n!
1 
 
Ejemplo: 
Continuando con n = 4, se podrán formar 4! permutaciones es decir: 
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
Es decir que con 4 elementos distintos podemos formar 24 permutacio-
nes. ¿Cuáles son esas permutaciones? 
En el siguiente esquema están las seis permutaciones considerando como 
primer elemento al número 1 y siguiendo el razonamiento anterior. De la 
misma manera se puede hacer para los números 2, 3 y 4 con lo que se 
obtiene las 24 permutaciones calculadas. 
 
1 El factorial de un entero positivo n, el factorial de n ó n factorial se define como el 
producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. 
 83 
 1
 
 
 
 
 2 
3 4 → 1234 
4 3 → 1243
 
3 
2 4 → 1324 
4 2 → 1342 
 
4 
2 3 → 1423 
3 2 → 1432 
 
 
 
 
3.1.2. Inversión - Permanencia 
Definición: Una permutación presenta una inversión cuando un 
número mayor precede a otro menor. En caso contrario se dice que hay 
permanencia. 
 
Ejemplo: La permutación S dada anteriormente presenta 4 inversiones 
porque el elemento 4 precede a 1, a 2 y a 3 y el elemento 3 precede a 2. 
La permutación T presenta, también, 4 inversiones 
 






=
3124
4321
S
 






=
2143
4321
T
 
 
La permutación 





=
3421
4321
G presenta una sola inversión. 
 
Definición: Una permutación se dice par si presenta un número par de 
inversiones. En caso contrario se dice impar. 
A una permutación par se le asigna signo positivo y a una impar se le 
asigna signo negativo. 
 
Ejemplos: sg (S) = + sg (T) = + sg (G) = − sg (E) = + 
 
A partir de estos conceptos: permutación, permanencia, invarianza y 
matrices, podemos definir determinanates. 
 
3.2 Determinantes 
Sea A = aij una matriz cuadrada de orden n 
 84 
 
















=
nnn3n2n1
3n333231
2n232221
1n131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





 
 
Con los elementos de esa matriz se pueden formar productos de n 
factores, tal que uno y sólo un factor pertenece a cada fila y uno y sólo 
un factor pertenece a cada columna de A. 
Un producto así formado, puede escribirse de la siguiente manera: 
n321 np3p2p1p
.a..a.aa  
Donde los factores pertenecen a filas sucesivas y por ende, los primeros 
subíndices están en el orden natural 1, 2, 3, ...,n. 
Como los factores pertenecen a columnas diferentes, la sucesión de los 
segundos subíndices forman una permutación P tal que: 
n321 p,...,p,p,pP = . 
Recíprocamente, cada permutación de los pi se asocia a un producto de 
la forma anterior. 
Entonces a partir de la matriz A se forman n! productos distintos. 
 
Definición: El determinante de una matriz cuadrada A=aij de orden n, 
que se designa por det(A), (A) ó A, es la suma algebraica (calculada 
sobre todas las permutaciones p1, p2, p3, ... , pn.) de todos los productos 
que se pueden formar con los elementos de A, de modo que en cada 
producto haya un elemento de cada fila y un elemento de cada columna. 
Cada producto estará precedido de un signo + ó − que depende de la 
paridad de la permutación p1, p2, p3, ... , pn. 
 
  A = A = 
P
np3p2p1p n321
...aaasg(P)a donde sg(P) es el signo que 
depende de la paridad de P. 
 85 



−
+
=
imparesPsi
paresPsi
sg(P) 
 
 
Ejemplo: Sea A una matriz cuadrada de orden 3. 
 
