TEORIA TP 1 ANALISIS 1

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Análisis Matemático I 
Ing. Roberto Lamas
Prof. Adjunto Análisis Matemático I
Trabajo Practico N° 1
Definición: Se llama proposición a toda 
expresión de la cual tenga sentido afirmar 
que sea verdadera o falsa.
Nociones de lógica- Lógica simbólica
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Ejemplos:
1.- Que día es hoy?
2.- Messi juega al fútbol y gano 6 Balones de oro.
3.- El 18 de agosto de 2017 fue viernes. 
4.- Hagan silencio !!!
5.- x + 6 = 9
6.- Si apruebo los parciales entonces regularizaré 
Análisis.
7.- El número e es racional.
8.- Miguel Díaz estudia Química o Informática.
Se denotan con letras minúsculas:
p : Messi juega al fútbol y ganó 6 Balones de oro.
q : El 18 de agosto de 2017 fue sábado.
r : Si apruebo los parciales entonces regularizaré 
Análisis.
s : El número e es racional.
t : Miguel Díaz estudia Química o Informática.
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Valor de verdad: se llama así a la verdad o falsedad de 
la proposición.
v(p) = V v(r)= V
v(q) = F v(s)= F v(t)= V
El valor de verdad debe ser único, no puede cambiar.
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas.
Simples: q : El 18 de agosto de 2017 fue sábado.
s : El número e es racional.
Compuestas:
p : Messi juega al fútbol y gano 6 Balones de oro.
r : Si apruebo los parciales entonces regularizaré Análisis.
t : Miguel Díaz estudia Química o Informática.
A los símbolos , , , , se denominan 
conectores lógicos. 
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Operaciones entre proposiciones.
1) Negación: La negación de la proposición “p” es la 
proposición que se obtiene anteponiendo a la proposición 
“p” la palabra “no” o el símbolo “ “.
Definición: El valor de verdad de la negación es opuesto al 
valor de verdad de la proposición dada.
Ejemplo:
s : El número e es racional.
s : El número e no es racional.
Tabla de verdad:
p p
V F
F V
v(p) = V 
v( ) = F 
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2) Disyunción o suma lógica: La disyunción de las 
proposiciones p y q es la proposición que se 
obtiene escribiendo una a continuación de la otra 
unidas por la letra “o “ o el símbolo “ “
p q t : Miguel estudia Química o Informática
p: Miguel estudia Química
q: Miguel estudia Informática t : p q 
Tabla de verdad:
p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F
Definición: El valor de verdad de la disyunción es 
falsa únicamente cuando ambas proposiciones son 
falsas.
La disyunción es conmutativa.
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3) Conjunción o producto lógico: La conjunción de 
las proposiciones p y q es la proposición que se 
obtiene escribiendo una a continuación de la otra 
unidas por la letra “y “ o el símbolo “ “
p q t : Messi juega al fútbol y ganó 6 Balones 
de oro.
p: Messi juega al fútbol .
q: Messi ganó 6 Balones de oro. t : p q 
Tabla de verdad:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F
Definición: El valor de verdad de la conjunción es verdadera 
únicamente cuando ambas proposiciones son verdaderas.
La conjunción es conmutativa.
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4) Implicación ( Condicional ) : La implicación de las 
proposiciones p y q es la proposición que se obtiene 
escribiendo una a continuación de la otra unidas por 
la palabra “implica“ o el símbolo “ “
p q t : Si apruebo los parciales entonces te 
presto mis apuntes.
Si p entonces q
p : antecedente q : Consecuente
p : Hipótesis q : tesis.
Tabla de verdad:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Definición: Una implicación es falsa únicamente 
cuando el antecedente es verdadero y el 
consecuente falso.
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Condicional
Se establece una relación entre antecedente y 
consecuente.
p es condición suficiente para q ( basta que se 
cumpla p para que se cumpla q )
q es condición necesaria para p ( si o si debe 
cumplirse q para que se cumpla p )
Otras formas:
Si p entonces q
p es condición suficiente para q
p solo si q
De p se deduce q
q es condición necesaria para p
q se deduce de p
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Implicaciones asociadas
Dada p q que llamamos directa , se 
pueden definir otras implicaciones 
asociadas.
Contraria : p q 
Recíproca : q p
Contra recíproca: q p 
Ejemplo:
Si 5 N 5 R Directa
Si 5 R 5 N Recíproca
Si 5 N 5 R Contraria
Si 5 R 5 N Contra recíproca
La directa y la contra recíproca tienen el mismo valor 
de verdad.
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Equivalencia o doble implicación o bicondicional
Equivalencia ( Bicondicional ) : La equivalencia de las 
proposiciones p y q es la proposición que se obtiene 
escribiendo una a continuación de la otra unidas por la 
palabra “ equivale“ o el símbolo “ “.
Se denota p q
Ejemplo : Si x = – 2 o x = 2 x2 – 4 = 0
Ejemplo: Si T es equilátero si y solo si T es equiángulo.
Tabla de verdad:
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Una equivalencia es verdadera únicamente 
cuando ambas proposiciones tienen el mismo 
valor de verdad.
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Otras formas :
p es condición necesaria y suficiente para q
p si y solo si q.
De p se deduce q y q se deduce de p
Esquemas proposicionales
En el caso x + 6 = 9 dijimos que no era 
proposición.
Pero si reemplazamos x por un número se 
transforma en una proposición, que puede ser 
verdadera o falsa.
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Definición: Un esquema proposicional es una 
expresión que contiene una o más variables y que 
se puede transformar en una proposición cuando 
se reemplazan cada una de las variables por un 
elemento de su conjunto universal.