==
P
3p2p1p
333231
232221
131211
321
aasg(P)a
aaa
aaa
aaa
A 
 
A será entonces una suma que tiene 3! (o sea 6) términos, porque hay 6 
permutaciones P, distintas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
312213322113312312332112322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −++−−=
reordenando estos términos: 
332112322311312213312312322113332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++= 
Esta expresión es el desarrollo de un determinante de 3º orden por la 
Regla de Sarrus, la que se aplica sólo a determinantes de ese orden. 
Si la matriz fuese de cuarto orden, el desarrollo del determinante tendría 
24 términos y si fuese de 5° orden, el desarrollo tendría 120 términos, lo 
que evidentemente hace que el cálculo del determinante se haga muy 
trabajoso aplicando la definición dada. 
 
p1 p2 p3 Sg(P) 
1 2 3 + 
1 3 2 - 
2 1 3 - 
2 3 1 + 
3 1 2 + 
3 2 1 - 
 86 
Hallar el determinante de la matriz 










−
−
−
=
531
203
112
A
 
 
 
Más adelante se darán distintos métodos para calcular determinantes de 
cualquier orden. 
 
Si se calcula el rango de la matriz A se podrá verificar que este es 3. pues 
hay tres vectores canónicos, esto significa que: 
Si dada una matriz cuadrada de orden n el determinante asociado es dis-
tinto de cero significa que el rango de dicha matriz es n, es decir tiene n 
vectores canónicos linealmente independientes. 
En cambio cuando el determinante asociado a una matriz cuadrada de 
orden n, es cero, significa que el rango de dicha matriz es menor que n; o 
sea los vectores son linealmente dependientes y por lo tanto alguno de 
ellos es combinación lineal de los restantes. 
 
3.3. Propiedades de los determinantes 
A continuación se enunciarán y demostraran las propiedades de los de-
terminantes. Cada una de estas propiedades es fácilmente verificable con 
determinantes de orden 3. 
 
Sea una matriz cuadrada de orden n, se cumple que: 
1) El determinante de una matriz A y el de su traspuesta son iguales. 
Demostración 
 
 por lo tanto 
 
Todo término del está formado por n elementos, uno de cada fila y 
uno de cada columna, luego pertenece también a 
 87 
Las dos permutaciones que indican filas (columnas) en son las 
mismas que indican columnas (filas) en luego el signo de dicho 
término en ambos determinantes es según que ambas 
permutaciones sean de clase par o impar respectivamente. 
Así, por ejemplo, en el caso considerado 
 
En 
 
 
En 
 
 
Luego 
Esta propiedad permite afirmar que toda otra propiedad de los 
determinantes referidas a sus filas es también válida para sus columnas. 
 
2) Si se permutan dos filas (columnas) de una matriz, los 
correspondientes determinantes son opuestos: 
 
Demostración 
 
 por lo tanto 
 
Intercambiar entre sí dos filas significauna transposición en los primeros 
índices, lo cual cambia la clase de la permutación y como la de los 
segundos índices correspondientes a las columnas no ha variado, habrá 
un cambio de signo en cada término del determinante. 
 
En 
 
 
 88 
En 
 
 
 
Luego 
 
Consecuencia de la segunda propiedad 
El determinante de toda matriz que tenga dos filas (columnas) idénticas 
es nulo. 
 
Si 
 
Al permutar dos filas (la primera y la segunda por ejemplo) por la 
propiedad anterior el determinante será pero siendo idénticas las 
filas, el nuevo determinante es igual al anterior. Es decir 
 
Luego 
 
 
3) Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz por 
un mismo número el determinante correspondiente queda multiplicado 
por 
 
Demostración 
 
Si 
 
Si multiplicamos por los elementos de la primera fila, resulta 
 
 89 
 
 
Según el desarrollo de los determinantes por elementos de una línea, 
tenemos: 
 
 
 
 
Esta propiedad permite separar como factor del determinante un factor 
común a todos los elementos de una línea cualquiera, simplificando esta. 
Ejemplo 
 
 
 
 
 
Consecuencia de la tercera propiedad 
Si en el determinante de una matriz, los elementos de una línea son 
proporcionales a los correspondientes de otra paralela a ella, el 
determinante es nulo. 
En efecto, si separamos el coeficiente de proporcionalidad como factor 
del determinante queda otro con dos líneas iguales y por lo tanto es nulo. 
Esta consecuencia puede generalizarse de la siguiente manera: 
Si la línea de una matriz es combinación lineal de las demás, el 
determinante correspondiente es nulo. 
 
4) Si todos los elementos de una línea de una matriz son ceros, su 
determinante es nulo. 
 90 
Esto es verdad ya que por la tercera propiedad, separando como factor 
común del determinante, el elemento nulo, resultara: 
 
5) Si los elementos de una línea de una matriz se pueden escribir como 
suma de m términos, puede descomponerse el determinante 
correspondiente en suma de m determinantes que tienen las mismas 
restantes líneas y en lugar de aquella, la formada por los primeros 
sumandos, por lo segundos, . . . , y por los m – ésimos respectivamente. 
 
Si 
 
Desarrollando el determinante por los elementos de la primera fila, 
tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consecuencia de la quinta propiedad 
El determinante de una matriz no varía si a una línea se le suma una 
combinación lineal de otras 
 
Dado 
 
Si a la primera fila le sumamos la segunda multiplicada por cualquier 
número , resulta: 
 91 
 Por la quinta propiedad 
 
 por la tercera propiedad 
 
 por la segunda propiedad 
 
 
 
 
 
Esta consecuencia permite simplificar los determinantes, reduciendo a 
cero varios elementos de una misma línea mediantes adiciones y 
sustracciones convenientes; cada elemento que se logre anular así, evita 
el cálculo de un cofactor al desarrollar, el determinante, por los 
elementos de esa línea. 
 
Ejemplo: 
Efectuando operaciones entre filas y columnas reducir a ceros todos los 
elementos de una línea, excepto uno, y luego desarrollar por los 
elementos de esa línea. 
 
 
 
 92 
 
 
Desarrollamos el determinante obtenido por el elemento 
 
 
 
 
 
3.4. Cálculo de determinantes 
 
3.4.1. Menor Complementario y Adjunto (ó Cofactor) 
Definición: Dada una matriz de orden n, se denomina Menor com-
plementario de un elemento aij , y se designa con Mij , al determinante de 
orden (n-1) que se obtiene eliminando de la matriz dada, la fila y la co-
lumna a la que pertenece el elemento aij . 
 
Ejemplos: 
 Sea 














−
−−−
−
−
=
1240
3125
0124
5031
A una matriz de orden 4. 
Escribimos el Menor Complementario de los elementos a23 y a14. 
 
 129
140
325
531
M 23 −=−−
−
= 32
240
125
124
M14 =
−
−−−
−
= 
 
 93 
Definición: dada una matriz A de orden n, se denomina Adjunto ó Co-
factor de un elemento aij, al Menor Complementario de ese elemento 
precedido de un signo que depende de la posición del elemento aij en la 
matriz. 
  Aij = (-1)
i+j Mij 
 
Ejemplo: Para la misma matriz A dada en el ejemplo anterior los adjun-
tos o cofactores de los elementos a23 y a14 son, respectivamente: 
 
 A23 = (-1)
2+3 M23 = (-1)
5 M33 = (-1)(-129) = 129 
 
 A14 = (-1)
1+4 M14 = (-1)
5 M14 = (-1). 32 = -32 
 
Nota: A continuación, se enunciarán tres teoremas, sin demostrarlos, 
pero verificándolos con un ejemplo. 
 