Se denota por p(x) : x + 6 = 9 con U1 = R es un 
esquema proposicional
m(x) : x + 2 =7 con U2 = { x / x es un color } no es
esquema proposicional
Cuantificadores
Otra forma de convertir una expresión en una 
proposición es mediante los cuantificadores.
1) Universal: ( para todo )
Si a un esquema proposicional le anteponemos un 
cuantificador universal obtenemos otra proposición 
de la forma:
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x U : p(x) 
x , y , z U : q(x, y , z)
x U1, y U2 , z U3 : p( x, y ,z )
Son proposiciones ?
Si los son, porque dice que al reemplazar la o las 
variables por elementos del conjunto universal 
transforma el esquema en una proposición.
En otras palabras, todo elemento del conjunto 
universal satisface el esquema.
Ejemplo :
x R : x es positivo Falsa
x N : x es positivo Verdadera
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2) Existencial : ( Existe , hay algún )
Si le anteponemos este cuantificador la proposición 
toma la forma:
x U / p(x) 
Significa que hay algún elemento del conjunto 
universal que verifica que al reemplazarlo, el 
esquema se transforma en una proposición. 
Ejemplo:
x R / x es positivo Verdadera
x A / x es positivo 
siendo A = { x / x R x < 0} Falsa
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Negación de las proposiciones cuantificadas.
( x U : p(x) ) x U / p(x) 
( x U / p(x) ) x U : p(x) 
Ejemplo:
x / x es impar.
Existe x, tal que x es un número impar.
Existen números impares.
Hay números impares.
Cuál sería la negación?
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Negación:
x : x no es impar.
No hay números impares.
No existen números impares.
Todos los números no son impares.
Leyes de De Morgan
1) ( p q ) p q
( p q ) p q
(p q ) p q
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Ejemplo:
Todo el que la conoce, la admira.
Puede enunciarse:
Cualquiera sea la persona, si la conoce, entonces la 
admira.
P(x) : x la conoce.
Q(x) : x la admira.
En símbolos: x : P(x) Q(x)
La negación sería : x / P(x) Q(x)
Lenguaje común : Hay personas que la conocen y no 
la admiran.
Como se demuestra la veracidad o falsedad de 
una proposición cuantificada?
Si la proposición es verdadera:
x U : p(x) en forma genérica
x U / p(x) Con un ejemplo
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Si la proposición es falsa:
x U : p(x) estoy negando la misma ( x U : 
p(x) ) x U / p(x) Con un ejemplo
( contraejemplo) 
x U / p(x) estoy negando la misma ( x U 
/ p(x) ) x U : p(x) En forma genérica 
Intervalos
Un subconjunto de la recta real se llama intervalo si 
contiene al menos dos números y contiene todos los 
números reales que están entre dos cualesquiera de 
sus elementos.
Por ejemplo:
[ – 2 , 3 ] , [ 6 , 9 ) , ( 6 , )
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Ejemplo:
Cerrado : [ – 2 , 3 ] 
Semiabierto : [ – 2 , 3 ) 
Abierto: ( – 2 , 3 ) 
Infinito : [ a , ) , ( , b ]
( a , ) , ( , b )
( , )
Valor absoluto
El valor absoluto de un número x, denotado por 
| x | , se define como :
| x | = 
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Ejemplo:
a) | 5 | = ??
b) | – 7 | = ??
Solución:
a)| 5 | = ?? 5 > 0 , por lo tanto | 5 | = 5
b) | – 7 | = ?? – 7 < 0 entonces – ( – 7 ) = 7
Desigualdades con valor absoluto:
La desigualdad | a | < D dice que la distancia de “a” a 
0 es menor que D. Entonces “a” debe estar 
comprendida entre D y – D.
Entonces:
| a | D – D a D
D | a | D a a – D 
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Ejemplo:
a) | x – 5 | < 9
Aplicamos –9 < x – 5 < 9 , por lo tanto 
– 9 + 5 < x < 9 + 5 entonces – 4 < x < 14 o x ( – 4, 14) 
b) | x + 3 | > 8
Aplicamos x+3 > 8 x+3 < – 8 , a continuación 
x > 5 x < – 11, solución x – – )
Cotas y extremos de un conjunto
Sea A R
Definición1: El número real c es cota superior de A 
cuando x A : c x
Definición2: El número real d es cota inferior de A 
cuando x A : d x
Definición3: El conjunto A esta acotado superiormente 
cuando posee cota superior.
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Definición4: El conjunto A esta acotado 
inferiormente cuando posee cota inferior.
Definición5: El conjunto A esta acotado cuando está 
acotado superiormente e inferiormente.
Ejemplo 1 :
A = [ – 5 , 8 ) Cotas superiores: 9 ; 10 ; 10,1 ; 
8 ( ? ) ; 100 ; 1000 ; ……
Cotas inferiores : – 10 ; – 20; 
– 5,001; – 5 ( ? ); – 100; …… 
Cotas superiores: [ 8 , )
Cotas inferiores: ( – , – 5 ] 
Ejemplo2:
B = [ 7 , ) Cotas superiores ; NO tiene
Cotas inferiores: ( – , 7 ]
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Definición6: Se llama supremo del conjunto A a la 
menor de las cotas superiores.
Definición7: Se llama ínfimo del conjunto A a la 
mayor de las cotas inferiores.
Definición8: Cuando el supremo pertenece al 
conjunto, se lo llama máximo.
Definición9: Cuando el ínfimo pertenece al conjunto, 
se lo llama mínimo.
Para el ejemplo1:
A = [ – 5 , 8 )
Cotas superiores: [ 8 , )
Cotas inferiores: ( – , – 5 ] 
Sup(A) = 8 Max(A) = No tiene
Inf(A) = – 5 min(A) = – 5