Teorema 1: El determinante de una matriz triangular es igual al produc-
to de los elementos de la diagonal principal. 
A es matriz triangular  
=
=
n
1i
iiaA 
350000035
700
250
321
A
700
250
321
A −=−−−++−=
−
=









−
= 
A 351).5.7(a
3
1i
ii =−=−=
=
 
 
Teorema 2: Sea A una matriz cuadrada de orden n, tal que a11 0 y a1j = 
0 j  1. Entonces el determinante de A es igual al producto del elemen-
to a11 por su menor complementario. 
Simbólicamente: 
 94 
 



=
=

  1111
1j
11nn .MaA
1j0a
0a
/KA 
Sea 14A
352
143
002
A −=










−−
−= (I) 
 
 
 7512
35
14
M11 −=+−=
−
−
= a11.M11= 2(−7)= −14 (II) 
 
Comparando (I) y (II) se verifica: A = a11.M11 
 
Teorema 3: Sea A una matriz de orden n tal que aek  0 y aej=0 j  k 
(siendo e y k fijos). Entonces el determinante de A es igual al producto 
del elemento aek por su adjunto o cofactor. 
Simbólicamente: 




=

 
kj0a
0a
/KASea
ej
eknn
 A = aek Aek 
 
Ejemplo: Sea la matriz 42A
413
300
251
A −=










−
−
= (I) 
 1415)1)(1(
13
51
1)(M1)(A 523
32
23 =−−=−=−=
+ 
a23. A23 = (−3).14 = −42 (II) 
 
De (I) y (II) resulta A= a23.A23 
 
 95 
3.4.2. Desarrollo de Laplace 
Teorema: El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, es 
igual a la suma de los productos obtenidos al multiplicar los elementos 
de cualquier fila por sus respectivos cofactores. 
El desarrollo de Laplace según los elementos de una fila i dada, es: 
 inini3i3i2i2i1i1 .Aa.Aa.Aa.AaA ++++=  
ó lo que es lo mismo: 
=
=
n
1j
ijij .AaA donde i es fijo 
 
Esa expresión del determinante recibe el nombre de Desarrollo de 
Laplace del determinante de una matriz A según los elementos de 
la i – ésima fila. 
Ejemplo: 
Sea 45A
513
336
231
A −=









 −
= 
 
El desarrollo de Laplace según los elementos de la 2° fila será: 
 
 
=
=
3
1j
2j2j .AaA 
 = a21.A21+ a22.A22 + a23.A23 
 
 = 6 (-1)2+1 M21 + 3.(-1)
2+2 M22 + 3.(-1)
2+3 M23 
13
31
1)3(
53
21
3
51
23
1)6( −+
−
+
−
−= 
 96 
45
2433102
9)3(16)3(52)6(15
−=
++−=
−−+++−=
 
También se puede desarrollar el determinante de una matriz según los 
elementos de una columna j. En ese caso: 
 
 A = a1j.A1j + a2j .A2j + .... + anj.Anj donde j es fijo 
 
 
 
=
=
n
1i
ijijAaA donde j es fijo 
 
Por ejemplo para la matriz A dada, el desarrollo de Laplace según los 
elementos de la 2° columna es: 
 
i2
3
1i
i2 AaA 
=
= 
45
153363
12)(36)3(59)3(30
36
21
1)1(
53
21
1)3(
53
36
1)3.(
AaAaAa
232221
323222221212
−=
−+−=
+−++−−=
−
−+
−
−+−=
++=
+++
 
 
Otro ejemplo. 
Calcular A siendo: 
 97 














−
−
=
1430
1250
1102
5301
A 
 
Se elige una fila cualquiera (por ejemplo la 3° fila) y se hace el desarrollo 
del determinante de A según los elementos de esa fila. 
 
 
=
=
4
1j
3j3j .AaA 
 
 +
−
−−+
−
−−+
−
−−= +++
130
102
501
1)2(140
112
531
1)5(
143
110
530
1)0(A 332313 
430
102
301
1)1( 43+−+ 
 
194
1566245
152.335.49
3)(183)2(306)44015(0
−=
−+−=
−+−=
−−+++++−−=
 
 
Observación: 
Para simplificar el trabajo siempre conviene elegir la fila o columna que 
tenga mayor cantidad de ceros, porque en ese caso el desarrollo de 
Laplace tendrá menos términos. 
En el ejercicio precedente, hubiera sido mejor hacer el desarrollo del 
determinante por la 2° columna, que tiene dos ceros, mientras que la 3º 
fila que se tomó sólo tiene uno. 
 98 
 
=
=
4
1i
i2i2 AaA 
 4242323222221212 AaAaAaAa +++= 
 
120
112
531
1)3(
140
112
531
1)5.(00 2423 −−+
−
−−++= ++ 
194
51245
3.175.49
6)2203(16)44015(
−=
+−=
+−=
−++++++−−=
 
 
Teorema: La suma de los productos de los elementos de una fila por los 
adjuntos de los elementos de otra fila, es siempre igual a cero. 














−
−
=
1430
1250
1102
5301
A 
Sea por ejemplo la suma de los productos de los elementos de la 1º fila 
por los adjuntos de los elementos de la 3º fila: 
3414331332123111 AaAaAaAa +++ 
1(1)4 M31+ 0(-1)
5 M32+ 3(-1)
6 M33+ 5(-1)
7 M34 
3)5(183)3(3015)9(
430
102
301
5
130
102
501
3
143
110
530
−−++−−=−
−
−+
−
− 
 = -24 + 99 – 75 
 = 0 
 99 
3.4.3. Regla de CHÍO 
 
La Regla de Chío es otro método para calcular determinantes. 
Se parte de una matriz A, cuadrada de orden n, que tenga un elemento 
igual a 1 por ejemplo aij =1 
Nota: Si no hubiera ningún elemento igual a 1, se elige un elemento 
cualquiera y se divide toda su fila (o su columna) por ese número 
 




















=
nnnjn2n1
ini2i1
2n2j2221
1n1j1211
aaaa
a1aa
aaaa
aaaa
A






 
 
Luego se transforma esta matriz A en otra matriz B mediante las siguien-
tes operaciones elementales entre columnas: 
- A la1° columna se le resta la j–ésima columna multiplicada por ai1. 
- A la 2° columna se le resta la j–ésima columna multiplicada por ai2. 
- Se continúa así sucesivamente, hasta llegar a la n-ésima columna a la 
que se le resta la j–ésima columna multiplicada por ain. 
 




















−−−
−−−
−−−
−−−
=
innjnnnji22jn2i1njn1
inini2i2i1i1
in2j2n2ji22j22i12j21
in1j1n1ji21j12i11j11
aaaaaaaaaa
1aa11aa1aa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
B






 
 
 100 




















−−−
−−−
−−−
=
innjnnnji22jn2i1njn1
in2j2n2ji22j22i12j21
in1j1n1ji21j12i11j11
aaaaaaaaaa
0100
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
B






 
 
Por un teorema dado en el punto anterior, se sabe que: 
 ijijAaB = pero ij
ji
ij M1)(B1a
+
−== 
Pero además, por propiedades de los determinantes: A = B 
 
 A = (-1)i+j.Mij 
 
donde Mij es el menor complementario del elemento que ocupa la i- 
ésima fila y la j-ésima columna de la matriz B. 
 
Ejemplo: Sea 










−
−
=
513
416
231
A 
 
Para calcular A por la Regla de Chío se elige un elemento que sea 1, 
como por ejemplo, el 1 que ocupa la 3° fila, 2° columna. 
Operando de acuerdo al procedimiento descripto, se obtiene: 
 
 










−
−−
=










−−
−−−−−
−−−
=
010
919
1738
5151313
1)5(411)3(6
5323331
B 
 
 101 
 81153)72(
99
178
1)(M1)1(BA 32
23 −=+−−=
−−
−=−== + 
 
Otro ejemplo: Resolver el determinante de la matriz A, de orden 4. 
 














−
−
=
1403
0250
1140
5301
A 
 
1403
0250
1140
5301
A
−
−
= Se elige un 1, por ejemplo a24 =1, entonces: 
 
1)1(41)4(01)0(3
102405000
153450051
1)(A 42
−−−−−−
−−−
−−−−
−= + 
128145
2964
25
3)8(53)20(4
0)8(20)20(5
)1(
543
250
8201
11
−=
=
−−−−
−−−−
−=
−−
=
+
 
 102 
  A = 17 
 
 
3.5. Determinante del producto de matrices 
Definición: Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. El producto 
de ambas existe y es otra matriz de orden n, tal que: 
B.ABA = 
Ejemplo: 
58A
323
123
232
A −=










−
−
= 8B
321
100
042
B =









−
= 
 
AB = (-58).8 = -464 (I) 
 
 464BA
11183
1145
346
BA −=










−
−
−−
= (II) 
 
De (I) y (II) se verifica: A.B = A.B 
 
En particular, puesto que A.A-1 = I 
 A.A-1 = A.A-1 = I 
 A.A-1 = 1 
 
A
1
A 1 =− 
El determinante de la matriz inversa de una matriz A es igual al inverso 
del determinante de A. 
 103 
3.6. Matriz Adjunta (ó Adjunto clásico) 
Definición: Dada una matriz B, cuadrada de orden n, se llama Matriz 
Adjunta de B, a la matriz transpuesta de los cofactores de los elementos 
bij de B. 
 
 B = ijb Adj B = jiA 
 
 
















=
nn3n2n1n
n3332313
n2322212
n1312111
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
BAdj





 
 
Teorema: Para toda matriz cuadrada A se cumple que 
A.(Adj A) = (Adj A).A =A.I 
Demostración: 
 A11 A21  An1 
 Adj A A12 A22  An2 
 A     
 A1n A2n  nn 
a11 a12  a1n 

=1j
1j1jAa 
=
n
1j
2j1jAa 
 

=
n
1j
nj1jAa 
a21 a22  a2n 
=
n
1j
1j2jAa 
=
n
1j
2j2jAa 
 

=
n
1j
nj2jAa 
        
an1 an2  ann 
=
n
1j
1jnjAa 
=
n
1j
2jnjAa 
 

=
n
1j
njnjAa 
 
 104 
 A11 A21  An1 
 Adj A A12 A22  An2 
 A     
 A1n A2n  Ann 
a11 a12  a1n A 0  0 
a21 a22  a2n 0 A  
0 
        
an1 an2  ann 0 0  A 
 
A . Adj A = 














A00
0A0
00A




= A














100
010
001




= A . I 
 
 a11 a12  a1n 
 A a21 a22  a2n 
 Adj A     
 an1 an2  ann 
A11 A21  An1 
=
n
1i
i1i1Aa 
=
n
1i
i1i2 Aa 
 

=
n
1i
i1i1Aa 
A12 A22  An2 
=
n
1i
i2i1Aa 
=
n
1i
i2i2 Aa 
 

=
n
1i
i2in Aa 
        
A1n A2n  Ann 
=
n
1i
ini1Aa 
=
n
1i
ini2 Aa 
 

=
n
1i
ininAa 
 
 
 105 
 a11 a12  a1n 
 A a21 a22  a2n 
 Adj A     
 an1 an2  ann 
A11 A21  An1 A 0  0 
A12 A22  An2 0 A  0 
        
A1n A2n  Ann 0 0  A 
 
Adj A . A = 














A00
0A0
00A




= A














100
010
001




= A . I 
 
Es decir que una matriz cuadrada A y su adjunta son conmutables. 
En particular si |A| 0, se puede escribir: 
 I
A
AA)(Adj
A
A)(AdjA
=

=

 
 
De donde, por definición de matriz inversa resulta que: 
 
A
AAdj
A 1 =− 
 
De esta expresión se deduce que para que exista la matriz inversa de una 
matriz A, el determinante de A no puede ser nulo. 
 
 106 
Una matriz cuadrada A admite inversa (es regular) si y solamente si 
A  0 
Ejemplos: 
a) Calcular la matriz inversa de la matriz A usando Adj A 
 
029A
405
123
212
A −=










−
−−
=  A es regular y admite inversa. 
 


















−
−−
−
−
−
−
−
−
−
−−−−
−
−
=
23
12
05
12
05
23
13
22
45
22
45
13
12
21
40
21
40
12
AAdj 
 










−−
−−
−−
=
1510
8187
548
AAdj 
 










−
−
−
=
−










−−
−−
−−
==−
2912952910
2982918297
295294298
29
1510
8187
548
A
AAdj
A 1 
 107 
b) Calcular la matriz inversa de la matriz A usando Adj A. 
 
 17A
1403
0250
1140
5301
A =














−
−
= A es regular y admite inversa. 
 
 
 
 













−−
−−
−−
−
=
352659
5648015
229326
0688517
AAdj 
 
































−−
−
−
−
−
−−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
250
140
301
403
140
301
403
250
301
403
250
140
050
140
501
103
140
501
103
050
501
103
050
140
020
110
531
143
110
531
143
020
531
143
020
110
025
114
530
140
114
530
140
025
530
140
025
114
AAdj
 108 














−−
−−
−−
−
=








=−
17317521765179
175176417801715
17217291732176
0451
A
AAdj
A 1 
 
3.7. Determinantes y rango de matrices 
 
Veremos cómo se pueden utilizar los determinantes para calcular el ran-
go de una matriz cualquiera. Para lograr esto recordemos el concepto de 
submatriz que se vio en el capítulo correspondiente a matrices. 
 
Dada la matriz si se eligen filas de las m posibles y 
columnas de las n posibles, se define la submatriz de A de orden 
como la matriz cuyos elementos de A tales que 
 
Sea entonces 
 
 
Son ejemplos de submatrices de A. 
 
3.7.1 Menores 
 
Dada la matriz los menores de A son los determinantes de 
las submatrices cuadradas de A, es decir los escalares 
El menor es de orden si la submatriz es de orden 
 
Respecto al rango de una matriz y submatrices se establece la siguiente 
relación: 
Si es una submatriz de A, entonces 
 109 
Esato significa que el rango de una submatriz de A es menor que el 
rango de la matriz A. 
Ahora veamos cómo se relacionan los menores con el rango. 
El rango de una matriz A es igual al mayor orden alcanzado por los 
menores no nulos de A, es decir, si y sólo si 
a) Existe un menor de orden 
b) Todos los menores de A de orden mayor a son nulos. 
 
En principio para ver que una matriz A tiene rango habría que 
encontrar un menor, M, no nulo de orden y calcular todos los menores 
de orden que corresponden a submatrices de A que contienen a M, 
si vemos que se anulan todos esos menores, entonces 
 
Teorema del método del orlado 
Sea la matriz con una submatriz cuadrada M de orden 
talque Supongamos que todas las submatrices cuadradas de 
orden que contienen a M tienen determinante nulo, entonces 
 
 
3.7.2 Método del orlado para calcular el rango de una matriz 
Sea la matriz el método del orlado para calcular el rango , 
es: 
Si A = N, si A es la matriz nula, entonces , caso contrario 
tomamos un menor M de orden 1 no nulo. Comenzando por se 
realizan los siguientes pasos: 
a) Hallar, si existe, un menor no nulo de orden que contenga a M, 
b) Si no existe, entonces 
c) Si existe repetir el paso a) incrementando a en una unidad y 
reemplazando M por el menor encontrado 
Obviamente no es necesario comenzar con . Si se encuentra un 
menor no nulo de orden , se puede empezar con dicho en el paso a). 
 
Calcular el rango de las siguientes matrices 
 110 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c)